精品解析：四川成都市武侯区2025-2026学年下学期期末考试试题 七年级数学

2025-2026学年度下期期末考试试题 七年级数学 注意事项： 1．全卷满分100分；考试时间100分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型．氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “司马光砸缸”是大家熟知的故事，故事情节是水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水逐渐没过孩童头顶，同伴们除了大声呼救，毫无办法，此时，司马光急中生智，举起石头砸破水缸，水逐渐流出后，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，现添加一下哪个条件仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（　　） A. 成语“水中捞月”是必然事件 B. “郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天一定有雨 C. “在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数一定是100次 8. 如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 27 10. 我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式（为非负整数）展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：．若，则的值为（ ） A. 10 B. 40 C. D. 第II卷（非选择题，共70分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 如图，有两个边长为5的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积为______． 13. 分别写有数字1~10的10张卡片，它们除数字外完全相同，现将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张，则抽到的卡片上的数字是3的倍数的概率为______． 14. 如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接．若，的面积为10，则的长为______． 15. 如图，已知线段，，点到直线的距离为，在直线上取一点，连接，，当的周长取得最小值时，的形状为______． 三、解答题（本大题共6个小题，共55分） 16. 计算： （1）． （2）已知，求的值． 17. 解答： （1）如图（单位：），图1的瓶子中盛满了水，现将这个瓶子中的水全部倒入图2这样的杯子中． ①试问：一共需要多少个这样的杯子？（用含，的代数式表示） ②当时，一共需要多少个这样的杯子？ （2）如图，若，，则可推得，其推理过程和依据如下： 证明：，（已知） 且，（①_______） ．（等量代换） ②_______③_______．（④_______） ．（⑤_______） ，（已知） ．（等式的基本性质） 即． ．（⑥_______） 请完善以上推理过程和依据，并按照番号顺序将相应的内容填写在下列横线上： ①_________________________；②_________________________； ③_________________________；④_________________________； ⑤_________________________；⑥_________________________． 18. 如图，已知． （1）请利用直尺、圆规和铅笔按照以下的步骤作出相应的图形，要求保留作图痕迹； 第一步：以点为圆心，以的长为半径作弧； 第二步：以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在直线的上方相交于点； 第三步：连接，，与相交于点． （2）在（1）的基础上，求证：． 19. 你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．已知一些常见项目的二氧化碳排放量（单位：kg）计算公式如表： 项目 二氧化碳排放量计算公式 ①家居用电 用电量（单位：） ②开私家车（燃油车） 耗油量（单位：） ③家用天然气 用气量（单位：） ④家用自来水 用水量（单位：） 小明通过查阅资料进一步得到项目②的二氧化碳排放量与耗油量之间的关系如图所示． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：上表中的值为______． （2）已知小明家月份项目①的用电量为、项目②的耗油量为、项目③的用气量为、项目④的用水量为．小明家决定制定“家庭低碳出行”计划，减少项目②的耗油量，践行低碳生活．现设小明家月份这四个项目的二氧化碳排放量总和为，项目②的耗油量比月份减少，其他三个项目的消耗情况与月份相同． ⅰ）求与之间的关系式； ⅱ）若执行“家庭低碳出行”计划，每天项目②的耗油量可减少，试问：不考虑其他因素，要使月份这四个项目的二氧化碳排放量总和降为，小明家需执行此计划多少天？ 20. 本学期学习的乘法公式可以让我们更好地研究数字运算的规律． （1）填空： ①______； ②______． （2）探究：个位数字是5的三位数平方后，其结果的末尾两个数字有什么规律？请写出该规律并说明理由． （3）受上述探究过程的启发，小亮同学设计了如下数字游戏： ①先请同学甲在心中任意想一个三位数，把它称为“所想数”； ②接着用这个“所想数”连续两次减去其个位数字，把得到的结果称为“过程数”，例如：若“所想数”是567，则“过程数”是； ③将“所想数”与“过程数”相乘，把得到的结果称为“所得数”； ④同学甲说出“所得数”，请同学乙说出①中“所想数”． 两名同学按以上规则玩该数字游戏，若“所得数”是14391，请直接写出“所想数”，不必写解答过程． 21. 【阅读理解】 某数学兴趣小组，通过探究活动发现了这样一个结论： 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）请根据以上结论填空：如图1，在中，，，，则的长为______． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，，作于点，交边于点，交的延长线于点．作点关于的对称点，点落在的延长线上，连接，，． ⅰ）求的度数； ⅱ）若，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期期末考试试题 七年级数学 注意事项： 1．全卷满分100分；考试时间100分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型．氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，灵活运用“两边之和大于第三边”是解题的关键． 根据两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：A．由，与两边之和大于第三边矛盾，故A不符合题意； B．由，与两边之和大于第三边矛盾，故B不符合题意； C．由，与两边之和大于第三边矛盾，故C不符合题意； D．由，符合两边之和大于第三边，故D符合题意． 故选：D． 4. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式和平方差公式，根据相关运算法则逐项计算即可得出答案． 【详解】解：A，，计算错误，不合题意； B，，计算错误，不合题意； C，，计算错误，不合题意； D，，计算正确，符合题意； 故选D． 5. “司马光砸缸”是大家熟知的故事，故事情节是水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水逐渐没过孩童头顶，同伴们除了大声呼救，毫无办法，此时，司马光急中生智，举起石头砸破水缸，水逐渐流出后，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，掌握折线图的特征是解决问题的关键． 统计图的纵轴表示水面的高度，横轴表示时间，水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水面上涨，水已没过孩童头顶后．水面高度不变，此时，举起石头砸破水缸，水流出后，水面下降，据此解答． 【详解】解：水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水面上涨，水已没过孩童头顶后．水面高度不变，此时，举起石头砸破水缸，水流出后，水面下降，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是C． 故选：C． 6. 如图，已知，，现添加一下哪个条件仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形全等，本题先分析得到已有的条件：，，再结合添加的条件逐一分析结合边边角，角角角不能判定两个三角形全等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 添加：，可利用证明全等，故A不符合题意； 添加：， ∴，可利用证明全等，故B不符合题意； 添加：，结合已知条件不符合判定定理的要求，不能判定全等，故C符合题意； 添加：，可利用证明全等，故D不符合题意； 故选C 7. 下列说法正确的是（　　） A. 成语“水中捞月”是必然事件 B. “郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天一定有雨 C. “在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数一定是100次 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义、随机事件、概率公式等知识点，掌握相关概念是解题的关键． 根据概率的意义、随机事件、概率公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、成语“水中捞月”是不可能事件，故A不符合题意； B、“郑州明天下雨的概率为”表示郑州明天下雨的可能性很大，故B不符合题意； C、“在一个只装有5个红球的袋中摸出1个球是红球”是必然事件，故C符合题意； D、任意掷一枚质地均匀的硬币200次，正面向上的次数不一定是100次，故D不符合题意． 故选：C． 8. 如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 9. 若，则的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得到的值，把所求式子因式分解为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 10. 我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式（为非负整数）展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：．若，则的值为（ ） A. 10 B. 40 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得的展开式，令，则可得到的展开式，结合题意可得答案． 【详解】解：由题意得，， 令， 则 ， 又∵， ∴ 第II卷（非选择题，共70分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，有两个边长为5的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点T，交于点S，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，，证明，得到，则可得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，设交于点T，交于点S，连接， 由题意得，点E为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴． 13. 分别写有数字1~10的10张卡片，它们除数字外完全相同，现将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张，则抽到的卡片上的数字是3的倍数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定所有等可能的结果总数，找出符合“数字是3的倍数”的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：从中任意抽出一张，共有种等可能的结果， 其中数字是的倍数的有，共种等可能的结果， 根据概率公式可得，抽到的卡片上的数字是的倍数的概率为． 14. 如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接．若，的面积为10，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】过点P作于点E，根据三角形的面积公式求出的长，证明，可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作于点E， ∵，， ∴； ∵的面积为10， ∴， ∵， ∴； ∵点P在的角平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴． 15. 如图，已知线段，，点到直线的距离为，在直线上取一点，连接，，当的周长取得最小值时，的形状为______． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，与直线交于点，连接交直线于点，连接，此时的周长最小，过点作于点，利用平行线间的距离相等得到，，由轴对称得到，进而得到，即得，即得到，，同理得到，，得到，，即可判断求解． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，与直线交于点，连接交直线于点，连接， 则，， ∴的周长， 根据两点之间线段最短，可知此时的周长最小， 过点作于点，则， ∵，点到直线的距离为， ∴，， ∵点与点关于直线对称， ∴，， 在和中，  ，  ∴， ∴， 在中，，， ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴为等腰直角三角形． 三、解答题（本大题共6个小题，共55分） 16. 计算： （1）． （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 17. 解答： （1）如图（单位：），图1的瓶子中盛满了水，现将这个瓶子中的水全部倒入图2这样的杯子中． ①试问：一共需要多少个这样的杯子？（用含，的代数式表示） ②当时，一共需要多少个这样的杯子？ （2）如图，若，，则可推得，其推理过程和依据如下： 证明：，（已知） 且，（①_______） ．（等量代换） ②_______③_______．（④_______） ．（⑤_______） ，（已知） ．（等式的基本性质） 即． ．（⑥_______） 请完善以上推理过程和依据，并按照番号顺序将相应的内容填写在下列横线上： ①_________________________；②_________________________； ③_________________________；④_________________________； ⑤_________________________；⑥_________________________． 【答案】（1）①个；②50个 （2）对顶角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】（1）①根据圆柱体的体积公式，用瓶子的体积除以杯子的体积，列出代数式即可；②将代入代数式进行求解即可； （2）根据对顶角相等，平行线的判定和性质，进行求解即可. 【小问1详解】 解：①； 答：一共需要个这样的杯子； ②当时，； 答：共需要50个这样的杯子. 【小问2详解】 略 18. 如图，已知． （1）请利用直尺、圆规和铅笔按照以下的步骤作出相应的图形，要求保留作图痕迹； 第一步：以点为圆心，以的长为半径作弧； 第二步：以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在直线的上方相交于点； 第三步：连接，，与相交于点． （2）在（1）的基础上，求证：． 【答案】（1） （2）证明：由作图可知，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据对应步骤，作图即可； （2）先证明，再证明，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．已知一些常见项目的二氧化碳排放量（单位：kg）计算公式如表： 项目 二氧化碳排放量计算公式 ①家居用电 用电量（单位：） ②开私家车（燃油车） 耗油量（单位：） ③家用天然气 用气量（单位：） ④家用自来水 用水量（单位：） 小明通过查阅资料进一步得到项目②的二氧化碳排放量与耗油量之间的关系如图所示． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：上表中的值为______． （2）已知小明家月份项目①的用电量为、项目②的耗油量为、项目③的用气量为、项目④的用水量为．小明家决定制定“家庭低碳出行”计划，减少项目②的耗油量，践行低碳生活．现设小明家月份这四个项目的二氧化碳排放量总和为，项目②的耗油量比月份减少，其他三个项目的消耗情况与月份相同． ⅰ）求与之间的关系式； ⅱ）若执行“家庭低碳出行”计划，每天项目②的耗油量可减少，试问：不考虑其他因素，要使月份这四个项目的二氧化碳排放量总和降为，小明家需执行此计划多少天？ 【答案】（1） （2）ⅰ） ⅱ）天 【解析】 【分析】（1）根据二氧化碳排放量耗油量计算即可； （2）ⅰ）先分别计算月份除项目②外其余三个项目的二氧化碳排放量，根据小明家月份项目②的耗油量比月份减少，可得项目②月排放量为，将其余三项排放量加上项目②月排放量即可得到与之间的关系式；ⅱ）把月总排放量代入，得到的值即可解答． 【小问1详解】 解：根据项目②的二氧化碳排放量与耗油量之间的关系图可得； 【小问2详解】 ⅰ）项目①家居用电：， 项目③家用天然气：， 项目④家用自来水：， 这三个项目的排放量总和为：， 小明家月份项目②的耗油量比月份减少，即月份项目②耗油量为， 故项目②月排放量为， 四个项目总排放量为其余三项排放量加上项目②月排放量： ； ⅱ）把月总排放量代入， ， 解得， 每天项目②的耗油量可减少， （天）， 答：要使月份这四个项目的二氧化碳排放量总和降为，小明家需执行此计划天． 20. 本学期学习的乘法公式可以让我们更好地研究数字运算的规律． （1）填空： ①______； ②______． （2）探究：个位数字是5的三位数平方后，其结果的末尾两个数字有什么规律？请写出该规律并说明理由． （3）受上述探究过程的启发，小亮同学设计了如下数字游戏： ①先请同学甲在心中任意想一个三位数，把它称为“所想数”； ②接着用这个“所想数”连续两次减去其个位数字，把得到的结果称为“过程数”，例如：若“所想数”是567，则“过程数”是； ③将“所想数”与“过程数”相乘，把得到的结果称为“所得数”； ④同学甲说出“所得数”，请同学乙说出①中“所想数”． 两名同学按以上规则玩该数字游戏，若“所得数”是14391，请直接写出“所想数”，不必写解答过程． 【答案】（1） ①；② （2） 规律：个位数字是5的三位数平方后，结果的末尾两个数字是，理由如下： 设这个三位数去掉个位数字5后，得到的整数为，则该三位数可写为，其中，为整数， 计算平方得： ， 是的倍数，末尾两位为， 的末尾两位为，即规律成立 （3） 所想数为 【解析】 【分析】（1）直接计算平方得到结果即可； （2）将个位为5的三位数用代数式表示，利用完全平方公式展开推导，即可得到末尾数字的规律； （3）根据游戏规则表示出“所想数”和“过程数”，利用平方差公式化简乘积，再根据数的性质求解即可得到原数． 【小问1详解】 解：①； ②； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 设“所想数”去掉个位数字后得到的整数为，个位数字为，则“所想数”为，其中，，，为整数， 根据规则，“过程数”为：， “所得数”满足， 由平方差公式得：， 整理得， 的末尾两位是， 的末尾两位是， ∴的末尾两位是， 为0到9的整数，仅当时，满足条件， ∴，即， 是正整数， ， ∴“所想数”为． 21. 【阅读理解】 某数学兴趣小组，通过探究活动发现了这样一个结论： 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）请根据以上结论填空：如图1，在中，，，，则的长为______． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，，作于点，交边于点，交的延长线于点．作点关于的对称点，点落在的延长线上，连接，，． ⅰ）求的度数； ⅱ）若，，且，求的值． 【答案】（1）12 （2）ⅰ），ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”得到； （2）ⅰ）连接，根据对称性得垂直平分线，利用垂直平分线的性质和等腰三角形性质构造全等三角形，进行角的转化，最后得出的度数； ⅱ）根据面积得到线段比，结合勾股定理和线段和差关系得到，求出的值． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴； 【小问2详解】 ⅰ）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∵点和点关于对称， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴； ⅱ）解：由（ⅰ）知，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得，， 即， 同理，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $