专题02 不等式（题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦“不等式”专题，系统涵盖不等式性质及应用、代数式范围求解、数式大小比较、一元二次不等式（含参与不含参）、三个“二次”关系、恒成立问题、基本不等式求最值与实际应用等10大核心题型，构建完整知识体系。 清单以题型脑图梳理考法脉络，考法深研模块整合解题技能，如判断不等式成立的性质验证、特殊值排除、构造函数法，基本不等式的配凑、代换等方法，培养学生数学思维与运算能力。配套2026年多地模拟真题示例，标注解题步骤与易错点，助力学生自主高效复习，教师可据此精准把握考点，提升备考针对性。

专题02 不等式 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 不等式的性质及应用 判断不等式是否成立的常用方法 （1）利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件； （2）利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项； （3）根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断． 1．（2026·重庆·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：当时，不等式不成立，故A错误； 对于B：取，则，故B错误； 对于C：因为，所以，即，故C正确； 对于D：取，则，故D错误. 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，所以， 所以由，因此选项A错误，选项D正确； 若，显然，，此时， 若，显然，，此时， 所以选项BC都不恒成立，所以选项BC都不正确. 3．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故A错误； 选项B：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故B错误； 选项C：因为函数 在上是单调递增函数， 因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确； 选项D：当 时，，不等式不成立，故D错误. 4．（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A： 因为，，所以，错误. 选项B：. ，取，则，错误. 选项C： . 因为，，故，即，C正确. 选项D：取，满足，则左边，右边，，D错误. 题型02 利用不等式求代数式范围 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下： 已知，，求的取值范围 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围． 5．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 由不等式的性质可得. 因此，的取值范围是.故选：C. 6．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， 又，．故选：D． 7．（25-26高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误；故选：C 8．（2025·浙江温州·模拟预测）已知，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】设，即，解得. 所以. 因为，. 所以，. 所以. 题型03 比较两个数（式）的大小 1、作差法： （1）原理：设，则；；； （2）步骤：作差并变形判断差与0的大小得出结论。 （3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形． 2、作商法： （1）原理：设，则；； （2）步骤：作商并变形判断商与1的大小得出结论。 （3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形． 9．（25-26高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【解析】 ，故B正确．故选：B． 10．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】不等式，等价于， 因为，所以，显然，得出； ，得或，未必.故选：A. 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（    ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【答案】D 【解析】甲两次总花费元，甲两次总加油量升， 因此甲的平均单价. 设油箱容积为升，即乙每次加油量为升， 则乙两次总花费元，乙两次总加油量升， 因此乙的平均单价. . 因为，所以，因此，即. 12．（25-26高三上·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 【答案】第二种 【解析】按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购， 第二次购物时的价格为元，仍购， 两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购物品， 第二次仍花元钱，能购物品， 两次购物的平均价格为， 比较两次购的平均价格：， 第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济. 故答案为：第二种. 题型04 解不含参一元二次不等式 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集． 13．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得或，所以， 又，所以 14．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合， 所以可得， 因此． 15．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】由，得，即，所以， 则解得或， 所以不等式的解集为. 16．（2026·贵州安顺·一模）集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， ，则. 题型05 解含参一元二次不等式 对求含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类； （2）根据判别式与0的关系判断根的个数； （3）有两个根式，有时还需根据两根的大小进行讨论． 17．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， 因为⫋，所以，解得， 所以实数的取值范围为.故选：C. 18．（24-25高三上·湖北随州·阶段检测）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，解，得， 所以不等式的解集为.故选：D 19．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 综上，实数的取值范围为.故选：A. 20．（25-26高三上·广东汕头·阶段检测）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或.故选：D 题型06 三个“二次”关系的应用 1、一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值； 2、给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与轴的交点，可以代入根或利用根于系数的关系求待定系数． 21．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）若关于的不等式的解集为，则（    ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 【答案】D 【解析】关于的不等式的解集为， 则是方程的两个根， 根据韦达定理可知，解得，故选：D. 22．（25-26高三上·安徽·阶段检测）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】因为的解集为， 故且为方程的解. 故，故， 故不等式即为， 故，故， 故不等式的解集为，故选：C 23．（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【解析】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误.故选：AB． 24．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AD 【解析】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 题型07 一元二次不等式恒成立问题 1、一元二次不等式正在R上恒成立，可以利用判别式判断； 2、一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数求最值或分类讨论； 3、一元二次不等式在给定参数范围恒成立，可变换主元求解，一般情况，求谁的范围，谁就是参数． 25．（24-25高三上·广东揭阳·阶段检测）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立， 需，解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是，故选：A. 26．（25-26高三上·湖北·期末）命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原命题为假命题等价于其否命题“”为真命题，所以， 在区间上单调递增， 当时，函数取得最大值，则， 又⫋， 所以命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是.故选：B 27．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 28．（2026·湖南常德·一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知整理得， 又因为，所以要想最大，则有，并且，即，所以， 设函数，令，解得或（舍去）. 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最大值为.故选：B 题型08 利用基本不等式求最值 法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系． 法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式． 法三、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况． 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 法四、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题． 法五、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值． 29．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 30．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测）若正数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以， 又因为，即，所以令， 所以，所以，解得，即.故选：D. 31．（2026·湖北黄冈·三模）（多选）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A不正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，所以B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C正确； 对于D，因为，，且，所以， 又因为，可得，所以D不正确. 32．（24-25高三上·辽宁大连·期末）（多选）已知，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A：因为，故， 因此，故A正确； 对于B：因为，，故，. 令，则，且， 则， 由对勾函数的性质，易知在上单调递减，在上单调递增， 又因为，故在上的值域为， 故当时，，即，即的值域为，故B错误； 对于C：由A可知，，， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为，故C正确； 对于D：由A可知，，则， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故D正确.故选：ACD. 题型09 基本不等式恒（能）成立问题 1、，使得，等价于； 2、，使得，等价于； 3、，都有，等价于； 4、，都有，等价于． 33．（24-25高三下·重庆·阶段检测）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故.故选：A 34．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【解析】因为正实数x，y满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数x，y满足时，有恒成立， 所以，即， 所以，的最大值为.故选：C 35．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正实数,满足，所以， 则， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．故选：B． 36．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ，， ，，，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 题型10 基本不等式的实际应用 解实际应用题的三个注意点： 1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； 2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； 3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解． 37．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 38．（25-26高三·全国·二轮复习）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【解析】设无盖贮水池的底面长为，宽为， 又其深度为，容积为，所以，化简得， 令池底面积为，则，解得， 又池底每平方米的造价为元，则池底总造价为元， 池壁由四个侧面组成，面积为， 又池壁每平方米的造价为元，则池壁总造价为元， 综上所述，水池的总造价为元， 令，又， 所以， 根据基本不等式，可得， 当且仅当，即时，取得最小值.故选：C 39．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元.故选：B 40．（25-26高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第_________种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是_________． 【答案】二 ，（或者） 【解析】依题意，假设第一次价格为，第二次价格为，， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为，则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济； 不等关系是：，，等号成立时. 故答案为：二；， 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 不等式的性质及应用 判断不等式是否成立的常用方法 （1）利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件； （2）利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项； （3）根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断． 1．（2026·重庆·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 利用不等式求代数式范围 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下： 已知，，求的取值范围 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围． 5．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江温州·模拟预测）已知，，则的取值范围为______. 题型03 比较两个数（式）的大小 1、作差法： （1）原理：设，则；；； （2）步骤：作差并变形判断差与0的大小得出结论。 （3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形． 2、作商法： （1）原理：设，则；； （2）步骤：作商并变形判断商与1的大小得出结论。 （3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形． 9．（25-26高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 10．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（    ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 12．（25-26高三上·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 题型04 解不含参一元二次不等式 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集． 13．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 16．（2026·贵州安顺·一模）集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型05 解含参一元二次不等式 对求含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类； （2）根据判别式与0的关系判断根的个数； （3）有两个根式，有时还需根据两根的大小进行讨论． 17．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高三上·湖北随州·阶段检测）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·广东汕头·阶段检测）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型06 三个“二次”关系的应用 1、一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值； 2、给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与轴的交点，可以代入根或利用根于系数的关系求待定系数． 21．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）若关于的不等式的解集为，则（    ） A．5 B．1 C．-1 D．-5 22．（25-26高三上·安徽·阶段检测）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 23．（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D． 24．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（    ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 题型07 一元二次不等式恒成立问题 1、一元二次不等式正在R上恒成立，可以利用判别式判断； 2、一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数求最值或分类讨论； 3、一元二次不等式在给定参数范围恒成立，可变换主元求解，一般情况，求谁的范围，谁就是参数． 25．（24-25高三上·广东揭阳·阶段检测）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 26．（25-26高三上·湖北·期末）命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 27．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为_____． 28．（2026·湖南常德·一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型08 利用基本不等式求最值 法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系． 法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式． 法三、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况． 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 法四、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题． 法五、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值． 29．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 30．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测）若正数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（2026·湖北黄冈·三模）（多选）若，，，则（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高三上·辽宁大连·期末）（多选）已知，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．的最小值为 D．的最小值为 题型09 基本不等式恒（能）成立问题 1、，使得，等价于； 2、，使得，等价于； 3、，都有，等价于； 4、，都有，等价于． 33．（24-25高三下·重庆·阶段检测）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高三上·江苏镇江·阶段检测）已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 35．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10 基本不等式的实际应用 解实际应用题的三个注意点： 1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； 2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； 3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解． 37．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 38．（25-26高三·全国·二轮复习）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 39．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（    ）    A． B． C． D． 40．（25-26高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第_________种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是_________． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $