第2章 培优课 一元二次不等式恒、能成立问题（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式恒成立与能成立问题，通过具体例题（如kx²+2kx-(k+2)<0恒成立）导入，讨论二次项系数是否为0，结合二次函数图像与判别式，搭建从R上恒成立到给定范围问题的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是融合数学眼光（几何直观分析图像）、数学思维（分类讨论与逻辑推理），如例2给定范围恒成立转化为端点值判断，例3能成立问题转化为最值比较。规律方法总结清晰，训练题梯度合理，助力学生提升数学运算与逻辑推理能力，教师可直接用于培优教学，提高效率。

培优课 一元二次不等式恒、能成立问题 1 1.理解一元二次不等式恒、能成立问题的区别及不同的表述形式（直观想象、逻辑推理）. 2.会求一元二次不等式在R上（或在给定区间上）的恒成立问题（逻辑推理、数学运算）. 3.会求一元二次不等式中简单的能成立问题（直观想象、逻辑推理）. 重点解读 一、在R上恒成立问题 01 二、在给定范围上的恒成立问题 02 三、简单的能成立问题 03 目录 课时作业 04 3 一、在R上恒成立问题 01 PART 目 录 【例1】　已知不等式kx2＋2kx－（k＋2）＜0恒成立，求实数k的取值 范围. 解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－（k＋2），由y＜0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点. ∴ 解得－1＜k＜0. 综上，实数k的取值范围是{k｜－1＜k≤0}. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　一元二次不等式在R上的恒成立问题，转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即 ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立⇔ 　　提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，一定 要讨论二次项系数是否为0. 数学·必修第一册 目 录 训练1　已知∀x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围 为 ⁠. 解析：原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0，∵函数y＝x2＋ax＋3－a的图 象开口向上，∴Δ＝a2－4（3－a）＝a2＋4a－12≤0，即（a－2）（a＋ 6）≤0，∴－6≤a≤2，∴实数a的取值范围为{a｜－6≤a≤2}. {a｜－6≤a≤2} 数学·必修第一册 目 录 二、在给定范围上的恒成立问题 02 PART 目 录 【例2】　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值 范围. 解：令y＝x2＋mx＋4， ∵y＜0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 解得m＜－5， ∴实数m的取值范围是{m｜m＜－5}. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 在给定范围上恒成立问题的解题策略 （1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2 ＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0； （2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2 ＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 数学·必修第一册 目 录 训练2　若对任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0（a为常数），则a的 取值范围是（　　） A. a≤－3 B. a≤0 C. a≥1 D. a≤1 解析：令y＝x2－2x＋a，则由题意，得 解得a≤－3.故选A. √ 数学·必修第一册 目 录 03 PART 三、简单的能成立问题 目 录 【例3】　已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围 为（　　） A. {a｜－1≤a≤4} B. {a｜－1＜a＜4} C. {a｜a≥4或a≤－1} D. {a｜－4≤a≤1} 解析：由于－x2＋4x＝－（x－2）2＋4≤4，又因为－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，则实数a的取值范围为{a｜－1≤a≤4}. √ 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 解决能成立问题的方法 （1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； （2）对一些简单的问题，m＞y能成立可转化为m＞ymin，m＜y能成立 可转化为m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范 围.当y取不到最小值或最大值时，注意参数取值范围的变动. 数学·必修第一册 目 录 训练3　若关于x的方程x2＋kx－k＋3＝0有实数解，则实数k的取值范围 是 ⁠. 解析：由题设，Δ＝k2－4（3－k）＝k2＋4k－12＝（k＋6）（k－2） ≥0，所以k≤－6或k≥2. k≤－6或k≥2 数学·必修第一册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是（　　） A. B. C. D. 解析：　一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数等价于二次 函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交 点，故需要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是 （　　） A. {m｜0＜m＜4} B. {m｜m＜－2或m＞2} C. {m｜－2≤m≤2} D. {m｜－2＜m＜2} 解析：　∵不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，∴函数y＝x2－mx＋1的图 象在x轴上方，∴方程x2－mx＋1＝0无实数解，∴Δ＜0，即m2－4＜0，解 得－2＜m＜2，∴实数m的取值范围是{m｜－2＜m＜2}.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 3. 对任意实数x，式子 均有意义，则实数k的取值范围是 （　　） A. k≤8 B. 0≤k＜8 C. 0≤k≤8 D. k＞8 解析：　由对任意实数x，式子 均有意义知，kx2＋kx＋ 2≥0恒成立，若k＝0，则2≥0恒成立，满足题意；若k≠0，则有 解得0＜k≤8.综上可知，实数k的取值范围是 0≤k≤8. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 4. 若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是（　　） A. {m｜m≤－2或m≥2} B. {m｜－2≤m≤2} C. {m｜m＜－2或m＞2} D. {m｜－2＜m＜2} 解析：∵关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，且函数y＝－x2＋mx－1的图象开口向下，∴函数图象与x轴有交点，∴Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 5. 若关于x的一元二次不等式x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，则实数t的 取值范围是（　　） A. t≤2 B. t≥2 C. t≤4 D. t≥4 解析：　∵x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，∴t≤ ＝x＋ 在x≥1时 恒成立，∴t≤ ，∵x＋ ≥2 ＝4，当且仅当x＝ ，即x＝ 2时取等号，∴ ＝4，则t≤4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是 （　　） A. a＜1 B. a≤1 C. a＜2 D. a＜0 解析：因为ax2－2x＋1＜0的解集非空，显然当a≤0时恒成立，又由 解得0＜a＜1.综上，ax2－2x＋1＜0的解集非空的充要 条件为a＜1，所以不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的必要不充分条件应 该比a＜1的范围大，故选项B、C正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 7. 〔多选〕不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则（　　） A. b2－4c＋4≤0 B. b≤0 C. c≥1 D. b＋c≥0 √ √ √ 解析：x2＋bx＋c≥2x＋b可整理为x2＋（b－2）x＋c－b≥0，则Δ＝（b－2）2－4（c－b）＝b2－4c＋4≤0，故A正确；当b＝1，c＝2时，满足Δ≤0，即原不等式成立，故B错误；由Δ≤0，得c≥ ＋1，所以c≥1，故C正确；b＋c≥ ＋b＋1＝ ≥0，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 8. 若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围 是 ⁠. 解析：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不 满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需 解得a＞ .综上，所求实数a的取值范围是 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 9. 若不等式x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则实数m的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则Δ＝（m－3）2－4m＝m2－10m ＋9≤0，解得1≤m≤9. {m｜ 1≤m≤9} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 10. 命题p：∃x∈R，（m－3）x2－mx＋3＜0为真命题，则实数m的取值 范围为 ⁠. 解析：因为命题p：∃x∈R，（m－3）x2－mx＋3＜0为真命题，所以不 等式（m－3）x2－mx＋3＜0在R上有解.当m＝3时，不等式可化为－3x ＋3＜0，得x＞1，符合题意；当m＞3时，由题意得Δ＝（－m）2－12 （m－3）＞0，即m2－12m＋36＝（m－6）2＞0，解得m≠6；当m＜3 时，一定存在x∈R，使得（m－3）x2－mx＋3＜0成立.综上，实数m的 取值范围为{m｜m≠6}. {m｜m≠6} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 11. 已知关于x的不等式（m2＋4m－5）x2－4（m－1）x＋3＞0对一切实 数x恒成立，求实数m的取值范围. 解：令y＝（m2＋4m－5）x2－4（m－1）x＋3. ①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－ 5不符合条件； ②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数大于0对一切实数x恒成立， 得 解得1＜m＜19. 综合①②得，实数m的取值范围为{m｜1≤m＜19}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 12. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点A（1，－2），B （－1，0），且与反比例函数y＝ 交于点M（3，4）. （1）求二次函数与反比例函数的表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 解：∵点M（3，4）在反比例函数y＝ 的图象上，故有4＝ ， 解得k＝12，从而反比例函数为y＝ . 又∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点A，B，M， ∴ 解得 ∴二次函数为y＝x2－x－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 （2）若对∀x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求实数m的取值范围. 解：由（1）知，二次函数的表达式为y＝x2－x－2，故有x2－x－ 2≥mx－3在R上恒成立，即x2－（m＋1）x＋1≥0在R上恒成立， ∴Δ≤0， 又Δ＝[－（m＋1）]2－4＝m2＋2m－3， ∴m2＋2m－3≤0，解得－3≤m≤1. 故实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 13. 已知关于x的函数y＝x2－（a＋2）x＋4（a∈R）. （1）若关于x的不等式y≤4－2a的解集恰好为{x｜2≤x≤5}，求实数a 的值； 解：y≤4－2a，即x2－（a＋2）x＋2a≤0，即（x－a）（x－2）≤0， 因为不等式的解集恰好为{x｜2≤x≤5}，所以a＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 （2）若对任意的x∈{x｜1≤x≤4}，y＋a＋1≥0恒成立，求实数a的取 值范围. 解：由题意得，对任意的x∈{x｜1≤x≤4}，x2－（a＋2）x＋5＋a≥0恒成立， 即a（x－1）≤x2－2x＋5恒成立. 当x＝1时，0≤4恒成立，此时a∈R； 当x∈{x｜1＜x≤4}时，a≤ ＝x－1＋ 恒成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 因为0＜x－1≤3，所以x－1＋ ≥2 ＝4，当且仅当x－ 1＝ ，即x＝3时等号成立， 所以a≤4. 综上可得a的取值范围为{a｜a≤4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $