1.1从自然数到有理数（讲义，4个知识点7大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦有理数核心知识，从自然数计数、测量等四类应用场景出发，通过分蛋糕等情境感知数系扩充需求，理解相反意义的量，掌握正负数表示方法，明确有理数定义与两种分类，构建从自然数到有理数的完整学习支架。 该资料以真实生活素材（如车票、温度）培养数学眼光，通过“易错提醒”“解题贴士”发展数学思维，随学随练和题型分类强化数学语言表达。课中助力情境教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第一章 有理数 1.1 从自然数到有理数 课标要点 1.结合教材中车票、里程、计分、商品标价等真实生活素材，辨析自然数计数、测量、排序、标号四类应用场景，能举例说明自然数的不同功能。 2.依托教材中分蛋糕、测量长度等情境，感知自然数、分数无法刻画相反意义的量，体会数系扩充到负数的现实需求，梳理数的发展脉络。 3.理解“相反意义的量”定义，掌握教材规定的正、负数表示方法，能规范用正负表示温度、海拔、盈亏、升降等教材典型实例。 4. 理解有理数定义，依据教材两种分类标准对有理数分类，厘清正整数、0、负整数、正分数、负分数的从属关系，明确0不属于正数、负数。 5. 能借助正负数列式解决教材配套行程、收支、水位变化类实际问题，建立文字情境到有理数符号的转化思维。 学习重难点 重点：1.区分自然数计数、测量、排序、标号四种用途。 2.用正负数规范表示具有相反意义的量。 3.有理数的概念，按照两种标准对有理数分类。 难点：1.理解引入负数的实际意义，建立数系扩充的逻辑认知。 2.准确把握 0 的双重属性（整数、非正非负）。 3.复杂文字情境中精准提取相反意义的量，转化为有理数进行表达。 知识点 相反意义的量（重点） 1.定义：成对出现、意义完全相反，且都带有具体数量的两组量。 2.教材典型实例：上升与下降、收入与支出、零上与零下、向东与向西、盈利与亏损。 易错提醒 单独一个词语（如“升高”）不能称为相反意义的量，必须成对出现且附带具体数值。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江·期中）下列具有相反意义的量的是（   ） A．运进20吨和卖出15吨 B．上升3米和下降5米 C．气温上升和湿度降低 D．盈利13万元和支出8000元 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反意义的量，判断是否具有相反意义的量，需满足两个条件：一是同一种类量，二是变化方向相反；据此逐项判断即可求解. 【详解】∵ 相反意义的量要求同种量且方向相反. 选项A：运进和卖出虽均涉及货物，但运进对应运出，卖出对应买入，不是直接相反动作，故不具备相反意义. 选项B：上升和下降都是高度变化，方向相反，具备相反意义. 选项C：气温和湿度是不同物理量，且湿度单位不应为“”，故不具备相反意义. 选项D：盈利是净利润，支出是费用，不是同一财务概念，方向不相反，故不具备相反意义. 故选：B. 2．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）下列不具有相反意义的量是（    ） A．前进9米和后退9米 B．气温上升5℃和气温下降5℃ C．向东走10米和向西走10米 D．盈利30元和支出30元 【答案】D 【分析】本题考查相反意义的量的概念，判断相反意义的量需要满足同一属性、意义相反两个条件，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵选项A中，前进与后退意义相反，均描述行走路程，是具有相反意义的量，不符合要求； 选项B中，上升与下降意义相反，均描述气温变化，是具有相反意义的量，不符合要求； 选项C中，向东与向西意义相反，均描述行走路程，是具有相反意义的量，不符合要求； 选项D中，盈利的相反意义是亏损，收入的相反意义是支出，盈利和支出不属于相反意义的量，符合要求． 知识点 正数与负数（重点） 1.正数：大于0的数，数字前的“+”号通常省略。 2.负数：在正数前添加符号“-”，负号不能省略。 3.0的属性：0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。特别提醒 0不只是代表“没有”，还可作为计量基准：0℃、海平面0米、标准参照量。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，0的意义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据有理数的定义判断甲和乙的说法是否正确． 【详解】解：∵负数是指小于0的数， ∴甲的说法正确； ∵0既不是正数也不是负数， ∴乙的说法正确． ∴甲、乙均对， 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中：，，，，， 负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查负数的判断，熟记负数定义是解决问题的关键． 通过判断每个数的正负性，找出所有负数即可得到答案． 【详解】解：，，，，中负数有，共2个， 故选：B． 知识点 有理数的概念与两种分类（重点、难点） 1.定义：整数和分数统称为有理数。 2.分类一：按正负性质划分 分类二：按整数、分数划分 易错提醒 有限小数、无限循环小数都能转化为分数，属于有理数；无限不循环小数（如π）不能化为分数，不属于有理数。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称（包括有限小数、无限循环小数）是解题的关键．根据有理数的定义（整数和分数统称有理数，包括有限小数、无限循环小数），逐一判断这8个数是否为有理数． 【详解】解：：分数，是有理数； ：整数，是有理数； ：分数，是有理数； （每两个2之间依次多一个6）：无限不循环小数，不是有理数； ：有限小数，是有理数； ：整数，是有理数； ：无限不循环小数，不是有理数； ：无限循环小数，是有理数． 有理数有，共6个． 故答案为：6． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）把下列各数相应的序号填入相应的横线内： ；；；；；；；；；． 整数集合： ；分数集合： ； 非负数集合： ；负有理数集合： ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解决本题的关键是有理数的分类情况，按照整数、分数、非负数、负有理数分类即可． 【详解】解：整数有：；；；； 整数集合：； 分数有：；；；；；； 分数集合：； 非负数有：；；；；；； 非负数集合：； 负有理数有：；；；； 负有理数集合：． 知识点 利用正负数表示实际问题中的量 1.解题步骤：①找出题目中一组相反意义的量；②人为规定其中一类为正；③另一类对应记作负数，写出对应数值。 2.教材常见应用场景：海拔高度、水位升降、收支盈亏、气温变化、行程方位。 教材延伸 计量基准不一定是0；示例：以50kg为标准体重，54kg 记作+4kg，则 46kg 记作-4kg。 随学随练 1．（2026·浙江丽水·模拟预测）我国是最早使用负数的国家，东汉初，我国古代著名的数学书《九章算术》就有记载．若把收入6元记为元，那么支出5元记为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若把收入6元记为元，那么支出5元记为元． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）汽车向北行驶，记作，那么可以表示汽车（    ） A．向北行驶 B．向南行驶 C．向东行驶 D．向西行驶 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际意义，利用正负数表示具有相反意义的量，先确定正方向对应的行驶方向，再判断负号对应的相反方向即可． 【详解】解：∵向北行驶记作， ∴规定向北为正方向，其相反方向向南为负方向， ∴表示汽车向南行驶， 故选：B． 题型 正负数的定义 ▌例1 （25-26七年级上·浙江·单元复习）在，，，，，，这些数中，正数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是掌握正数和负数的定义．根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是正数； 既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ∴正数有，，共个； 故选：C． 解题贴士 正数标准：数值大于0，0不是正数也不是负数，正数前面加负号为负数。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）有理数，5，0，，中，负数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了负数的定义，解题的关键是明确负数是小于0的数． 根据负数的定义，判断所给有理数中小于0的数的个数． 【详解】解：负数是小于0的数． 在有理数中： ，是负数；，不是负数；0既不是正数也不是负数； ，是负数；，是负数， 所以负数有，共3个． 故选：C． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江·单元复习）用表示的数是（    ） A．负数 B．正数 C．负数或正数 D．负数或正数或0 【答案】D 【分析】本题考查了正数、负数．利用正数、负数的意义来判断． 【详解】解：表示的数是正数、负数或0， 故选：D． 题型 相反意义的量 ▌例2 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列具有相反意义的量的是（   ） A．向南走4千米和向东走4千米 B．前进25米和后退30米 C．收入和支出 D．升高和零下 【答案】B 【分析】本题考查了具有相反意义的量．根据具有相反意义的量必须满足两个条件（①他们是同一属性的量；②他们的意义相反）进行判断． 【详解】解：A、向南和向北是意义相反的，故该选项不符合题意； B、前进和后退是意义相反的，故该选项符合题意； C、收入和支出概念相反，但无具体数值，故该选项不符合题意； D、升高与降低是意义相反的，升高和零下属性不同，故该选项不符合题意． 故选：B． 解题贴士 同类型、意义相反、带具体数值，三者缺一不可。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列具有相反意义的量的是（    ） A．前进米和后退米 B．零上℃和下降℃ C．收入元和亏损元 D．向南走千米和向东走千米 【答案】A 【分析】本题考查了具有相反意义的量，明确什么是相反意义的量是解题的关键； 具有相反意义的量必须满足两个条件：①同一属性的量；②意义相反，据此分析各选项即可． 【详解】解：A、前进和后退是相反方向的移动，且都是距离，符合条件，故此选项正确； B、零上℃是温度值，下降℃是温度变化量，属性不同，不符合条件，故此选项错误； C、收入与亏损不是直接相反的财务概念（收入与支出相反），不符合条件，故此选项错误； D、向南和向东是不同方向，但不相反，不符合条件，故此选项错误； 故选：A． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各项中具有相反意义的量的是（    ） A．盈利50元和超支80元 B．身高增加2cm和体重减少2kg C．得4分和失2分 D．前进5米和左移5米 【答案】C 【分析】本题考查相反意义的量的概念．相反意义的量必须针对同一类量，且意义相反． 选项C中的“得4分”和“失2分”都是关于分数的量，且“得”与“失”意义相反，因此符合要求．其他选项要么不是同一类量，要么意义不相反． 【详解】∵ 相反意义的量需满足：①同一类量；②意义相反． A项：盈利与超支不是严格相反（盈利与亏损相反，超支与节约相反），不符合． B项：身高与体重是不同类量（单位不同），不符合． C项：得与失都是分数量，意义相反，符合． D项：前进与左移是不同方向量（前进与后退相反，左移与右移相反），不符合． 故选：C． 题型 正负数的实际应用 ▌例3 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）月球表面的昼夜温差很大，规定温度零上为正，已知白天其表面温度高达零上，记为，则其夜晚温度低至零下可记为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，其夜晚温度低至零下可记为， 故选：D． 解题贴士 先看清题目规定的正负标准，相反意义直接对应正负符号，数字保持不变。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）一辆汽车在东西走向的道路上行驶，若向东行驶3公里记为公里，那么公里表示的实际意义是（　　） A．向西行驶3公里 B．向西行驶5公里 C．向东行驶5公里 D．向东行驶3公里 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际意义，解题的关键是理解“正”和“负”在题目中表示的相反意义的量． 根据题目中给出的“向东行驶记为正”的规则，判断负数对应的实际行驶方向． 【详解】解：题目中规定：向东行驶3公里记为公里，说明“正”对应“向东行驶”， 那么“负”就对应于向东相反的方向，向西行驶， 因此，公里表示的实际意义是向西行驶5公里． 故选：B． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约的水记为，那么浪费的水记为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若节约用水用“”表示，那么浪费用水就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果节约的水记为，那么浪费的水记为， 故答案为：． 题型 有理数的定义 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）在，，0，，314159，，（每相邻两个1之间依次多一个）中，有理数的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义． 根据有理数的定义（整数和分数，包括有限小数和无限循环小数）判断每个数是否为有理数即可． 【详解】解：有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数， 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 0是整数，是有理数； 含π，不是有理数； 314159是整数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，不是有理数； ∴有理数有5个． 故选：C． 解题贴士 整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数；含π、无限不循环小数不属于有理数，直接排除。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）下列各数：，，，0，，，其中有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查有理数的定义．有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数，据此求解即可． 【详解】解：，，0，，都是有理数，共有5个； 只有是无理数； 故选：D． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江金华·期中）在下列数中：0，，，，3.14，，0.3131131113…（每两个3之间依次多一个1），有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数一一判断即可． 【详解】解：在下列数中：0，，，，3.14，，0.3131131113…（每两个3之间依次多一个1），有理数为：0，，，3.14，一共4个， 故选：B． 题型 0的意义 ▌例5 （25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C 【详解】解：不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． 解题贴士 根据语境判断0的含义，“0+名词”大多表示“没有该事物”。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，0的意义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据有理数的定义判断甲和乙的说法是否正确． 【详解】解：∵负数是指小于0的数， ∴甲的说法正确； ∵0既不是正数也不是负数， ∴乙的说法正确． ∴甲、乙均对， 故选：C． 题型 有理数的分类 ▌例6 （26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ }； 负分数：{ }； 负有理数：{ }． 【答案】0，；，，；，，， 【详解】解：非正整数：{0，}； 负分数：{，，}； 负有理数：{，，，}． 解题贴士 非正整数：0和负整数；负分数：小于0的分数，有限/无限小数都属于分数； 负有理数：所有小于0的有理数，包含负整数、负分数。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）把下列各数填在相应的横线上： ，，，，，，，，， 整数： 分数： 负有理数： 【答案】整数：，，，，； 分数：，，，，； 负有理数：，，，，． 【分析】本题考查了有理数的分类，熟悉理解有理数的分类是解题的关键． 根据有理数的分类划分解答即可． 【详解】解：由题意可得： 整数：，，，，； 分数：，，，，； 负有理数：，，，，． ▌对点练6-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）判断表中各数分别是什么数，在相应的格子内画“√” 数 正数 正整数 正分数 负数 负整数 负分数 有理数 66 √ √ √ 0 【答案】 数 正数 正整数 正分数 负数 负整数 负分数 有理数 66 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 0 √ √ √ √ 【详解】略 题型 带“非”字的有理数 ▌例7 （26-27七年级·浙江·暑假作业）在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 【答案】2 【详解】解：在，，0，这四个有理数中， 非负数有：，0共2个． 解题贴士 “非负数”即不是负数，直接找大于等于0的数，0不要漏掉。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）已知下列各数：3.14，24，，，，，0，其中负分数有________个，非负数有________个． 【答案】 1 6 【分析】本题主要考查有理数的分类，根据有理数的分类标准解决此题． 【详解】解：负分数有，共1个；非负数有3.14，24，，，， 0，共6个． 故答案为：1，6． ▌对点练7-2 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥；则是非正整数__________． 【答案】①③ 【分析】本题考查有理数的分类，根据非正整数，包括0和负整数，进行判断即可． 【详解】解：①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥，中，是非正整数的是和0， 故答案为：①③． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如果盈利50元记作元，那么亏损40元记作（   ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反意义的量．根据盈利和亏损是相反意义的量，盈利记为正数，则亏损记为负数，即可求解． 【详解】解：∵盈利50元记作元， ∴亏损40元记作元． 故选B． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）有下列各数：，，，0，，，11，其中正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查正负数的定义．根据大于零的数是正数即可求解． 【详解】解：正数有，，11，共3个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类的知识，根据负数的定义和有理数的分类判断即可． 【详解】解：A、一个负数前面加上“﹣”号，这个数就是正数，原说法错误，故选项A不符合题意， B、非负数就是正数和0，故选项B错误，不符合题意， C、有理数包括正数、0和负数，故选项C错误，不符合题意， D、0既不是正数也不是负数，正确，故选项D符合题意， 故选：D． 4．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（   ） A．胜局与负局 B．盈利万元与支出万元 C．转盘逆时针转与顺时针转 D．气温升高与气温为 【答案】A 【分析】本题考查了正数与负数的意义，具有相反意义的量，根据具有相反意义的量逐一判断即可，掌握此知识点是解题的关键． 【详解】解：、胜局与负局，是具有相反意义的量，故本选项符合题意； 、盈利万元与支出万元，不具有相反意义，故本选项不符合题意； 、转盘逆时针转与顺时针转，不是具有相反意义的量 ，故本选项不符合题意； 、气温升高与气温为，不具有相反意义，故本选项不符合题意； 故选：． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中，是负数也是分数的是（    ） A．0 B． C． D．20.25 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，正数和负数，解题的关键是掌握有理数的定义，正数和负数的意义．根据负数和分数的定义，负数小于0，分数表示部分整体，分析各选项即可． 【详解】解：四个选项中只有是负分数，符合题意． 故选：B． 6．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入80元记作元，则元表示（   ） A．收入40元 B．收入60元 C．支出40元 D．支出60元 【答案】C 【分析】本题主要考查正数和负数的意义，理解负数和正数可以表示具有相反意义的量，是解题的关键．由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解． 【详解】解：若收入80元记作元，则元表示支出40元， 故选：C． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在年第十五届全国运动会跳水项目比赛中，广东队全红婵和王伟莹夺得女子团体双人米跳台冠军．若把跳水池水面记为，十米跳台记作，则泳池水深可记作____________． 【答案】 【分析】此题考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 根据题意将跳水泳池水面记为，十米跳台记为，则泳池水深可记作． 【详解】解：若将跳水泳池水面记为，十米跳台记为，则泳池水深可记作， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）在，，，，，这六个数中，分数有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，根据分数的定义即可得出答案，掌握分数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，，，，这六个数中，是分数的是：，，，共个， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）年月日，中国用一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，这里，自然数“”的作用是属于______．（填：计数、测量、排序或标号） 【答案】计数 【分析】本题考查了整数的认识，根据数学常识即可求解，正确理解整数是解题的关键． 【详解】解：自然数“”的作用是属于计数， 故答案为：计数． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数填在相应的横线上： 0，，，，，，，． 正分数：｛________｝；正整数：｛________｝；整数：｛________｝ 【答案】正分数：；正整数：；整数： 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的定义进行求解即可． 【详解】解：正分数：； 正整数：； 整数：． 素养提升 11．（25-26七年级上·浙江金华·期末）某规格金华火腿的质量标识为“千克”，则下列火腿中合格的是（   ） A．4.70千克 B．4.85千克 C．5.25千克 D．5.30千克 【答案】B 【分析】根据质量标识计算出合格质量的取值范围，再判断各选项是否在该范围内即可得出答案． 本题主要考查了具有相反意义的量，正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】解：∵质量标识为“千克”， ∴合格质量的最小值为（千克）， 最大值为（千克）， ∵，，，， ∴只有选项B的火腿质量在合格范围内； 故选：B． 12．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）把下列有理数填在相应的集合内：． 正有理数集合：{___________________}； 负有理数集合：{___________________}； 整数集合：{___________________}； 分数集合：{___________________}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，可分为正有理数、0、负有理数，也可分为整数和分数（小数）．按照数的类型，将数字填入空格即可． 【详解】解：正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：； 分数集合：． 13．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）将下列各数填入它所在的数集的圈里： 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类填空即可，熟记有理数的分类是解题关键．根据有理数分类判断，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 14．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，4.3，，0，，，，，2025，． 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 负有理数集合：{ }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，利用有理数的分类和定义解答． 【详解】解： 整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：； 负有理数集合：． 15．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【答案】(1)具有相反意义，得20分记为分，扣10分记为分 (2)具有相反意义，增加记为，减少记为 (3)具有相反意义，下去10名记为名，上来8名记为名 (4)无相反意义 【分析】根据正负数的意义，相反意义的量的特点，逐项进行判断即可． 【详解】（1）解：∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴它们是具有相反意义，得20分记为，扣10分记为． （2）解：∵蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴具有相反意义，增加记为，减少记为． （3）解：∵下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴具有相反意义．下去10名记为名，上来8名记为名； （4）解：∵周长是长度量，面积是面积量， ∴两者无相反方向含义，故无相反意义． 迁移创新 16．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以下是数学乐园中的“有理数家族”，请给该“有理数家族”分家吧． 【答案】分数：  ；正整数：；负整数： 【分析】本题考查有理数的分类，利用绝对值，相反数的定义化简，再根据分数，正整数，负整数的定义分类，进行作答即可． 【详解】解：， 分数：  ；正整数：；负整数：． 17．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）我国在数的发展上有辉煌的历史，其中算筹计数法可追溯到公元前五世纪．算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种(如图)．它计数的方法是∶摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如，表示为；如，表示为． (1)请用算筹表示数(在图中画出) (2)用三根算筹表示一个两位数(用完三根算筹)，在图的方框中画出四种满足要求的图形，并在下方的横线上填上所表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查算筹计数法的应用． （）根据算筹计数法计数的方法，确定数位与摆法，找到对应数字的算筹符号即可解答； （）根据算筹的横式/纵式摆法(个位为纵、十位为横、百位为纵.……纵横交替)；两位数的算筹组合逻辑(十位为横式、个位为纵式，需用完根算筹)； 【详解】（1）解：∵算筹计数法计数的方法是∶摆个位为纵，十位为横，百位为纵， ∴是三位数，数位从右到左依次为个位(纵式)、十位(横式)、百位(纵式)(纵横交替)， （2） 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 1.1 从自然数到有理数 课标要点 1.结合教材中车票、里程、计分、商品标价等真实生活素材，辨析自然数计数、测量、排序、标号四类应用场景，能举例说明自然数的不同功能。 2.依托教材中分蛋糕、测量长度等情境，感知自然数、分数无法刻画相反意义的量，体会数系扩充到负数的现实需求，梳理数的发展脉络。 3.理解“相反意义的量”定义，掌握教材规定的正、负数表示方法，能规范用正负表示温度、海拔、盈亏、升降等教材典型实例。 4. 理解有理数定义，依据教材两种分类标准对有理数分类，厘清正整数、0、负整数、正分数、负分数的从属关系，明确0不属于正数、负数。 5. 能借助正负数列式解决教材配套行程、收支、水位变化类实际问题，建立文字情境到有理数符号的转化思维。 学习重难点 重点：1.区分自然数计数、测量、排序、标号四种用途。 2.用正负数规范表示具有相反意义的量。 3.有理数的概念，按照两种标准对有理数分类。 难点：1.理解引入负数的实际意义，建立数系扩充的逻辑认知。 2.准确把握 0 的双重属性（整数、非正非负）。 3.复杂文字情境中精准提取相反意义的量，转化为有理数进行表达。 知识点 相反意义的量（重点） 1.定义：成对出现、意义完全相反，且都带有具体数量的两组量。 2.教材典型实例：上升与下降、收入与支出、零上与零下、向东与向西、盈利与亏损。 易错提醒 单独一个词语（如“升高”）不能称为相反意义的量，必须成对出现且附带具体数值。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江·期中）下列具有相反意义的量的是（   ） A．运进20吨和卖出15吨 B．上升3米和下降5米 C．气温上升和湿度降低 D．盈利13万元和支出8000元 2．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）下列不具有相反意义的量是（    ） A．前进9米和后退9米 B．气温上升5℃和气温下降5℃ C．向东走10米和向西走10米 D．盈利30元和支出30元 知识点 正数与负数（重点） 1.正数：大于0的数，数字前的“+”号通常省略。 2.负数：在正数前添加符号“-”，负号不能省略。 3.0的属性：0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。特别提醒 0不只是代表“没有”，还可作为计量基准：0℃、海平面0米、标准参照量。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中：，，，，， 负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点 有理数的概念与两种分类（重点、难点） 1.定义：整数和分数统称为有理数。 2.分类一：按正负性质划分 分类二：按整数、分数划分 易错提醒 有限小数、无限循环小数都能转化为分数，属于有理数；无限不循环小数（如π）不能化为分数，不属于有理数。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）把下列各数相应的序号填入相应的横线内： ；；；；；；；；；． 整数集合： ；分数集合： ； 非负数集合： ；负有理数集合： ． 知识点 利用正负数表示实际问题中的量 1.解题步骤：①找出题目中一组相反意义的量；②人为规定其中一类为正；③另一类对应记作负数，写出对应数值。 2.教材常见应用场景：海拔高度、水位升降、收支盈亏、气温变化、行程方位。 教材延伸 计量基准不一定是0；示例：以50kg为标准体重，54kg 记作+4kg，则 46kg 记作-4kg。 随学随练 1．（2026·浙江丽水·模拟预测）我国是最早使用负数的国家，东汉初，我国古代著名的数学书《九章算术》就有记载．若把收入6元记为元，那么支出5元记为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）汽车向北行驶，记作，那么可以表示汽车（    ） A．向北行驶 B．向南行驶 C．向东行驶 D．向西行驶 题型 正负数的定义 ▌例1 （25-26七年级上·浙江·单元复习）在，，，，，，这些数中，正数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 解题贴士 正数标准：数值大于0，0不是正数也不是负数，正数前面加负号为负数。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）有理数，5，0，，中，负数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江·单元复习）用表示的数是（    ） A．负数 B．正数 C．负数或正数 D．负数或正数或0 题型 相反意义的量 ▌例2 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列具有相反意义的量的是（   ） A．向南走4千米和向东走4千米 B．前进25米和后退30米 C．收入和支出 D．升高和零下 解题贴士 同类型、意义相反、带具体数值，三者缺一不可。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列具有相反意义的量的是（    ） A．前进米和后退米 B．零上℃和下降℃ C．收入元和亏损元 D．向南走千米和向东走千米 ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各项中具有相反意义的量的是（    ） A．盈利50元和超支80元 B．身高增加2cm和体重减少2kg C．得4分和失2分 D．前进5米和左移5米 题型 正负数的实际应用 ▌例3 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）月球表面的昼夜温差很大，规定温度零上为正，已知白天其表面温度高达零上，记为，则其夜晚温度低至零下可记为（   ） A． B． C． D． 解题贴士 先看清题目规定的正负标准，相反意义直接对应正负符号，数字保持不变。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）一辆汽车在东西走向的道路上行驶，若向东行驶3公里记为公里，那么公里表示的实际意义是（　　） A．向西行驶3公里 B．向西行驶5公里 C．向东行驶5公里 D．向东行驶3公里 ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约的水记为，那么浪费的水记为_____． 题型 有理数的定义 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）在，，0，，314159，，（每相邻两个1之间依次多一个）中，有理数的个数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解题贴士 整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数；含π、无限不循环小数不属于有理数，直接排除。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）下列各数：，，，0，，，其中有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江金华·期中）在下列数中：0，，，，3.14，，0.3131131113…（每两个3之间依次多一个1），有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型 0的意义 ▌例5 （25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 解题贴士 根据语境判断0的含义，“0+名词”大多表示“没有该事物”。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江衢州·期末）学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（   ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错 题型 有理数的分类 ▌例6 （26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{ }； 负分数：{ }； 负有理数：{ }． 解题贴士 非正整数：0和负整数；负分数：小于0的分数，有限/无限小数都属于分数； 负有理数：所有小于0的有理数，包含负整数、负分数。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）把下列各数填在相应的横线上： ，，，，，，，，， 整数： 分数： 负有理数： ▌对点练6-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）判断表中各数分别是什么数，在相应的格子内画“√” 数 正数 正整数 正分数 负数 负整数 负分数 有理数 66 √ √ √ 0 题型 带“非”字的有理数 ▌例7 （26-27七年级·浙江·暑假作业）在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 解题贴士 “非负数”即不是负数，直接找大于等于0的数，0不要漏掉。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）已知下列各数：3.14，24，，，，，0，其中负分数有________个，非负数有________个． ▌对点练7-2 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥；则是非正整数__________． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如果盈利50元记作元，那么亏损40元记作（   ）． A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）有下列各数：，，，0，，，11，其中正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．0既不是正数也不是负数 4．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（   ） A．胜局与负局 B．盈利万元与支出万元 C．转盘逆时针转与顺时针转 D．气温升高与气温为 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中，是负数也是分数的是（    ） A．0 B． C． D．20.25 6．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入80元记作元，则元表示（   ） A．收入40元 B．收入60元 C．支出40元 D．支出60元 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在年第十五届全国运动会跳水项目比赛中，广东队全红婵和王伟莹夺得女子团体双人米跳台冠军．若把跳水池水面记为，十米跳台记作，则泳池水深可记作____________． 8．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）在，，，，，这六个数中，分数有_____个． 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）年月日，中国用一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，这里，自然数“”的作用是属于______．（填：计数、测量、排序或标号） 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数填在相应的横线上： 0，，，，，，，． 正分数：｛ ｝； 正整数：｛ ｝； 整数：｛ ｝ 素养提升 11．（25-26七年级上·浙江金华·期末）某规格金华火腿的质量标识为“千克”，则下列火腿中合格的是（   ） A．4.70千克 B．4.85千克 C．5.25千克 D．5.30千克 12．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）把下列有理数填在相应的集合内：． 正有理数集合：{___________________}； 负有理数集合：{___________________}； 整数集合：{___________________}； 分数集合：{___________________}． 13．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）将下列各数填入它所在的数集的圈里： 14．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，4.3，，0，，，，，2025，． 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 负有理数集合：{ }． 15．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？ (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 迁移创新 16．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以下是数学乐园中的“有理数家族”，请给该“有理数家族”分家吧． 17．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）我国在数的发展上有辉煌的历史，其中算筹计数法可追溯到公元前五世纪．算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种(如图)．它计数的方法是∶摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如，表示为；如，表示为． (1)请用算筹表示数(在图中画出) (2)用三根算筹表示一个两位数(用完三根算筹)，在图的方框中画出四种满足要求的图形，并在下方的横线上填上所表示的数． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $