第21章 一元二次方程 章节 讲义（13知识点回顾+24题型巩固）-2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册满分全攻略备考系列

第21章 一元二次方程 章节（13知识点回顾+24题型巩固） 目录 知识梳理 1.一元二次方程的定义 2.一元二次方程的一般形式 3．解一元二次方程-直接开平方法 4．解一元二次方程-配方法 5．解一元二次方程-公式法 6．解一元二次方程-因式分解法 7．换元法解一元二次方程 8．配方法的应用 9.判别式的值与根的关系 10.根与系数的关系的定理 11.二次三项式的因式分解 12.可化为一元二次方程的分式方程 13.列方程解应用题 题型巩固 一、一元二次方程的定义 二、由一元二次方程的定义求参数 三、判断是否是一元二次方程的解 四、由一元二次方程的解求参数 五、因式分解法解一元二次方程 六、解一元二次方程—直接开平方法 七、解一元二次方程——配方法 八、配方法的应用 九、公式法解一元二次方程 十、换元法解一元二次方程 十一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 十二、根据一元二次方程根的情况求参数 十三、一元二次方程的根与系数的关系 十四、实数范围内分解因式 十五、传播问题(一元二次方程的应用) 十六、增长率问题(一元二次方程的应用) 十七、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 十八、数字问题(一元二次方程的应用) 十九、营销问题(一元二次方程的应用) 二十、动态几何问题(一元二次方程的应用) 二十一、行程问题(一元二次方程的应用) 二十二、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 二十三、可化为一元二次方程的分式方程 二十四、其他问题(一元二次方程的应用) 知识梳理 知识点1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 概念解析： 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2.一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点4．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点5．解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点6．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点7．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点8．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点9.判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点10.根与系数的关系的定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 知识点11.二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 知识点12.可化为一元二次方程的分式方程 1．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 2．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 3．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点13.列方程解应用题 1.数字问题 多位数的表示：任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成。数位从右至左依次是个位、十位、百位等，数位上的单位从右至左依次为 1、10、100 等。数位上的数字只能是 0-9 之中的数，且最高位上的数不能为 0。例如，一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为 100c + 10b + a。 连续整数、偶数或奇数问题：几个连续整数中，相邻两个整数相差 1。如三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 1，x + 1。几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差 2。如三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 2，x + 2。 解决数字问题时，通常先根据题目条件设出合适的未知数，再依据数字之间的关系找出等量关系，进而列出一元二次方程求解，最后要检验所得的解是否符合实际情况，如数字是否在合理范围内等。 2.增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 3.握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 4.利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． 5.几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． 6.动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 题型巩固 题型一、一元二次方程的定义 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（24-25八年级上·上海·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c为常数且），即可解答． 【详解】解：， ， ，即 ∴一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 题型二、由一元二次方程的定义求参数 3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是准确掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，直接求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（其中）， 题目中方程的二次项系数为，因此需满足，解得， 故选：B． 4．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ． 【答案】2 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，再求解即可． 【详解】方程是一元二次方程， 所以且， 解得． 故答案为：2． 题型三、判断是否是一元二次方程的解 5．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 6．对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据当时，有可得答案． 【详解】解：∵当时，，即， ∴是该方程的一个根， 故答案为： 题型四、由一元二次方程的解求参数 7．（24-25八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，先得出一元二次方程的一个根为1，另一个根为得出关于的方程，再化为一般式即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为1，另一个根为， 该方程可以为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 8．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 题型五、因式分解法解一元二次方程 9．（24-25八年级·上海奉贤·期中）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把看做一个整体，把方程左边因式分解得到，则可推出，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴． 题型六、解一元二次方程——直接开平方法 11．（24-25八年级上·上海·假期作业）方程的根为 ． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 这个式子先移项，变成，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：由原方程移项，得 ， 直接开平方，得 ， ； ，； 故答案为：，． 12．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，运用直接开方法求解即可． 【详解】解：开方得：， 即或， 解得：，． 题型七、解一元二次方程——配方法 13．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到等号的右边，再把等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． 故选：C． 14．（25-26八年级上·上海·阶段练习）（用配方法） 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化为，再利用配方法解答即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 题型八、配方法的应用 15．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）的最大值为 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】将式子配方成完全平方式即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式取得最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解本题的关键． 16．阅读：代数式x2+2x+3可以转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），如：x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x2+2x+1）﹣1+3＝（x+1）2+2 （1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式； （2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】配方法的应用 【分析】（1）根据示例给出的方法将代数式转化为（x+m）2+k的形式即可， （2）先将代数式转化为（x+m）2+k的形式，再与（x﹣b）2﹣1的形式联立，求出a和b的值即可． 【详解】解：（1）仿照示例的方法可得： （2） ， 即：，， ． 【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的运算规则是解决本题的关键． 题型九、公式法解一元二次方程 17．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．先求出的值，再代入求根公式求出答案即可． 【详解】解：， 这里，，， ∵， ． ∴， 题型十、换元法解一元二次方程 18．（22-23八年级上·上海青浦·期末）用换元法解方程，若设，则原方程可化为关于的整式方程为 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】由于方程中含有，故设，代入方程后，把原方程化为整式方程． 【详解】解：设， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了数学中的换元思想，用换元法解分式方程，能够使方程简单，因此应根据方程特点选择合适的方法． 19．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 【答案】（1）9或；（2）81；（3）1 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】（1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （2）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （3）设，则由原方程得到关于的一元二次方程，通过解该方程得到的值；然后将其代入所求的变形后的代数式进行求值． 【详解】解：（1）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或． 即值为9或． 故答案为：9或； （2）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或（舍去）． 即代数式的值为81； （3）设，则， 整理，得， 解得或， 当时，无解（舍去）， 即， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 题型十一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 20．（24-25八年级·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根． 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 21．（24-25八年级上·上海闵行·期中）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式的定义求解即可，熟知对于一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 题型十二、根据一元二次方程根的情况求参数 22．（25-26八年级上·上海青浦·阶段练习）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程有根的条件、判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据判别式非负且二次项系数不为零进行解题． 【详解】解：由题意知，， 由①得：， ， 解得：， 由②得：， ∴且． 故选：B ． 23．（25-26八年级上·上海·阶段练习）若二次三项式在实数范围内可以因式分解，则常数的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由题意可得，解不等式求出的取值范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵二次三项式在实数范围内可以因式分解， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴常数的取值范围是且． 题型十三、一元二次方程的根与系数的关系 24．（24-25八年级上·上海·期中）若方程的两个根是和4，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，即． 【详解】解：∵方程的两个根是和4， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 【答案】(1)， (2) (3)3 (4)34 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）根据方程的两个根为，，可得，； （2）根据方程的两个根为，，，代入即可； （3）由题意得，等式变形代入即可； （4）根据一元二次方程根的定义得到，，则原式，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：， （2）∵， ∴ 故答案为： （3）方程的两个根为，， ， 即， 故答案为：3 （4）方程的两个根为，， ，， 即，， 原式 ， 原式． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程根的定义． 题型十四、实数范围内分解因式 26．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解，解一元二次方程，正确的解一元二次方程是解题的关键． 先解方程，再写成因式分解的形式即可． 【详解】解：令， ∴， 则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型十五、传播问题(一元二次方程的应用) 27．某班第一小组的学生互寄贺卡，每位学生都给同组同学寄一张，他们一共寄出90张贺卡，则这个小组有 位学生． 【答案】10 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】由题意可得，每个人都要送给这个小组中除了自己之外的所有人卡片，设该小组有n人，则每个人要送n-1张卡片，所以共送出n（n-1）张，又知全组共送出90张，列出方程求出n值． 【详解】设该活动小组有n人，则每个人要送n-1张卡片，由题意得： n（n-1）=90， 即：n2-n-90=0， 解得，n1=10，n2=-9（不合题意舍去）． 故答案为10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系，列出一元二次方程求解． 28．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 题型十六、增长率问题(一元二次方程的应用) 29．（24-25八年级上·上海·期中）某服装经过两次降价后的售价为元，如果连续两次以同样的百分率降价，该服装的原价为 元．（用含和的代数式表示） 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该服装的原价为b元，利用代数式先表示出第一次降价后的价格，再在第一次的基础上表示出第二次降价后的价格，整理后即可得出结论． 【详解】解：设该服装的原价为b元， 第一次降价后的价格为：元， 则第二次降价后的价格为：元， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 30．（2024八年级上·上海·专题练习）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，计划年底，全省基站数量将达到万座，到年底，全省基站数量将达到万座．按照计划，求年底到年底，全省基站数量的年平均增长率． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为，则到年底全省基站数量为万座，到年底全省基站数量为万座，根据到年底全省基站数量将达到万座可列一元二次方程，解方程即可求出平均增长率． 【详解】解：设年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：年底到年底，全省基站数量的年平均增长率为． 题型十七、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 31．（2024八年级上·上海·专题练习）绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【答案】绿地的长和宽各是米，米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设宽为米，则长为米，再根据长宽列出方程求解即可．根据长方形的面积计算公式列方程是解题的关键． 【详解】解：设宽为米，则长为米， 依题意列方程：， 解方程得：，（舍去） ∴ 答：绿地的长和宽各是米，米． 32．（23-24八年级上·上海·阶段练习）如图，要在一个长10米，宽8米的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，求这个花圃的宽度． 【答案】花圃的宽度为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据非花圃的面积得到关系式比较简便，等量关系为：花圃的宽花圃的宽院子面积的，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设花圃的宽度为， ， 解得（不合题意，舍去）；． 答：花圃的宽度为. 题型十八、数字问题(一元二次方程的应用) 33．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ． 【答案】23 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论． 【详解】解：设原两位数的十位数字为x， 根据题意得： ∴， 解得：，（不符合题意舍去） 答：这个两位数为23， 故答案为23． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 34．（22-23八年级·上海·假期作业）一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【答案】16或49 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】设一位数为，则两位数为． 则根据题意可得：，   整理得：． 分解得：， 解得：，． 答：这个两位数为16或49． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 题型十九、营销问题(一元二次方程的应用) 35．（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件可降价x元，则每件时装可盈利元，销售量为件，再根据总盈利为1600元列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 36．（22-23八年级上·上海·期中）某平台网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期多卖盒，已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店想一星期获利元，且尽快减少库存，那么这星期预期销售多少盒口罩？ 【答案】这星期预期销售盒口罩 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据每降价1元，每星期多卖盒，该网店想一星期获利元，列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设该网店降价元， 则根据题意可得：， 整理得：， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩， 答：这星期预期销售盒口罩． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 题型二十、动态几何问题(一元二次方程的应用) 37．如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm, 秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？ 【答案】2 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm，此时△PCQ的面积为×（8−x）（6−x），令该式＝×AC×BC，得到方程即可求解. 【详解】设运动x秒后．由题意得： AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm， S△ABC＝×AC•BC＝×6×8＝24， 即：×（8−x）×（6−x）＝×24， x2−14x＋24＝0， （x−2）（x−12）＝0， x1＝12，x2＝2； ∵x＜6，∴x1＝12舍去， 所以，当2秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半． 故填：2. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解． 38．等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于． 【答案】 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，利用平行四边形面积公式求解出的值即可． 【详解】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，的面积等于， 依题意可得， 解得：，即长为． 故长为时，平行四边形的面积等于． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，动点问题的应用求解，应用平行四边形面积公式求解出是解答本题的关键． 题型二十一、行程问题(一元二次方程的应用) 39．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 40．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的行程问题 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 题型二十二、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 41．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设有个球队参赛，每两队之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数.每个球队需与其他个球队比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为，根据总场数为15，列出方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得， 故选：D． 42．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【答案】5个 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 题型二十三、可化为一元二次方程的分式方程 43．（24-25八年级·上海崇明·期末）解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】此题考查了解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】设，则， 因此． 原方程可化为： 两边同乘，消去分母： 移项整理得：． 故选：B． 44．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查换元法解分式方程，正确进行计算是解题关键． 设，则：，将方程转化为：，再去分母转化为整式方程即可． 【详解】设，则：， ∴原方程化为：， ∴去分母转化为整式方程可得： ， 故答案为：． 45．某工程队接到一道路改建任务，需为盲人修建一条长3000米的盲道．根据要求，该工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原来计划多250米，结果提前2天完成工程．问实际每天修建盲道多少米． 【答案】750米 【知识点】分式方程的工程问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，读懂题意找到等量关系式解题的关键．设实际每天修建盲道x米，根据“提前2天完成工程”列出方程，求解并检验即可解答． 【详解】解：设实际每天修建盲道x米，根据题意，得 ， 解得，， 经检验，，都是该分式方程的解， 不合题意，舍去，符合题意． 答：实际每天修建盲道750米． 题型二十四、其他问题(一元二次方程的应用) 46．联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物，根据共送礼物870件可列出方程． 【详解】解：设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 47．如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 【答案】(1)不可能，理由见详解 (2)或 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查整式的加减运算、一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法，本题属于基础题型． (1) 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，列出方程，然后将方程整理为一般式，再根据根的判别式即可解答； (2)根据题意列出方程，进而解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：不可能，理由： 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1， 由题意可知：， ， ， ， ， ， 该方程没有实数根， 抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1； （2）解：由题意可知， ， ， ， ， 解得：或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 章节（13知识点回顾+24题型巩固） 目录 知识梳理 1.一元二次方程的定义 2.一元二次方程的一般形式 3．解一元二次方程-直接开平方法 4．解一元二次方程-配方法 5．解一元二次方程-公式法 6．解一元二次方程-因式分解法 7．换元法解一元二次方程 8．配方法的应用 9.判别式的值与根的关系 10.根与系数的关系的定理 11.二次三项式的因式分解 12.可化为一元二次方程的分式方程 13.列方程解应用题 题型巩固 一、一元二次方程的定义 二、由一元二次方程的定义求参数 三、判断是否是一元二次方程的解 四、由一元二次方程的解求参数 五、因式分解法解一元二次方程 六、解一元二次方程—直接开平方法 七、解一元二次方程——配方法 八、配方法的应用 九、公式法解一元二次方程 十、换元法解一元二次方程 十一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 十二、根据一元二次方程根的情况求参数 十三、一元二次方程的根与系数的关系 十四、实数范围内分解因式 十五、传播问题(一元二次方程的应用) 十六、增长率问题(一元二次方程的应用) 十七、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 十八、数字问题(一元二次方程的应用) 十九、营销问题(一元二次方程的应用) 二十、动态几何问题(一元二次方程的应用) 二十一、行程问题(一元二次方程的应用) 二十二、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 二十三、可化为一元二次方程的分式方程 二十四、其他问题(一元二次方程的应用) 知识梳理 知识点1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 概念解析： 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2.一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点4．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点5．解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点6．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点7．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点8．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点9.判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点10.根与系数的关系的定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 知识点11.二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 知识点12.可化为一元二次方程的分式方程 1．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 2．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 3．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点13.列方程解应用题 1.数字问题 多位数的表示：任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成。数位从右至左依次是个位、十位、百位等，数位上的单位从右至左依次为 1、10、100 等。数位上的数字只能是 0-9 之中的数，且最高位上的数不能为 0。例如，一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为 100c + 10b + a。 连续整数、偶数或奇数问题：几个连续整数中，相邻两个整数相差 1。如三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 1，x + 1。几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差 2。如三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 2，x + 2。 解决数字问题时，通常先根据题目条件设出合适的未知数，再依据数字之间的关系找出等量关系，进而列出一元二次方程求解，最后要检验所得的解是否符合实际情况，如数字是否在合理范围内等。 2.增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 3.握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 4.利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． 5.几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． 6.动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 题型巩固 题型一、一元二次方程的定义 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 题型二、由一元二次方程的定义求参数 3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D． 4．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ． 题型三、判断是否是一元二次方程的解 5．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 6．对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是 ． 题型四、由一元二次方程的解求参数 7．（24-25八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是 ． 8．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 题型五、因式分解法解一元二次方程 9．（24-25八年级·上海奉贤·期中）方程的解是 ． 10．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 题型六、解一元二次方程——直接开平方法 11．（24-25八年级上·上海·假期作业）方程的根为 ． 12．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 题型七、解一元二次方程——配方法 13．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·上海·阶段练习）（用配方法） 题型八、配方法的应用 15．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）的最大值为 ． 16．阅读：代数式x2+2x+3可以转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），如：x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x2+2x+1）﹣1+3＝（x+1）2+2 （1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式； （2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值． 题型九、公式法解一元二次方程 17．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 题型十、换元法解一元二次方程 18．（22-23八年级上·上海青浦·期末）用换元法解方程，若设，则原方程可化为关于的整式方程为 19．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 题型十一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 20．（24-25八年级·上海金山·期末）若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 21．（24-25八年级上·上海闵行·期中）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 题型十二、根据一元二次方程根的情况求参数 22．（25-26八年级上·上海青浦·阶段练习）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 23．（25-26八年级上·上海·阶段练习）若二次三项式在实数范围内可以因式分解，则常数的取值范围是 ． 题型十三、一元二次方程的根与系数的关系 24．（24-25八年级上·上海·期中）若方程的两个根是和4，则 ． 25．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 题型十四、实数范围内分解因式 26．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内分解因式： ． 题型十五、传播问题(一元二次方程的应用) 27．某班第一小组的学生互寄贺卡，每位学生都给同组同学寄一张，他们一共寄出90张贺卡，则这个小组有 位学生． 28．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 题型十六、增长率问题(一元二次方程的应用) 29．（24-25八年级上·上海·期中）某服装经过两次降价后的售价为元，如果连续两次以同样的百分率降价，该服装的原价为 元．（用含和的代数式表示） 30．（2024八年级上·上海·专题练习）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以等为代表的战略性新兴产业，计划年底，全省基站数量将达到万座，到年底，全省基站数量将达到万座．按照计划，求年底到年底，全省基站数量的年平均增长率． 题型十七、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 31．（2024八年级上·上海·专题练习）绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 32．（23-24八年级上·上海·阶段练习）如图，要在一个长10米，宽8米的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，求这个花圃的宽度． 题型十八、数字问题(一元二次方程的应用) 33．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ． 34．（22-23八年级·上海·假期作业）一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 题型十九、营销问题(一元二次方程的应用) 35．（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 36．（22-23八年级上·上海·期中）某平台网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期多卖盒，已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店想一星期获利元，且尽快减少库存，那么这星期预期销售多少盒口罩？ 题型二十、动态几何问题(一元二次方程的应用) 37．如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm, 秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？ 38．等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于． 题型二十一、行程问题(一元二次方程的应用) 39．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 40．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 题型二十二、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 41．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 42．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 题型二十三、可化为一元二次方程的分式方程 43．（24-25八年级·上海崇明·期末）解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 44．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 45．某工程队接到一道路改建任务，需为盲人修建一条长3000米的盲道．根据要求，该工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原来计划多250米，结果提前2天完成工程．问实际每天修建盲道多少米． 题型二十四、其他问题(一元二次方程的应用) 46．联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ． 47．如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $