专题06 一元二次方程根的分布问题8种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦一元二次方程根的分布问题，涵盖根的0分布、k分布、区间内外分布、整数根、绝对值结合及直线与双曲线交点应用等八大题型，构建了从基础到综合的知识体系。 清单采用题型脑图构建核心考法，分题型深研解题技能，如根的0分布结合韦达定理与判别式分四类标准情形，根的k分布通过对称轴控制根整体位置，培养学生数学思维与模型观念。特设综合题型解题流程（定型、画图、列约束等）及配套练习题，标注重难点与解题原理，帮助学生系统掌握根分布逻辑，教师可据此设计针对性复习，提升备考效率。

专题06 一元二次方程根的分布问题 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 根的0分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 核心依托韦达定理+判别式，无需分析对称轴，分四类标准情形： 1.一正一负根：仅需，此时自动成立； 2.两个正根（含重根）： 3.两个负根（含重根）： 4.至少一个负根：分两类讨论——①一正一负；②两负根，取参数范围并集； 5.含零根：，再单独判断另一根正负。 1．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 2．（2026高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 3．（2026高三·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 5．（2026高三·广东广州·阶段检测）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是__________． 题型02 根的k分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 1.一根小于、一根大于（跨点分布）：仅需，自动满足，计算最简； 2.两根均大于： 3.两根均小于： 原理：结合抛物线开口，对称轴控制根整体位置，保证两点在同侧。 6．（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． 7．（2026高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程两根都小于1，求实数m的取值范围． 8．（2026高三·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． 9．（2026高三·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 题型03 根在区间上的分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根都在闭区间内，四个约束条件缺一不可： 拓展：恰有一根在内：①；②端点取等，一根等于区间端点、另一根在区间内部，需单独验证。 10．（2026高三·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 11．（2026高三·全国·课后作业）关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2026高三·全国·专题练习）关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为_______． 13．（2026高三·吉林长春·阶段检测）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 14．（2026高三·全国·专题练习）设方程在上有两个根，求的取值范围． 15．（2026高三·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为____________． 16．（2026高三·江苏南京·期中）方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 17．（2026高三·甘肃金昌·阶段检测）关于的方程 (1)若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围； (2)若方程至少有一个非负实根，求的取值范围. 题型04 根在区间外的分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根分居区间两侧，无需判别式、对称轴，仅需端点函数值异号： 1.一根，一根： 开口向上时；开口向下时； 2.简化记忆：抛物线两端点函数值同时与开口反向，图像穿过区间左右外侧。 18．（2026高三·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2026高三·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是_____． 21．（浙江省G5联盟2025-2026学年高三学期期中联考数学试卷）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 题型05 整数根问题 1.基础思路： ①先讨论二次项系数为0（一次方程）； ②二次方程优先因式分解，直接解出根，利用整数条件限制参数； ③无法因式分解时用韦达定理：均为整数，构造参数表达式，利用整除求解。 2.拓展题型（不等式整数解限定）： 二次不等式解集内仅有个整数，结合二次函数零点区间，列不等式锁定零点左右边界，限制整数个数。 22．（2026高三·北京·开学考试）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 23．（2026高三·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 24．【多选】（2026高三·福建泉州·期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A．0 B． C．1 D． 题型06 与绝对值结合 若遇到多层绝对值嵌套，则先分段划分绝对值内式子正负区间，拆分得到分段二次函数，再分别对每一段二次函数使用根分布条件，联立所有区间约束，最终取参数交集得到完整取值范围，全程需舍去小于 0 的t根，防止出现零点计数错误。 25．（2026·天津南开·模拟预测）已知，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 26．（2026高三·江苏无锡·期末）已知函数，，若关于的方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07 综合 多约束叠加题型，统一标准解题流程： 1.定型：区分一次/二次函数，单独讨论； 2.画图：根据开口、零点位置画出二次函数草图； 3.列约束：按需组合四类条件（、对称轴、端点函数值、韦达定理）； （1）两根同号/异号：搭配韦达； （2）根跨定点/区间：搭配端点函数值； （3）两根全部落在区间：全套四约束； 4.联立不等式组，取交集得到参数范围； 5.检验边界等号，排除增根。 27．（2026高三·河北保定·期末）为何值时，关于的方程的两根： (1)都为正数根； (2)异号且负根绝对值大于正根； (3)一根大于2，一根小于2； (4)两根都在区间上. 28．（2026高三·全国·一轮复习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 29．（2026高三·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 题型08 在直线与双曲线交点的应用 1.联立直线与双曲线方程，消元得到含参一元二次方程； 2.双重限制： ①二次前提：二次项系数（排除渐近线平行的直线，无两个交点）； ②判别式：保证存在两个不同交点； 3.结合双曲线分支使用韦达定理根分布： （1）交于右支两点：两根同正； （2）交于左支两点：两根同负； （3）左右支各一点：两根异号； 4.联立全部不等式，解出斜率/截距参数范围。 30．（2026高三·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 31．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的左支于两点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（2026高三·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（2026高三·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次方程根的分布问题 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 根的0分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 核心依托韦达定理+判别式，无需分析对称轴，分四类标准情形： 1.一正一负根：仅需，此时自动成立； 2.两个正根（含重根）： 3.两个负根（含重根）： 4.至少一个负根：分两类讨论——①一正一负；②两负根，取参数范围并集； 5.含零根：，再单独判断另一根正负。 1．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 2．（2026高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，即实数的取值范围是. 故答案为： 3．（2026高三·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求参数的取值范围. 【详解】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 5．（2026高三·广东广州·阶段检测）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果. 【详解】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是，此时，符合题意. 故答案为：. 题型02 根的k分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 1.一根小于、一根大于（跨点分布）：仅需，自动满足，计算最简； 2.两根均大于： 3.两根均小于： 原理：结合抛物线开口，对称轴控制根整体位置，保证两点在同侧。 6．（2026高三·全国·专题练习）若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意，利用三个二次的关系作出对应的一元二次函数的图象，列出不等式求解即得. 【详解】设，如图所示， 要使方程的一个根大于1，另一个根小于1，需使，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 7．（2026高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程两根都小于1，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】应用一元二次方程的根都小于1，根据判别式，对称轴，与开口的关系列不等式计算求参. 【详解】设， 由已知方程的两根都小于1，应满足， 化简得， 解得或． 故实数 m的取值范围为． 8．（2026高三·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，结合题意分析可得，运算求解即可. 【详解】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 9．（2026高三·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 题型03 根在区间上的分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根都在闭区间内，四个约束条件缺一不可： 拓展：恰有一根在内：①；②端点取等，一根等于区间端点、另一根在区间内部，需单独验证。 10．（2026高三·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】令，当不是方程的根时，得到，求解得到的范围；再验证当以及是方程的根时是否满足题意，即可得出结果. 【详解】在区间内、外各有一个实数根， 令， 当不是方程的根时， 所以， 解得：； 当是方程的根时， 得， 此时方程变为：， 解得：或， 在区间内，在区间外，符合题意； 当是方程的根时，得， 此时方程变为：， 解得：或， 此时方程的两根均在区间外，不符合题意； 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，解题时要注意分析判别式、对称轴以及端点（与根比大小的数）的函数值符号. 11．（2026高三·全国·课后作业）关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，从恰有一个零点属于，分为两种情况，一种是另一根刚好过端点，另一种是另一根不过端点求解； 【详解】解：方程对应的二次函数设为：， 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ① 或者②函数有一个零点刚好经过点或者，另一个零点属于， 解①得：，解得： 解②得： 把点代入，解得：，此时方程为，两根为0，，而，不合题意，舍去， 把点代入，解得：，此时方程为，两根为1，，而，故符合题意， 综上：实数m的取值范围为 故选：B 12．（2026高三·全国·专题练习）关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据方程因式分解求出方程的根，由题意得到不等式组，求解即得. 【详解】由可得， 依题意，，解得. 故答案为：. 13．（2026高三·吉林长春·阶段检测）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 【答案】10 【分析】根据一元二次方程根的分布的特征得出满足的条件，进而通过取值范围讨论求解即可. 【详解】由题意得，，即， 因为a，， 由，得， 若，则，即，无解； 若，则，即，无解； 若，则，即，则或， 显然时，取最小值10， 若，由，得， 所以的最小值为10. 14．（2026高三·全国·专题练习）设方程在上有两个根，求的取值范围． 【答案】 【分析】设方程在上的两个根分别为，则，当时，，分析和的范围即可求解. 【详解】设方程在上的两个根分别为， 则， 则当时，， 又． ． 15．（2026高三·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为____________． 【答案】 【分析】结合二次函数根的区间分布，列出不等式组，解出即可. 【详解】设，由题可知，若都在区间内， 则需满足，所以解得． 故答案为：. 16．（2026高三·江苏南京·期中）方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】设，根据根的分布情况，得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上， 由题意得，解不等式得 实数m的取值范围是. 故答案为： 17．（2026高三·甘肃金昌·阶段检测）关于的方程 (1)若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围； (2)若方程至少有一个非负实根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的图象性质及一元二次方程根的分布求解即可； （2）分方程有两非负实根，有一负实根和一零根，有一正一负实根，三种情况结合二次函数的图象性质及一元二次方程根的分布求解即可. 【详解】（1）若方程一个根在内，另一个根在内， 令， 则，解得， 即的取值范围是. （2）①若方程有两非负实根，则，解得； ②若方程有一负实根，一零根，则，，无解； ③若方程有一正一负实根，则，解得. 综上所述，的取值范围为. 题型04 根在区间外的分布 设二次函数，对应方程，记判别式，对称轴，两根。 两根分居区间两侧，无需判别式、对称轴，仅需端点函数值异号： 1.一根，一根： 开口向上时；开口向下时； 2.简化记忆：抛物线两端点函数值同时与开口反向，图像穿过区间左右外侧。 18．（2026高三·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故选：B． 19．（2026高三·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设， 根据已知结合二次函数性质，作图    则有， 解得. 故选：C. 20．（2026高三·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解. 【详解】显然，关于的方程对应的二次函数 当时，二次函数的图象开口向上， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； ②当时，二次函数的图象开口向下， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； 综上所述，实数的范围是． 故答案为：． 21．（浙江省G5联盟2025-2026学年高三学期期中联考数学试卷）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 题型05 整数根问题 1.基础思路： ①先讨论二次项系数为0（一次方程）； ②二次方程优先因式分解，直接解出根，利用整数条件限制参数； ③无法因式分解时用韦达定理：均为整数，构造参数表达式，利用整除求解。 2.拓展题型（不等式整数解限定）： 二次不等式解集内仅有个整数，结合二次函数零点区间，列不等式锁定零点左右边界，限制整数个数。 22．（2026高三·北京·开学考试）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）先讨论m是否为0，再根据二次函数的判别式判断即可； （2）因式分解求解二次方程，再判断根为整数的情况即可. 【详解】（1）当时，方程为，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，， 此时方程有解. 综上，不论m取何值，方程都有实数根. （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数，故或 23．（2026高三·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3. 24．【多选】（2026高三·福建泉州·期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】BC 【分析】原不等式可化为，根据一次函数和二次函数的图象可知和为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求的范围即可. 【详解】可化为， 因为关于的不等式的解集中恰有两个整数， 由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数，    所以解得， 故选：BC 题型06 与绝对值结合 若遇到多层绝对值嵌套，则先分段划分绝对值内式子正负区间，拆分得到分段二次函数，再分别对每一段二次函数使用根分布条件，联立所有区间约束，最终取参数交集得到完整取值范围，全程需舍去小于 0 的t根，防止出现零点计数错误。 25．（2026·天津南开·模拟预测）已知，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】令，先变形，再分，两种情况讨论的正负，从而去掉绝对值符号，再分段求解方程的根，即可求出的取值范围. 【详解】令，则原方程可化为， 因为， 又因为，所以上式可化为 . （1）当时，，，即， 所以则原方程可化为， 整理可得. （i）当时，上式可化为， 所以关于的一次方程有解必须满足，解得①， （ii）当时，上式可化为，解得，此时②， （2）当时，，，即， 所以则原方程可化为， 整理可得. 因为当时，原方程已有两个不等的实数根，原方程要有四个不同的实数根， 方程必须有两个不等的实数根， 令，的对称轴为 必须让二次函数在上与轴有两个不同的交点， 所以须满足，即， 解得③， 所以，综上①②③可得实数的取值范围为， 故答案为：. 26．（2026高三·江苏无锡·期末）已知函数，，若关于的方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出与的图像,分析图像有四个交点的情况求解即可. 【详解】画出如图,又过,且为两条射线, 斜率分别为.由图可得临界条件为过和与抛物线相切时. 又当过时,. 与抛物线相切时, 判别式.由图可得取较小值. 故的取值范围为. 故选：C 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出对应的图像,再根据临界条件列式求解.属于难题. 题型07 综合 多约束叠加题型，统一标准解题流程： 1.定型：区分一次/二次函数，单独讨论； 2.画图：根据开口、零点位置画出二次函数草图； 3.列约束：按需组合四类条件（、对称轴、端点函数值、韦达定理）； （1）两根同号/异号：搭配韦达； （2）根跨定点/区间：搭配端点函数值； （3）两根全部落在区间：全套四约束； 4.联立不等式组，取交集得到参数范围； 5.检验边界等号，排除增根。 27．（2026高三·河北保定·期末）为何值时，关于的方程的两根： (1)都为正数根； (2)异号且负根绝对值大于正根； (3)一根大于2，一根小于2； (4)两根都在区间上. 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】根据判别式的符号确定方程根的个数，再根据根的分布情况对每一小问进行分析即可： （1）满足判别式大于等于零，且两根之和、两根之积都大于零； （2）满足判别式大于零，且两根之和、两根之积都小于零； （3）满足判别式大于零，处的函数值小于零； （4）满足判别式大于等于零，0和2处的函数值都大于零，且对称轴在之间； 【详解】（1）设函数， 方程有两根设为，对称轴.，由. 解得或； 由题意可得， 解得或. （2）由题意可得，解得. （3）由题意可得，即，解得. （4）由题意可得，即，解得或. 28．（2026高三·全国·一轮复习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 29．（2026高三·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)或 【分析】（1）（2）结合题意利用判别式和韦达定理建立不等式，求解参数范围即可. （3）（10）先将原问题转化为二次函数的零点问题，利用零点存在性定理建立不等式，求解参数范围即可. （4）（5）（6）（7）（8）（9）（11）利用一元二次方程的性质建立不等式，求解参数范围即可. （12）将原问题转化为函数交点问题，利用分离参数法求解参数即可. 【详解】（1）对于方程， 若有两个不同的正根，则设两根为， 由韦达定理得，， 可得，解得或， 而，解得，而，解得， 综上，可得的范围是. （2）对于方程， 若有两个不同的负根，则设两根为， 由韦达定理得，， 可得，解得或， 而，解得，而，解得， 综上，可得的范围是. （3）对于方程，令， 若一个根在内，另一个根在内， 则的一个零点在内，另一个零点在内， 由零点存在性定理可得，， 此时，，则，解得， 而，，故，解得， 综上，可得的范围是. （4）对于方程，令， 若两个不同的根都大于，可得，解得或， 则，解得，，解得， 综上，可得的范围是. （5）对于方程，令， 若两个不同的根都小于1，可得，解得或， 则，解得，，解得， 综上，可得的范围是. （6）对于方程，令， 若一个根大于1，一个根小于1，则，解得， 综上，可得的范围是. （7）对于方程，令， 若两个不同的根都在内， 可得，解得或， 而，解得，则，解得， 则，解得， 综上，可得的范围是. （8）对于方程，令， 若有两个根，有且仅有一个根在内， 可得， 或者方程一个根为0另一个根在内， 或者方程一个根为2另一个根在内， 而，， 由，解得， 当方程一个根为0时，此时另一个根为3，3不在内，不合题意； 当方程一个根为2时，此时另一个根为，在内，符合题意； 综上，可得的范围是. （9）对于方程，令， 若一个根小于2，一个根大于4， 则，解得， 则，解得， 综上，可得的范围是. （10）对于方程，令， 若一个根在内，另一个根在内， 则的一个零点在内，另一个零点在内， 由零点存在性定理可得，， 此时， ，则，解得或， ，故，解得， 综上，可得的范围是. （11）对于方程， 若有一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，则设两根为，且， 由韦达定理得，， 可得，解得或， 而，解得，而，解得， 因为，所以可得，得到， 则，可得， 得到，即即可， 故，解得或， 综上，可得的范围是. （12）对于方程， 若方程在内无实根，则在内无实根， 可得，则， 因为，所以，故， 则和，在内无交点， 令，则，可化为， 则，令，，可得在上单调递增， 令，，可得在上单调递减， 得到的最大值为， 当时，，当，， 综上，可得的范围是或. 题型08 在直线与双曲线交点的应用 1.联立直线与双曲线方程，消元得到含参一元二次方程； 2.双重限制： ①二次前提：二次项系数（排除渐近线平行的直线，无两个交点）； ②判别式：保证存在两个不同交点； 3.结合双曲线分支使用韦达定理根分布： （1）交于右支两点：两根同正； （2）交于左支两点：两根同负； （3）左右支各一点：两根异号； 4.联立全部不等式，解出斜率/截距参数范围。 30．（2026高三·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设出直线，联立双曲线，由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】过点作斜率为的直线方程为， 将与联立可得， 显然，， 解得， 设直线与双曲线右支相交的两点分别为， 则， 故，解得， 综上，，显然只有满足要求. 31．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的左支于两点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法1：当直线的斜率不存在时，满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与双曲线联立，根据方程有两个负根列不等式组求解即可； 方法2：根据直线与双曲线的渐近线的位置关系，数形结合即可得解. 【详解】方法1：左焦点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，显然满足题意； 当直线的斜率存在时，设为， 由消去并整理得 因为与双曲线的左支交于两点，所以 解得或． 故选：D． 方法2：因为双曲线的渐近线方程为，直线过双曲线的左焦点， 结合图形可知，当直线的斜率时，与双曲线只有一个交点； 当时，与双曲线的左右各有一个交点； 当或时，与双曲线的左支有两个交点． 故选：D． 32．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【详解】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 33．（2026高三·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 34．（2026高三·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，与双曲线方程联立，转化为方程有一正一负根求解. 【详解】设该直线为， 联立，化简整理得， 由直线与双曲线的左，右两支均相交， 所以，解得， 所以该直线斜率的取值范围为. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $