专题03 嵌套函数归类大全（培优题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦嵌套函数专题，系统涵盖自身互嵌型、双函数互嵌型、自身嵌套求解析式，以及一元二次嵌套的因式分解、根的分布（单参、双参）、内外复合型和零点整数解型等核心考法，构建完整知识网络。 清单通过题型脑图搭建核心考法框架，考法深研模块提炼换元法等解题通法，如根的分布型强调开口方向、判别式等四要素，培养数学思维与推理意识。例题标注易错点与解题步骤，助力学生自主梳理知识，教师可据此精准设计复习方案，提升备考效率。

专题03 嵌套函数归类大全 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 嵌套函数1：自身互嵌型 嵌套函数有两种类型： 1.嵌套函数自身互嵌型：f（f（x）） 2.嵌套函数双函数互嵌型：f（g（x）） 无论哪一种嵌套函数，基本思维就是“换元”。 1．（2026·浙江宁波·二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析的图像及性质，依题意可知方程有三个不同的实根，结合图象可看出方程有三个不同的实根，当且仅当方程有两个不同的实根，结合等价于的等式可得到，最后即可推出的最小值． 【详解】解：， 在和单调递增，其简要图形如下： 设，即方程有三个不同的实数解， 又当时，有两个不同的实数解时，只有一个实数解， 所以有三个不同的实数解，当且仅当有两个不同的实数解， 且，，解得， 时，即， 不妨设， 则， 即，解得 ， 又在上单调递增， 时，． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知，则实数a满足，则满足条件的实数a的值的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】作函数图象，数形结合求解. 【详解】令，解得， 因为，所以， 作出函数，直线的图象，如图， 由图象可知，直线与函数图象有3个交点， 所以的根有3个，即满足条件的实数a的值的个数为3个. 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则方程的互异的实根个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，时可得实根个数为1，2，4，进而证明3个实根不可能即可得结论． 【详解】方程的互异的实根个数可能为，举例如下： 当时，方程 故若，则方程只有1个实根． 当时，，解得或， 故若，则有2个实根， 若，则， 解得或或，故有4个实根． 下证明3个实根不可能． 设的判别式， 的判别式． 若，则，最多有两个实根． 若．则是的二重根， 代入得 . 则的根也是的根，则有两个实根． 若，则的根满足的根满足． 若 与  有公共根，可推出 ，与 的假设矛盾， 故两方程没有公共根，因此，当时，方程 有4个互异的实根, 故选：C. 4．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】代入抽象函数解析式，求出零点可得. 【详解】， 令，可得或. 故选：C 题型02 嵌套函数2：双函数互嵌型 嵌套函数双函数互嵌型：f（g（x）） 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 1．（25-26高三·北京 模拟预测）函数，和，的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程恰有一个解 B．方程恰有两个解 C．方程恰有三个解 D．方程恰有四个解 【答案】C 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对A：令，数形结合可知，或； 令，， 又因为，而， 可知无解，故方程无解，A错误； 对B：令，数形结合可知，或； 令，因为， 数形结合可知，方程有三个根，有两个解， 故方程有五个解，故B错误； 对C：令，数形结合可知，或； 令， 由题可知，，数形结合可知，方程有三个根， 方程无解， 故方程有三个解，故C正确； 对D：令，数形结合可知，或； 令，又， 数形结合可知，无解，有两个解， 故方程有两个解，D错误. 故选：C 2．（2025·陕西西安·三模）设函数.若函数与都没有零点，则函数与（    ） A．都没有零点 B．都有零点 C．至少有一个没有零点 D．至少有一个有零点 【答案】C 【分析】假设函数与都有零点，再根据反证法证明假设不成立即可得答案. 【详解】解：因为的开口向上， 所以，设最小值分别为， 假设函数与都有零点， 则存在使得，令，则； 存在使得，令，则； 所以， 下面分三种情况讨论： 假设，则函数，即函数与有零点，与函数与都没有零点矛盾，故不成立； 假设，则使得，此时，即函数存在零点，与没有零点矛盾，故不成立； 假设，则使得，此时，即函数存在零点，与没有零点矛盾，故不成立； 综上，假设函数与都有零点不成立，即函数与至少有一个没有零点. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有10个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到与的解析式，设，作出函数的图象，数形结合，分类讨论函数、与三种情况，得到对应情况下的解的个数，从而得解． 【详解】∵函数为上的奇函数，当时， 令，则，则， 又 ∴，则， 设，作出函数的图象，由图知： 对于A，当时，函数没有实数根，不满足题意； 对于B，当时，函数没有实数根，不满足题意； 对于C，当时，函数有六个根， 其中,，，，，； 作出与、、、、与的图象，如图， 显然这6个函数与恰有10个交点，则有10个不同的解，故C正确； 对于D，当时，函数有两个根，其中，， 与选项C同理可知与、各有一个交点， 则只有2个不同的解，不满足题意，故D错误． 故选：C． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 4．（25-26高三·全国·专题练习）已知是定义域为R的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过整体换元令，再令得，再构造函数，并判断函数的单调性及二分法求函数的零点，从而可得，故可求得函数值. 【详解】根据题意，令，可得，且， 又因为是定义域为R的单调函数，所以为常数，即为常数. 再令时，有，因为在R上单调递减，所以为R上的单调递增， 再令，在R上单调递增，且，， 所以在区间有唯一零点，取区间的中点，. 所以在R上有唯一零点，即是唯一解. 又因为，所以，即， 所以． 故选：B. 题型03 嵌套函数3：自身嵌套求解析式 自身嵌套求解析式，一般情况下，函数如果满足 有如下特征： 1. 函数f（x））是单调函数。 2. 内函数g（x）常常是 g（x）= f（x）+h(x),其中g（x）是定值常数，h(x)是有具体解析式的函数。 方法：设t= g（x）= f（x）+h(x)，得f(t)=m，再反带入。 1．（25-26高三·甘肃张掖·模拟预测）已知定义域为的单调函数满足：，则函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由是上的单调函数且，可以推出的解析式，进而求出，再求其零点个数即可. 【详解】根据题意，对任意的，都有， 由是定义在上的单调函数，得为定值． 设，则， 因为，所以，解得， 所以． 因为函数的零点的个数，即函数与的图象的交点个数． 所以可作出函数和的大致图象，如图．    结合图象可知，这两个函数的图象有3个交点． 故选：C． 2．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知定义在上的函数满足：函数的零点集合为有限集，且对任意的，都有．则函数的零点个数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设函数的零点集合为，根据条件得到每个零点必满足是某个零点.所以，即可求解. 【详解】设函数的零点集合为； 因为对任意的，都有； 所以对任意的，，即， ； 若，则，即，所以； 因此每个零点必满足是某个零点. 因为零点集合为有限集， 若存在零点 a 满足或 ，则集合为无限集，与题设矛盾。 因此，所有零点的绝对值必须为0或1， 故零点只能从中选取，其个数最多为3. 故选：C. 3.（2025年全国专题练习）已知是定义域为R的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过整体换元令，再令得，再构造函数，并判断函数的单调性及二分法求函数的零点，从而可得，故可求得函数值. 【详解】根据题意，令，可得，且， 又因为是定义域为R的单调函数，所以为常数，即为常数. 再令时，有，因为在R上单调递减，所以为R上的单调递增， 再令，在R上单调递增，且，， 所以在区间有唯一零点，取区间的中点，. 所以在R上有唯一零点，即是唯一解. 又因为，所以，即， 所以． 故选：B. 4．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设函数的零点为，结合题设可得，进而求解. 【详解】由题意，对任意，都有， 设函数的零点为， 则，即， 所以，即， 设， 则函数为开口向上，对称轴为，且，， 所以函数在上有2个零点， 即函数的零点个数最多为2个. 故选：B. 题型04 一元二次嵌套1：因式分解型 1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据单调性的定义得到的范围，接着将看作一个整体，然后结合一元二次方程求解出的值，然后结合的值域求解出的范围. 【详解】由题意可知：为单调函数， 当时，单调递减; 故当时，也是单调递减，故 要确保在R上单调递减，则， 解得：， 所以满足在R上单调递减时，实数a的取值范围为 当时，， 又在上单调递减，， 所以， 即在上的值域为 令，则或3， 即或， 要使得有4个不同的实数解， 则， 解得： 综上，实数a的取值范围为：，即 故选：C. 2．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可. 【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解， 即与或的图象交点的横坐标， 当时，，则，所以时，， 所以在上单调递增； 当时，，可得在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，且； 作出函数的大致图象如下图所示： 所以当时，由图可知与无交点，即方程无解； 与有两个不同的交点，即有两个实数解； 当时，， 令，则，则，， 作出大致图象如下图所示： 因为当时，与有两个不同的交点， 所以只保证与及共有四个交点即可， 所以只需，解得， 即可得正实数的取值范围. 故答案为：. 3．（24-25高三·河北 阶段检测）已知函数，若有两个不同的实数解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】原题等价于或，即有或，则条件等价于①有2解，无解；②有1解，有1解；③无解，有2解；作出函数的图象，数形结合即可 【详解】解：可化为，解得或， 即有或，则方程有两个不同的实数解，等价于： ①有2解，无解；②有1解，有1解；③无解，有2解； 令函数，，时，，即有在上单调递增，在上单调递减，（e）， 作出函数的图象如图： 则①有2解，无解，此时，此时无解，舍去； ②有1解，有1解，此时因为， 则需或，解得或； ③无解，有2解，此时，解得， 综上，， 故答案为：． 【点睛】本题考查方程的根与函数零点的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题． 4.（2024·陕西渭南·一模）已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【分析】利用导数研究函数的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由，令，得或，然后分类和讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围． 【详解】因为，令，得到，解得或， 又当时，，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，时，， 其图像如图，所以，当时，有2上解，有2个解， 又因为方程有7个不同的实数解，所以当时，有3个实数解， 又时，，则， 所以时，，时，， 即当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又当时，，当时，， 又当时，有3个实数解， 所以或， 解得或， 故答案为：或. 【点睛】方法点睛：解决函数零点问题经常用到的方法就是数形结合，用导数研究函数的性质. 题型05 一元二次嵌套2：含参因式分解型 含参型一元二次嵌套求零点，优先考虑是否能十字相乘因式分解。 1．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对该方程进行因式分解，得到的可能取值，分析时的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到和时的图象，结合的图象确定的取值. 【详解】由因式分解得： 即或. 是定义在上的奇函数，则； 由题意知当 时， ， 当 时，，则， 当 时，，则， 以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示： 结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根； 当时，和的图象有2个交点，即有2个根， 结合图象可知其他选项不合题意， 所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根. 2．（25-26高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的表达式，先画出函数图象，再令，利用数形结合即可求出函数恰有3个不同的零点时，的取值范围. 【详解】由，可画出函数的图象，如图所示， 易知处的函数值为，即如图中的点，所以， 令，则，由图可知， 当时，与无交点； 当时，与有2个交点； 当时，与有1个交点. 令，则，化简得，解得，， 要使函数恰有3个不同的零点， 则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为； 或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为， 当时，，此时只有1个零点，不合题意， 综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为. 3．（25-26高二下·江西九江·期中）设函数，若关于的方程 恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解，将问题转化为或共有4个解，利用导数求的单调性，进而可作出的图象，即可求解. 【详解】解：因为恰好有4个不相等的实数解， 所以恰好有4个不相等的实数解， 所以或共有4个解， 设，，则， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 且，， 当时，，所以； 设，， 则，为单调减函数， 且时，，， 作出函数的图象如图所示： 由图可知只有一解， 要恰好有4个不相等的实数解， 即要恰有3解， 所以， 即， 4．（23-24高三·辽宁沈阳·阶段检测）若，，则关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得或，转化为或与函数的图象共有6个不同的交点，作出函数的图象，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得或， 因为关于的长有6个不同的解， 所以或与函数的图象共有6个不同的交点， 由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 题型06 一元二次嵌套3：根的分布型（单参） 根的分布 1.基础分布：0分布 特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。 方法：判别式+韦达定理 2． 区间分布与K分布 特征：（1）、根比某个常数K大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外） 方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手 （1） 开口方向； （2） 判别式； （3） 对称轴位置； （4）根的分布区间端点对应的函数值正负 1．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析函数，作出函数大致图象，分析函数，把零点问题转化为关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根，进而结合判别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 2．（25-26高一上·湖北荆州·期末）设函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出草图，根据已知，令，数形结合判断的零点分布区间，再由二次函数性质列不等式组求参数范围． 【详解】由题设，函数的图象如下图示， 令，要使原方程有个不同的实数解，则有两个不同实根，且， 故由图知：，即的两个零点在区间和内， 而开口向上，故，可得． 故答案为：D 3．（24-25高三·四川模拟预测）定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为 A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或6 【答案】B 【分析】由函数关于点对称，得是奇函数，由此可作出函数的图象，利用图象可分析方程的根的个数，再用换元法（设）把原方程转化为一元二次方程，通过这个二次方程根的研究得出原方程解的个数． 【详解】∵函数关于点对称，∴是奇函数，时，在上递减，在上递增， 作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是1，2，3. 或时，有一个解，时，有两个解，时，有三个解， 方程中设，则方程化为，其判别式为恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设， 若，则，，和都有两个根，原方程有4个根； 若，则，，∴，，有三个根，有一个根，原方程共有4个根； 若，则，，∴，，有一个根，有三个根，原方程共有4个根． 综上原方程有4个根． 故选：B. 【点睛】本题考查考查函数零点与方程根的个数问题，解题时作出函数图象利用数形结合思想求解是明智之举．而换元把方程转化为一元二次方程是解题关键． 4．（25-26高三·黑龙江·模拟预测）设函数若关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为 A．(2－2， B．(－2－2，2－2) C．(，＋∞) D．(2－2，＋∞) 【答案】A 【分析】画出的图像，利用图像，利用换元法，将方程恰好有六个不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】画出的图像如下图所示，令，则方程转化为，由图可知，要使关于的将方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同的实数根，所以，解得. 故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数根于判别式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 题型07 一元二次嵌套4：根的分布型（双参） 规律：以下几方面得一元二次方程根，考虑根的分布。 1.开口方向（含二次项系数为0特例）； 2.如果是0分布，可以韦达定理解决 3.k分布或者区间分布： （1）开口；（2）判别式；（3）对称轴；（4）f（x0）正负，x0是区间端点值 1．（2026·广东·模拟预测）若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求导后转化为方程根的问题，再结合题意求出方程的不同实根个数. 【详解】，且，是极值点， 则，故 令，则方程即为 ，解得或， 因此原方程等价于，．示意图如下，可得实根个数为4． 2．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得为偶函数，然后化简函数并画出图象，记方程的两根分别为，数形结合得，，进而利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由题意得，的定义域为关于原点对称， 且，所以为偶函数， ，作出函数的图象如下： 由题意关于的方程恰有6个不同的解， 令，由的图象得当时，方程有四个根； 当时，方程有两个根； 当时，方程无解． 设方程的两根分别为，则，， 令，则，解得，即， 因此实数的取值范围是． 3．（25-26高二下·浙江丽水·期中）设a，，函数，若函数恰有3个零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，恰有3个零点 当时，，是一次函数 若，，该函数有无数个零点，与题目要求不符； 若，，该函数无零点； 若，当时，该函数存在一个零点，当，该函数没有零点， 所以当时，至多有一个零点， 要使得函数有三个零点，则当时，函数应至少有两个零点， 当时，， ， 若，则在上，在上有最小值； 此时在区间的图象大致为： 若，则函数在上没有零点； 若，则函数在上只有一个零点， 所以当时，在上至多只有一个零点，不满足题意， 若，则在上，，在上，， 此时在区间的图象大致为： 故在上有最小值， 为保证有两个零点，，即， 且 ，即， 所以，当时，， ，有两个零点， 那么，当时，则必然存在一个零点，即满足 ， 因 ，所以，因此，综上所述，，. 4．（24-25高三上·河南洛阳·阶段检测）已知定义域为的函数，若关于x的方程有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】对每个分段中的函数表达式讨论,即可得,再根据只有三个不同的实数解,可分析得为的根,进而求得,．再求即可. 【详解】当时．函数单调递增,则关于x的方程在 内至多只有两个解,所以必为其中一解,即． 故当时,,此时由函数,得；① 若关于x的方程有无数个不同的实数解,则当时, 也一定满足,代入得．② 联立①②,解得,． 当时,,由即,得,解得或,解得或． 所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用以及复合函数的问题,需要根据题意分析每个根满足的条件与具体值等.属于难题. 题型08 一元二次嵌套5：内外复合型 内外复合型，选择适当的方式换元，通过换元简化函数形式。 1．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数，则函数零点的个数为（    ） A．9 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】令，求出或，然后分别讨论函数的零点个数. 【详解】因为函数，所以. 令，则，得到或， 当时，设 当时，2个零点；当时，4个零点；当时，3个零点； 所以时共9个零点； 当时，设 当时，4个零点；当时，3个零点； 所以时共7个零点； 综上共有个零点. 故选：C. 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数（），函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据曲线在点处的切线方程判断曲线和的交点情况，求方程的根，并根据函数的单调性及零点存在定理判断该根的大致范围，判断的图象与直线，的交点情况 【详解】函数的零点个数即方程的根的个数．令，则方程等价于． 求曲线在点处的切线方程，得曲线和的交点情况 对于函数，易知当时，，， 故曲线在点处的切线方程为， 因此曲线和无交点．（技巧：通过研究曲线在点处的切线， 数形结合判断曲线和的交点情况） 求方程的根，并判断该根的大致范围： 将代入，得， 则，令，得或， 故当时，，与无交点， 作出函数和的大致图象如图所示，结合图象可知， 方程有且仅有1个解，且此解就是方程的解． 易知函数是增函数，且，（点拨：因为，所以，故）因此方程的解． 又当时，，所以无解，显然有2个解， 所以函数有2个零点， 故选：B．    3．（24-25高二下·山西运城·期末）已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8. 【答案】B 【分析】设，作出，的图象，利用数形结合可得的解的个数，再结合函数图象即可求解. 【详解】设，由，得， 作出，的图象，如图所示： 由图可知，与有3个交点， 设这3个交点的横坐标从小到大依次为，且， 结合图象可知，有1个解，有3个解，有2个解， 因此有6个解，即函数的零点个数为6. 故选：B. 4．（2025·河北保定·二模）已知函数记函数的个零点为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】令，则，时，求出的零点；时，利用零点存在定理得存在零点；时，利用导数研究其单调性，进而得在上无零点，则有两个零点，从而求出函数的零点，即可得解． 【详解】由题可知， 令，则， 当时，，此时有唯一的零点； 当时，， 当时，单调递减，且， 所以存在，使得； 当时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 所以在上无零点， 所以在其定义域上有两个零点． 当时，因为，所以由，得，解得； 当时，由，得，或， 所以函数共有3个零点，分别为， 所以． 故选：A． 题型09 镶嵌与零点：整数解型 1.（25-26高一上·河北承德·期中）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．最大的整数解是4 D．最小的整数解是 【答案】BCD 【分析】作出函数的大致图象，令，由方程有且仅有5个不相等的整数解，转换成有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，即可求解. 【详解】因为当时，，当且仅当时取等号， 当时，， 因为在单调递减，而单调递增， 所以在定义域内单调递减， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质，作出函数的大致图象，如下： 令，则，即，根据的图象可知， 要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根， 当且仅当时，有两个整数根或． 要满足有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2， 显然只有符合题意，当时，，则． 即的两个不相等的根为4和5，所以，．故A错误，B正确． 解方程得或，解方程得， 此时五个整数根从小到大依次是，，，，，故C，D正确． 故选：BCD． 2．（25-26高三·河南·阶段检测）已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（    ） A． B． C．1.5 D．2.3 【答案】ABC 【分析】画出图象，不等式化为，分、和，三种情况讨论，结合图象，即可求得的取值范围. 【详解】由函数，画出图象，如图所示， 又由不等式，可得， 当时，，此时不等式无解； 当时，由，可得， 若不等式恰有1个整数解，则整数解为， 因为，可得； 当时，由，可得， 若不等式恰有1个整数解，只需． 综上所述：实数的取值范围为． 故选：ABC． 3.（2025·辽宁·三模）已知函数，关于x的不等式只有1个整数解，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】通过求导得出函数的单调性和最值，进而画出函数图象.然后对参数进行分类讨论，根据不同的取值范围求解不等式，再结合函数性质和整数解的条件确定的取值范围. 【详解】解：由， 令，解得：，令，解得：， 的递增区间为，递减区间为，故的最大值是； 时，时，， 故在时，，在时，，函数的图象如下： ①时，不等式化为，无整数解，不合题意； ②时，由不等式得，无整数解； ③时，由不等式，得或， 而时，没有整数解，进而的解集整数解只有一个， 且在递增，在递减， 而，这一个正整数只能为3， 所以，即； 综上，a的取值范围是． 故答案为：. 4．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最小值是______． 【答案】 【分析】数形结合，分讨论，根据韦达定理结合的图象找到满足恰有一个整数解时的取值范围，进而可求解. 【详解】作出的图象如图， 当时，令，即， 设为方程的两个根，且， 则有， 当时，，则必有， 则必包含在不等式的解中，由图可知的解为， 此时不等式的解中有2个整数，不符合题意， 当时，或者， 若，则，若，则， 所以，则才能取到最小值， 由图象可知，当时，对应的值唯一， 因为的解恰有一个整数，所以这个整数为， 则，当时，有最小值为，即有最小值为， 故答案为: . Jieshu 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03嵌套函数归类大全 题型脑图•核心考法搭建 一元二次嵌套2：含参因式分解型 嵌套函数1：自身互嵌型 一元二次嵌套3：根的分布型（单参） 嵌套函数2：双函数互嵌型 嵌套函数归类大全 一元二次嵌套4：根的分布型（双参） 嵌套函数3：自身嵌套求解析式 一元二次嵌套5：内外复合型 一元二次嵌套1：因式分解型 镶嵌与零点：整数解型 考法深研•解题技能进阶 题型01嵌套函数1：自身互嵌型 点方法技巧 嵌套函数有两种类型： 1.嵌套函数自身互嵌型：f（f(x)) 2嵌套函数双函数互嵌型：f(g(x)) 无论哪一种嵌套函数，基本思维就是“换元”。 2 -1，-2≤x<0 1·(2026浙江宁波二模)已知函数f(x)= ,设 是三个不同的实数，且满足 Inx,x>0 a,b,c f(f(a)=f(f(b)=f(f(c).则a+b+c的最小值为() A.e2-1 B.e-1 c.e2-1+l 1 e D.e-l+ 2+2」 2.(25-26高-上浙江杭州期未)已知f(x)= 2,xs1 则实数a满足 则满足条 log2 (x-1),x>1 f[f(a)]=0 件的实数a的值的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 3.(2026辽宁大连模拟预测)已知f(x)=ar2+br+c(a≠0)，则方程f(f(x》=x的互异的实根个数不可 能是（) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(25-26高-上上海虹口期末)已知f(x)=x-1,则函数y=f(/(x)的零点个数为() 1/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 题型02嵌套函数2：双函数互嵌型 点方法技巧 嵌套函数双函数互嵌型：f(g(x)) 对于嵌套型复合函数y=f儿8(x】的零点个数问题， 求解思路如下： (1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=∫(u) (2)确定外层函数y=f(u)的零点u=4,(i=1,2,3,…,n); (3)确定直线4=4(i=1,2,3,n)与内层函数4=8(x)图象的交点个数分别为4、42、a、、an, 则函数y=f[g(x]的零点个数为a+a+a,+…+a, 1.(25-26高三北京模拟预测)函数y=f(x),x∈[-a,a和y=g(x),x∈[0，d]的图象如图所示，其中 0<b<c<a,则() YA YA a-c c a fx) =g(x) A.方程f[g(x)】=0恰有-个解 B.方程g[f(x】=0恰有两个解 C.方程f[f(x】=0恰有三个解 D.方程88(]=0恰有四个解 2.(2025陕西西安三模)设函数f(x)=x2+ax+b,g()=x2+cx+d若函数y=f(g(x)与y=g(f(x) 都没有零点，则函数y=f(f()与y=g(g(x)() A.都没有零点 B.都有零点 C.至少有一个没有零点 D.至少有一个有零点 3,(2025高三全国专题练习)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x,若函数g(x) 满足g(x)=f(x),且g(f(x)-a=0有10个不同的解，则实数a的取值范围为（） A.a<-1 B.-1<a<0 C.0<a<1 D.a>1 4,(25-26高三·全国专题练习)已知f()是定义域为R的单调函数，且对任意实数x,都有 +品]0e到为() A.0 8.2 D.1 2/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03嵌套函数3：自身嵌套求解析式 点方法技巧 自身嵌套求解析式。一般情况下，函数如果满足f[8(]=m(m是常数) 有如下特征： 1.函数f(x))是单调函数。 2.内函数g(x)常常是g(x)=f(x)+h(x),其中g(x)是定值常数，h(x)是有具体解析 式的函数。 方法：设t=g(x)=f(x)+hx),得ft)=m,再反带入。 1·(25-26高三·甘肃张掖模拟预测)已知定义域为(0，+∞)的单调函数∫(x)满足： x∈(0，+o),f(f(x)-lgr)=11,则函数g(x)=f(x)-sinr-10的零点的个数为（) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高一上·上海虹口期末)已知定义在R上的函数y=x)满足：函数y=f(x)的零点集合为有限 集，且对任意的x∈R,都有f(f(x)+)=0.则函数y=f(x)的零点个数的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2025年全国专题练习)已知f(x)是定义域为R的单调函数，且对任意实数x,都有 +2明70g,刮m方() A.0 B.3 D.1 4.(24-25高三上·上海阶段检测)已知定义在(0，+0)上的函数y=f(x)满足对任意x∈(0，+∞)，都有 几/()-中=5若函数y=f)-5的零点个数为有限的∈N个，则n的最大值是（） A.1 B.2 C.3 D.4 题型04一元二次嵌套1：因式分解型 点方法技巧 对于af(x)+bf(x)+c=0可以因式分解型，通过换元t=f(x)，at2+bt+c=0进行因式分解，得到两个根 t与t2,在借助t=f(x)与t,=f(x)求解根的个数。 a-2+1,x≤2， 1·(24-25高三上浙江宁波期末)已知函数f(x)= -(x-2)2+4a,x> 2a>0且a≠)在R上为单调函 数若方程∫(x)4f(x+3=0有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是() 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(0 11 c.42 .4 2lnx x>0, 2.(24-25高三上天津河西期中) 已知函数f(x) 若 snar+ 恰 -π≤x≤0， 2f2(x)-3f(x)+1=0 有6个不同的实数解，则正实数0的取值范围是 3.24-25高三河北阶段检测)已知函数/()=-m,若∫)-)-2-0有两个不同的实数 解，则实数m的取值范围是 ,x>1 4.(2024陕西渭南一模)已知函数f(x)= elnx ,方程 有7个不同的实数 x3-3x+a,x≤1 [f(x)]-5f(x)+6=0 解，则实数a的取值范围是 题型05一元二次嵌套2：含参因式分解型 点方法技巧 含参型一元二次嵌套求零点，优先考虑是否能十字相乘因式分解。 1. (25-26高三下江苏泰州阶段检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时 1-cosx,0<x53 f(x)= 若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实 2f(6-3),x>3 f2(x)-(a-1)f(x)-a=0 数a的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 lnx,x≤e 2.(25-26高-下浙江衢州期末)已知函数f(x) (r'r>e, 若函数 )-[/'+r-2a怡有3 个不同的零点，则实数a的取值范围() B·(0,1) c.(-.0v(o) 2In -,x≥1 3.(25-26高二下江西九江期中)设函数f(x)= 若关于的方程 -(x-1),x<1 [f(c)]+mf(x)-1-m=0恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是()】 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e.(2 c.（ sinx,sinx≥cosx 4,(23-24高三辽宁沈阳阶段检测)若x0,2闲” f(x)= (cosx,sinx<cosx 则关于的方程 f产(x)+(1-2a)f(x)+a2-a=0恰好有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为() c. 题型06一元二次嵌套3：根的分布型（单参） 点方法技巧 根的分布 1.基础分布：0分布 特征：(1)、两正根；(2)、两负跟；(3)、一正一负两根。 方法：判别式+韦达定理 2.区间分布与K分布 特征：(1)、根比某个常数K大或者小；(2)、根在某个区间(a,b)内（外） 方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手 (1)开口方向： (2)判别式： (3)对称轴位置： (4)根的分布区间端点对应的函数值正负 -x2-2x+2,x≤0 1.(2026湖南邵阳三模)已知函数f(x) Inx,x>0 若函数g(w)=[f(]-a时)+5有8个 不同的零点，则实数a的取值范围是（) A25别 B. 914 c.23 D8) 03-2x≤2 2.(25-26高-上湖北荆州期未)设函数f(x)= 7 若方程 有5个不 f2(x)-af(x)-a+3=0 同的实数解，则实数α的取值范围为()】 A·(3,4) c.e3 D.日3) 3. (24-25高三四川模拟预测)定义在R上函数f(,若函数y=f(x-1)关于点(1,0)对称，且 f()= -x2,x∈(0,1)， -2,x[l,+o),则关于的方程fP()-2m)=1m∈R有n个不同的实数解则n的所有可 能的值为 A.2 B.4 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.2或4 D.2或4或6 3”+1,x≤0 4·(25-26高三黑龙江模拟预测)设函数f(x)= log4,x>0若关于x的方程f(x)-(a+2f(y)+3=0 恰好有六个不同的实数解，则实数α的取值范围为 A·25-2.2 B(-25-2,25-2) 3 C.(2:+o) D.2V3-2.+o) 题型07一元二次嵌套4：根的分布型（双参） 点方法技巧 规律：以下几方面得一元二次方程根，考虑根的分布。 1.开口方向（含二次项系数为0特例）； 2如果是0分布，可以韦达定理解决 3.k分布或者区间分布： (1)开口；(2)判别式；(3)对称轴；(4)f(x)正负，x是区间端点值 1.(2026广东模拟预测)若函数f(x)=x+ax+br+C有极值点x,x2,且x<x2,若f(c)=x2, fx)=x,则关于x的方程3(f(x)》+2af()+b=0的不同实根个数是()】 A.3 B.4 C.5 D.6 ,1,.1 2.(25-26高-下湖北荆州期中)已知函数f(x)=x++x- 若关于的方程 f(x)+mf(x)+n=0(m,neR)恰有6个不同的实数解，则实数n的取值范围为(） A.(-0∞，4) B.(0,4) C.(4,+o) D.(0,+o0) x+1,x<0 3.(25-26高二下浙江丽水期中)设a 。'函数八=xa+2)x+(a+Dxx≥0答阿数 beR y=f(x)-(a+1)x-b恰有3个零点，则（) A.a<-2,b<0 B.a<-2,b>0 c.2<a<0-ga+2<bs0 D.-2<a(0,b)0 10g2(x+1),x>-1 4.(24-25高三上河南洛阳阶段检测)已知定义域为的函数f(x)=1,x=-1 ，若关于x的方程 及 2,x<-1 f(x)-bf()-c=0有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解，x,∈[-1，+)，则 6/8 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 f(x+x2+x3+b+C)=() A.l0g25 B.log26 C.3 D.2 题型08一元二次嵌套5：内外复合型 点方法技巧 内外复合型，选择适当的方式换元，通过换元简化函数形式。 1.(25-26高-上湖南常德期末)已知函数f(x)= logzx,x>0 x2+2x+1,x,0则函数 g()=[f(f(x)-3[f(f(x)]+2零点的个数为() A.9 B.14 C.16 D.18 2.(2024全国模拟预测)已知函数()- -x2-2ax,x≤0 mx>0(0ca<分，西数 g(x)=f(f(x)-f(x)-1,则函数g(x)的零点个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 e,x≤0 3.(24-25高二下山西运城期末)已知函数f(x)= 血，x>0(e为自然对数的底数)，则函数 F()=f[/(]+2f()-1的零点个数为() A.5 B.6 C.7 D.8. x2+2,x≤0， 4、2025河北保定二模)已知函数国og,x0记函数g)=f/(》f)-2的n个零点为 x(（i=1,2,…,n),则xx2…xn=()） A.1 B.2 C.3 D.4 题型09镶嵌与零点：整数解型 方法技巧 x+4x>0, 1.(25-26高一上河北承德期中)已知函数f(x)= 若方程 log2 (1-x),x<0,g(x)=x2+ax+b g(f(x)=0有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是() A.a=9 B.b=20 C.最大的整数解是4 D.最小的整数解是-31 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2:(25-26高三河南阶段检测)已知函数f(x)= x2-x,x<0 2x-,x≥0若关于的不等式[了(<时(x)恰有 1个整数解，则实数a的取值可以为() A.-6 B.-5 C.1.5 D.2.3 3.(2025辽宁三模)已知函数f)=血x :关于x的不等式a()-f()>0只有1个整数解，则实数a 的取值范围是 -x2+3x,x≥0 4.(22-23高一上四川成都期末)已知函数f()= x2-3x,x<0· 若关于x的不等式 [f(x)]-a时(x)-b<0恰有-个整数解，则实数a的最小值是 Jieshu 8/8