专题02 简易逻辑13大题型培优归类（培优题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦简易逻辑专题，系统整合命题真假判断、条件关系判定求参、量词命题及新定义问题等核心内容，构建从基础概念到综合应用的完整知识体系。 清单按考法分题型编排，如“充分不必要条件判定”配集合关系判断法，“新定义压轴题”融合函数数列综合应用，培养学生逻辑推理与数学抽象素养。设解题技能进阶模块，标注高频考点及解题步骤，助力学生自主复习，教师可精准指导备考方向。

专题02 简易逻辑培优归类 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 判断命题的真假 判断命题的真假，涉及到高中数学几乎全部的知识点，也是属于知识交汇处的综合题型，并且多以多选题的形式出现。主要方法有： 1.直接法：应用所学过的基本事实和定理进行判断 2.反例法：举出命题所涉及到的知识中的反例即可。 1．（25-26高三·河南·阶段检测）设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题：是任意实数，若，则，则（    ） A．“或”为真 B．“且”为真 C．假真 D．，均为假命题 2．（25-26高一下·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 3．（2025·上海闵行·一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（ ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 4．（2026·湖北黄冈·三模）已知随机变量服从正态分布，下列四个命题： 甲：；    乙：； 丙：；        丁：， 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型02 充分不必要条件判定求参 充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 1．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·湖北·阶段检测）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江西南昌·三模）设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 题型03 必要不充分条件判定求参 充分不必要条件判断 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立。 反过来，若q成立时，能否推出p成立； 若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断。 如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 简单通俗说:“大是小的必要条件” 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象上关于轴对称的点至多有2对，则实数取值范围的必要不充分条件是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三·全国·三轮复习）对于函数，在上单调递增的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三·四川绵阳·阶段检测）已知命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求的范围是（    ） A．或 B． C． D．或 题型03 必要不充分条件判定求参 充要条件，主要体现在恒等变形等题型中。 充分条件与必要条件的应用技巧： (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 1．（25-26高三上·江西南昌·开学考试），已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北保定·阶段检测）已知函数则“”是“有3个零点”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三下·北京·开学考试）函数是偶函数的充分必要条件是（    ）． A． B． C．且 D．，且 4．（2025·山东济南·高考模拟）函数，关于的方程有5个不等的实数根的充分必要条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型05 图形推导充要条件 多重复杂的充分必要条件之间传递变化判断， 可以借助类似如下“地图”一样来判断 。 判断方法是，根据箭头是否能“往返”或者“转圈”推导，以此判断冲分析与必要性 1．（24-25高三·全国·阶段检测）已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（·2026高三·全国·专题练习）已知是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，是的必要条件.现有下列命题： ①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件； ③是的必要条件而不是充分条件；④是的必要条件而不是充分条件； ⑤是的充分 条件而不是必要条件，则正确命题序号是（    ） A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤ 3．（2024高三·全国·专题练习）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．r是q的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 4．（23-24高三·全国·课后作业）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题中：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件． 正确命题的序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．②④ 题型06 非充分与非必要型求参 既不充分也不必要是指两个命题不能互相推导。 概念：甲推不出乙，乙也推不出甲，两个范围互不包含。 求解思维： 1.分别化简两个命题，得到各自对应的取值范围。 2.先反向计算：先求出 “甲能推出乙” 时参数的范围，再求出 “乙能推出甲” 时参数的范围。 3.对上面两个范围分别取相反的范围，也就是排除掉能互相推出的情况。 4.把两个相反范围取交集，得到同时满足 “互相推不出” 的参数初步范围。 5检验区间端点，端点若出现一方能推出另一方，就舍弃该端点，得出最终结果。 1．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·山东·模拟预测）已知数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（24-25高三·福建厦门·阶段检测）已知实数，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型07 命题的否定：复合形式否定 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题． 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 1．（2025高三·全国·专题练习）命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．都有 C．，使得 D．，都有 2．（25-26高三·湖南·阶段检测）命题＂，使得＂的否定形式是（） A．，使得 B．，都有 C．，使得 D．，都有 3．（2026高三·全国·专题练习）命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 4．（19-20高一·全国·课后作业）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤3x+2”的否定形式是（    ） A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞3x+2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞3x+2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞3x+2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞3x+2 题型08 全称命题判断求参 求解含有量词的命题中参数范围的策略 对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)． 要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假． 1．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习），记表示,二者中较大的一个，函数g(x)=，若，且，，使成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·浙江杭州·阶段练习）已知命题；命题，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型09 特称命题判断求参 特称命题判断真假求参数： 1.已知特城命题为真 · （1）把题目文字转化为对应的式子，理解题意为：在给定取值范围内，存在至少一个数能让式子成立。 · （2）整理式子，把参数单独分离出来，或者构造出新的函数。 · （3）求出这个函数在指定范围内的最大值与最小值。 · （4）根据式子有解的要求确定参数范围：参数大于函数最小值，或是参数小于函数最大值，就能满足存在数使式子成立。 ·2.已知特城命题为真 （1） 梳理出初步参数范围，再代入区间端点逐一检验，保留符合题意的取值。 · （2）写出原特称命题的否定：将存在量词改为全称量词，同时否定原命题的结论。 · （3）原命题为假，则它的否定命题一定为真，此时问题转化为全称命题恒成立题型。 · （4）按照全称命题为真的解题思路，整理式子、构造函数、求出函数最值。 · （5）根据恒成立的要求列出限制条件，解出参数范围。 · （6） 最后检验区间端点，剔除不符合要求的数值，得到最终结果。 1．（25-26高三·全国·阶段检测）已知函数是指数函数，若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）命题“，有解”是假命题，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东青岛·期末）若“，使得”为假命题，则m的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 4．（25-26高三·广东汕头·阶段练习）命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型10 新定义型：简易逻辑压轴小题 涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 1．（25-26高三·天津南开·阶段练习）“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 2．（2026·江西上饶·二模）若，且“，”为假命题，则_________． 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，有两个零点，则下列结论中：①；②若，则；③.正确命题的序号是___________. 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则“存在使得”是“”的______条件（填‘充分不必要’、‘必要不充分’、‘充要’或‘既不充分也不必要’）． 题型11 新定义型压轴大题：简易逻辑与数列 简易逻辑与数列型压轴题： · 1.数列结合集合 以及子集元素 “和” 为 核心。要用好数列求和公式，分析全集和、子集和的大小关系。遇到两个集合元素和相等的证明，常采用从最大项开始逐一比对的方法，结合反证法推出矛盾。 · 2.数列周期性与充分必要条件 复合，要先根据递推式写出数列项，找出周期；再分别验证 “由前者能否推出后者”“由后者能否推出前者”，举反例可证明不具备推出关系。 · 3.新定义数组以及性定义的规则 ，和数列某些项的证明，要严格套用新定义，将数列的项代入规则，结合数列单调性、通项特点，判断是否满足定义要求。 · 4.涉及到 存在性、唯一性逻辑的问题，证明存在就构造实例；而证明唯一 或者 不存在就用反证法，结合数列递推、取值范围推出冲突。 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列是首项为1，公比为的等比数列，设集合，对的任意子集，记的所有元素和为，规定空集的元素和为． (1)若，求； (2)若，，证明：； (3)若，，，从下面两个结论中选择一个证明： ①的充要条件是；②不存在，使得． 注：若选择两个结论分别证明，则按第一个证明计分． 2．（2026·湖北·模拟预测）已知无穷数列满足：，为正整数，且，. (1)若，，求； (2)证明：“存在，使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件； (3)若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由. 3．（2026·陕西榆林·二模）定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例如3，5，7是三角数组，3，5，9不是三角数组．设为数列的前项和，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)从数列中任意取出不同的三项，证明：为三角数组的充要条件是为三角数组； (3)从数列的前项中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率．参考公式：． 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知含有n个元素的正整数集（）具有性质P：对任意不大于（其中）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k． (1)写出，的值； (2)证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”； (3)若，求当n取最小值时的最大值． 题型12 新定义型压轴大题：简易逻辑与函数 性定义型函数与简易逻辑： · 1.新定义优先原则：解题第一准则是服从题目新规则，不能直接套用固有函数结论，所有推导必须以题干定义为基础。 · 2.反例快速判关系：判断两个命题无法互相推出时，优先举简单数值、特殊函数当反例，简化解题过程。 · 3.恒成立与有解区分：全称命题紧盯函数最小值或最大值，特称命题灵活利用函数值域范围，二者不要混淆。 · 4.多层逻辑逐层拆解：同时出现新定义、函数、量词、条件关系时，由外到内逐层拆解，不要混为一体分析。 · 5.特殊值检验：区间端点、函数特殊点、边界取值是高频易错点，求解范围后务必单独验证。 1．（25-26高三·上海·阶段检测）已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 2．（2026·上海·三模）设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． (1)判断函数是否为函数，说明理由； (2)已知是实数，函数是函数，求的最大值； (3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 3．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知初等函数的定义域为，令，若，，则是一个下凸函数. (1)分别判断是否是上的下凸函数？请说明理由； (2)已知，，，是公差不为0的等差数列，的定义域为，求证：为下凸函数是成立的充分不必要条件； (3)已知下凸函数的定义域为，且，，求证：，. 4．（25-26高三·河北·阶段检测）设函数的定义域为，．定义集合． (1)设，求； (2)若，且对任意，都有，求的最小值； (3)设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 题型13 新定义型压轴大题：简易逻辑与不等式证明 简易逻辑与不等式证明压轴大题： 1.定义优先原则：所有变形、推导、判断都必须以题干新定义为第一准则，不能直接套用固有结论。 · 2.作差法优先：不等式大小比较、条件推导，优先使用作差判断正负，思路通用且不易出错。 3.反例简化判断：证明推导关系不成立、命题为假时，优先选取简单数值作为反例，缩短解题过程。 4.分类讨论梳理范围：式子含参数、正负不确定时，按照正数、负数、零分类讨论，逐一分析不等式关系。 5.放缩适度原则：使用放缩法证明不等式时，把控放缩尺度，避免放缩过度导致证明失败。 1．（25-26高三·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 2．（24-25高三·湖南·阶段检测）集合，． (1)若，，求实数的值； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 3．（24-25高三·浙江·阶段检测）对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，定义集合.记集合的元素个数为. (1)若，求，； (2)若，且，求的最小值； (3)若，，，证明：“”的充要条件是“”. 4．（24-25高三·全国·阶段检测）若实数x，y，m满足，则称x比y更远离m． (1)若比更远离1，求实数x的取值范围； (2)判断是x比y更远离m的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件），并加以证明； (3)已知，，若，证明：p比更远离． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简易逻辑培优归类 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 判断命题的真假 判断命题的真假，涉及到高中数学几乎全部的知识点，也是属于知识交汇处的综合题型，并且多以多选题的形式出现。主要方法有： 1.直接法：应用所学过的基本事实和定理进行判断 2.反例法：举出命题所涉及到的知识中的反例即可。 1．（25-26高三·河南·阶段检测）设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题：是任意实数，若，则，则（    ） A．“或”为真 B．“且”为真 C．假真 D．，均为假命题 【答案】A 【详解】对于命题：因为，所以，所以， 由导数的几何意义可得在点处切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以命题是真命题； 对于命题：令满足，但是，即，不满足，所以命题是假命题， 所以“或”为真命题. 2．（25-26高一下·贵州·期中）已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【分析】举反例判断A，B；根据不等式的性质判断C，D. 【详解】对于A，取，满足，， 则，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为且， 所以，， 即， 两边同时乘以， 则，故D正确. 3．（2025·上海闵行·一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（ ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 【答案】C 【分析】由为偶函数，得，结合“－关系”的定义可得出答案． 【详解】由为偶函数，得 对于选项A：“”为假命题，“”也为假命题，故A错误； 对于选项B∶ 由 得成立，故“”为真命题， 而由对任意恒成立，将替换为，得对任意恒成立， 从而成立，所以“”也为真命题，故B错误； 对于选项C：当时，，，此时不成立，只有非负的情况下才会成立，即“”为假命题， 而由：，用替换得，又因，故，所以成立， 所以“”为真命题，故C正确； 对于选项D：“”为真命题， 由于由，用替换得，故， 所以“”也为真命题， 故D错误； 4．（2026·湖北黄冈·三模）已知随机变量服从正态分布，下列四个命题： 甲：；    乙：； 丙：；        丁：， 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】若甲：是真命题，则， 若乙、丙为真， 则，此时甲为真， 由可得，显然， 即丁为假，故D符合题意. 题型02 充分不必要条件判定求参 充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 1．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简求出解集,再求出二次不等式对应方程的两根并分情况写出解集,由是的充分不必要条件,可知的解集要真包含于的解集,由此列出约束条件,进而求出. 【详解】由得，根据指数函数单调性可得，即. 方程的两根为和. 不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 因为是的充分不必要条件，所以是解集的真子集，仅当解集为时满足条件. 因此满足且，解得，即的取值范围为. 3．（25-26高三·湖北·阶段检测）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先需要分别求解集合和集合，然后根据充分不必要条件的定义，确定集合与集合的关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】由得：，∴， 解得：，； 由得：； “”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集， 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，则需满足； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 4．（2026·江西南昌·三模）设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析函数在不同区间上的单调性和值域，再根据函数的值域为确定的取值范围，最后根据充分不必要条件的定义判断选项. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增，则在上单调递增， 所以，即在上的值域为； 当时，，且. ①当时，在上单调递减，所以， 即在上值域为，值域存在上界，整个函数值域无法延伸到正无穷，不满足值域为，不合题意； ②当时，在上单调递增，所以， 即在上值域为， 因为整个函数值域为，所以，解得或， 又因为，所以，即. 所以函数的值域为的一个充分不必要条件对应的的取值范围应为的真子集，所以B正确. 题型03 必要不充分条件判定求参 充分不必要条件判断 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立。 反过来，若q成立时，能否推出p成立； 若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断。 如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 简单通俗说:“大是小的必要条件” 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象上关于轴对称的点至多有2对，则实数取值范围的必要不充分条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论. 【详解】设函数（）关于轴对称的函数为． 若，则，因为当时，， 所以， 所以，． 作出函数的图象，如答图．    （）与（）的图象应至多有2个交点． 当时，有1个交点，满足题意； 当时，当满足，即， 即，则，解得． 当时，由图象可知有3对对称点， 所以的取值范围是B选项的真子集． 故选：B． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到是的真子集，比较区间端点，即可求解. 【详解】， ， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集, 可得，等号不同时成立，结合，解得， 所以的取值范围为， 故选：B 3．（24-25高三·全国·三轮复习）对于函数，在上单调递增的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导得，对进行分类讨论可知不符合题意；时，，研究的符号可得的单调性及符号，进而可求得在上单调递增的充要条件，即可求解. 【详解】，. 当时，若，则，此时， 在上单调递减，不符合题意； 当时，， 当时，在上恒成立， 在上单调递增，且， 在上恒成立， 在上单调递增，符合题意. 当时，令的解为. 当时，， 在上单调递减，且， 在上恒成立， 在上单调递减，不符合题意. 综上，在上单调递增的充要条件为. 在上单调递增的一个必要不充分条件是. 故选：A. 4．（23-24高三·四川绵阳·阶段检测）已知命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求的范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】解相应不等式可得命题与对应条件，后由必要不充分条件与集合关系可得答案. 【详解】由，解得：. ，或. 由，解得：. ， 是成立的必要不充分条件，则集合是集合的真子集. 或，解得或. 的范围是或. 故选：A 题型04 充要条件综合求参 充要条件，主要体现在恒等变形等题型中。 充分条件与必要条件的应用技巧： (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 1．（25-26高三上·江西南昌·开学考试），已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数得到函数的单调性后可得其极值，再利用充要条件定义分类讨论即可得. 【详解】由题意，， 由或；由， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 则函数的极大值为，极小值为， 当，解得或， 当时，，而，“”的充要条件是“” 当时，，不合题意， 所以的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高三上·河北保定·阶段检测）已知函数则“”是“有3个零点”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】构造新函数，求出有3个零点时的取值范围. 【详解】由，得， 作出函数的图象，如图所示.    由图可知，当时，直线与的图象有3个交点， 又因为对恒成立，所以， 故当有3个零点时，， 所以“”是“有3个零点”的充要条件， 故选：A 3．（24-25高三下·北京·开学考试）函数是偶函数的充分必要条件是（    ）． A． B． C．且 D．，且 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义求得恒成立，即可求出a，c，再验证时情况即可判断作答. 【详解】显然函数定义域为R， 因是偶函数，即，亦即， 整理得，而不恒为0，因此，，即且， 当时，也是偶函数，D不正确， 所以一定正确的是C. 故选：C 4．（2025·山东济南·高考模拟）函数，关于的方程有5个不等的实数根的充分必要条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】首先根据题中所给的方程的根进行分析，得到五个根的情况，从而判断出，之后利用有四个根，结合函数图象求得结果. 【详解】当时，当为的一个根时可得. 所以即有4个不同的根， ，有4个根. 时，图象如图所示： 由图可知. 综上可得. 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的个数判断参数的取值范围的问题，充要条件的判断，在解题的过程中，注意数形结合思想的应用，属于中档题目. 题型05 图形推导充要条件 多重复杂的充分必要条件之间传递变化判断， 可以借助类似如下“地图”一样来判断 。 判断方法是，根据箭头是否能“往返”或者“转圈”推导，以此判断冲分析与必要性 1．（24-25高三·全国·阶段检测）已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据题意以及充分条件和必要条件的定义确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④的正确性即可. 【详解】因为是的充分条件，所以.因为是的充分不必要条件，所以，， 因为是的必要条件，所以.因为是的必要条件，所以， 所以由，，可得， 则是的充要条件，命题①错误； 则是的充要条件，命题②错误； 因为，，所以，，故是的充分不必要条件，命题③正确； 易得，，所以是的必要不充分条件，命题④错误， 故选：C. 2．（·2026高三·全国·专题练习）已知是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，是的必要条件.现有下列命题： ①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件； ③是的必要条件而不是充分条件；④是的必要条件而不是充分条件； ⑤是的充分 条件而不是必要条件，则正确命题序号是（    ） A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【解析】由充分条件、必要条件与充要条件的概念依次表示出已知条件的符号语言，根据传递性即可判断. 【详解】解：是的充分条件而不是必要条件等价于， 是的充分条件等价于 是的必要条件等价于， 是的必要条件等价于 由上可知， ，，知，故 ①正确； 由知，由，知，故②正确； 由知，又由于，故是的充要条件，故③错误； 对于④，由是的必要条件而不是充分条件等价于是的必要条件而不是充分条件，因为则由知，故④正确； 对于⑤，因为所以故是的充要条件，故⑤错误. 故选：B. 【点睛】对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法，即与；与；与都是等价关系，是基础题. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．r是q的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 【答案】B 【分析】利用推出号表示充分条件和必要条件，然后可得结论． 【详解】由题意，但是不能推出成立，则，所以是等价的， 因此ACD都错误，B正确． 故选：B． 4．（23-24高三·全国·课后作业）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题中：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件． 正确命题的序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义和传递性，可得结论． 【详解】由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件， 可得，推不出，，，， 所以，故是的充要条件，①正确； ，推不出，故是的充分不必要条件，②正确； ，故是的充要条件，③错误； ，故是的充要条件，④错误． 故选：B 题型06 非充分与非必要型求参 既不充分也不必要是指两个命题不能互相推导。 概念：甲推不出乙，乙也推不出甲，两个范围互不包含。 求解思维： 1.分别化简两个命题，得到各自对应的取值范围。 2.先反向计算：先求出 “甲能推出乙” 时参数的范围，再求出 “乙能推出甲” 时参数的范围。 3.对上面两个范围分别取相反的范围，也就是排除掉能互相推出的情况。 4.把两个相反范围取交集，得到同时满足 “互相推不出” 的参数初步范围。 5检验区间端点，端点若出现一方能推出另一方，就舍弃该端点，得出最终结果。 1．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】将中的角变形，再利用两角和差公式得到，得到或，分别讨论求解，得到充分性不成立；由得到，分别讨论和两种情况进行求解，从而得到必要性不成立. 【详解】充分性分析： ，，， ， ， 或， 当时，，即，， 当时，，即， 综上可得，当时，或， 不能得到，充分性不成立； 必要性分析： ，， 当时，，不一定有成立， 当时，，则有成立， 综上，由不一定得到，故必要性不成立， 故选：D. 2．（2026·山东·模拟预测）已知数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】由得，根据等差数列得，再结合等差数列的定义判断即可. 【详解】由得， 即， 所以，从第2项起，数列是公差为1的等差数列， 但首项与的关系不一定满足， 所以整个数列不一定是等差数列， 即“”不能推出“为等差数列”. 反之，为等差数列，设公差为，则， 所以，当且仅当时，才有， 若公差，则不满足该式， 所以“数列为等差数列”不能推出“”， 故“”是“为等差数列”既不充分又不必要条件. 3．（24-25高三·福建厦门·阶段检测）已知实数，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】已知，则，又因为，所以， 因此由可以推出，充分性成立. 取，则，满足， 但此时，并不满足，所以不能必然推出，必然性不成立. 因此是的充分不必要条件. 故选： 4．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）是方程表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由充分条件及必要条件的定义，结合椭圆的标准方程，得到结果. 【详解】当时，，，此时，方程化简为表示圆，不满足充分性， 当方程表示椭圆时，，解得，不满足必要性. 故是方程表示椭圆的既不充分也不必要条件. 故选：D. 题型07 命题的否定：复合形式否定 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题． 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 1．（2025高三·全国·专题练习）命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．都有 C．，使得 D．，都有 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解. 【详解】“，使得”是全称命题，全称命题的否定是特称命题 故否定形式是，都有. 故选：D 2．（25-26高三·湖南·阶段检测）命题＂，使得＂的否定形式是（） A．，使得 B．，都有 C．，使得 D．，都有 【答案】D 【分析】全称命题的否定形式为特称命题，将条件中命题修改，再否定结论. 【详解】因为否定全称量词命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词， 存在量词改写为全称量词，二是要否定结论， 故命题“，使得”的否定形式是： “，都有”． 故选：D 3．（2026高三·全国·专题练习）命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】D 【分析】全称（特称）命题的否定是特称（全称）命题，把任意（存在）改为存在（任意），把结论否定. 【详解】命题“，使得”的否定形式是：，使得. 4．（19-20高一·全国·课后作业）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤3x+2”的否定形式是（    ） A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞3x+2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞3x+2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞3x+2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞3x+2 【答案】D 【分析】根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论， 所以，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤3x+2”的否定是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞3x+2”. 故选：D 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可. 题型08 全称命题判断求参 求解含有量词的命题中参数范围的策略 对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)． 要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假． 1．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先分离参数得，再求出为真时，利用基本不等式求最值得的范围，再求补集即可． 【解答】由得，当为真时，对，不等式恒成立，则，而，当且仅当时取等号，满足题意，所以， 所以为假时，．故选：A． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从作为题目切入点，分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案. 【详解】解得，此时无论取何值，均符合题意； 当时，，只需， 解得或； 当时，，由题中条件，只需对于恒成立， 当时，不符合题意； 当时，图象为开口向上的抛物线， 不能满足对恒成立，不符合题意； 当时，的2个根为， 需，结合，可得， 综合上述可知的取值范围是， 故选：B. 【点睛】将作为题目的切入点，根据命题的真假分类讨论的范围分类讨论求解； 3．（2025高三·全国·专题练习），记表示,二者中较大的一个，函数g(x)=，若，且，，使成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出g(x)在上的解析式及其值域，问题中任意存在性问题等价转化为f(x)在[m,-2]上的函数值域是g(x)在[0,+∞)上的值域的子集, 作函数y=f(x),y=g(x)在上述区间上的图象，根据题意，利用数形结合方法可以得解． 【详解】解：为单调减函数,为单调增函数， 观察尝试可知当且仅当时. 由题意，g(x)， 在上g，g的值域为， “，，使g成立”等价于f(x)在[m,-2]上的函数值域是g(x)在[0,+∞)上的值域的子集，作函数y=f(x),y=g(x)的图象，如图所示： 令，解得和， 则的最小值为． 故选：． 【点睛】 “，，使g成立”，等价转化为f(x)在[m,-2]上的函数值域是g(x)在[0,+∞)上的值域的子集，是解决问题的关键转化，要注意数形结合思想的运用. 4．（25-26高三·浙江杭州·阶段练习）已知命题；命题，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 因为p为假命题，所以或， ，则在上恒成立， 又当，当且仅当时取得等号， 因为q为真命题，所以， 所以实数a的取值范围为. 题型09 特称命题判断求参 特称命题判断真假求参数： 1.已知特城命题为真 · （1）把题目文字转化为对应的式子，理解题意为：在给定取值范围内，存在至少一个数能让式子成立。 · （2）整理式子，把参数单独分离出来，或者构造出新的函数。 · （3）求出这个函数在指定范围内的最大值与最小值。 · （4）根据式子有解的要求确定参数范围：参数大于函数最小值，或是参数小于函数最大值，就能满足存在数使式子成立。 ·2.已知特城命题为真 （1） 梳理出初步参数范围，再代入区间端点逐一检验，保留符合题意的取值。 · （2）写出原特称命题的否定：将存在量词改为全称量词，同时否定原命题的结论。 · （3）原命题为假，则它的否定命题一定为真，此时问题转化为全称命题恒成立题型。 · （4）按照全称命题为真的解题思路，整理式子、构造函数、求出函数最值。 · （5）根据恒成立的要求列出限制条件，解出参数范围。 · （6） 最后检验区间端点，剔除不符合要求的数值，得到最终结果。 1．（25-26高三·全国·阶段检测）已知函数是指数函数，若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为指数函数求参数，得，问题转化为在上恒成立，由函数的单调性得在上恒成立，判断函数的单调性，即可求参数范围. 【详解】由是指数函数，可知， 解得或（舍去），，故. 若“，使得成立”为假命题， 则“，使得成立”为真命题. 因为， 因此原题可转化为，，恒成立， 又因为在上单调递增， 故有，即在上恒成立. 设， 由，可得， 则，因此在上单调递增， 故要使得在上恒成立， 就要使，即， 解得，又因为， 故. 故选：C. 2．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）命题“，有解”是假命题，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据原命题为假命题推出其否定命题为真命题，从而得出与的关系，构造函数并求出最小值，进而得出的取值范围． 【详解】命题“，有解”是假命题， 其否命题“，”是真命题， 在上恒成立，即小于的最小值， 令，则开口向上，对称轴为， ，故在内的最小值为， ． 故选：A． 3．（23-24高一上·山东青岛·期末）若“，使得”为假命题，则m的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】根据条件，先将问题转化为“，”，然后通过对数运算性质化简并计算出的值，由此可求的最大值. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，”为真命题； 因为， 设，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以， 即，， 所以，所以的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是：化简时要注意到. 4．（25-26高三·广东汕头·阶段练习）命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据命题为假命题求出的范围，再根据选项和必要不充分条件的判断确定答案. 【详解】∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， ∴，∴. 即命题“，使”是假命题等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求. ∴选项B正确. 题型10 新定义型：简易逻辑压轴小题 涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 1．（25-26高三·天津南开·阶段练习）“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 【答案】6 【分析】首先利用命题的否定将命题变为真命题，分离参数后结合均值不等式求的最大值. 【详解】因“，”是假命题，故命题的否定为，为真命题， 分离参数可得： 令，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以的最大值为6. 2．（2026·江西上饶·二模）若，且“，”为假命题，则_________． 【答案】 【分析】根据题意得函数与函数在有相同的零点，再求出零点，进而得到即可． 【详解】由题得函数与函数有相同的零点， 而在的零点为，， 所以，也是的两个根， 即：， 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，有两个零点，则下列结论中：①；②若，则；③.正确命题的序号是___________. 【答案】②③ 【分析】画出的函数图象，数形结合确定所在区间，即可判断①；对于②，考虑正切函数的周期性，且注意到，数形结合即可判断；对于③，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】令，即，易知当时，，显然不符题意，故，因此等价于. 对于①：画出且且与的函数图象， 如图可以看出， 故，故①错误； 对于②：的最小正周期为，且由图象可知， 故之间的距离大于，即，故②正确； 对于③：由，推出 ， 因为，且由②可知， 故有，则， 而， 又因为，且在为增函数， 故， 则， 又因为， 故，故③正确. 故答案为：②③ 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则“存在使得”是“”的______条件（填‘充分不必要’、‘必要不充分’、‘充要’或‘既不充分也不必要’）． 【答案】充要 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，及诱导公式判断即可. 【详解】存在使得， 若为偶数，设，，则， 则； 若为奇数，设，，则，； 所以，充分性成立. 若时， 则或，， 当时，令，（为偶数） ， 当时，令，（为奇数）， 即 即存在，使得， 所以，必要性成立， 所以，“存在使得”是“”的充要条件. 故答案为：充要 题型11 新定义型压轴大题：简易逻辑与数列 简易逻辑与数列型压轴题： · 1.数列结合集合 以及子集元素 “和” 为 核心。要用好数列求和公式，分析全集和、子集和的大小关系。遇到两个集合元素和相等的证明，常采用从最大项开始逐一比对的方法，结合反证法推出矛盾。 · 2.数列周期性与充分必要条件 复合，要先根据递推式写出数列项，找出周期；再分别验证 “由前者能否推出后者”“由后者能否推出前者”，举反例可证明不具备推出关系。 · 3.新定义数组以及性定义的规则 ，和数列某些项的证明，要严格套用新定义，将数列的项代入规则，结合数列单调性、通项特点，判断是否满足定义要求。 · 4.涉及到 存在性、唯一性逻辑的问题，证明存在就构造实例；而证明唯一 或者 不存在就用反证法，结合数列递推、取值范围推出冲突。 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列是首项为1，公比为的等比数列，设集合，对的任意子集，记的所有元素和为，规定空集的元素和为． (1)若，求； (2)若，，证明：； (3)若，，，从下面两个结论中选择一个证明： ①的充要条件是；②不存在，使得． 注：若选择两个结论分别证明，则按第一个证明计分． 【答案】(1)18 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据等比数列的首项和公比写出通项公式，直接计算子集中指定元素的和. （2）先利用子集元素和不超过全集元素和的性质，再结合等比数列前项和公式，证明全集元素和小于，从而推导出任意子集的元素和均小于. （3）若选①：先证充分性（集合相等则元素和相等），再用反证法结合（2）的结论证明必要性，通过递推分析集合的最大项，证明若元素和相等则两集合元素完全相同. 若选②：采用反证法，假设存在满足的集合，按的最大元素位置分类讨论，结合等比数列前项和公式推出矛盾，证明不存在这样的集合. 【详解】（1）因为，，所以． 因为，所以． （2）因为，所以， 因为， 所以， 所以． （3）若选①． 充分性：若，由定义，显然成立． 必要性：若，记集合的最大项为，集合的最大项为， 假设，则，所以， 由（2）知，，所以，矛盾． 假设，类似可得，矛盾． 所以． 记集合去掉后得到集合，记的最大项为，集合去掉后得到集合，记的最大项为 同上分析可得． 以此类推，集合和中元素完全相同，即． 若选②． 假设存在，使得． 记数列的前项和为，因为， 所以， 设的最大元素为，则， 若，则，矛盾． 若，设去掉后得到集合，则， 所以，矛盾． 综上，不存在，使得． 2．（2026·湖北·模拟预测）已知无穷数列满足：，为正整数，且，. (1)若，，求； (2)证明：“存在，使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件； (3)若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或3或5 (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据递推式进行求解计算即可. （2）先证明必要性，然后取反例证明不充分性. （3）等价于（*）或（**），首先说明不存在，使得，其次，不存在，使得以及同时成立. 【详解】（1）因为对任意成立； 令得，所以，则或3， 若，由，则，则或3， 若，由，则，则或5， 因为，综上所述：或3或5. （2）记，， 必要性：若是周期为3的周期数列，或， 当时，数列前5项为：，，，，， 由得，该式当且仅当或时成立， 与，为正整数矛盾； 当时，数列前5项为：，，，，， 由得，则或（舍，此时）， ，，此时数列：，，0，，，0，，，0，…存在，使得， 另一方面：取数列：1，1，0，1，1，2，3，5，…其中当时，， 此时数列不是周期数列， 综上，“存在，使得”是“是周期为3的周期数列”的必要不充分条件. （3）不存在，理由如下： 等价于（*）或（**）， 首先说明不存在，使得，否则由得记为， 所以，，， 依此类推得前项为…，，0，，，0，，，0（第项）， 则，要么相等，要么有一项为0，矛盾，因此对任意成立， 其次，不存在，使得以及同时成立，否则两式相加得，矛盾. （ⅰ）若（*）式只对有限个正整数才成立，不妨设当且仅当时（*）式成立，其中， 则当时，（**）式恒成立，此时恒成立， 由此易知当，因此数列是无界数列， （ⅱ）若存在无限个正整数使得（*）式成立，不妨设当且仅当时（*）式成立， 其中，考虑与，为方便书写记为，，， 则， 若，则， 若，则，…，，， 则， 此时， 无论哪种情况总有成立，即恒成立， 记，则恒成立，由此易得数列是无界数列， 所以，存在使得，故不存在符合题意的，. 3．（2026·陕西榆林·二模）定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例如3，5，7是三角数组，3，5，9不是三角数组．设为数列的前项和，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)从数列中任意取出不同的三项，证明：为三角数组的充要条件是为三角数组； (3)从数列的前项中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率．参考公式：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）解法1：令得，当时，两式相减化简得，进而求得，又和也满足，即可得解． 解法2：令得，当时，两式相减化简得，累加可得，又和也满足，即可得解． （2）不妨设，由等差数列的单调性知．然后结合三角数组的定义和等差数列基本量的运算，从充分性和必要性两方面证明即可． （3）证法1：先求得总的基本事件有种，再通过作差法和累加法得，即可证明． 证法2：先求得总的基本事件有种，再结合等差数列求和，按照为奇数和为偶数分类讨论，求出这三项不是三角数组的的所有可能取值个数，利用对立事件概率公式证明对任意都成立． 证法3：将原命题可转化为：从前个正整数中任意取出三个不同的数，则这三个数为三角数组的概率．设事件表示“从前个正整数中任意取出三个不同的数组成三角数组”，事件表示“从前个正整数中取出的三个不同的数中最大数为”， 则，易知， ，根据对称性证得，又，故，即可证明. 【详解】（1）解法1：当时，，解得． 当时，两式相减得， 整理得，因为，所以， 所以，从而， 因此， 所以，当时数列为常数列． 由于，因此，即，且和适合上述关系． 因此数列的通项公式为． 解法2：当时，，解得． 当时，两式相减得， 整理得，因为，所以， 所以，从而，累加可得， 由于，因此，即，且和适合上述关系． 因此数列的通项公式为． （2）证明：不妨设，由（1）知数列为递增数列，因此． 充分性：若为三角数组，则．因为、，所以， 所以， 所以为三角数组． 必要性：若为三角数组，则，即， 所以，所以为三角数组． 故为三角数组的充要条件是为三角数组． （3）证法1：由（2）知，从数列的前项中任意取出不同的三项， 这三项为三角数组等价于从前个正整数中依次取出三个不同的数， 这三个数为三角数组．从中一次任取三个数和， 共有种可能． 记从中一次任取三个数为三角数组的可能数为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，，故， 由累加法可得：， 故． 证法2：由（2）知为三角数组的充要条件是为三角数组． 从中任意取出不同的三个数，不妨设，共有种方法． 对于定值， 当，时，为三角数组，记满足条件的三角数组的个数为， 当为奇数时，， 故为偶数时，， 当为偶数时，所有满足条件的三角数组的个数为 ， 此时 当为奇数时，所有满足条件的三角数组的个数为 ， 所以． 故对任意都成立． 证法3：由（2）可知，原命题可转化为：从前个正整数中任意取出三个不同的数， 则这三个数为三角数组的概率． 设事件表示“从前个正整数中任意取出三个不同的数组成三角数组”， 事件表示“从前个正整数中取出的三个不同的数中最大数为”， 则， 易知，从而， 下面证明：， 由法2的分析可得满足有个，且， 故，又， 故， 下面用数学归纳法证明：， 当时，，故时命题成立； 设，设成立，则成立， 故时，命题也成立， 故对任意． 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知含有n个元素的正整数集（）具有性质P：对任意不大于（其中）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k． (1)写出，的值； (2)证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”； (3)若，求当n取最小值时的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由性质，根据与时分析即可； （2）先证必要性：由，，…，成等差数列，故，由等差数列的求和公式得:；再证充分性：由，故（），故，，…，为等差数列； （3）先证明（）,因此，即，所以，由集合的性质，分类，即可求得当取最小值11时，的最大值为． 【详解】（1）由，且均为正整数，故，故， 故当不大于的正整数时，由题意必有，当时，可得； （2）先证必要性：因为，，，，…，成等差数列， 故其首项为，公差为，可得； 再证充分性：因为，，，…，为正整数数列， 故有，，，，…，， 所以，等号成立时， 又，故，故，，…，为等差数列． 综上可知，“，，…，成等差数列”的充要条件是“”； （3）先证明（）， 假设存在，且为最小的正整数， 依题意，则 ， 又因为， 故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和． 故假设不成立，即（）成立； 因此， 即，所以； 因为，则， 若，即时， 则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为， 故，即时， 此时可构造集合， 因为当时，可以等于集合中若干个元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； …… 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和， 所以集合满足题设， 所以当取最小值11时，的最大值为． 题型12 新定义型压轴大题：简易逻辑与函数 性定义型函数与简易逻辑： · 1.新定义优先原则：解题第一准则是服从题目新规则，不能直接套用固有函数结论，所有推导必须以题干定义为基础。 · 2.反例快速判关系：判断两个命题无法互相推出时，优先举简单数值、特殊函数当反例，简化解题过程。 · 3.恒成立与有解区分：全称命题紧盯函数最小值或最大值，特称命题灵活利用函数值域范围，二者不要混淆。 · 4.多层逻辑逐层拆解：同时出现新定义、函数、量词、条件关系时，由外到内逐层拆解，不要混为一体分析。 · 5.特殊值检验：区间端点、函数特殊点、边界取值是高频易错点，求解范围后务必单独验证。 1．（25-26高三·上海·阶段检测）已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 【答案】(1)是关联， 任取，若， 则， 是关联． (2) (3)证明：必要性： 任取，满足，记， 由关联得到：， 由关联，，故， ， 又， ，结合得， ， ， 综上，，即是关联； 充分性： 对任意，故， ，故， 又， 两个同在区间内的数相加仍在区间内， 仅当时成立，即关联； 任取，若，则， 若，设，则， 由关联可得， 由结合关联可得， ， 综上，任取均满足， 即是关联． 【分析】（1）根据关联定义，结合已知条件证明结论； （2）根据关联定义，结合已知条件作出大致图象，结合图象解不等式； （3）根据关联定义，结合已知命题分别证明必要性和充分性，进而证明结论． 【详解】（1）是关联，证明：略 （2）依题意当时， ，即满足， 作出的大致图象， 由图象可知点， 原不等式的解集为． （3）略 2．（2026·上海·三模）设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． (1)判断函数是否为函数，说明理由； (2)已知是实数，函数是函数，求的最大值； (3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 【答案】(1)不是函数， 说明如下（举反例）：记，取， 则 即， 所以不是函数； (2)1 (3)先证充分性，若“存在实数，使得恒成立”， 则有，则恒成立． 充分性得证． 再证必要性，若“存在非零实数，使得恒成立”， 不妨设，记，则有 ， 因为， ， 故对于任意整数， 有 ，假设存在实数，使得， 显然 ，则存在整数，使得 ， 一方面，取，则 ， ， 即， 另一方面，取，则， 所以，即，所以， 与矛盾，假设不成立， 所以恒成立，必要性得证． 【分析】(1)通过代入特殊值到函数条件中判断. (2)先对的情况分析，若成立则对进一步分析. (3)证明充分性时代入特殊值即可， 证明必要性时利用反证法，先对函数的特征进行归纳，设出特殊值后通过函数的特性联立不等式推翻原本的假设. 【详解】（1）略 （2）记， 当时，当时，， 对任何实数以及中的任意两个实数， 即， 所以是函数． 当时，取 ， 又， 所以 即， 所以 不是函数． 综上所述，的最大值为1． （3）略 【点睛】主要通过代入未知数到新定义条件的不等式中不断得出各类结论进而进行证明. 3．（25-26高三上·陕西安康·期末）已知初等函数的定义域为，令，若，，则是一个下凸函数. (1)分别判断是否是上的下凸函数？请说明理由； (2)已知，，，是公差不为0的等差数列，的定义域为，求证：为下凸函数是成立的充分不必要条件； (3)已知下凸函数的定义域为，且，，求证：，. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据下凸函数的定义进行证明. （2）利用下凸函数的定义，先证充分性；再举例说明必要性不成立. （3）设，求导，分析函数的单调性，求其极小值，可得，再用反证法证不成立即可. 【详解】（1），， 因为当时，， 所以不是上的下凸函数. （2）令，不妨设，，，的公差为且， 充分性：因为定义在上的函数是下凸函数， 所以，，即在上单调递增， 设，则， 所以在上单调递增， 故，即， 所以， 即成立， 所以充分性成立； 必要性：令，，，，，，， 则，再令，则，当时，， 所以不是下凸函数， 但 ， 所以， 所以，必要性不成立. （3）下凸函数的定义域为， 所以在上单调递增， ，设，则， 当时，；当时，； 函数在内单调递减，在内单调递增， 所以， 即， 因为，， 所以， 所以， 假设，使，则当时，， 这与，矛盾，故不存在使成立， 所以，. 4．（25-26高三·河北·阶段检测）设函数的定义域为，．定义集合． (1)设，求； (2)若，且对任意，都有，求的最小值； (3)设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 【答案】(1) (2)0 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合新定义可得，结合函数解析式得，解不等式，可得答案； （2）由题意可得所有和所有，有，由函数在上非减，进而分类讨论与两类，结合函数的单调性，即可求解； （3）根据充要条件的要求，结合集合新定义从必要性以及充分性两方面，进行证明.必要性利用偶函数定义可证，充分性利用反证法证明，结合的任意性取特值，从而构造与关系证明即可. 【详解】（1）由题意知，则， 又，即， 得，解得， 故； （2）由题意知，，且对任意，都有， 对任意和任意，令，则， 即任意，，都有， 故函数在上单调（非严格）递增， ①当时，则， 函数，令，则， 则，由在上单调递增； 则由函数与复合而成， 故由复合函数单调性可知，在上单调递增， 又，对任意，则，所以恒成立， 故； ②当时，，， 函数， 当，令，则， 则，由在上单调递减； 则由函数与复合而成， 故由复合函数单调性可知，在上单调递减， 又，取，则存在正数，使得， 则成立，故，这与任意，都有矛盾， 故时不满足题意； 综合①②可知，的最小值为. （3）必要性证明： 若，是偶函数， 则任意，. 则， 故必要性得证； 充分性证明： 若对任意实数，都有，下面用反证法证明是偶函数. 假设不是偶函数，则，使得， 取， ①若，则， 由且， 得，且， 所以，这与矛盾； ②若，则， 则由且， 得，且， 而与同时成立是矛盾的； 故由①②可知，假设错误，即是偶函数， 故充分性得证. 综上所述，“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 题型13 新定义型压轴大题：简易逻辑与不等式证明 简易逻辑与不等式证明压轴大题： 1.定义优先原则：所有变形、推导、判断都必须以题干新定义为第一准则，不能直接套用固有结论。 · 2.作差法优先：不等式大小比较、条件推导，优先使用作差判断正负，思路通用且不易出错。 3.反例简化判断：证明推导关系不成立、命题为假时，优先选取简单数值作为反例，缩短解题过程。 4.分类讨论梳理范围：式子含参数、正负不确定时，按照正数、负数、零分类讨论，逐一分析不等式关系。 5.放缩适度原则：使用放缩法证明不等式时，把控放缩尺度，避免放缩过度导致证明失败。 1．（25-26高三·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得不等式和，运算求解即可； （2）根据题中运算的定义，分充分性和必要性两个方面分析证明； （3）根据题意可得，进而分析可得，即可得结果. 【详解】（1）因为是正实数集的一个子集，，所以， 又因为，则，解得， 所以的取值集合为. （2）充分性：若，则，则由①可知， 故由，可得. 必要性：由，设， 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 若，则由，可得，由，可得，符合题意. 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 故由，可得. 综上可知：“”的充要条件是“”. （3）由④可知， 因为，则， 设，可知， 则，可得， 且，，可得，所以. 2．（24-25高三·湖南·阶段检测）集合，． (1)若，，求实数的值； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）由条件可得，列关系式，求， （2）由条件结合必要条件的定义可得，列不等式求的取值范围， （3）由三角形性质可得，，，结合结论①证明， ，，再利用结论②完成证明. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， （2）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以，， 所以， 所以的取值范围为， （3）因为是三角形的三边，所以，，， 由结论①可得， ， ， 由结论②可得，又， 所以， 故. 3．（24-25高三·浙江·阶段检测）对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，定义集合.记集合的元素个数为. (1)若，求，； (2)若，且，求的最小值； (3)若，，，证明：“”的充要条件是“”. 【答案】(1)， (2)7 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题干中对集合和的定义求解即可； （2）结合题设可得，进而得到，从而求解； （3）分别从充分性和必要性两个方面证明即可. 【详解】（1）若集合，则根据定义可得： ，. （2）若，， 因为， 所以，此时只需要让其他元素相乘与之相等即可， 所以的最小值为7. （3）证明：充分性：设是公差为的等差数列， 则， 且，所以共有个不同的值，即. 必要性：由， 因为， 所以中有个不同的元素：， 任意的值都与上述某一项相等. 又，且，， 所以，即是等差数列，且公差不为0. 所以“”的充要条件是“”. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，主要在于理解题目中定义要求，进而根据定义求解，使用定义时需要注意使用的条件是否符合要求. 4．（24-25高三·全国·阶段检测）若实数x，y，m满足，则称x比y更远离m． (1)若比更远离1，求实数x的取值范围； (2)判断是x比y更远离m的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件），并加以证明； (3)已知，，若，证明：p比更远离． 【答案】(1) (2)是x比y更远离m的充分不必要条件；证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)根据定义列不等式，求x的取值范围；(2)根据充分条件和必要条件的定义结合新定义判断即可，(3)根据基本不等式求出的最大值，结合(2)的结论完成证明. 【详解】（1）由题意可， 即，解得：， 所以实数x的取值范围为； （2）是x比y更远离m的充分不必要条件 ①已知，则， 可得，即， 所以是x比y更远离m的充分条件． ②已知x比y更远离m，则 举例：，，，满足，但不满足， 所以不是x比y更远离m的必要条件． 综上：是x比y更远离m的充分不必要条件． （3）证明：因为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为， 由（2）可知p比更远离，即得证． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $