精品解析：安徽池州市青阳县2025-2026学年度第二学期期末考试七年级数学试题

2025～2026学年度第二学期期末考试 七年级数学试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 在，，π，这四个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐个化简所给数字，判断得到无理数的个数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数． 综上所述， 无理数共有个． 2. 随着科技的发展，纳米材料在很多领域有广泛应用．一种新型纳米颗粒的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项逐项判断即可． 【详解】解A．根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，故A错误； B．根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，故B正确； C．根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，可得，故C错误； D．与不是同类项，不能合并，故D错误． 4. 把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】将扩大后的x，y代入原分式化简，和原分式比较即可得到结论． 【详解】解：∵x，y都扩大3倍，分式为， ∴分式的值不变． 5. 如图，已知，直角顶点在上，已知，则（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】先求出∠GED，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵∠FEG＝90°， ∴∠GED＋∠CEF＝90°， ∵∠CEF＝35°， ∴∠GED＝55°， ∵， ∴∠GHB＝∠GED＝55°，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，属于中考常考题型． 6. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7. 若，，，则的值为（ ） A. B. 10 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，利用同底数幂的乘除法则和幂的乘方法则，将所求式子变形为已知幂的组合形式，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，， 已知，，， 代入得，， ∴． 8. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值．先对已知方程变形得到的值，再利用完全平方公式的恒等变换计算所求式子的值． 【详解】解：∵，且（若，代入方程左边得，矛盾）， ∴方程两边同时除以，得， ∴， ∵， ∴ 将代入，得． 故选：A． 9. 不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式，再根据一元一次不等式组无解的条件建立关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解不等式 解不等式 得到 不等式组无解，两个不等式的解集无公共部分， 解得． 10. 如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（ ） A. 72 B. 45 C. 36 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解题思路为先将原式整理为平方差的形式，利用平方差公式分解后，再对可分解的多项式继续分解，直到不能再分解为止． 【详解】解： ． 13. 已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得：， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 14. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，与相交于点，连接．则（1）与的位置关系是______；若三角形的面积比三角形的面积大，则（2）______． 【答案】 ①. 平行 ②. 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的面积，三角形的面积．掌握平移的性质是解决（1）的关键，正确作出辅助线是解决（2）的关键． （1）由平移的性质可得出， （2）过A点作于，利用等面积法计算出，由，，即可得出，再根据，即可列出关于a的等式，解出a即可． 【详解】（1）∵三角形沿方向平移得到三角形， ∴ （2）过A点作于，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵三角形的面积比三角形的面积大，即， ∴， 解得． 故答案为：平行，． 三、解答题（第15题8分，第16-17题各4分，第18题6分，第19-21题各8分，第22题14分，共60分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由负整数指数幂，零指数幂，有理数乘方，绝对值的运算法则，分别计算每一项后合并即可得到结果； （2）由完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则，展开后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将解集表示在数轴上如下： ． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：原方程变形为 方程两边同时乘以去分母，得 解得 检验：当时， ， ∴是原分式方程的解． 18. 化简：，并从，0，1，2四个数中选一个你喜欢且合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【解析】 【分析】先把括号内的式子通分，把除法变为乘法，再约分，得出最简结果，然后结合分式有意义的条件进行代值求解即可． 【详解】解： 且 且 ∴当时，原式． 当时，原式． 19. 如图，已知，与互补． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，再进一步结合已知条件即可得证； （2）结合已知条件先求出，进而利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ． ． ， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：平分， ， 又， ． ， ， ． ， ， ． 20. 观察下列关于正整数的等式： ；① ；② ；③ …… 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第个等式：____________． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】（1）； （2）猜想，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究； （1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可． （2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明． 【小问1详解】 解：由题意得：第五个等式为， 故答案为：5，21； 【小问2详解】 解：猜想：第个等式为， 证明：等式左边：． ∴等式左右两边相等， ∴第个等式为． 21. 2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同． （1）求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ （2）采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ 【答案】（1）每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元 （2）可以购买14盒口罩，6盒水银温度计 【解析】 【分析】（1）设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元，根据“用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同”建立分式方程求解； （2）设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计，根据题意建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元， 由题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元； 【小问2详解】 解：设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计， 由题意得： 解得 y只能取整数， ， 答：可以购买14盒口罩，6盒水银温度计． 22. 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． （1）如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，求的度数； （2）如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（可用含的式子表示）． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，，解题的关键是∶ （1）如图，过B作，根据平行线的性质求出，根据光的反射定律并结合已知求出，根据平行线的性质求出，然后根据角的和差关系求解即可； （2）①过E作，根据平行线的传递性可得出，根据平行线的性质得出，，根据光的反射定律求出，进而求出，，然后根据平行线的性质求解即可； ②由①可求当和重合时，，然后分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解∶由题意得， ， 如图，过B作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①根据题意，得，， 过E作， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过E作， ∴， ∴，， 当和重合时，则， ∴， 当时，如图， 由①可知：， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图，过E作， 同理可求出， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末考试 七年级数学试题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 在，，π，这四个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 随着科技的发展，纳米材料在很多领域有广泛应用．一种新型纳米颗粒的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 无法确定 5. 如图，已知，直角顶点在上，已知，则（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 6. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则的值为（ ） A. B. 10 C. 20 D. 25 8. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 9. 不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（ ） A. 72 B. 45 C. 36 D. 30 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 的平方根是_______． 12. 因式分解：________． 13. 已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 14. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，与相交于点，连接．则（1）与的位置关系是______；若三角形的面积比三角形的面积大，则（2）______． 三、解答题（第15题8分，第16-17题各4分，第18题6分，第19-21题各8分，第22题14分，共60分） 15. 计算： （1） （2） 16. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 解方程：． 18. 化简：，并从，0，1，2四个数中选一个你喜欢且合适的数代入求值． 19. 如图，已知，与互补． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 20. 观察下列关于正整数的等式： ；① ；② ；③ …… 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第个等式：____________． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 21. 2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同． （1）求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ （2）采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ 22. 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． （1）如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，求的度数； （2）如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（可用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $