第10讲 直线的交点坐标与距离公式（培优讲义）新高二数学人教A版

第10讲 直线的交点坐标与距离公式（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 两条直线的交点坐标 2 知识点02 两点间的距离公式 3 知识点03 点到直线的距离公式 4 知识点4两条平行直线间的距离 5 剖题型·讲技巧 5 题型1 直线的交点问题 5 题型2 判断直线的位置关系 7 题型3 三线围成的三角形问题 10 题型4 直线交点系方程及其应用 14 题型5 两点间的距离问题 16 题型6 点到直线的距离问题 18 题型7 平行直线间的距离问题 20 释疑惑·重难拓展 24 题型1 对称问题 24 题型2 将军饮马问题 27 知高考•真题探源 30 练好题·提分培优 31 课标要点 1．会联立直线方程求交点，依据方程组解的个数区分相交、重合、平行三种位置关系。 2．掌握两点间距离公式，能利用坐标轴平行线段简化距离计算，理解公式不受点顺序影响。 3．熟记点到直线、平行线间距离公式，会处理水平、竖直特殊直线的距离求值问题。 4．运用距离公式解决简单几何计算，感受解析几何代数运算处理几何问题的思想 知识点01 两条直线的交点坐标 1、两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2、方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 练习 1．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 知识点02 两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 补充： （1）距离大小只和两点坐标差值有关，和两点书写先后顺序无关。 （2）特殊简化计算：①两点连线平行 x 轴，距离； ②两点连线平行 y 轴，距离； 练习 3．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【详解】因为点表示数，所以，由，得， 点表示数，向右平移个单位后，点表示的数为， 所以，解得或， 又因为、在原点两侧，所以，故舍去，即可得. 4．已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 知识点03 点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 练习 5．已知点，点，则原点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由，， 而，则，即， 在中，原点到直线的距离为. 6．若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 知识点4两条平行直线间的距离 1、两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2、两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 练习 7．平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】 【详解】. 题型1 直线的交点问题 方法技巧 求两条直线交点，直接联立直线方程，解二元一次方程组，方程组的解即为交点坐标。 处理多直线共点题目，先求出两条直线交点，再把交点代入剩余直线方程完成验证。 【例1】若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 【例2】若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 【变式1-1】直线与的交点坐标为，则______，______． 【答案】 【详解】由题意知点既在上也在上， 由解得. 故答案为：；. 【变式1-2】三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 【详解】联立，解得， 把交点坐标代入，得，解得. 故答案为：. 【变式1-3】直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 题型2 判断直线的位置关系 方法技巧 联立直线方程，依靠方程组解的数量判断位置，一组解代表相交，无数组解代表重合，无解代表平行。 也可利用直线一般式系数对比与，快速判定关系，减少计算量。 遇到含参数直线，分参数不同取值讨论，完整区分平行与重合两种不同情况。 【例3】若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 【例4】曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 【变式2-1】（多选）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【答案】AD 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 【变式2-2】若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 【答案】4 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 【变式2-3】已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【详解】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 题型3 三线围成的三角形问题 方法技巧 两两联立直线方程，算出三组交点，只有三点不重合、任意两条直线不平行，才能构成三角形。 已知三角形面积，结合交点坐标、距离公式确定底与高，列出方程求解参数。 计算边长优先选用两点间距离公式，水平、竖直线段可直接用坐标差值简化计算。 【例5】已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 【例6】下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 【变式3-1】（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 【变式3-2】（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【详解】由解得，设， 当时，直线即，画出图象如下图所示，此时三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意.    当时，直线的斜率为， 当直线过时，， 平面划分为部分，符合题意.    直线的斜率为，直线的斜率为， 当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当且且时，三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意. 所以ABC选项正确，D选项错误. 故选：ABC 【变式3-3】设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 题型4 直线交点系方程及其应用 方法技巧 过两直线、交点的直线可直接设交点系方程（ 为参数），不用提前计算交点坐标，代入条件即可求参数。 求解定点、平行、垂直相关题目都能使用该方程，省去多次联立方程组的步骤。 计算完成后代入特殊数值验算，确认直线方程符合题目全部条件。 【例7】求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 【例8】若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 【变式4-1】已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 【变式4-2】平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 【答案】 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 【变式4-3】直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程. 【答案】或 【详解】解：设直线方程为， 化简得, 直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 直线的斜率为, 或，解得或. 代入并化简得直线的方程为或. 所以所求的直线方程为或. 题型5 两点间的距离问题 【例9】直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 【例10】若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 【变式5-1】若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 【变式5-2】写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 【变式5-3】已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，又与不垂直，所以； 将直线化为，也即； 因此直线与之间的距离为， 令，整理可得， 易知，整理可得，解得； 当时，，此时两直线重合； 当时，，满足条件，因此. 故选：C 题型6 点到直线的距离问题 方法技巧 先把直线整理成标准一般式，再代入距离公式运算，该公式对水平、竖直直线同样适用。 【例1】（多选）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设所求点的坐标为，则，且， 两式联立解得或， 所以所求点的坐标为或 故选：BC 【例12】已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 【变式6-1】（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 【变式6-2】已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ， ， 所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ， ， ， ， 所以是直角三角形. 【分析】 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. （2）略 【变式6-3】已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)答案及解析 【分析】 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 题型7 平行直线间的距离问题 方法技巧 使用平行线距离公式前，统一两条直线x、y对应系数，保证系数完全一致再代入常数计算。 两条直线同为水平或同为竖直时，直接用纵坐标、横坐标差值绝对值快速求出距离。 结合图形理解距离为公垂线段长度，直观辅助完成数值计算。 【例13】已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【详解】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 【例14】已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由得，即点. 因为所求直线与直线平行，所以，所求直线斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）直线与轴交点的坐标为，直线与轴交点的坐标为， 则，点到的距离， 所以，的面积. 【变式7-1】对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 【变式7-2】已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 【变式7-3】已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1） 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． （2）法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得， 所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为， 因为的面积为， 所以 ，所以 ， 设，则，解得. 释疑惑·重难拓展 题型1 对称问题 方法技巧 点关于直线对称，利用两点连线和对称轴垂直、两点中点落在对称轴上两组条件联立求解。 直线关于点、直线对称，拆解转化为点对称分步计算，借助距离公式核对对称距离相等。 【例15】直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 【例16】一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 【变式8-1】点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 【变式8-2】与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【变式8-3】如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 题型2 将军饮马问题 方法技巧 作出定点对称点，将折线长度转化为两点间直线段，依据两点之间线段最短确定动点位置。 【例17】已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    【例18】已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    【变式9-1】（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 【变式9-2】在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B 【变式9-3】古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 1．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】/0.6 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 2．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 一、单选题 1．已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 2．已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，两直线的距离为. 故选：B 3．点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立方程,可得点的坐标为,可得直线的方程为. 故选：B. 4．已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】易知点的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离， 即，解得，所以C正确，D错误. 5．已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 6．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，直线的方程为，则边上的高所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立与的方程， 得，解得：； 设，则， 即， 将代入得， ， 联立①②，解得：，即， 直线的斜率为， 高的斜率为：， 所以直线的方程为：， ， 故选：D． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 二、多选题 8．已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：AB. 9．若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 三、填空题 10．已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 11．若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是______. 【答案】 【详解】由题意结合点到直线的距离公式可得： 又，故，所以， ，解得，又，故，所以，则这条直线的斜率 故答案为： 12．已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】由，解得，可得， 所以，即，， 当时，，，则无意义； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 综上，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 13．分别求满足下列条件的直线方程： (1)与直线的距离为1 (2)经过直线与的交点，且垂直于直线 【答案】(1)或； (2). 【分析】 【详解】（1）与直线的距离为1的直线平行于直线，设该直线方程为， 由平行线间距离公式得，解得或， 所以所求直线方程为或. （2）由，解得，因此直线与的交点为， 设垂直于直线的直线方程为， 而该直线过点，则，解得， 所以所求直线方程为. 14．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）根据题意作出示意图如图，作出边上的高，边上的高， 即直线方程为，直线方程为, 联立，解得； 故垂心的坐标为 （2）连接并延长交于点， 由（1）可知，； 易知，设直线的方程为， 将代入可得，即直线的方程为； 联立，解得，即； 所以直线的方程为，即； 设点的对称点，则，且的中点在直线上， 又，所以，整理得，解得； 即; 所以点到直线的距离为. 15．已知直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程； (3)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由直线可改写为， 联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立， 故直线恒过定点，得证. （2）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离， 此时， 由，则，故，整理得. （3）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 直线的交点坐标与距离公式（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 两条直线的交点坐标 2 知识点02 两点间的距离公式 3 知识点03 点到直线的距离公式 4 知识点04 两条平行直线间的距离 5 剖题型·讲技巧 5 题型1 直线的交点问题 5 题型2 判断直线的位置关系 7 题型3 三线围成的三角形问题 10 题型4 直线交点系方程及其应用 14 题型5 两点间的距离问题 16 题型6 点到直线的距离问题 18 题型7 平行直线间的距离问题 20 释疑惑·重难拓展 24 题型1 对称问题 24 题型2 将军饮马问题 27 知高考•真题探源 30 练好题·提分培优 31 课标要点 1．会联立直线方程求交点，依据方程组解的个数区分相交、重合、平行三种位置关系。 2．掌握两点间距离公式，能利用坐标轴平行线段简化距离计算，理解公式不受点顺序影响。 3．熟记点到直线、平行线间距离公式，会处理水平、竖直特殊直线的距离求值问题。 4．运用距离公式解决简单几何计算，感受解析几何代数运算处理几何问题的思想 知识点01 两条直线的交点坐标 1、两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2、方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 练习 1．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 2．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 知识点02 两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 补充： （1）距离大小只和两点坐标差值有关，和两点书写先后顺序无关。 （2）特殊简化计算：①两点连线平行 x 轴，距离； ②两点连线平行 y 轴，距离； 练习 3．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．7 4．已知点和点，且，则实数______． 知识点03 点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 练习 5．已知点，点，则原点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D． 6．若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 知识点4两条平行直线间的距离 1、两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2、两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 练习 7．平行直线与之间的距离为__________. 题型1 直线的交点问题 方法技巧 求两条直线交点，直接联立直线方程，解二元一次方程组，方程组的解即为交点坐标。 处理多直线共点题目，先求出两条直线交点，再把交点代入剩余直线方程完成验证。 【例1】若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【例2】若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】直线与的交点坐标为，则______，______． 【变式1-2】三条直线，，相交于一点，则__________． 【变式1-3】直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 题型2 判断直线的位置关系 方法技巧 联立直线方程，依靠方程组解的数量判断位置，一组解代表相交，无数组解代表重合，无解代表平行。 也可利用直线一般式系数对比与，快速判定关系，减少计算量。 遇到含参数直线，分参数不同取值讨论，完整区分平行与重合两种不同情况。 【例3】若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【例4】曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【变式2-1】（多选）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【变式2-2】若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 【变式2-3】已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 题型3 三线围成的三角形问题 方法技巧 两两联立直线方程，算出三组交点，只有三点不重合、任意两条直线不平行，才能构成三角形。 已知三角形面积，结合交点坐标、距离公式确定底与高，列出方程求解参数。 计算边长优先选用两点间距离公式，水平、竖直线段可直接用坐标差值简化计算。 【例5】已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【例6】下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式3-2】（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 【变式3-3】设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 题型4 直线交点系方程及其应用 方法技巧 过两直线、交点的直线可直接设交点系方程（ 为参数），不用提前计算交点坐标，代入条件即可求参数。 求解定点、平行、垂直相关题目都能使用该方程，省去多次联立方程组的步骤。 计算完成后代入特殊数值验算，确认直线方程符合题目全部条件。 【例7】求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【例8】若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【变式4-2】平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 【变式4-3】直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程. 题型5 两点间的距离问题 【例9】直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【例10】若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式5-1】若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【变式5-2】写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【变式5-3】已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型6 点到直线的距离问题 方法技巧 先把直线整理成标准一般式，再代入距离公式运算，该公式对水平、竖直直线同样适用。 【例1】（多选）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【例12】已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【变式6-3】已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 题型7 平行直线间的距离问题 方法技巧 使用平行线距离公式前，统一两条直线x、y对应系数，保证系数完全一致再代入常数计算。 两条直线同为水平或同为竖直时，直接用纵坐标、横坐标差值绝对值快速求出距离。 结合图形理解距离为公垂线段长度，直观辅助完成数值计算。 【例13】已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【例14】已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 【变式7-1】对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【变式7-2】已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【变式7-3】已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 释疑惑·重难拓展 题型1 对称问题 方法技巧 点关于直线对称，利用两点连线和对称轴垂直、两点中点落在对称轴上两组条件联立求解。 直线关于点、直线对称，拆解转化为点对称分步计算，借助距离公式核对对称距离相等。 【例15】直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【例16】一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】点关于直线的对称点为_____. 【变式8-2】与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 题型2 将军饮马问题 方法技巧 作出定点对称点，将折线长度转化为两点间直线段，依据两点之间线段最短确定动点位置。 【例17】已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例18】已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【变式9-1】（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【变式9-2】在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式9-3】古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 1．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 2．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 2．已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A． B． C． D． 3．点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，直线的方程为，则边上的高所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 二、多选题 8．已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 9．若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 三、填空题 10．已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 11．若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是______. 12．已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是________. 四、解答题 13．分别求满足下列条件的直线方程： (1)与直线的距离为1 (2)经过直线与的交点，且垂直于直线 14．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 15．已知直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程； (3)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $