5.5一元一次方程的应用（讲义，3个知识点8大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的应用，系统梳理列方程解应用题的“审设列解验答”六步流程，覆盖和差倍分、行程、工程、销售利润等基础题型，搭建从步骤规范到复杂等量关系挖掘的学习支架。 资料以分题型讲解为特色，通过“百骑大栗树”围树、研学分纪念铜钱等生活情境题，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，借助配套问题、分段计费等综合例题提升推理意识，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过随练与通关题查漏补缺，强化模型观念与应用意识。

第五章 一元一次方程 5.5 一元一次方程的应用 课标要点 1.掌握列一元一次方程解应用题的通用步骤：审、设、列、解、验、答，规范完整书写解题过程。 2.熟练分析常见基础题型等量关系：和差倍分、行程问题、工程问题、销售利润、数字问题、几何图形周长面积问题。 3.能准确设直接未知数或间接未知数，梳理题目已知条件，挖掘显性、隐藏等量关系列出方程。 4.会检验方程的解是否符合实际题意，舍去不符合现实意义的解，体会方程解的实际限制。 5.建立方程建模思想，能用一元一次方程解决生活实际问题，提升文字信息提取与数学转化能力。 学习重难点 重点：1.列一元一次方程解应用题的完整流程与书写规范。 2.梳理各类经典应用题的等量关系，正确列出一元一次方程求解。 难点：1.复杂题干中挖掘隐藏等量关系，等量关系梳理混乱导致列式错误。 2.行程、工程、利润类综合题型，单位不统一、数量关系易混淆。 3.根据题意判断解是否符合实际，合理取舍结果，间接设未知数解题。 知识点 列方程解实际问题的一般步骤（重点） 1.审：读懂题意，找出已知量、未知量与等量关系 2.设：设未知数（直接设、间接设） 3.列：根据等量关系列出一元一次方程 4.解：解方程求出未知数 5.检：检验结果是否符合方程、符合实际意义 6.答：规范写出答案 易错提醒 求出解后必须检验，人数、长度、价格等量不能出现负数、不符合生活逻辑的小数。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）慈城年糕文化节期间，工作人员给研学小组的学生发纪念铜钱．若每人分10文，还余6文；若每人分12文，则缺6文．设该研学小组的学生有人，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 本题根据纪念铜钱的总数不变这一等量关系来列方程，分别用两种分法表示出铜钱总数，再令其相等即可． 【详解】解：设研学小组学生有人， 按第一种分法，纪念铜钱总数为，按第二种分法，纪念铜钱总数为 又∵纪念铜钱的总数是固定不变的， ∴可列方程为， 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）世界上最粗的树是“百骑大栗树”，它生长在地中海西西里岛的埃特纳火山的山坡上．据悉，它的树干大约需要40个身高的小学生伸开双臂才能围住，换成身高的成年人，大约需要多少个成年人伸开双臂才能围住？（人双臂展开的长度约等于人的身高） 【答案】大约需要个成年人伸开双臂才能围住 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设大约需要个成年人伸开双臂才能围住，结合“它的树干大约需要40个身高的小学生伸开双臂才能围住，换成身高的成年人”等条件列式计算，即可作答． 【详解】解：设大约需要个成年人伸开双臂才能围住， 依题意，， ∴， 解得， ∴大约需要个成年人伸开双臂才能围住． 知识点 常见基础题型等量关系 1.和差倍分问题：总量=各部分之和；倍数关系、多/少关系 2.行程问题：路程=速度×时间；相遇、追及、顺逆流 3.工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，总量常设为1 4.销售利润问题：利润=售价−进价；利润率=利润÷进价 5.数字问题：多位数用数位代数式表示（如两位数10a+b） 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．甲先做2天后乙再加入，合作完成这项工程还需多少天？若设合作完成这项工程还需天，根据题意，得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，将总工作量看作单位“1”，先确定甲乙的工作效率，再根据“甲的总工作量乙的工作量总工作量”的等量关系列方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：把这项工程的总工作量看作单位1， 由甲单独做需12天完成，可得甲的工作效率为， 由乙单独做需8天完成，可得乙的工作效率为， 设合作完成这项工程还需天，则甲一共工作了天，乙工作了天， 根据总工作量的等量关系，可得， 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某商店销售一款无线耳机，按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率()，设一副该款耳机的进价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用——销售问题，关键是严格依据题目给出的毛利率公式，理清进价、标价、售价之间的数量关系，建立方程． 【详解】解：已知一副耳机的进价为元， ∵按进价提高后标价， ∴标价为元； ∵再优惠元销售， ∴售价为元； 根据题意，得． 故选：D． 知识点 配套、分配与积分计费问题 配套问题：利用物品配套比例列等式； 分段计费：分阶段计算费用，找准分界点。 特别提醒 一元一次方程应用是期末必考大题，常结合生活场景综合出题；等量关系寻找是解题关键难点。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位上的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产个螺钉或个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)件 (2)生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． （1）工作岗位有名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件，列方程即可； （2）设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人，根据题意列方程即可； 【详解】（1）解：设工作岗位有名工人， 根据题意列式，， 解得， 礼品（件， 某班同学一共带去了件礼品； （2）解：设生产螺钉的工人有人，则生产螺母的工人为人， 根据题意列式，， 解得， （人， 答：应安排生产螺钉的工人名，生产螺母的工人名． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）七（1）班组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 17 3 79 D 16 4 72 (1)请你通过观察、分析，完成填空：参赛者答对1道题得 分，答错1道题扣 分． (2)参赛者E和F的得分之和是158分，且E比F多答对4题，请问两人各答对几题？ 【答案】(1)5，2 (2)参赛者E答对了19题，参赛者F答对了15题． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解题的关键． （1）答对一道题的得分参赛者A的总得分参赛者A答对题目数，答错一道题扣的分答对一道题的得分参赛者B答对题目数参赛者B的总得分，即可求解； （2）设参赛者E答对了x题，答错了题，则参赛者F答对了题，答错了题，根据参赛者E和F的得分之和是158分，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：每答对一道题得（分）， 答错一道题扣（分）． 故答案为：5，2； （2）解：设参赛者E答对了x题，答错了题，则参赛者F答对了题，答错了题， 根据题意得：， 解得， 则（题） 答：参赛者E答对了19题，参赛者F答对了15题． 题型 配套、分配问题 ▌例1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 【答案】(1)七（1）班有28名男生，16名女生 (2)有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七（1）班有x名男生，则有名女生，根据男生人数比女生人数的2倍少4人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出的值(即男生人数)，再将其代入中，即可求出女生人数． （2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套，利用制作的花瓣的总数量是制作花心总数量的6倍，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名男生，则有名女生， 根据题意得∶， 解得∶， (名)， 答∶七（1）班有28名男生，16名女生； （2）解：设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套， 根据题意得∶， 解得∶， 答∶有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套． 解题贴士 配套问题核心等量：按配比倍数建立等式；本题1花心配6花瓣，因此花瓣数量=6×花心数量。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键． 【详解】解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生， 这些图书共有本， 所列方程为， 这些图书共有本， 横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本． 故选：B． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江温州·期末）综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 【答案】任务1：，；任务2：16个；任务3：当，时，柜子数量最多，为个 【分析】本题考查了列代数，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据图1求解； （2）根据“小正方形和小长方形的数量比为”列方程求解； （3）设制作竖式柜子a个，先用x和a表示柜子的总数，当x增大时，柜子的数量也增大． 【详解】任务1：解：由题意得∶A方法得小长方形木块块，B方法得小正方形块， 故答案为∶，； 任务2：由题意得：， 解得， 则， 所以能做出16个竖式柜． 任务3：设制作竖式柜个，则制作横式柜个， 做出的柜子数量为个． 由题意得：， 化简得：． 因为，和均为正整数， 当增大时，柜子数量也增大， 所以当，时，柜子数量最多，为个． 题型 销售盈亏问题 ▌例2 （25-26七年级上·浙江温州·期末）某户外用品店出售一款推车，按原价售出一辆可获利80元．现计划对库存的50辆推车进行清仓处理．请完成以下任务： 任务1：拟定促销计划 店铺准备采取分阶段促销策略：先以原价销售一部分，剩余推车每辆降价60元售完．若要求总利润为1720元，则原价售出的推车为多少辆？ 任务2：调整促销计划 为加快清仓，现同时推出两种促销方式，顾客购买推车时仅能选择一种： 方式一：按原价购买一辆推车可获赠一把成本为元（为正整数）的折叠椅． 方式二：每辆推车降价60元销售． 若50辆推车全部售出，且总利润恰好为1152元，求出的最大值． 【答案】任务1：12辆 任务2：56 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： 任务1：设原价售出的推车为辆，则降价销售的推车为辆，根据总利润为1720元，列出方程进行求解即可； 任务2：设利用方式一售出的推车为辆，则利用方式二售出的推车为辆，根据50辆推车全部售出，且总利润恰好为1152元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：任务1：设原价售出的推车为辆，则降价销售的推车为辆，由题意，得： ； 解得； 答：原价售出的推车为12辆； 任务2：设利用方式一售出的推车为辆，则利用方式二售出的推车为辆， 由题意，， 解得， ∵为正整数，且为整数， ∴最大为56，此时，；符合题意； 故的最大值为56． 解题贴士 销售利润基础公式：单件利润×销售量=分段利润之和；降价后单件利润直接用原利润减去降价金额。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江金华·期末）综合与实践 问题情境：春节即将来临，701班实践活动小组对一水果店某天甲、乙两种水果的购进和销售情况进行了调查分析． 信息获取： 信息一，该水果店用1400元购进甲、乙两种水果共180千克； 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 6 10 乙 10 16 问题解决： (1)若按售价销售甲、乙两种水果各20千克，可以获得多少利润？ (2)该水果店这一天购进甲、乙两种水果各多少千克？ (3)若该水果店按售价销售完甲种水果和部分乙种水果，剩余乙种水果按其售价的七五折出售，共获利800元，求按原售价售出乙种水果多少千克？ 【答案】(1)可获利200元 (2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果80千克 (3)按原售价售出乙种水果60千克 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据利润每千克的利润销售量，即可求解； （2）设水果店这一天购进甲种水果x千克，根据“用1400元购进甲、乙两种水果共180千克”，列出方程，即可求解； （3）设按原售价售出乙种水果y千克，根据“共获利800元”，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：元 答：可获利200元． （2）解：设水果店这一天购进甲种水果x千克，根据题意得： ， 解得： 答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果80千克． （3）解：设按原售价售出乙种水果y千克，根据题意得： 解得： 答：按原售价售出乙种水果60千克． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）某“新国标电动车”专卖店在“浙丽来消费”促销活动中推出以下方案：A类电动车九折优惠，B类一次性降价400元．年底在原促销基础上再增加以下优惠： 类型 A类 B类 新车原价 3000元～4000元（含3000元，不含4000元） 4000元及以上 减免 400元 500元 年底，小庆家与小龙家各自准备购置一辆新国标电动车，请完成下列问题： (1)若小庆家准备买原价为4100元的新国标电动车，求她的实付金额； (2)若小龙家用x元购买了一辆A类新国标电动车，求出这辆电动车的原价（用x的代数式表示）； (3)小庆和小龙各买了一辆新国标电动车．以下是小庆利用两人的购买信息与助手进行交流的部分内容： … 小庆（对助手）：“我买的是A类电动车，小龙买的是B类电动车．” 助手：“根据购车信息，你与小龙的电动车原价相差52元，但小龙的实付价反而比你少52元．” … 请根据以上信息，求出小庆和小龙的实付价分别是多少元． 【答案】(1)3200元 (2)元 (3)小庆的实付金额为3164元，小龙的实付金额为3112元 【分析】（1）先判断车型类别，再按“一次性降价减免”的顺序计算实付金额； （2）根据A类电动车的促销规则建立实付金额与原价的关系式，再通过代数变形求出原价的表达式； （3）设小庆的A类电动车原价为a元，则小龙的B类电动车原价为元，根据 “实付反少52元”列方程求解． 【详解】（1）解：原价4100元属于B类电动车，先一次性降价400元，再减免500元， （元）， 答：小庆家实付金额为3200元； （2）解：A类电动车原价在3000元～4000元（含3000元，不含4000元），促销规则为：先九折，再减免400元， 设原价为y元，则：， 即， 答：这辆电动车的原价为元； （3）解：设小庆的A类电动车原价为a元，则小龙的B类电动车原价为元， 根据题意得，， 解得 ∴小庆实付（元），小龙实付（元）． 题型 分段计费问题 ▌例3 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）某市居民年用天然气阶梯价格方案如下： 分类 年用气量（立方米） 到户价格（元/立方米） 第一阶梯 不超过250立方米的部分 第二阶梯 超过250立方米但不超过800立方米的部分 第三阶梯 超过800立方米的部分 (1)若小余家年用天然气立方米，则应缴纳天然气费__________元． (2)若小余家年缴纳天然气费元，求小余家年的用气量． (3)小姚家年和年共用天然气立方米，两年共缴纳天然气费元，且年的用气量比年多，求小姚家年和年的天然气用量各是多少立方米？ 【答案】(1) (2)小余家年用气量为立方米 (3)小姚家年的用气量为立方米，年的用气量为立方米 【分析】本题主要考查了分段计费问题的应用、一元一次方程的求解，熟练掌握阶梯单价的分段判断与方程建立是解题的关键． （1）判断用气量立方米属于第一阶梯，直接用单价乘以用气量即可计算费用． （2）先计算出第一阶梯和第二阶梯的总费用，判断2780元对应的用气量属于第三阶梯，再设未知数列方程求解． （3）根据两年用气量总和为立方米，且年用气量多于年，判断年用气量在第一阶梯、年用气量跨第一、二阶梯，设未知数列方程求解． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：； （2）解：设小余家年用气量立方米， ， 年的用气量属于第三阶梯， ， 解得 答：小余家年用气量为立方米． （3）解：由题意知，年的用气量比年多，且两年的用气量之和为立方米， 年的用气量小于立方米，年的用气量大于立方米， 设小姚家年的用气量立方米，则年的用气量为立方米，由题意得： ， 解得， ， 答：小姚家年的用气量为立方米，年的用气量为立方米． 解题贴士 1.先判断用量落在第几阶梯区间； 2.未超过第一阶梯上限：直接总量×第一阶梯单价； 3.超过阶梯分界时，分段计算每一段费用再相加。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）余姚市对已实施“一户一表”改造的住宅居民用水实行阶梯式计量水价，具体收费标准如下： 级别 每月每户用水量 水价 第一档 6吨及以下 元/吨 第二档 超过6吨但不超过18吨的部分 3元/吨 第三档 超过18吨但不超过30吨的部分 元/吨 第四档 超过30吨的部分 元/吨 (1)若小王家某月用水量为20吨，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小明家比小红家某月多用水10吨，结果多缴纳水费元，求小红家该月用水多少吨？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每月各档用水量基数分别增加2吨如某户有5口人，即该户第一档用水量为8吨及以下，第二档用水量为超过8吨但不超过20吨的部分，第三档用水量为超过20吨但不超过32吨的部分，第四档用水量为超过32吨的部分，小李家有6口人，若某月用水量为40吨，则审核通过后，小李家该月缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ 【答案】(1)需要缴纳的费用是57元 (2)小红家该月用水16吨 (3)小李家该月缴纳的费用比政策出台之前能节省元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，列式计算． 利用需要缴纳的费用超过18吨的部分，即可求出结论； 设小红家该月用水x吨，则小明家该月用水吨，根据小明家比小红家多缴纳水费元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 求出政策出台之前及政策出台之后需要缴纳的费用，作差后，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）， 答：需要缴纳的费用是57元； （2）解：设小红家该月用水x吨，则小明家该月用水吨， （元），， ， 根据题意得：， 解得：， 答：小红家该月用水16吨； （3）解：根据题意得：政策出台之前需要缴纳的费用是（元）； 政策出台之后需要缴纳的费用是（元）， 节省的钱数为（元）， 答：小李家该月缴纳的费用比政策出台之前能节省元． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）【提出问题】 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况． 下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费． 收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95 第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0 第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85 【理解问题】 若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）． 【解决问题】 任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元? 任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费． 任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元? 【答案】任务1：23.75元 任务2：当时，水费为元；当时，水费为元 任务3：679.3元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用． 任务1：利用第一阶梯水费单价求出11月用水量，再结合污水处理费单价计算污水处理费． 任务2：根据“第一阶梯用水量比第二阶梯少”的条件，分12月用水量仅跨第一、第二阶梯和跨三个阶梯两种情况，分别推导水费的代数式． 任务3：通过设未知数列方程求出12月中第一阶梯用水量，进而得到前11个月累计用水量，再计算全年水费． 【详解】任务1：解：已知11月用水量在第一阶梯，水费单价为2.6元．11月用水量为． 11月污水处理费为（元）． 答：11月污水处理费为23.75元． 任务2：解：设12月用水量中第一阶梯部分为，第二阶梯部分为．由题意得． 情况一：12月用水量仅跨越第一、第二阶梯，即且． 将代入，得，． 由得， 由得， 解得． 此时12月水费为元，其中 ． 情况二：12月用水量跨越第一、第二、第三阶梯，即． 则， 第三阶梯部分为（）． 此时12月水费为 元，其中． 任务3：解：设12月用水量中第一阶梯部分为，则第二阶梯部分为． 根据题意列方程． 去括号得． 移项合并同类项得． 解得．前11个月累计年用水量为． 前11个月水费为（元）． 全年水费为（元）． 答：小明家2025年全年水费为元． 题型 方案选择问题 ▌例4 （25-26七年级上·浙江台州·期末）某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超过 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元 6元 5元 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费___________元；当包裹的重量为时，则需支付运费___________元（用含的代数式表示）； (2)当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 【答案】(1)； (2)当包裹重量为时，两种方案的运费相同 【分析】本题考查分段函数的实际应用，准确地理解不同区间的计价规则是解题的关键． （1）根据货物质量的不同区间，选择对应的计价规则计算运费； （2）若包裹重量超过时，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当包裹的重量为时，则需支付运费 （元）； 当包裹的重量为时，则需支付运费 元； 故答案为：；； （2）若包裹重量超过时，按单价“6元”计费，即元， 根据题意，得， 解得， 当包裹重量为时，两种方案的运费相同． 解题贴士 1.拆分区间，分别写出每种方案的费用算式/代数式； 2.找出两种方案都能使用的取值范围； 3.令两个费用式子相等，解方程求临界值； 4.验证解是否在有效区间，写出结论。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 【答案】(1)A单价为36元/个，B单价为27元/个 (2)①B种中国结购买个；C种中国结购买个；②购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式的表示及方案选择问题． （1）设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个，根据A、B种中国结费用相同列方程求单价即可； （2）①先计算出总费用，根据A种中国结数量得到B种中国结和C种中国结购买数量表达式； ②由①计算中国结总数，再由三种中国结的个数都是正整数得到m的取值，当时，总数达到最多，为47个，从而得到A、B、C种中国结购买数量． 【详解】（1）解：设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个， 则根据题意可得， 解得， ∴A单价为36元/个，B单价为27元/个． （2）解：①∵原计划购买15个A型中国结和20个B型中国结，现计划用这笔总经费购买三种中国结， ∴原计划总费用为（元）， ∵A种中国结减少m个，则B种中国结减少个， ∴B种中国结购买个， C种中国结购买数量为： ； ②中国结总数， 三种中国结的个数都是正整数， ， 故当时，总数达到最多，为47个， 购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 【答案】(1)150元 (2)236元 (3)286元或353元 【分析】（1）1张100元代金券，购买代金券花费90元 ，求出剩余需支付的现金，再加上购买代金券的费用，则可得实际付款总额． （2）设优惠前消费金额为x元 ，根据方案B的优惠方式列方程求出x的值即可． （3）设优惠前消费金额为x元 分两种情况讨论：①当时，可得方程；②当时，可得方程：．求出x的值即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中的两个方案的优惠方式是解题关键． 【详解】（1）解：消费160元可使用1张100元代金券，购买代金券花费90元 ， 剩余需支付的现金为：（元）， ∴实际付款总额为：（元）， 答：实际付款150元． （2）解： 设优惠前消费金额为x元 ，方案B中，根据题意得 ， ， 解得． 答：优惠前消费金额为236元． （3）解： 设优惠前消费金额为x元，分两种情况讨论： ①当时 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为： ， 根据题意列方程： ， 解得， 286在范围内，符合条件； ②当时 ， 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为：， 根据题意列方程：， 解得， ，符合条件． 答：优惠前消费金额为286元或353元． 题型 工程问题 ▌例5 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）启正中学的同学们要整理三十年校庆资料，为校庆活动做准备．已知这份资料由一个人单独整理需要80小时才能完成．现在计划先安排一些同学先整理2小时，之后再增加5名同学一起整理8小时，恰好完成这项工作的，若设先由人整理2小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据工作效率和工作时间列方程，一个人的工作效率为每小时，分别计算两部分工作量之和等于总工作的，然后列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：∵一个人的工作效率为， ∴先由人整理小时完成的工作量为，再由人整理小时完成的工作量为，总完成量为， ∴列方程为， 故选：． 解题贴士 多人分段题型：分几段干活就分段算工作量，全部相加等于完成的总量。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）甲乙两位诗人相约共填《蝶恋花》词集．甲才思舒缓，每日可填两阙；乙文思敏捷，每日可填三阙．若单独完成这部词集，甲比乙要多用20天． (1)求《蝶恋花》词集共有多少阙． (2)为早日成编，二人先合作数日，后甲因事搁笔，乙则灵感渐涌，将每日填词速度提高三分之一，独自完成余稿．已知乙参与填词的总天数恰好是甲参与总天数的2倍还多3天，求乙参与填词的总天数． 【答案】(1)120 (2)27 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设《蝶恋花》词集共有阙，根据单独完成这部词集，甲比乙要多用20天，列出方程进行求解即可； （2）设甲参与填词的总天数为天，根据甲乙合作完成的部分加上乙独自完成的部分之和等于总量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设《蝶恋花》词集共有阙，由题意，得： ， 解得； 答：《蝶恋花》词集共有120阙； （2）解：设甲参与填词的总天数为天，则乙参与填词的总天数为天，由题意，得： ， 解得， ∴； 答：乙参与填词的总天数为27天． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想参与，已知甲工厂每天能加工这种校服件，而乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂多． (1)求乙工厂每天加工这种校服多少件． (2)若甲工厂单独加工这批校服比乙工厂单独加工多用天，求这批校服共有多少件． (3)在（）的条件下，甲、乙两厂按原生产速度先合作一段时间，然后甲工厂停工，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分．已知乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的倍少天，若在加工过程中，甲工厂每天需费用元，乙工厂每天需费用元，学校共支付甲、乙两工厂元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件． 【答案】(1)件 (2)件 (3)件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． ()已知乙的效率比甲多，即乙的效率=甲的效率，直接代入甲的效率件天计算即可 ()设这批校服共有件，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； ()首先设甲工厂全部工作时间是y天，则乙工厂的全部工作时间是天，根据题意，列方程并求解，即可确定甲工厂全部工作时间；再设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件，列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，(件)， 答：乙工厂每天加工这种校服件． （2）解：设这批校服共有件， 根据题意，可得， 解得， 答：这批校服共有件； （3）解：设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，可得， 解得， ∴甲工厂全部工作时间是天； 设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件， 根据题意，可得， 解得 答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件． 题型 几何问题 ▌例6 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点G是正方形的边上的点，分别以和为边向正方形内作正方形和．若，阴影部分的周长为16，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正方形的面积公式，利用方程思想求出正方形的边长是解题的关键． 设，则，根据“阴影部分的周长为16”列出方程，求出的值，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积即可求解． 【详解】解：设， 则， ∵阴影部分的周长为16， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：B． 解题贴士 1.不规则图形周长：逐段罗列所有轮廓边长再求和，不要盲目平移，避免忽略凹进去的短线； 2.不规则阴影面积通用方法：整体减空白（大图形面积减去内部空白小图形面积），计算最简单； 3正方形边长相等，看到多个嵌套正方形，优先设最小正方形边长为x，用x表达所有线段。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，一个“四节登山杖”由手柄、杖身和脚垫三部分构成，全部拉伸总长．已知手柄和脚垫的长度之和，相邻杖身互相嵌套（嵌套部分长度不计），四节杖身中：第二节比第一节短，第三节长度是第一节的倍，第四节长度是，则第一节杖身的长度是______． 【答案】30 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设第一节杖身的长度为，根据全部拉伸总长，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设第一节杖身的长度为，则第二节杖身的长度为，第三节杖身的长度为，根据题意得： ， 解得：， 即第一节杖身的长度是， 故答案为：30． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 题型 行程、问题 ▌例7 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知甲、乙两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1)后甲，乙两船相距 (2)水流的速度为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者4小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据题意得， 得， 答：水流的速度为 解题贴士 1.牢记速度关系：顺水加水流，逆水减水流； 2.反向行驶相距距离 = 两者路程和，同向追及距离 = 路程差； 3.往返同一段水路，顺水路程=逆水路程，以此列方程是固定等量关系。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）A，B两地相距260千米．甲，乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发1小时，乙车出发2小时后与甲车相遇．已知甲车每小时行驶千米，乙车每小时比甲车多行5千米．请根据下面示意图中的等量关系列方程，并求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度是50千米/小时，乙车的速度是55千米/小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据甲车每小时行驶千米，乙车每小时比甲车多行5千米，两地相距260千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解： 解得， 所以 答：甲车的速度是50千米/小时，乙车的速度是55千米/小时． ▌对点练7-2 （25-26八年级上·浙江金华·期末），两地相距180米，甲从地出发前往地，速度为；乙从地出发前往地，速度为，他们同时出发，到达终点后各自停止． (1)求甲、乙第一次相遇的时间． (2)出发后经过多少时间，甲、乙两人相距？ (3)若他们到达各自终点后折返，求甲、乙第二次相遇的时间，以及相遇位置离地的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)时第二次相遇，此时距离的距离为 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意得， ， 答：的时候第一次相遇． （2）解：当相遇前相距时， ， 解得 当相遇后相距时 解得 答：或． （3）解：当时， 甲距离A点的位置表达式为 ， 乙距离A点的位置表达式为 ， ∵， ∴， 解得，不合题意， 当时， 甲距离A点的位置表达式为 乙距离A点的位置表达式为 ， 此时， 即第二次相遇在A点，距离A的距离为0 答：时第二次相遇，此时距离A的距离为． 题型 动点问题 ▌例8 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上两点表示的数分别为和．点从处出发沿数轴正方向以每秒2个单位长度匀速运动；点从处出发沿数轴正方向以每秒1个单位长度匀速运动．设运动时间为．请回答以下问题： (1)当重合时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1或9 【分析】本题考查了数轴上两点距离，列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据题意分别表示出点表示的数，根据题意列出一元一次方程解方程，即可求解； （2）根据，分情况讨论，得出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵动点表示的数为，动点表示的数为， ∴当点和点重合时，， ∴； （2）∵， ∴或， 解得或， ∴运动时间为1或9秒时，． 解题贴士 1.动点表示数公式：起点+速度×时间（向右加，向左减）； 2.两点距离：|点1-点2|，带绝对值必然分两种情况； 3.重合条件：两个动点代数式直接相等，解方程即可； 4.同向追击类：速度快在后、速度慢在前，时间求追上时，本质就是两点数值相等。 ▌对点练8-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在数轴上点A，点B所对应的数分别为a，b． (1)填空： ， ． (2)点P从点A以2个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B以1个单位/秒的速度向左运动． ①若运动时间为1秒，求P，Q两点间的距离． ②若，求点P的运动时间． 【答案】(1)，3 (2)①2；②点P的运动时间为秒或秒． 【分析】此题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据点A，点B在数轴上的位置解答即可； （2）①根据数轴上两点间距离进行解答即可； ②根据题意得，当运动时间为t秒时，点P对应的数为，点Q对应的数为，根据题意正确列出代数式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点A对应的数是，点B对应的数是3， ∴，， 故答案为：，3； （2）解：①当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ，Q两点之间的距离为； ②根据题意得：当运动时间为t秒时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∵， ∴， 即或， 解得或， ∴点P的运动时间为秒或秒． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，数轴上有两个点A，B，点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，且满足． (1) ______； ______． (2)若点C从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向左运动，点D从点A出发沿数轴向右运动，经过5秒后，原点O恰好是线段的中点，求点D的速度； (3)我们规定：在数轴上，当两点都位于原点同侧且距离为2时，则称这两个点为“最美距离”．若P，Q是数轴上的两个动点，点P从原点出发沿着数轴以每秒5个单位的速度向点A运动，到达A点后掉头向B运动，到达B点后再掉头向A运动，如此在点A与点B之间往返运动，而点Q从原点出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向点B运动，当Q到达B点后停止运动，P也随之停止．求经过多少秒，P，Q两点位于“最美距离”？ 【答案】(1)；15 (2)点D的速度为1单位/秒 (3)经过秒、秒、8 秒、秒时，P、Q两点位于“最美距离” 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据绝对值与平方数的非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此可求出a、b的值； （2）先根据点C的运动速度和时间求出点C运动后的位置，再结合原点O是线段CD的中点，求出点D运动后的位置，最后根据点D的运动时间求出其速度； （3）根据题目已知条件分阶段列方程求解． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，； 故答案为：；15； （2）解：设点D的速度为v单位/秒， 5秒后，点C的位置：， 5秒后，点D的位置：， 原点O是的中点， 故， 解得， 所以，点D的速度为1单位/秒； （3）解：Q的运动时间最长为秒， 又两点都位于原点同侧且距离为2时，则称这两个点为“最美距离” 当时，， 解得或； 当时，， 解得：秒或秒， 故经过秒、秒、8 秒、秒时，P、Q两点位于“最美距离”． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江金华·期末）某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意可知：桶身的数量桶底的数量，然后列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）一项任务，由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程，由题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲一共工作了天，乙一共工作了天，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲一共工作了天，乙一共工作了天， 故可列方程 故选：B 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一艘轮船在某河流中往返航行于，两码头之间，该船顺流航行全程需小时，逆流航行全程需小时．已知水流速度为每小时千米，求，两码头间的距离．若设，两码头间距离为千米，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的等量关系． 设，两码头间距离为千米，可得：顺流速度为千米/小时，逆流速度为千米/小时，则静水船速=；静水船速=，因为静水船速是固定不变的，即可列出方程． 【详解】解：设，两码头间距离为千米，则由题意得，， 故选：D． 4．（2026·浙江杭州·一模）八（1）班38位学生去游湖，一共租了8只船，每只大船乘坐6人，每只小船乘坐4人，刚好坐满．问大小船各租几只？设租了只大船，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设租了只大船，则租了只小船，根据“每只大船乘坐6人，每只小船乘坐4人，刚好坐满”，即可列出一元一次方程． 【详解】解：设租了只大船，则租了只小船， 由题意可得：． 5．（2026九年级·浙江绍兴·学业考试）今年五一长假期间，某博物馆门票的收费标准如下： 门票类别 成人票 儿童票 团体票（限5张及以上） 价格（元/人） 100 40 60 小明和小鹏两个家庭分别去该博物馆参观，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果小明家比小鹏家少花40元．则小明家购门票共花了（　　） A．200元 B．240元 C．260元 D．300元 【答案】C 【分析】根据题意，分情况讨论：若小明家的购票方案为5人团购，则小鹏家花费340元，据此组合验证是否能凑成整数张成人票和儿童票；若小明家的购票方案是成人票和儿童票分开购买，则可根据题意设未知数，列方程求解并验证． 【详解】解：若花费较少的一家（小明家）是（元），则花费较多的一家（小鹏家）为340元，经检验可知，成人和儿童共5张票无法组合成340元． 设花费较多的一家（小鹏家）是（元），则花费较少的一家（小明家）花了（元）， 设小明家有成人x人，儿童人，则， 解得，（人）， 符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查一元一次方程应用，理清题意，找准等量关系，正确列出方程是解题关键． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）某商品进价是每件80元，标价是每件125元，现商店打折后出售，仍可获得的毛利率（毛利率），设该商店对该商品打折，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据毛利率定义，售价减进价等于售价乘以毛利率． 打x折，售价为标价乘以． 【详解】解：∵毛利率(售价进价)/售价， ∴售价进价售价， 又∵售价， ∴， 故选B． 7．（2026·浙江温州·三模）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么恰好空出一间房．设共有客人x人，根据题意可列出的方程是（     ） A． B． C．7x+7＝9（x﹣1） D．7x﹣7＝9（x+1） 【答案】A 【分析】利用房间总数不变的等量关系，用客人总数表示出两种住宿情况对应的房间数即可列出方程． 【详解】解：设共有客人人，两种情况下房间总数不变． ∵ 每间房住7人时，有7人无房可住， ∴此住满房间的人数为，可得房间总数为， ∵每间房住9人时，空出1间房， ∴实际使用房间数为，原房间总数比实际使用房间数多1，可得房间总数为． ∵ 房间总数不变， ∴． 8．（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总质量求出蛋白质和矿物质的质量和，再结合两者的数量关系整理得到方程即可． 【详解】解：营养快餐总质量为，其中脂肪质量为，碳水化合物质量为， 蛋白质与矿物质的总质量为， 又蛋白质的质量比矿物质质量的倍多，矿物质质量为， 蛋白质质量为， 因此可得方程：． 9．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）根据浙BA城市争霸赛赛制，球队胜场与负场均予以计分，在各参赛球队完成的17场循环赛中，部分球队的积分数据如下： 球队 比赛场次 胜场数 负场数 积分 台州队 17 11 6 28 杭州队 17 16 1 33 温州队 17 17 0 34 某球队完成17场比赛后积26分，则其胜场数为（   ）场． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． 根据已知球队的积分数据，推导出胜一场得2分、负一场得1分，再设未知球队胜场数为x，列方程求解 【详解】解：∵温州队17胜0负积34分，杭州队16胜1负积33分， 球队胜一场积分，负一场积分， 设某球队胜x场，则负场， 由题意得，， 解得：， 故胜场数为9场， 故选：C． 10．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）某品牌空调按单价元出售，毛利率为（售价×毛利率=售价-进价）．现商家让利销售，使毛利率降为，则售价应调整为（） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确列出方程是解题的关键．首先根据原售价和毛利率求出进价，然后根据新毛利率和进价求新售价即可求解． 【详解】解：设进价为C元， 由题意可得：， ， 解得：， 设新售价为元， 新毛利率， ， ， ， ， 元， 售价应调整为元， 故选：C． 11．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上有，，，四个整数点（即各点均表示整数），且若，两点所表示的数分别是和，则点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，比较线段的长短．灵活运用线段的和，差，倍，分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 根据，两点在数轴上所表示的数，求得的长度，然后根据，求得的长度，从而得出点所表示的数． 【详解】解：， ， ∵， ， ， ， 点表示的数为． 故选B． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某潮玩店清仓热门动漫IP盲盒手办，推出两种促销方案：①直接按定价7折出售（无任何额外优惠），此时卖出每个盲盒会亏损元；②先按定价的9折结算，再叠加平台“满元减元”的优惠（9折后的金额满足“满就减”条件），此时卖出每个盲盒会盈利元．若设定价为x元，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程，熟读题意找到等量关系是解题的关键．根据题意，两种促销方案下盲盒的成本价相等，据此列出方程． 【详解】解：设定价为元， 方案①中，7折出售价为元，亏损40元， ∴成本价； 方案②中，9折出售价为元，叠加满100减10后实际售价为元，盈利50元， ∴成本价； ∵两种方案下成本价相同， ∴ 故选B． 13．（2026·浙江台州·二模）“九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】D 【详解】解：由两条对角线上的数字之和相等，可得， ∴. 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是数轴上的两点，点表示，点表示10．若动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动，它们的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒．设，的运动时间为，则当它们相遇时，___________秒． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，根据路程、速度和时间的关系，结合所走的路程来建立方程求解． 【详解】解：动点，的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒， 当它们相遇时，，运动的路程分别为和， 点表示，点表示10， 之间的距离为， 动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动， 比多走的路程就是， ， 解得． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）一支舰艇护航编队匀速前往距离海里的海上平台（以下简称“平台”），编队出发小时后，平台派出一艘补给船进行一次海上补给任务，编队和补给船在同一航线上相向而行．已知补给船以最高速度匀速前行，是编队现行速度的倍，小时后相遇． (1)求护航编队的速度； (2)护航编队始终保持原有速度匀速航行，相遇后，补给船立即调头随编队同向而行（调头时间忽略不计），同时开展补给任务，时间持续小时，补给完成时该船还剩余燃料单位．随后，补给船可选择加入编队一同前往平台，也可选择以最高速度单独返回．已知补给船的燃料消耗速度为单位/小时（为补给船的速度，单位：海里/小时）． ①若补给船选择单独返回平台，则其回到平台时剩余燃料为 单位； ②若补给船选择加入编队同行小时后，再以最高速度返回平台，到达平台时燃料刚好用完，求的值． 【答案】(1)护航编队的速度为海里/小时 (2)①；②的值为 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是找到恰当的相等关系列方程； （1）根据相遇时两船的路程和是列方程求解即可； （2）①根据剩余燃料等于原燃料减消耗的燃料即可求得； ②根据剩余燃料等于原燃料减消耗的燃料列方程即可求得． 【详解】（1）解：设护航编队的速度为海里/小时 答：护航编队的速度为海里/小时． （2）①解：∵， ∴， ∴回到平台时剩余燃料为单位， 故答案为：； ②解： 答：的值为． 16．（25-26七年级上·浙江台州·期末）【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 电度电价（元/度） 第一档 年用电2760度及以下部分 a 第二档 年用电度部分 第三档 年用电4801度及以上部分 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量，用电量不足1度的部分顺延至下个月结算． 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 5 6 7 8 用电量（度） 2300 240 300 600 700 【问题解决】 (1)若该用户5月份所用电费为132元，求a的值； (2)求该用户6月份缴纳的电费； (3)若该用户9月份所用电费为447元，求9月份的用电量． 【答案】(1) (2)元 (3)度 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，审清题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． （1）根据该用户5月份的用电量，按第一档缴费，计算即可求解； （2）根据该用户6月份的用电量，按第一、二档缴费，计算即可求解； （3）根据所交电费，易得9月底年用电量超过4800度，按第二、三档缴费，设9月份第三档的用电量为x度，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： 则a的值； （2）解：截至5月底累计用电量：（度）， 6月份用电量中，属于第一档的部分为：（度）， 属于第二档的部分为：（度）， （元）， 则该用户6月份缴纳的电费元； （3）前8个月总用电量：（度）， 若9月份电价均为第二档，则需缴纳的电费最高是元，所以9月底年用电量超过4800度， 即9月份用电量跨越第二、三档，其中，属于第二档的电费为：（元）， 设9月份第三档的用电量为x度， 根据题意，得， 解得：， 9月份用电量：（度）， 答：9月份用电量为度． 17．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】(1)①；②个 (2)13个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）①根据裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完可得，且长方形和正方形的纸板比为，即可求解． ②将代入，结合长方形和正方形的纸板比为，列出一元一次方程，即可求解． （2）方法一：由（1）可知13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，再按照题意可得可以再做一个纸盒，即可求解； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张，根据（1）②的方法列出方程，可得，则长方形有40张，正方形27张，即可求解． 【详解】（1）解：①依题意，． ②当时， 由题可列方程：， 解得：，即图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板． 此时最多可以做图3的无盖纸盒：（个）． （2）解：方法一：由（1）可知，13张纸板恰好可以做出最多6个纸盒，则26张纸板可以恰好做12个纸盒，还剩3张纸板，此时2张纸板按图1方法裁剪，1张纸板按图2方法裁剪，得4张长方形和3张正方形，可以再做一个纸盒，共最多做出13个纸盒； 方法二：不妨设按方案①裁剪张，则按方案②裁剪张， 由题可列方程：， 解之得：，为了保证最多，则按图1方法共20张，按图2方法共9张， 此时长方形有40张，正方形27张， 可以做：；即最多可以做13个纸盒． 18．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在数轴上有两个正方形和，点为原点，点、、、表示的数分别为，，4，14．正方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时正方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的正方形分别记为正方形与正方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个正方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①当达到最大值时，求持续的时间为几秒； ②当时，请直接写出点所表示的数． 【答案】(1)； (2)1或3； (3)①秒；②3或9． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）利用点到点的距离公式，列出方程即可解答； （3）①当正方形在正方形内部时，达到最大值，根据运动过程计算出持续时间即可； ②分两种情况，即点在线段上，点在线段上，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：点表示的数为：，点表示的数为：， 故答案为：；； （2）解：， ， 解得：或， 的值为1或3； （3）解：①由题意得：当正方形完全落在正方形内时， 重叠部分的面积最大， 秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点重合时：， 解得：， 秒后，点表示的数为，点表示的数为， 点与点重合时：， 解得， （秒）， 持续的时间为秒； ②根据题意可得正方形的边长为， 当点在线段上， 重叠面积为， ， ， 解得， 表示的数为， 当点在线段上， 重叠面积为时， ， ， 解得， 表示的数为， 故点表示的数为3或9． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）定义一种新运算“平衡数”，对于一个三位正整数（其中，，分别为百位，十位，个位数字，且），规定它的平衡数为：．例如：，则． 请根据以上定义，解决以下问题： (1)求的值； (2)已知一个三位数（其中是十位上的数字，且），若，求的值； (3)若三位数（其中是十位上的数字，且），满足的十位数字等于的个位数字，求所有可能的取值． 【答案】(1)1232 (2) (3)或2 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的应用，有理数的乘方及加法，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据平衡数的定义列式计算即可； （2）根据平衡数的定义列出方程求解即可； （3）先根据平衡数的定义求出，再分别取，逐一判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：，， 根据题意，， 解得； （3）解：， ∴， ∵的十位数字等于的个位数字， 当时，，则，符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 综上，所有可能的取值为或． 20．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，已知数轴上点B所表示的数为10，点A是数轴上在点B左侧的一点，且A，B两点的距离为14． 动点P从点B出发沿射线运动． (1)数轴上点A所表示的数为 ． (2)若点P运动到与点A、点B的距离相等，那么点P所对应的数是 ． (3)如图2，当点P运动到点A时，线段绕点O以秒的速度顺时针旋转一周，当线段开始旋转时，动点Q也同时从点B出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，试探究：在线段旋转过程中，点Q与点P能相遇吗？若不能，试改变点Q的运动速度，使点Q与点P能够相遇，并求出点Q的速度． 【答案】(1) (2)3 (3)不能相遇，理由见解析；或单位长度/秒 【分析】此题考查数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，动点与一元一次方程，正确理解点的运动及表示点运动前后的数是解题的关键． （1）根据A，B两点的距离为14求解即可； （2）先求出点P到点A、点B的距离为，再求点P所对应的数即可； （3）先求出点转到数轴上的时间，再计算点的运动路程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点B所表示的数为10，点A是数轴上在点B左侧的一点，且A，B两点的距离为14， ∴数轴上点A所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵点P运动到与点A、点B的距离相等， ∴点P到点A、点B的距离为， ∴点P所对应的数是， 故答案为：3； （3）解：不会相遇． 当旋转时，此时点P运动到C点，点P的运动时间为（秒）， ∵， ∴， ∴点Q运动到C点，点Q的运动时间为（秒）， ∴点Q与点P不能相遇，当点Q的运动速度为（单位长度/秒）时，点Q与点P在点C相遇； 当旋转时，此时点P运动到A点，点P的运动时间为（秒）， ∵， ∴点Q运动到A点，点Q的运动时间为（秒）， ∴点Q与点P不能相遇，当点Q的运动速度为（单位长度/秒），点Q与点P在点A相遇， ∴当点Q的运动速度为或单位长度/秒时，P、Q能够相遇． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.5 一元一次方程的应用 课标要点 1.掌握列一元一次方程解应用题的通用步骤：审、设、列、解、验、答，规范完整书写解题过程。 2.熟练分析常见基础题型等量关系：和差倍分、行程问题、工程问题、销售利润、数字问题、几何图形周长面积问题。 3.能准确设直接未知数或间接未知数，梳理题目已知条件，挖掘显性、隐藏等量关系列出方程。 4.会检验方程的解是否符合实际题意，舍去不符合现实意义的解，体会方程解的实际限制。 5.建立方程建模思想，能用一元一次方程解决生活实际问题，提升文字信息提取与数学转化能力。 学习重难点 重点：1.列一元一次方程解应用题的完整流程与书写规范。 2.梳理各类经典应用题的等量关系，正确列出一元一次方程求解。 难点：1.复杂题干中挖掘隐藏等量关系，等量关系梳理混乱导致列式错误。 2.行程、工程、利润类综合题型，单位不统一、数量关系易混淆。 3.根据题意判断解是否符合实际，合理取舍结果，间接设未知数解题。 知识点 列方程解实际问题的一般步骤（重点） 1.审：读懂题意，找出已知量、未知量与等量关系 2.设：设未知数（直接设、间接设） 3.列：根据等量关系列出一元一次方程 4.解：解方程求出未知数 5.检：检验结果是否符合方程、符合实际意义 6.答：规范写出答案 易错提醒 求出解后必须检验，人数、长度、价格等量不能出现负数、不符合生活逻辑的小数。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）慈城年糕文化节期间，工作人员给研学小组的学生发纪念铜钱．若每人分10文，还余6文；若每人分12文，则缺6文．设该研学小组的学生有人，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）世界上最粗的树是“百骑大栗树”，它生长在地中海西西里岛的埃特纳火山的山坡上．据悉，它的树干大约需要40个身高的小学生伸开双臂才能围住，换成身高的成年人，大约需要多少个成年人伸开双臂才能围住？（人双臂展开的长度约等于人的身高） 知识点 常见基础题型等量关系 1.和差倍分问题：总量=各部分之和；倍数关系、多/少关系 2.行程问题：路程=速度×时间；相遇、追及、顺逆流 3.工程问题：工作总量=工作效率×工作时间，总量常设为1 4.销售利润问题：利润=售价−进价；利润率=利润÷进价 5.数字问题：多位数用数位代数式表示（如两位数10a+b） 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．甲先做2天后乙再加入，合作完成这项工程还需多少天？若设合作完成这项工程还需天，根据题意，得（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某商店销售一款无线耳机，按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率()，设一副该款耳机的进价为元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 知识点 配套、分配与积分计费问题 配套问题：利用物品配套比例列等式； 分段计费：分阶段计算费用，找准分界点。 特别提醒 一元一次方程应用是期末必考大题，常结合生活场景综合出题；等量关系寻找是解题关键难点。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位上的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产个螺钉或个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）七（1）班组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 17 3 79 D 16 4 72 (1)请你通过观察、分析，完成填空：参赛者答对1道题得 分，答错1道题扣 分． (2)参赛者E和F的得分之和是158分，且E比F多答对4题，请问两人各答对几题？ 题型 配套、分配问题 ▌例1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 解题贴士 配套问题核心等量：按配比倍数建立等式；本题1花心配6花瓣，因此花瓣数量=6×花心数量。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江温州·期末）综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 题型 销售盈亏问题 ▌例2 （25-26七年级上·浙江温州·期末）某户外用品店出售一款推车，按原价售出一辆可获利80元．现计划对库存的50辆推车进行清仓处理．请完成以下任务： 任务1：拟定促销计划 店铺准备采取分阶段促销策略：先以原价销售一部分，剩余推车每辆降价60元售完．若要求总利润为1720元，则原价售出的推车为多少辆？ 任务2：调整促销计划 为加快清仓，现同时推出两种促销方式，顾客购买推车时仅能选择一种： 方式一：按原价购买一辆推车可获赠一把成本为元（为正整数）的折叠椅． 方式二：每辆推车降价60元销售． 若50辆推车全部售出，且总利润恰好为1152元，求出的最大值． 解题贴士 销售利润基础公式：单件利润×销售量=分段利润之和；降价后单件利润直接用原利润减去降价金额。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江金华·期末）综合与实践 问题情境：春节即将来临，701班实践活动小组对一水果店某天甲、乙两种水果的购进和销售情况进行了调查分析． 信息获取： 信息一，该水果店用1400元购进甲、乙两种水果共180千克； 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 6 10 乙 10 16 问题解决： (1)若按售价销售甲、乙两种水果各20千克，可以获得多少利润？ (2)该水果店这一天购进甲、乙两种水果各多少千克？ (3)若该水果店按售价销售完甲种水果和部分乙种水果，剩余乙种水果按其售价的七五折出售，共获利800元，求按原售价售出乙种水果多少千克？ ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）某“新国标电动车”专卖店在“浙丽来消费”促销活动中推出以下方案：A类电动车九折优惠，B类一次性降价400元．年底在原促销基础上再增加以下优惠： 类型 A类 B类 新车原价 3000元～4000元（含3000元，不含4000元） 4000元及以上 减免 400元 500元 年底，小庆家与小龙家各自准备购置一辆新国标电动车，请完成下列问题： (1)若小庆家准备买原价为4100元的新国标电动车，求她的实付金额； (2)若小龙家用x元购买了一辆A类新国标电动车，求出这辆电动车的原价（用x的代数式表示）； (3)小庆和小龙各买了一辆新国标电动车．以下是小庆利用两人的购买信息与助手进行交流的部分内容： … 小庆（对助手）：“我买的是A类电动车，小龙买的是B类电动车．” 助手：“根据购车信息，你与小龙的电动车原价相差52元，但小龙的实付价反而比你少52元．” … 请根据以上信息，求出小庆和小龙的实付价分别是多少元． 题型 分段计费问题 ▌例3 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）某市居民年用天然气阶梯价格方案如下： 分类 年用气量（立方米） 到户价格（元/立方米） 第一阶梯 不超过250立方米的部分 第二阶梯 超过250立方米但不超过800立方米的部分 第三阶梯 超过800立方米的部分 (1)若小余家年用天然气立方米，则应缴纳天然气费__________元． (2)若小余家年缴纳天然气费元，求小余家年的用气量． (3)小姚家年和年共用天然气立方米，两年共缴纳天然气费元，且年的用气量比年多，求小姚家年和年的天然气用量各是多少立方米？ 解题贴士 1.先判断用量落在第几阶梯区间； 2.未超过第一阶梯上限：直接总量×第一阶梯单价； 3.超过阶梯分界时，分段计算每一段费用再相加。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）余姚市对已实施“一户一表”改造的住宅居民用水实行阶梯式计量水价，具体收费标准如下： 级别 每月每户用水量 水价 第一档 6吨及以下 元/吨 第二档 超过6吨但不超过18吨的部分 3元/吨 第三档 超过18吨但不超过30吨的部分 元/吨 第四档 超过30吨的部分 元/吨 (1)若小王家某月用水量为20吨，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小明家比小红家某月多用水10吨，结果多缴纳水费元，求小红家该月用水多少吨？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每月各档用水量基数分别增加2吨如某户有5口人，即该户第一档用水量为8吨及以下，第二档用水量为超过8吨但不超过20吨的部分，第三档用水量为超过20吨但不超过32吨的部分，第四档用水量为超过32吨的部分，小李家有6口人，若某月用水量为40吨，则审核通过后，小李家该月缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）【提出问题】 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况． 下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费． 收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95 第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0 第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85 【理解问题】 若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）． 【解决问题】 任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元? 任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费． 任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元? 题型 方案选择问题 ▌例4 （25-26七年级上·浙江台州·期末）某快递公司对跨城大件包裹寄件，有如下两种收费方案． 方案一： 计价规则 包裹重量不超过 超过但不超过的部分 超过的部分 单价 8元 6元 5元 方案二：若包裹重量超过时，运费按单价“6元”对包裹总重量计费． (1)若按“方案一”计费，当包裹的重量为时，则需支付运费___________元；当包裹的重量为时，则需支付运费___________元（用含的代数式表示）； (2)当包裹重量为多少时，两种方案的运费相同． 解题贴士 1.拆分区间，分别写出每种方案的费用算式/代数式； 2.找出两种方案都能使用的取值范围； 3.令两个费用式子相等，解方程求临界值； 4.验证解是否在有效区间，写出结论。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 题型 工程问题 ▌例5 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）启正中学的同学们要整理三十年校庆资料，为校庆活动做准备．已知这份资料由一个人单独整理需要80小时才能完成．现在计划先安排一些同学先整理2小时，之后再增加5名同学一起整理8小时，恰好完成这项工作的，若设先由人整理2小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 解题贴士 多人分段题型：分几段干活就分段算工作量，全部相加等于完成的总量。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）甲乙两位诗人相约共填《蝶恋花》词集．甲才思舒缓，每日可填两阙；乙文思敏捷，每日可填三阙．若单独完成这部词集，甲比乙要多用20天． (1)求《蝶恋花》词集共有多少阙． (2)为早日成编，二人先合作数日，后甲因事搁笔，乙则灵感渐涌，将每日填词速度提高三分之一，独自完成余稿．已知乙参与填词的总天数恰好是甲参与总天数的2倍还多3天，求乙参与填词的总天数． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想参与，已知甲工厂每天能加工这种校服件，而乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂多． (1)求乙工厂每天加工这种校服多少件． (2)若甲工厂单独加工这批校服比乙工厂单独加工多用天，求这批校服共有多少件． (3)在（）的条件下，甲、乙两厂按原生产速度先合作一段时间，然后甲工厂停工，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分．已知乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的倍少天，若在加工过程中，甲工厂每天需费用元，乙工厂每天需费用元，学校共支付甲、乙两工厂元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件． 题型 几何问题 ▌例6 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点G是正方形的边上的点，分别以和为边向正方形内作正方形和．若，阴影部分的周长为16，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 解题贴士 1.不规则图形周长：逐段罗列所有轮廓边长再求和，不要盲目平移，避免忽略凹进去的短线； 2.不规则阴影面积通用方法：整体减空白（大图形面积减去内部空白小图形面积），计算最简单； 3正方形边长相等，看到多个嵌套正方形，优先设最小正方形边长为x，用x表达所有线段。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，一个“四节登山杖”由手柄、杖身和脚垫三部分构成，全部拉伸总长．已知手柄和脚垫的长度之和，相邻杖身互相嵌套（嵌套部分长度不计），四节杖身中：第二节比第一节短，第三节长度是第一节的倍，第四节长度是，则第一节杖身的长度是______． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 题型 行程、问题 ▌例7 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知甲、乙两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)若甲、乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲船从A港口顺水航行到达B港口；从B港口返回A港口逆水而行，用了，求水流速度． 解题贴士 1.牢记速度关系：顺水加水流，逆水减水流； 2.反向行驶相距距离 = 两者路程和，同向追及距离 = 路程差； 3.往返同一段水路，顺水路程=逆水路程，以此列方程是固定等量关系。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）A，B两地相距260千米．甲，乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发1小时，乙车出发2小时后与甲车相遇．已知甲车每小时行驶千米，乙车每小时比甲车多行5千米．请根据下面示意图中的等量关系列方程，并求甲、乙两车的速度． ▌对点练7-2 （25-26八年级上·浙江金华·期末），两地相距180米，甲从地出发前往地，速度为；乙从地出发前往地，速度为，他们同时出发，到达终点后各自停止． (1)求甲、乙第一次相遇的时间． (2)出发后经过多少时间，甲、乙两人相距？ (3)若他们到达各自终点后折返，求甲、乙第二次相遇的时间，以及相遇位置离地的距离． 题型 动点问题 ▌例8 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上两点表示的数分别为和．点从处出发沿数轴正方向以每秒2个单位长度匀速运动；点从处出发沿数轴正方向以每秒1个单位长度匀速运动．设运动时间为．请回答以下问题： (1)当重合时，求的值； (2)若，求的值． 解题贴士 1.动点表示数公式：起点+速度×时间（向右加，向左减）； 2.两点距离：|点1-点2|，带绝对值必然分两种情况； 3.重合条件：两个动点代数式直接相等，解方程即可； 4.同向追击类：速度快在后、速度慢在前，时间求追上时，本质就是两点数值相等。 ▌对点练8-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在数轴上点A，点B所对应的数分别为a，b． (1)填空： ， ． (2)点P从点A以2个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B以1个单位/秒的速度向左运动． ①若运动时间为1秒，求P，Q两点间的距离． ②若，求点P的运动时间． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，数轴上有两个点A，B，点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，且满足． (1) ______； ______． (2)若点C从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向左运动，点D从点A出发沿数轴向右运动，经过5秒后，原点O恰好是线段的中点，求点D的速度； (3)我们规定：在数轴上，当两点都位于原点同侧且距离为2时，则称这两个点为“最美距离”．若P，Q是数轴上的两个动点，点P从原点出发沿着数轴以每秒5个单位的速度向点A运动，到达A点后掉头向B运动，到达B点后再掉头向A运动，如此在点A与点B之间往返运动，而点Q从原点出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向点B运动，当Q到达B点后停止运动，P也随之停止．求经过多少秒，P，Q两点位于“最美距离”？ 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江金华·期末）某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）一项任务，由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一艘轮船在某河流中往返航行于，两码头之间，该船顺流航行全程需小时，逆流航行全程需小时．已知水流速度为每小时千米，求，两码头间的距离．若设，两码头间距离为千米，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江杭州·一模）八（1）班38位学生去游湖，一共租了8只船，每只大船乘坐6人，每只小船乘坐4人，刚好坐满．问大小船各租几只？设租了只大船，列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026九年级·浙江绍兴·学业考试）今年五一长假期间，某博物馆门票的收费标准如下： 门票类别 成人票 儿童票 团体票（限5张及以上） 价格（元/人） 100 40 60 小明和小鹏两个家庭分别去该博物馆参观，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果小明家比小鹏家少花40元．则小明家购门票共花了（　　） A．200元 B．240元 C．260元 D．300元 6．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）某商品进价是每件80元，标价是每件125元，现商店打折后出售，仍可获得的毛利率（毛利率），设该商店对该商品打折，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江温州·三模）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么恰好空出一间房．设共有客人x人，根据题意可列出的方程是（     ） A． B． C．7x+7＝9（x﹣1） D．7x﹣7＝9（x+1） 8．（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）根据浙BA城市争霸赛赛制，球队胜场与负场均予以计分，在各参赛球队完成的17场循环赛中，部分球队的积分数据如下： 球队 比赛场次 胜场数 负场数 积分 台州队 17 11 6 28 杭州队 17 16 1 33 温州队 17 17 0 34 某球队完成17场比赛后积26分，则其胜场数为（   ）场． A．7 B．8 C．9 D．10 10．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）某品牌空调按单价元出售，毛利率为（售价×毛利率=售价-进价）．现商家让利销售，使毛利率降为，则售价应调整为（） A．元 B．元 C．元 D．元 11．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上有，，，四个整数点（即各点均表示整数），且若，两点所表示的数分别是和，则点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某潮玩店清仓热门动漫IP盲盒手办，推出两种促销方案：①直接按定价7折出售（无任何额外优惠），此时卖出每个盲盒会亏损元；②先按定价的9折结算，再叠加平台“满元减元”的优惠（9折后的金额满足“满就减”条件），此时卖出每个盲盒会盈利元．若设定价为x元，则（   ） A． B． C． D． 13．（2026·浙江台州·二模）“九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（     ） A． B． C． D．6 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是数轴上的两点，点表示，点表示10．若动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动，它们的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒．设，的运动时间为，则当它们相遇时，___________秒． 15．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）一支舰艇护航编队匀速前往距离海里的海上平台（以下简称“平台”），编队出发小时后，平台派出一艘补给船进行一次海上补给任务，编队和补给船在同一航线上相向而行．已知补给船以最高速度匀速前行，是编队现行速度的倍，小时后相遇． (1)求护航编队的速度； (2)护航编队始终保持原有速度匀速航行，相遇后，补给船立即调头随编队同向而行（调头时间忽略不计），同时开展补给任务，时间持续小时，补给完成时该船还剩余燃料单位．随后，补给船可选择加入编队一同前往平台，也可选择以最高速度单独返回．已知补给船的燃料消耗速度为单位/小时（为补给船的速度，单位：海里/小时）． ①若补给船选择单独返回平台，则其回到平台时剩余燃料为 单位； ②若补给船选择加入编队同行小时后，再以最高速度返回平台，到达平台时燃料刚好用完，求的值． 16．（25-26七年级上·浙江台州·期末）【素材一】某市居民生活用电价格表如下： 档次 年用电量 电度电价（元/度） 第一档 年用电2760度及以下部分 a 第二档 年用电度部分 第三档 年用电4801度及以上部分 注：某用户年用电量指自当年1月开始，该用户本年逐月累计用电量，用电量不足1度的部分顺延至下个月结算． 【素材二】该市某用户2025年部分月份的用电情况统计如下： 月份（月） 5 6 7 8 用电量（度） 2300 240 300 600 700 【问题解决】 (1)若该用户5月份所用电费为132元，求a的值； (2)求该用户6月份缴纳的电费； (3)若该用户9月份所用电费为447元，求9月份的用电量． 17．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共张．设按图1方法裁剪用了张长方形纸板，剩余的张纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表：      裁剪方法 纸板数量 （张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，请分别写出与与之间的数量关系． ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题． (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 18．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在数轴上有两个正方形和，点为原点，点、、、表示的数分别为，，4，14．正方形以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时正方形以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的正方形分别记为正方形与正方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个正方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①当达到最大值时，求持续的时间为几秒； ②当时，请直接写出点所表示的数． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）定义一种新运算“平衡数”，对于一个三位正整数（其中，，分别为百位，十位，个位数字，且），规定它的平衡数为：．例如：，则． 请根据以上定义，解决以下问题： (1)求的值； (2)已知一个三位数（其中是十位上的数字，且），若，求的值； (3)若三位数（其中是十位上的数字，且），满足的十位数字等于的个位数字，求所有可能的取值． 20．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，已知数轴上点B所表示的数为10，点A是数轴上在点B左侧的一点，且A，B两点的距离为14． 动点P从点B出发沿射线运动． (1)数轴上点A所表示的数为 ． (2)若点P运动到与点A、点B的距离相等，那么点P所对应的数是 ． (3)如图2，当点P运动到点A时，线段绕点O以秒的速度顺时针旋转一周，当线段开始旋转时，动点Q也同时从点B出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，试探究：在线段旋转过程中，点Q与点P能相遇吗？若不能，试改变点Q的运动速度，使点Q与点P能够相遇，并求出点Q的速度． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $