第09讲 直线的交点坐标与距离公式（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选修第一册）

第09讲 直线的交点坐标与距离公式 （知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：求相交直线的交点坐标 知识点02：判断两直线位置关系的方法 知识点03：两点之间的距离公式 知识点04：点到直线的距离公式 知识点05：两条平行直线间的距离 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求两条相交直线的交点坐标 题型02：由方程组的解的个数判断直线位置关系 题型03：求平面两点间的距离 题型04：求点到直线的距离 题型05：已知点到直线距离求参数 题型06：求点关于直线的对称点 题型07：求平行线间的距离 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】求相交直线的交点坐标 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 【例1】求直线 与直线 的交点坐标。 解：联立两条直线的方程，得到方程组： 由式(2)变形可得：，将其代入式(1)： 展开并化简： 将 代入 ，得： 方程组有唯一解 结论：两直线的交点坐标为 【知识点02】判断两直线位置关系的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 【例2】判断直线 与 的位置关系。 解：提取直线系数：； 第一步：计算交叉系数 第二步：验证常数项系数关系 满足平行判定条件，两直线互相平行，不重合。 【知识点03】两点之间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝，或|P1P2|＝|y2－y1|. 【例3】已知点 、，求线段 的长度。 解：由题意得： 代入两点间距离公式： 结论：线段 的长度为 【知识点04】点到直线的距离公式 点到直线的距离公式：d＝ 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 【例4】求点 到直线 的距离。 解：由题意得：，点坐标 代入点到直线距离公式： 结论：点 到直线 的距离为 【知识点05】两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d= 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 【例5】求平行直线 与 之间的距离。 解：第一步：统一直线系数，将 等式两边同乘2： 此时两平行直线为： 可得： 代入平行直线距离公式： 结论：两条平行直线间的距离为 【题型01】求两条相交直线的交点坐标 【典例1-1】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【详解】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C 【变式1-1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 【变式1-2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用方程组求解交点即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 故答案为： 【变式1-3】（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线与的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意，设的方程为，根据题意，直线过点，代入可得m值，即可得直线的方程，与的方程联立，可得交点坐标. （2）讨论过原点和不过原点两种情况，分别设出的方程，代入直线与的交点坐标，计算求解，综合即可得答案. 【详解】（1）因为，且的方程为， 所以设的方程为， 因为在轴上的截距为，即过点， 所以，解得，即． 联立，解得，则直线与的交点坐标为． （2）当过原点时，设方程为，又直线过点，代入解得， 所以的方程为，即 当不过原点时，设的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以的方程为． 综上，的方程为或． 【题型02】由方程组的解的个数判断直线位置关系 【典例2-1】分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)与相交，交点坐标为 (2)与平行 【分析】联立两直线方程，通过其解可判断两者关系，且其解为交点，从而得解. 【详解】（1）因为，， 联立，解得， 所以与相交，交点坐标为. （2）因为，可化为， 联立，两式相减得，显然不成立，故方程组无解， 所以与平行. 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【答案】(1)相交，交点是 (2)答案见解析 【分析】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系； （2）分类讨论，解方程组可得答案. 【详解】（1）联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. （2）当时，，， 联立，方程组有无数组解，故两直线重合， 当时，，， 联立，方程组无解，故两直线平行， 当，联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. 综上所述：当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交，交点坐标为. 【变式2-2】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. （1）l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; （2）l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; （3）l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 【答案】答案见解析. 【分析】直接将两直线方程联立方程组，根据方程组解的个数判断两直线是否相交. 【详解】（1）方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，-1). （2）方程组有无数个解， 这表明直线l1和l2重合. （3）方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 【点睛】本题考查了直线方程的解的个数与直线的位置关系，考查了运算求解能力，属于基础题目. 【变式2-3】分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交 (3)不相交 【分析】分别联立方程组，解方程求解即可判断. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，交点坐标为． （2）解方程组，方程组无解， 所以与无公共点，即与不相交． （3）解方程组， 因为方程可化为， 所以方程组有无数组解， 所以与有无数个公共点，即与不相交． 【题型03】求平面两点间的距离 【典例3-1】（25-26高二上·全国·单元测试）在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】方法一先计算，结合中点再计算；方法二先计算的中点的坐标，再计算； 【详解】方法一  由题意，，又为的中点，所以． 方法二  因为为的中点，所以点的坐标为，所以． 故选：C. 【变式3-1】（多选）若两平行线分别经过点，则它们之间的距离d可能等于（    ） A．0 B．5 C．12 D．13 【答案】BCD 【分析】由题可知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，求出两点间的距离，可得答案 【详解】易知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大， 即，所以，故距离d可能等于5，12，13． 故选：BCD 【点睛】此题考查两点间的距离公式的应用，属于基础题 【变式3-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知，是直线上的两点，若，则______． 【答案】13 【分析】根据题意结合直线方程可得，再利用两点间距离公式运算求解. 【详解】因为，在直线上，则，． 又因为，则， 所以． 故答案为：13. 【变式3-3】已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，求线段AB的长． 【答案】 【分析】根据条件可求出的坐标，然后根据两点间的距离公式可得答案. 【详解】因为点A在x轴上，点B在y轴上，所以设， 因为线段AB的中点M的坐标是，所以，即， 所以，. 【题型04】求点到直线的距离 【典例4-1】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由点到直线的距离公式可知， 点到直线的距离为. 故选：C 【变式4-1】（24-25高二上·湖南常德·期中）点到直线的距离是__________. 【答案】/ 【分析】利用点到直线的距离公式计算求解即可. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高二上·青海西宁·阶段检测）求点P（2，3）到直线的距离． 【答案】4 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由点 和直线， 则点P到直线的距离为. 【变式4-3】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知直线：，：，：． (1)求与的交点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线方程得方程组，求解即得交点坐标. （2）根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）由题设得方程组，，故. （2）由点到直线的距离公式可得所求距离. 【题型05】已知点到直线距离求参数 【典例5-1】（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式计算即可. 【详解】由点到直线：的距离为，得， 所以或. 故选：D 【变式5-1】（多选）已知，两点到直线：的距离相等，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可. 【详解】由题意可得：，整理得， 则，解得或. 故选：AB. 【变式5-2】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知，两点到直线的距离相等，则_____. 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】因为，两点到直线的距离相等， 所以有或， 解得或. 故答案为：或 【变式5-3】已知点到直线的距离为1，求实数的值． 【答案】0 【分析】根据点到直线的距离公式列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 解得，. 【题型06】求点关于直线的对称点 【典例6-1】（25-26高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设对称点为，由，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即. 故选：A 【变式6-1】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对称可知直线，且中点在上，设点坐标，可得方程组，解方程组即可. 【详解】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得， 即， 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·广东汕尾·阶段检测）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据斜率关系以及中点在已知直线上列出方程组，由此可求点的坐标. 【详解】设对称点的坐标为， 所以，解得， 所以点坐标为， 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知点，直线. (1)求点P到直线l的距离； (2)求点P关于直线l的对称点Q的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点到直线距离公式即可得解； （2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解. 【详解】（1）因为点，直线， 所以点P到直线l的距离为； （2）设点关于直线对称的点的坐标为， 则中点的坐标为，又直线的斜率为， 所以，解得，即. 【题型07】求平行线间的距离 【典例7-1】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线与直线平行，它们之间的距离为. 故选：C 【变式7-1】（25-26高二上·甘肃白银·期末）（多选题）已知直线，，若，则与间的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先根据直线平行，求出的值，再求两平行线间的距离得解. 【详解】由，得，解得或. 当时，的方程为，即，，则与间的距离为； 当时，，，则与间的距离为. 故选：BD. 【变式7-2】（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 【变式7-3】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线． (1)若在两坐标轴上的截距为相反数，求的值； (2)已知直线，且，求与间的距离． 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）先求出截距，然后根据截距是相反数求出的值即可. （2）先根据两直线平行关系求出，然后根据两平行直线的距离公式求出结果. 【详解】（1）令，可得， 令，可得． 故，解得或． （2）因为，所以，解得， 所以，可化为． 与间的距离为． 知识点01两直线交点坐标（核心考点） 1. 核心原理 平面内两条不平行的直线必有唯一交点，交点坐标同时满足两条直线的方程，本质为二元一次方程组的解。 2. 标准公式 设两直线一般式： 联立方程组求解，唯一解 即为两直线交点坐标。 3. 解的对应关系 ① 唯一解 ⇔ 两直线相交（1个交点） ② 无解 ⇔ 两直线平行（无交点） ③ 无数组解 ⇔ 两直线重合（无数交点） 4. 解题方法 代入消元法、加减消元法（高一主流解题方法） 知识点02两直线位置关系判定（必考） 1. 系数判定法则（通用万能公式） 针对直线 、 2. 易错提醒 不可仅通过斜率判断所有情况（垂直x轴直线无斜率），系数交叉判定法适用于所有直线，无遗漏、无特例。 知识点03两点间距离公式（基础公式） 1. 通用公式 已知平面内两点 、，两点间距离： 2. 特殊公式 原点 到任意点 的距离： 3. 核心性质 坐标作差无顺序，平方后差值正负抵消，计算结果恒为正数。 知识点04点到直线的距离公式（高频考点） 1. 标准公式 已知定点 ，定直线 ，点到直线垂直距离： 2. 关键注意事项 ① 直线必须整理为一般式方可代入公式； ② 分子必须加绝对值，距离恒非负； ③ 分母为直线x、y系数的平方和开算术平方根。 3. 几何意义 点到直线的距离为点到直线的垂线段长度，是点到直线的最短距离。 知识点05两条平行直线间的距离公式（难点） 1. 适用前提 两条直线平行，且统一为同系数一般式： 2. 标准公式 3. 核心解题步骤 ① 统一两直线x、y的系数（化为完全相同）； ② 代入常数项计算差值绝对值； ③ 分母有理化，化简最终结果。 4. 原理补充 平行直线间距离处处相等，等价于在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离。 知识点06高频易错点汇总： ① 平行直线未统一系数直接代入公式； ② 点到直线距离公式遗漏分子绝对值； ③ 判定直线位置关系混淆平行与重合条件。 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 2．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 3．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 4．（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 5．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 6．（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 7．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 8．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，可得a值，代入两平行线间距离公式，即可得答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，则直线为，即， 则两直线间的距离. 二、多选题 9．（2025高二上·全国·专题练习）（多选）已知平面上一点，若直线上存在点P使得，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题是新定义题，根据题意判断选项中的直线上是否存在符合题意的点，实际上可通过判断点到直线的距离是否不大于作出判断. 【详解】点到直线的距离，故A不符合题意； 点到直线的距离，故B符合题意； 点到直线的距离，C符合题意； 点到直线的距离，故D不符合题意．故选：BC． 10．（2025高二上·全国·专题练习）（多选）已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值可为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】ABC 【分析】本题中两条平行动直线上有两个定点，在平行直线绕两个定点分别旋转时，求两平行直线间距离的可能取值，根据几何关系求解即可. 【详解】当直线，与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，即，∴．故答案为：ABC. 11．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知点到直线：（）的距离为，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先求出直线恒过的定点，找到直线不包括直线，再求出定点到直线的距离，求出直线的斜率，可以得到直线与直线垂直，则直线绕着点转动的过程中得到的范围，从而得到答案. 【详解】直线：可化为：， ∴，∴， ∴直线恒过定点（不包括直线）， ，∴， ，直线的斜率为， ， 垂直于直线时， 点到直线的距离为. ∴点到直线：的距离为， 由于在此范围内，、、不在此范围内，故A不符合题意，BCD符合题意. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2025高二上·四川自贡·专题练习）点到直线的距离是______． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式计算求解． 【详解】设点到直线的距离为，则 ． 故答案为：． 13．（25-26高二上·浙江杭州·期中）平行直线与之间的距离是__________． 【答案】 【详解】由两条平行线间的距离公式得直线与之间的距离为. 14．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知为坐标原点，直线，则点到的最大距离为__________． 【答案】 【分析】先求出直线必过的定点坐标，然后根据点到直线的距离求出结果. 【详解】由直线，得， 令解得即直线恒过点， 当时，点到的距离最大，最大距离为． 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 【答案】是等腰直角三角形，. 【详解】解法一  因为， ， 又， 所以，且， 所以是等腰直角三角形， ． 解法二  因为，， 则， 所以． 又， ， 所以， 所以是等腰直角三角形， ． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，梯形中，，且对角线交于点，过点作所在直线的平行线．若和所在直线的方程分别是与，求直线与所在直线间的距离． 【答案】2 【分析】先求得直线和之间的距离，再求直线与所在直线的距离即可解决. 【详解】解：在梯形中，，且对角线交于点， 则，相似比为，则， 点到所在直线的距离为和所在直线距离的， 又和所在直线的距离为， 则直线与所在直线间的距离为2． 17．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知直线． (1)若，求实数的值； (2)当时，求的值与直线与之间的距离． 【答案】(1) (2)3； 【分析】（1）利用直线垂直的公式列式计算即可； （2）先利用直线平行求出a， 然后代入平行直线距离公式求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得. （2）因为，且， 所以，且， 解得：. 所以，直线的方程可化为， 所以直线间的距离为. 18．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线和． (1)求经过原点与垂直的直线方程； (2)若直线和与x轴分别交于A，B两点，求|AB|． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）联立两直线方程可得点，根据垂直求出斜率，即可得出直线方程； （2）令，求出两点坐标，再利用距离公式求出. 【详解】（1）因为直线，所以的斜率为， 设所求直线的斜率为，因为与垂直，所以，解的， 所以所求直线方程为，即； （2）对于直线，令，则，所以， 对于直线，令，则，所以， 所以， 所以. 19．（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线l的方程为（）. (1)求证无论a取何值，直线l恒过定点B，并求定点B的坐标. (2)已知直线m是过点B的直线，点到直线m的距离为2，求直线m的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2)或. 【分析】（1）利用动直线求定点的方法求解即可； （2）利用对斜率分类思想来设过定点的直线方程，然后用点到直线的距离公式求参数即可. 【详解】（1）证明：由已知得，， ∴直线l经过直线和直线的交点, 解得交点坐标， 所以无论a取何值，直线l恒过定点； （2）直线m斜率不存在时，可得，点与直线的距离为2，符合题意. 当直线m斜率存在时，设直线斜率为k，故可得直线m的方程为，即， 因为点到直线m的距离为2，即，解得， 故可得直线m的方程为，即， 综上所述：直线m的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 直线的交点坐标与距离公式 （知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：求相交直线的交点坐标 知识点02：判断两直线位置关系的方法 知识点03：两点之间的距离公式 知识点04：点到直线的距离公式 知识点05：两条平行直线间的距离 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求两条相交直线的交点坐标 题型02：由方程组的解的个数判断直线位置关系 题型03：求平面两点间的距离 题型04：求点到直线的距离 题型05：已知点到直线距离求参数 题型06：求点关于直线的对称点 题型07：求平行线间的距离 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】求相交直线的交点坐标 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 【例1】求直线 与直线 的交点坐标。 【知识点02】判断两直线位置关系的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 【例2】判断直线 与 的位置关系。 【知识点03】两点之间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝，或|P1P2|＝|y2－y1|. 【例3】已知点 、，求线段 的长度。 【知识点04】点到直线的距离公式 点到直线的距离公式：d＝ 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 【例4】求点 到直线 的距离。 【知识点05】两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d= 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 【例5】求平行直线 与 之间的距离。 【题型01】求两条相交直线的交点坐标 【典例1-1】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【变式1-3】（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线与的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【题型02】由方程组的解的个数判断直线位置关系 【典例2-1】分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【变式2-2】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. （1）l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; （2）l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; （3）l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 【变式2-3】分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【题型03】求平面两点间的距离 【典例3-1】（25-26高二上·全国·单元测试）在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式3-1】（多选）若两平行线分别经过点，则它们之间的距离d可能等于（    ） A．0 B．5 C．12 D．13 【变式3-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知，是直线上的两点，若，则______． 【变式3-3】已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，求线段AB的长． 【题型04】求点到直线的距离 【典例4-1】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·湖南常德·期中）点到直线的距离是__________. 【变式4-2】（24-25高二上·青海西宁·阶段检测）求点P（2，3）到直线的距离． 【变式4-3】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知直线：，：，：． (1)求与的交点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【题型05】已知点到直线距离求参数 【典例5-1】（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 【变式5-1】（多选）已知，两点到直线：的距离相等，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知，两点到直线的距离相等，则_____. 【变式5-3】已知点到直线的距离为1，求实数的值． 【题型06】求点关于直线的对称点 【典例6-1】（25-26高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·广东汕尾·阶段检测）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为_____． 【变式6-3】（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知点，直线. (1)求点P到直线l的距离； (2)求点P关于直线l的对称点Q的坐标. 【题型07】求平行线间的距离 【典例7-1】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·甘肃白银·期末）（多选题）已知直线，，若，则与间的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 【变式7-3】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线． (1)若在两坐标轴上的截距为相反数，求的值； (2)已知直线，且，求与间的距离． 知识点01两直线交点坐标（核心考点） 1. 核心原理 平面内两条不平行的直线必有唯一交点，交点坐标同时满足两条直线的方程，本质为二元一次方程组的解。 2. 标准公式 设两直线一般式： 联立方程组求解，唯一解 即为两直线交点坐标。 3. 解的对应关系 ① 唯一解 ⇔ 两直线相交（1个交点） ② 无解 ⇔ 两直线平行（无交点） ③ 无数组解 ⇔ 两直线重合（无数交点） 4. 解题方法 代入消元法、加减消元法（高一主流解题方法） 知识点02两直线位置关系判定（必考） 1. 系数判定法则（通用万能公式） 针对直线 、 2. 易错提醒 不可仅通过斜率判断所有情况（垂直x轴直线无斜率），系数交叉判定法适用于所有直线，无遗漏、无特例。 知识点03两点间距离公式（基础公式） 1. 通用公式 已知平面内两点 、，两点间距离： 2. 特殊公式 原点 到任意点 的距离： 3. 核心性质 坐标作差无顺序，平方后差值正负抵消，计算结果恒为正数。 知识点04点到直线的距离公式（高频考点） 1. 标准公式 已知定点 ，定直线 ，点到直线垂直距离： 2. 关键注意事项 ① 直线必须整理为一般式方可代入公式； ② 分子必须加绝对值，距离恒非负； ③ 分母为直线x、y系数的平方和开算术平方根。 3. 几何意义 点到直线的距离为点到直线的垂线段长度，是点到直线的最短距离。 知识点05两条平行直线间的距离公式（难点） 1. 适用前提 两条直线平行，且统一为同系数一般式： 2. 标准公式 3. 核心解题步骤 ① 统一两直线x、y的系数（化为完全相同）； ② 代入常数项计算差值绝对值； ③ 分母有理化，化简最终结果。 4. 原理补充 平行直线间距离处处相等，等价于在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离。 知识点06高频易错点汇总： ① 平行直线未统一系数直接代入公式； ② 点到直线距离公式遗漏分子绝对值； ③ 判定直线位置关系混淆平行与重合条件。 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 3．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 8．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025高二上·全国·专题练习）（多选）已知平面上一点，若直线上存在点P使得，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高二上·全国·专题练习）（多选）已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值可为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 11．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知点到直线：（）的距离为，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025高二上·四川自贡·专题练习）点到直线的距离是______． 13．（25-26高二上·浙江杭州·期中）平行直线与之间的距离是__________． 14．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知为坐标原点，直线，则点到的最大距离为__________． 四、解答题 15．（2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，梯形中，，且对角线交于点，过点作所在直线的平行线．若和所在直线的方程分别是与，求直线与所在直线间的距离． 17．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知直线． (1)若，求实数的值； (2)当时，求的值与直线与之间的距离． 18．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线和． (1)求经过原点与垂直的直线方程； (2)若直线和与x轴分别交于A，B两点，求|AB|． 19．（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线l的方程为（）. (1)求证无论a取何值，直线l恒过定点B，并求定点B的坐标. (2)已知直线m是过点B的直线，点到直线m的距离为2，求直线m的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $