专题06：充要条件与反证法（5大知识点+8大题型+真题检验）讲义-2025年初升高衔接沪教版（2020）数学

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题06 充分必要条件与反证法 知识点一、充分条件、必要条件的概念 对于两个陈述句α是β，如果α⇒β，则称α是β的充分条件，β是α的必要条件。 【注意】（1）充分条件与必要条件的理解 命题真假 “若α则β”是真命题 “若α则β”是假命题 推出关系 α⇒β α β 条件关系 α是β的充分条件 β是α的必要条件 α不是β的充分条件 β不是α的必要条件 （2）p⇒q的含义： ①“若p，则q”形式的命题为真命题；②由条件p可以得到结论q；③p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q；④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的；⑤为得到结论q，具备条件p就可以推出； 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已； 知识点二、充要条件的概念 对于两个陈述句α是β，如果既有α⇒β，又有β⇒α，我们就称α是β的充分必要条件，简称充要条件；记作：α⇔β；读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”； 【注意】 1、 对充要条件的理解：（1）推出关系：α⇒β，且β⇒α，记作α⇔β； （2） 简称：α是β的充分必要条件，简称充要条件； （3）意义：α⇔β，则α是β的充要条件或β是α的充要条件，即α与β互为充要条件； 知识点三、定义法判断充分条件、必要条件 （1）确定谁是条件，谁是结论； （2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； （3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。 知识点四、充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件α是否是β的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若α，则β”为真且“若β，则α”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明α与β的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论； 知识点五、充分条件、必要条件、充要条件与集合的交汇 （1）记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则AB， 若p是q的必要不充分条件，则BA； （2）记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的充分条件， 若N⊆M，则p是q的必要条件， 若M＝N，则p是q的充要条件； 两点说明 （1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若p⇔q，则p是q的充要条件； ③若p⇒q，且q p，则称p是q的充分不必要条件； ④若p q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件； ⑤若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件； （2）从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件； ④若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件； ⑤若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。 记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 关系 AB BA A＝B A B 且BA 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充 要条件 p是q的既不充分也不必要条件 知识点六、反证法 1.要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 知识点一、充分必要条件的概念 题型01：充分条件、必要条件及充要条件的判定 【名师点拨】判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法： (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假； (2)集合法：即利用集合的包含关系判断； (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性； 【例1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（2024闵行中学高一期中）“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】（2024金山中学高一期中）“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1、填空 （1）若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件； （2）设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的________条件； （3）“ab＞0”是“a＞0，b＞0”的________条件； （4） “x2－3x＋2＝0”的充要条件是_______________________________； （5）“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) ； （6）若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) ； 2.（2024延安中学高一期中）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024七宝玉中学高一期中）已知集合，，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 题型02：充分条件、必要条件及充要条件的探索 【名师点拨】(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 【例4】（2024上海课时作业）若“”是“”的充分不必要条件，则（       ） A． B． C． D． 【例5】（2024上海课时作业）使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（       ） A．x＞0 B．x＜0或x＞4 C．0＜x＜3 D．x＜0 【例6】（24-25高一上·上海·阶段练习）设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 【跟踪训练】 1.（2024上海课时作业）下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 2.（2024上海课时作业）已知a，b∈R，下列选项中，使ab＞0成立的一个充分不必要条件是（　　） A．a＞0或b＞0 B．a＞10且b＞2 C．a，b同号且不为0 D．a+b＞0或ab＞0 3．（2024上海课时作业）“”成立的一个必要不充分条件的是（       ） A． B． C． D． 4.（2024松江区高一期中考试）若m，n都是正整数，则m+n＞mn成立的充要条件是（　　） A．m＝n＝2 B．m＝n＝1 C．m＞1且n＞1 D．m，n至少有一个为1 知识点二、充分必要条件的应用 题型03：由充分条件、必要条件求参数 【名师点拨】根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 【例7】（2024建平中学高一期中）已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围。 【变式】将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 【变式】将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围． 【例8】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【跟踪训练】 1.（2023上师大附中期中）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______． 2，（2024上海课时作业）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________． 3．（2024上海课时作业）已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 题型04：根据充分不必要条件求参数 【例9】（2024上海课时作业）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【跟踪训练】 1.（2024上海课时作业）已知p：a﹣2＜x＜a+2，q：﹣1＜x＜7．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　 　． 2．（2021·上海青浦·高一期末）已知条件和条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________. 题型05：根据必要不充分条件求参数 【例10】（2024上海课时作业）已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。 【跟踪训练】 1.（2020秋•嘉定区校级月考）已知α：x＜3a﹣1或x＞﹣a，β：x＜2或x≥4，如果α是β的必要非充分条件，那么实数a的取值的集合为　 　． 2．（2022·全国·高一）已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（       ） A． B． C． D． 3．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）（多选）若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值可以是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2022·全国·高一期末）已知p：，q：，，且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是________． 5．（2022·河南驻马店·高一期末）已知集合，. (1)若，求实数t的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围． 题型06：根据充要条件求参数 【例11】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【跟踪训练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 知识点三、充要条件的证明 题型07：充要条件的证明 【名师点拨】充要条件证明的两个思路：(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性；(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 【例12】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【跟踪训练】 1.（2020秋•鹤城区校级期中）已知ab≠0，求证：a+b＝1的充要条件是a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝0． 2.（2020春•孝感期中）证明：a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是△ABC为等边三角形．这里a，b，c是△ABC的三条边． 3．（2022·江苏）已知，求证：成立的充要条件是. 知识点四、反证法 题型08：反证法的概念及辨析 【例13】（2022秋•徐汇区校级期中）用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（　　） A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 【例14】（2022秋•黄浦区校级期中）用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设（　　） A．任意三角形都没有钝角 B．存在一个三角形恰有一个钝角 C．任意三角形都有两个钝角 D．存在一个三角形至少有两个钝角 【跟踪训练】 1.（2022秋•徐汇区校级月考）用反证法证明命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”为真命题时，第一个步骤是 　　． 2.（2022秋•青浦区校级期末）已知a、b∈R，用反证法证明命题：“若a2+b2＝0，则a、b全为零”时的假设是 　　． 3.（2021秋•青浦区期末）用反证法证明命题“已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2”时，应首先假设“　　”． 题型09：反证法证明 【例15】（2022秋•普陀区校级期末）设n∈Z．用反证法证明：若n3是奇数，则n是奇数． 【例16】（2020·上海·高一专题练习）已知. 求证：，，中至少有一个不小于6. 【跟踪训练】 1.（2022秋•黄浦区校级期中）（1）已知a，b，c∈R，证明：若a+b+c＜1，则a，b，c中至少有一个小于； （2）已知a，b，c∈R，判断“a+b+c＜1”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由． 2.（2022秋•奉贤区校级月考）（1）已知m是实数，集合A＝{1，2，m+7}，B＝{0，6}．求证：“m＝﹣1”是“A∩B＝{6}”的充要条件； （2）设n∈Z．用反证法证明：若n2是奇数，则n也是奇数． 3（2021·上海·高一单元测试）已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数． 一、填空题 1、已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件． 2、若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的________条件.(填“充分”或“必要”)  3.（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 4.（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 5．（2020·上海市松江二中高一期中）若，则“”是“”的____条件.(从“充要､充分不必要､必要不充分､既不充分也不必要”四种关系中选择) 6．（2020·上海市金山中学）“”是“关于的方程无解”的_________条件. 7.（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 8．（2020·华东师范大学第一附属中学）设集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________. 9．（2020·上海市控江中学高一期中）设：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 10.（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 11.（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 12.（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 二、选择题 13．（2020·上海）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）. A．假设三内角都不大于60度； B．假设三内角至多有两个大于60度； C．假设三内角至多有一个大于60度； D．假设三内角都大于60度. 14.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 15、若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则 (　　) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 16、设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 (　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 3、 解答题 17．（2020·上海）试说出下列命题的反面： （1）a是实数； （2)a大于2； （3）a小于2； （4）至少有2个； （5）最多有一个； （6）两条直线平行. 18.（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 19.（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 20．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 21．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题06 充分必要条件与反证法 知识点一、充分条件、必要条件的概念 对于两个陈述句α是β，如果α⇒β，则称α是β的充分条件，β是α的必要条件。 【注意】（1）充分条件与必要条件的理解 命题真假 “若α则β”是真命题 “若α则β”是假命题 推出关系 α⇒β α β 条件关系 α是β的充分条件 β是α的必要条件 α不是β的充分条件 β不是α的必要条件 （2）p⇒q的含义： ①“若p，则q”形式的命题为真命题；②由条件p可以得到结论q；③p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q；④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的；⑤为得到结论q，具备条件p就可以推出； 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已； 知识点二、充要条件的概念 对于两个陈述句α是β，如果既有α⇒β，又有β⇒α，我们就称α是β的充分必要条件，简称充要条件；记作：α⇔β；读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”； 【注意】 1、 对充要条件的理解：（1）推出关系：α⇒β，且β⇒α，记作α⇔β； （2） 简称：α是β的充分必要条件，简称充要条件； （3）意义：α⇔β，则α是β的充要条件或β是α的充要条件，即α与β互为充要条件； 知识点三、定义法判断充分条件、必要条件 （1）确定谁是条件，谁是结论； （2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； （3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。 知识点四、充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件α是否是β的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若α，则β”为真且“若β，则α”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明α与β的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论； 知识点五、充分条件、必要条件、充要条件与集合的交汇 （1）记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则AB， 若p是q的必要不充分条件，则BA； （2）记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的充分条件， 若N⊆M，则p是q的必要条件， 若M＝N，则p是q的充要条件； 两点说明 （1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若p⇔q，则p是q的充要条件； ③若p⇒q，且q p，则称p是q的充分不必要条件； ④若p q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件； ⑤若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件； （2）从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件； ④若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件； ⑤若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。 记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 关系 AB BA A＝B A B 且BA 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充 要条件 p是q的既不充分也不必要条件 知识点六、反证法 1.要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 知识点一、充分必要条件的概念 题型01：充分条件、必要条件及充要条件的判定 【名师点拨】判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法： (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假； (2)集合法：即利用集合的包含关系判断； (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性； 【例1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定义，分别验证充分性与必要性即可. 【详解】时满足，而时不一定有， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 【例2】（2024闵行中学高一期中）“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解方程可得或， ，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 【例3】（2024金山中学高一期中）“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由得不到，如，，满足，但是，故充分性不成立； 由则，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件；故选：B 【跟踪训练】 1、填空 （1）若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件； （2）设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的________条件； （3）“ab＞0”是“a＞0，b＞0”的________条件； （4） “x2－3x＋2＝0”的充要条件是_______________________________； （5）“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) ； （6）若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) ； 答案：（1）充分；（2）必要；（3）必要；（4）x＝1或x＝2；（5）充要；（6）充要。 2.（2024延安中学高一期中）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，根据并集的定义,所以当时，一定有，即由能推出，所以是的充分条件. 若，则可能属于，也可能属于，不一定有. 例如，，当时，，但，即由不能推出，所以不是的必要条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024七宝玉中学高一期中）已知集合，，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【详解】由可得，解得或. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 题型02：充分条件、必要条件及充要条件的探索 【名师点拨】(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 【例4】（2024上海课时作业）若“”是“”的充分不必要条件，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，“”是“”的充分不必要条件故故故选：B 【例5】（2024上海课时作业）使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（       ） A．x＞0 B．x＜0或x＞4 C．0＜x＜3 D．x＜0 【答案】A 【解析】设p: 0＜x＜4，所求的命题为q，则原表述可以改写为q是p的必要不充分条件，即q推不出p，但p⇒q.，显然由: 0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、x＜0，故选：A 【例6】（24-25高一上·上海·阶段练习）设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 【答案】 【分析】根据作差法可得的等价条件，由充要条件的概念即可得解. 【详解】因为 ， 所以的一个充分必要条件是. 故答案为： 【跟踪训练】 1.（2024上海课时作业）下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 【答案】　③ 【解析】 ①因为(x－2)(x－3)＝0，所以x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0，所以p不是q的充分条件； ②因为两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，所以p不是q的充分条件； ③因为m<－2，∴12＋4m<0，所以方程x2－x－m＝0无实根，所以p是q的充分条件； 2.（2024上海课时作业）已知a，b∈R，下列选项中，使ab＞0成立的一个充分不必要条件是（　　） A．a＞0或b＞0 B．a＞10且b＞2 C．a，b同号且不为0 D．a+b＞0或ab＞0 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：对于A：a＞0或b＞0不能够推出ab＞0，故a＞0或b＞0不是ab＞0的充分条件，故A错误， 对于B：a＞10且b＞2，能够推出ab＞0，ab＞0不能够推出a＞10且b＞2，故a＞10且b＞2，是ab＞0的充分不必要条件，故B正确， 对于C：a，b同号且不为0⇔ab＞0，故a，b同号且不为0是ab＞0的充要条件，故C错误， 对于D：a+b＞0或ab＞0与ab＞0互相推不出，故a+b＞0或ab＞0与ab＞0是既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的基本性质和充分必要条件的定义．属于基础题． 3．（2024上海课时作业）“”成立的一个必要不充分条件的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以A为“”成立的充要条件；B为“”成立的充分不必要条件；C为“”成立的既不充分也不必要条件；D为“”成立的必要不充分条件．故选：D 4.（2024松江区高一期中考试）若m，n都是正整数，则m+n＞mn成立的充要条件是（　　） A．m＝n＝2 B．m＝n＝1 C．m＞1且n＞1 D．m，n至少有一个为1 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法，进行判断即可． 【解答】解：因为m+n＞mn， 所以（m﹣1）（n﹣1）＜1． 而m，n∈N*，所以（m﹣1）（n﹣1）∈Z，所以（m﹣1）（n﹣1）＝0． 所以m＝1或n＝1． 故选：D． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 知识点二、充分必要条件的应用 题型03：由充分条件、必要条件求参数 【名师点拨】根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 【例7】（2024建平中学高一期中）已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围。 【解析】p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}，q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B，所以⇒－≤a<0，所以a的取值范围是－≤a<0； 【变式】将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】p：a<x<3a，即集合A＝{x|a<x<3a}，q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为q⇒p，所以B⊆A，所以⇒a∈∅. 【变式】将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围． 【解析】p：3a<x<a，其中a<0，即集合A＝{x|3a<x<a}，q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}． 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－1≤a<0，所以a的取值范围是－1≤a<0； 【例8】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论. （2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论. 【详解】（1）化简得，所以或， 所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意； 故. （2）若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 【跟踪训练】 1.（2023上师大附中期中）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】记，， 因为p是q的充分条件，所以. 当时，，即，符合题意； 当时，，由可得，所以，即. 综上所述，实数的k的取值范围是． 故答案为：． 2，（2024上海课时作业）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________． 【答案】0 【解析】，则{x|}＝{x|}， 即.故答案为：0. 3．（2024上海课时作业）已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为集合，所以. （2）因为是的充分条件，所以， 所以，所以. （3）因为是的必要条件，所以， 所以，所以. 题型04：根据充分不必要条件求参数 【例9】（2024上海课时作业）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 【跟踪训练】 1.（2024上海课时作业）已知p：a﹣2＜x＜a+2，q：﹣1＜x＜7．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　 　． 【分析】根据p是q的充分不必要条件，所以（a﹣2，a+2）⫋（﹣1，7），然后建立关系式，解之即可． 【解答】解：p：a﹣2＜x＜a+2，q：﹣1＜x＜7， 因为p是q的充分不必要条件，所以（a﹣2，a+2）⫋（﹣1，7）， 则即1≤a≤5． 故答案为：[1，5]． 【点评】本题主要考查了不等关系，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题． 2．（2021·上海青浦·高一期末）已知条件和条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】根据充分条件与必要条件的概念，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为条件和条件，若是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 因此只需. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：由命题的充分条件和必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 题型05：根据必要不充分条件求参数 【例10】（2024上海课时作业）已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。 【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)， 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有或 解得m≤3，又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 【跟踪训练】 1.（2020秋•嘉定区校级月考）已知α：x＜3a﹣1或x＞﹣a，β：x＜2或x≥4，如果α是β的必要非充分条件，那么实数a的取值的集合为　 　． 【分析】由题意可得关于a的不等式组，然后求出实数a的取值的集合． 【解答】解：因为α：x＜3a﹣1或x＞﹣a，β：x＜2或x≥4，α是β的必要非充分条件， 所以，或3a﹣1≥﹣a，解得a， 所以实数a的取值的集合为[1，+∞）． 故答案为：[，+∞）． 【点评】本题考查了命题的充分必要条件和集合与集合的关系，属于基础题． 2．（2022·全国·高一）已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即，又是的必要不充分条件，所以，故选：D. 3．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）（多选）若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值可以是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【解析】由解得：.因为“”是“”的必要不充分条件， 所以只需，对照四个选项，a可以取1，2.故选：AB 4．（2022·全国·高一期末）已知p：，q：，，且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为p是q成立的必要非充分条件，所以，所以，解得， 所以实数a的取值范围是.故答案为：. 5．（2022·河南驻马店·高一期末）已知集合，. (1)若，求实数t的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)解：由得解，所以，又 若，分类讨论： 当，即解得，满足题意； 当，即，解得时， 若满足，则必有或；解得. 综上，若，则实数t的取值范围为. (2)解：由“”是“”的必要不充分条件，则集合， 若，即，解得， 若，即，即，则必有，解得，综上可得,， 综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时，即为所求． 题型06：根据充要条件求参数 【例11】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【跟踪训练】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 2．（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 知识点三、充要条件的证明 题型07：充要条件的证明 【名师点拨】充要条件证明的两个思路：(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性；(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 【例12】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【证明】　充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0， 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【跟踪训练】 1.（2020秋•鹤城区校级期中）已知ab≠0，求证：a+b＝1的充要条件是a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝0． 【分析】我们先假设，a+b＝1再证明a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝0成立，即命题的必要性，再假设a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝0再证明a+b＝1成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到a+b＝1的充要条件是a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝0． 【解答】证明：先证必要性： ∵a+b＝1，∴b＝1﹣a ∴a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝a3+（1﹣a）3+a（1﹣a）﹣a2﹣（1﹣a）2 ＝a3+1﹣3a+3a2﹣a3+a﹣a2﹣a2﹣1+2a﹣a2 ＝0 再证充分性： ∵a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝0 ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣（a2﹣ab+b2）＝0 即：（a2﹣ab+b2）（a+b﹣1）＝0 ∵ab≠0，a2﹣ab+b2， ∴a+b﹣1＝0，即a+b＝1 综上所述：a+b＝1的充要条件是a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝0 【点评】本题考查的知识点是充要条件的证明，本类问题的处理一共分为三步：①证明必要性，②证明充分性，③得到结论． 2.（2020春•孝感期中）证明：a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是△ABC为等边三角形．这里a，b，c是△ABC的三条边． 【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性成立即可． 【解答】证明：充分性：…（2分） 如果△ABC为等边三角形，那么a＝b＝c， 所以，（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， 所以，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0， 所以a2+b2+c2＝ab+bc+ca．…（5分） 必要性：…（7分） 如果a2+b2+c2＝ab+bc+ca，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0， 所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， 所以a＝b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0． 即 a＝b＝c．…（10分） 【点评】本题主要考查充要条件的证明，根据充分条件的定义，分别证明充分性和必要性是解决本题的关键． 3．（2022·江苏）已知，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【解析】证明：（1）充分性（条件→结论） 因为，而， 所以成立； （2）必要性（结论→条件） 因为，而， 又，所以且，从而，且. 所以，所以成立. 综上：成立的充要条件是. 知识点四、反证法 题型08：反证法的概念及辨析 【例13】（2022秋•徐汇区校级期中）用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（　　） A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的． 【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证． 命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b都不能被5整除”． 故选：B． 【点评】本题主要考查反证法的应用，结合反证法的定义和步骤是解决本题的关键，属于基础题． 【例14】（2022秋•黄浦区校级期中）用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设（　　） A．任意三角形都没有钝角 B．存在一个三角形恰有一个钝角 C．任意三角形都有两个钝角 D．存在一个三角形至少有两个钝角 【分析】根假设法的步骤可知，第一步应该假设结论不成立． 【解答】解：第一步应假设结论不成立， 则应该假设存在一个三角形至少有两个钝角． 故选：D． 【点评】本题主要考查反证法的应用，属于基础题． 【跟踪训练】 1.（2022秋•徐汇区校级月考）用反证法证明命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”为真命题时，第一个步骤是 　　． 【分析】根据反证法的概念即可求解． 【解答】解：根据反证法可知证明命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”为真命题时， 第一个步骤是：假设原命题结论不成立，写出结论的否定，即假设x＝2且y＝3． 故答案为：假设x＝2且y＝3． 【点评】不通过考查反证法的概念，属基础题． 2.（2022秋•青浦区校级期末）已知a、b∈R，用反证法证明命题：“若a2+b2＝0，则a、b全为零”时的假设是 　　． 【分析】把要证结论否定即可． 【解答】解：用反证法证明命题：若a，b∈R，且a2+b2＝0，则a，b全为0时， 要做的假设是证明结论的反面，即a，b不全为0． 故答案为：a，b不全为0． 【点评】本题考查反证法的定义，属于基础题． 3.（2021秋•青浦区期末）用反证法证明命题“已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2”时，应首先假设“　　”． 【分析】用反证法证明命题时，应首先假设结论不成立，由此得出答案． 【解答】解：用反证法证明命题“已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2”时， 应首先假设结论不成立，即“与都大于2”． 故答案为：与都大于2． 【点评】本题考查了用反证法证明命题时的基本步骤，是基础题． 题型09：反证法证明 【例15】（2022秋•普陀区校级期末）设n∈Z．用反证法证明：若n3是奇数，则n是奇数． 【分析】假设n不是奇数，然后推导出n3为偶数，与已知矛盾，即得证． 【解答】证明：假设n不是奇数，则n是偶数，设n＝2k，k∈Z， 则n3＝8k3， 因为k∈Z，则k3∈Z， 所以8k3是偶数，即n3为偶数，这与已知n3为奇数矛盾， 所以假设不成立，即n是奇数． 【点评】本题考查反证法的运用，属于基础题． 【例16】（2020·上海·高一专题练习）已知. 求证：，，中至少有一个不小于6. 【详解】分析：一般利用反证法分析解答. 详解：假设，，都小于6， 即，， . . 这与假设相矛盾,故假设不成立,从而原结论成立. 点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法. 如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法. 【跟踪训练】 1.（2022秋•黄浦区校级期中）（1）已知a，b，c∈R，证明：若a+b+c＜1，则a，b，c中至少有一个小于； （2）已知a，b，c∈R，判断“a+b+c＜1”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由． 【分析】（1）利用反证法即可证明； （2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果． 【解答】解：（1）证明：假设， 则a+b+c≥1，这与a+b+c＜1矛盾， 所以a，b，c中至少有一个小于； （2）由（1）可得a+b+c＜1⇒a，b，c中至少有一个小于， 反之不一定成立，例如：a＝0，，c＝2，则a+b+c＞1， 所以“a+b+c＜1”是“a，b，c中至少有一个小于“”的充分非必要条件． 【点评】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题． 2.（2022秋•奉贤区校级月考）（1）已知m是实数，集合A＝{1，2，m+7}，B＝{0，6}．求证：“m＝﹣1”是“A∩B＝{6}”的充要条件； （2）设n∈Z．用反证法证明：若n2是奇数，则n也是奇数． 【分析】（1）先证充分性，再证必要性即可． （2）利用反证法的定义证明即可． 【解答】证明：（1）先证充分性（即证m＝﹣1⇒A∩B＝{6}）， 当m＝﹣1时，A＝{1，2，6}，又因为B＝{0，6}，所以A∩B＝{6}， 再证必要性（即证A∩B＝{6}⇒m＝﹣1）， 当A∩B＝{6}时，由6∈A，得m+7＝6，因此m＝﹣1， 综上所述，m＝﹣1是A∩B＝{6}的充要条件． （2）假设结论n是奇数不成立，即假设n是偶数， 由n是偶数，可设n＝2k，k∈Z， 因为n2＝（2k）2＝2⋅（2k2），这说明n2是偶数，与已知条件n2是奇数矛盾， 所以，假设不成立，即n是奇数． 3（2021·上海·高一单元测试）已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数． 【解析】运用反证法进行证明即可. 【详解】假设是无理数不成立，即是有理数， 因为x是有理数，所以是互质的整数， 因为是有理数，所以是互质的整数， 因此，因为是整数，显然也是整数， 故y是有理数，这与已知y是无理数矛盾，故假设不成立，所以是无理数． 一、填空题 1、已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件． 答案　充要 解析　因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0， 充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件． 2、若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的________条件.(填“充分”或“必要”)  答案：充分； 【解析】当A∩B={4}时，m2=4，所以m=±2，所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件. 3.（24-25高一上·上海奉贤·期中）“”是“”的 条件（填“充分非必要”或“必要非充分”）． 【答案】充分非必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为“”能推出“”，而“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要. 4.（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要条件 【分析】利用充分条件、必要条件的概念判断即可 【详解】因为，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 5．（2020·上海市松江二中高一期中）若，则“”是“”的____条件.(从“充要､充分不必要､必要不充分､既不充分也不必要”四种关系中选择) 【答案】既不充分也不必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义及判定方法，进行判定，即可求解. 【详解】当时，满足，但不成立，即充分性不成立； 当时，满足，但不成立，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要 6．（2020·上海市金山中学）“”是“关于的方程无解”的_________条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判定，即可得出结果. 【详解】若，时，关于的方程有无数个解； 因此由“”不能推出“关于的方程无解”； 若关于的方程无解，则； 因此“”是“关于的方程无解”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 【点睛】结论点睛：充分与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 7.（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解. 【详解】由是的充分条件，且：，：， 可得：是的子集， 所以：. 故答案为：. 8．（2020·华东师范大学第一附属中学）设集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据题中条件，得到是的真子集，由此列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则，解得. 故答案为：. 【点睛】结论点睛： 由充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 9．（2020·上海市控江中学高一期中）设：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据充分条件的定义求解． 【详解】是的充分条件，则满足的值一定满足，因此有． 故答案为：． 10.（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11.（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12.（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 二、选择题 13．（2020·上海）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）. A．假设三内角都不大于60度； B．假设三内角至多有两个大于60度； C．假设三内角至多有一个大于60度； D．假设三内角都大于60度. 【答案】D 【分析】本题的解题关键就是找出“至少有一个不大于”的对立面，就是“全部都大于”. 【详解】根据反证法的步骤可知，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”即“三角形三个内角都大于60度”，故选D. 14.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】易知，根据定义即可判断得出结论. 【详解】易知若，由可得，可知充分性成立， 又推不出，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 15、若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则 (　　) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 答案：B； 【解析】选B.x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件. 16、设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 (　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 7答案：A； 【解析】选A.因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲，又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图综上，有丙⇒甲，但甲丙， 即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件. 3、 解答题 17．（2020·上海）试说出下列命题的反面： （1）a是实数； （2)a大于2； （3）a小于2； （4）至少有2个； （5）最多有一个； （6）两条直线平行. 【分析】根据命题的否定直接求解即可 【详解】（1）a不是实数. 　　 （2)a小于等于2. （3）a大于等于2. 　　 （4）至多有1个 （5）最少有两个 　 　 （6）两条直线不平行. 18.（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可. （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. （2）因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 19.（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 20．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 21．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$