微专题 例析集合的表示与元素的含义（原卷版+ 解析版）--【沪教版】高中数学教材解读与拓展 （2026版）

该高中数学讲义通过对比表格系统梳理集合的表示方法与元素含义，将列举法、描述法对应的方程解集、定义域、值域等集合类型分类呈现，知识框架涵盖集合基本概念、元素特性及数集、点集等核心内容，清晰展现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于例题分层设计，如元素个数判断（例2）、参数取值范围（例10）等题型，方法指导强调确定元素类型和互异性检验，培养数学思维与抽象能力。解析详细且练习题梯度分明，基础生可掌握方法，优秀生能深入探究，助力教师实施精准教学与学生自主复习。

【原卷版】 例析集合的表示与元素的含义 集合是由确定的、互不相同的元素构成的整体，元素即组成集合的对象，可以是数、点、人等。集合常用列举法、描述法、图示法表示：列举法直接写出全部元素；描述法用条件限定元素范围；图示法借助直观图形呈现。元素与集合只有属于、不属于两种关系，元素具有确定性、互异性、无序性。理解元素含义是把握集合的关键，不同元素组成不同集合，以此区分各类集合的本质差异。 正确区分下列集合的表示与理解对应元素的含义 集合 {x|f（x）＝0} {x|f（x）>0} {x|y＝f（x）} {y|y＝f（x）} 含义 方程f（x）＝0的解集 不等式f（x）>0的解集 函数y＝f（x）的定义域 函数y＝f（x）的值域 集合 {（x，y）|y＝f（x）且y＝g（x）} {（x，y）|y＝f（x）} 含义 方程组y＝f（x）且y＝g（x）的解集 函数y＝f（x）图像上的点 例1、已知全集，集合，则_________． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、如果集合中只有一个元素，则a的值是（     ） A．0 B．4 C．0或4 D．不能确定 例3、已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例4、设集合，，则集合与集合的关系是（     ） A． B． C． D． 例5、设集合，，则（     ） A． B． C． D． 例6、已知集合，，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 例7、下列选项正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．空集是任何集合的子集 C．任何集合至少有两个子集 D．满足方程组的点集为 例8、已知集合，则中元素的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 例9、已知三个集合 （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们各自的含义是什么？ 例10、非空集合，，，则实数的取值范围为 研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义；利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性； 解决集合含义问题的注意点： 一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题； 解决与集合的基本概念有关问题的关键点 （1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集，还是其他类型的集合； （2）含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性； 由集合中元素的特性求解字母的取值（范围）的步骤 （1）求解:根据集合中元素的确定性，解出字母的取值（范围）； （2）检验:根据集合中元素的互异性，对解出的值（范围）进行检验; （3）作答：写出符合题意的字母的取值（范围）； 提醒:不要忘记验证集合中元素的互异性. 由集合的元素个数求参数问题的关注点 （1）已知集合一般用描述法给出，要弄清集合的代表元素及其属性； （2）若所给方程是一元二次方程的形式，要对方程中二次项系数的取值进行分类讨论，同时关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用； 1、已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 2、已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3、已知集合，则中元素的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4、下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若集合，，则， C．任何集合都有真子集 D．若，则，至少有一个为空集 5、已知集合A中含有2个元素x+2和x2，若1∈A，则实数x的值为 6、设集合，，则 7、集合，且，则的取值范围为 8、已知，，若且，则 9、设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数 为 10、用表示非空集合A中元素的个数，定义， 已知集合，若，则实数的取值范围为 11、已知集合中含有两个元素和． （1）若是集合中的元素，试求实数的值； （2）能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由． 12、已知集合 （1）若A中只有一个元素，求a的值 （2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围 （3）若，求a的取值范围 【解析版】 例析集合的表示与元素的含义 集合是由确定的、互不相同的元素构成的整体，元素即组成集合的对象，可以是数、点、人等。集合常用列举法、描述法、图示法表示：列举法直接写出全部元素；描述法用条件限定元素范围；图示法借助直观图形呈现。元素与集合只有属于、不属于两种关系，元素具有确定性、互异性、无序性。理解元素含义是把握集合的关键，不同元素组成不同集合，以此区分各类集合的本质差异。 正确区分下列集合的表示与理解对应元素的含义 集合 {x|f（x）＝0} {x|f（x）>0} {x|y＝f（x）} {y|y＝f（x）} 含义 方程f（x）＝0的解集 不等式f（x）>0的解集 函数y＝f（x）的定义域 函数y＝f（x）的值域 集合 {（x，y）|y＝f（x）且y＝g（x）} {（x，y）|y＝f（x）} 含义 方程组y＝f（x）且y＝g（x）的解集 函数y＝f（x）图像上的点 例1、已知全集，集合，则_________． 【提示】注意是“数的集合”，根据补集的含义结合数轴即可得到答案； 【答案】； 【解析】根据补集的含义知， 故答案为：； 【说明】本题是“数的集合”；考查了数轴法与补集的概念及运算； 例2、如果集合中只有一个元素，则a的值是（     ） A．0 B．4 C．0或4 D．不能确定 【提示】利用与，结合集合元素个数，求解即可； 【答案】C； 【解析】解：当时，集合，只有一个元素，满足题意； 当时，集合中只有一个元素，可得，解得． 则的值是0或4． 故选：． 【说明】本题是“数的集合”；本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断； 例3、已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B； 【解析】集合，解不等式，得：， 所以集合，又因为， 所以； 【说明】本题的“元素”是不等式的解集；考查了分式不等式、解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算； 例4、设集合，，则集合与集合的关系是（     ） A． B． C． D． 【提示】根据二次函数的定义域与值域判断即可； 【答案】D； 【解析】，，故 故选：D； 【说明】本题的“元素”是函数的定义域与值域；同时考查了判断两个集合的包含关系； 例5、设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【提示】根据函数值域得到，，由并集概念求出答案； 【答案】C； 【解析】，， 故. 故选：C； 【说明】本题的“元素”是函数的值域；先求指数函数在区间内的值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、并集的概念及运算； 例6、已知集合，，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【提示】求出后可判断的关系； 【答案】C； 【解析】由集合，，得； 又因为集合，所以．故选C； 【说明】本题的“元素”是“数的集合”；通过由定义域求函数的值域；判断两个集合的包含关系； 例7、下列选项正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．空集是任何集合的子集 C．任何集合至少有两个子集 D．满足方程组的点集为 【提示】利用列举法表示集合判断AD；利用空集、子集的意义判断BC； 【答案】B； 【解析】对于A，集合用列举法表示为，A错误； 对于B，空集是任何集合的子集，B正确； 对于C，空集只有一个子集，C错误； 对于D，满足方程组的点集为，D错误. 故选：B； 【说明】主要理解集合的元素是什么？然后利用空集的概念以及判断、判断集合的子集（真子集）的个数、列举法表示集合； 例8、已知集合，则中元素的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【提示】求得集合的元素，由此求得的元素，从而确定正确选项； 【答案】B； 【解析】依题意， 其中满足的有， 所以，有个元素； 故选：B； 【说明】本题的集合元素是直角坐标系中“点”；同时考查交集的概念及运算； 例9、已知三个集合 （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们各自的含义是什么？ 【提示】（1）根据三个集合的代表元素的性质进行判断即可； （2）根据三个集合的代表元素的运算性质、属性特征进行判断即可； 【答案】（1）它们是互不相同的集合 ；（2）答案见解析； 【解析】（1）因为三个集合的代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合． （2）它们各自的含义列表如下： 集合 代表 元素 集合含义 函数的自变量的取值组成集合，该集合为 函数的函数值的取值组成的集合，该集合为 函数的图像上所有点组成的集合，该集合为点集 【说明】本题通过“对比”区分与联系，三个不同集合之间的关联；理解集合的表示与元素的含义； 例10、非空集合，，，则实数的取值范围为 【提示】由题知，进而构造函数，再根据零点存在性定理得，解不等式即可得答案； 【答案】； 【解析】由题知， 因为，所以， 所以， 故令函数， 所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得： ，即，解得， 所以，实数的取值范围为. 故填：； 【说明】本题通过理解“数的集合”；然后化简与“等价转化”为根据二次函数零点的分布求参数的范围、交并补混合运算； 研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义；利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性； 解决集合含义问题的注意点： 一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题； 解决与集合的基本概念有关问题的关键点 （1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集，还是其他类型的集合； （2）含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性； 由集合中元素的特性求解字母的取值（范围）的步骤 （1）求解:根据集合中元素的确定性，解出字母的取值（范围）； （2）检验:根据集合中元素的互异性，对解出的值（范围）进行检验; （3）作答：写出符合题意的字母的取值（范围）； 提醒:不要忘记验证集合中元素的互异性. 由集合的元素个数求参数问题的关注点 （1）已知集合一般用描述法给出，要弄清集合的代表元素及其属性； （2）若所给方程是一元二次方程的形式，要对方程中二次项系数的取值进行分类讨论，同时关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用； 1、已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，，故A错误； 对B，中，解得，故，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 2、已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 故选：B. 3、已知集合，则中元素的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】依题意， 其中满足的有， 所以，有个元素. 故选：B 4、下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若集合，，则， C．任何集合都有真子集 D．若，则，至少有一个为空集 【答案】A 【解析】，，则，所以A正确； 若集合，，由解得或，则，所以B不正确； 空集没有真子集，所以C不正确； 若，则，至少有一个为空集，两个集合可以不是空集，两个集合没有相同的元素，就满足题意，所以D不正确. 故选：A. 5、已知集合A中含有2个元素x+2和x2，若1∈A，则实数x的值为 【答案】1； 【解析】由题意得x+2=1，或x2=1，所以x=1，或x=-1. 当x=-1时，x+2=x2，不符合题意，所以x=-1舍去；当x=1时，x+2=3，x2=1，满足题意. 故答案为：1． 6、设集合，，则 【答案】； 【解析】，， 故. 7、集合，且，则的取值范围为 【答案】 【解析】由题意知，而， 方程 ，当时，方程无解，则，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 所以的取值范围为. 8、已知，，若且，则 【答案】 【解析】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 9、设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数 为 【答案】7； 【解析】, 因为， 当时，， 当时，即时，令，解得， 则或，则对应实数的值为， 则实数a组成的集合的元素有3个， 所以实数a组成的集合的真子集个数有， 10、用表示非空集合A中元素的个数，定义， 已知集合，若，则实数的取值范围为 【答案】； 【解析】由，可得，若，有（舍去）或. 当时，方程组中消去有：， 则，解得：，可得若，则实数的取值范围为； 11、已知集合中含有两个元素和． （1）若是集合中的元素，试求实数的值； （2）能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由． 【答案】（1）1或；（2）不能，理由见解析 【解析】（1）因为是集合中的元素， 所以或． 若，则， 此时集合含有两个元素，，符合要求； 若，则， 此时集合中含有两个元素，，符合要求． 综上所述，满足题意的实数的值为或． （2）不能．理由如下： 若为集合中的元素，则或． 当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性； 当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性． 综上，不能为集合中的元素． 12、已知集合 （1）若A中只有一个元素，求a的值 （2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围 （3）若，求a的取值范围 【答案】（1）0或；（2）；（3） 【解析】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $