第七周 第1天指数函数的图象和性质(二) 暑假自学讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第七周 第 1天 指数函数的图象和性质(二) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式. (重点) 2.掌握指数函数图象和性质的综合应用. (重难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 利用单调性比较大小 🎯教材例题 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5，1.73； (2)0.，0.； (3)1.70.3，0.93.1. 【解】　(1)1.72.5和1.73可看作函数y=1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值. 因为底数1.7>1，所以指数函数y=1.7x是增函数. 因为2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)同(1)理，因为0<0.8<1，所以指数函数y=0.8x是减函数. 因为->-，所以0.<0.. (3)由指数函数的性质知：1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，所以1.70.3>0.93.1. 🎯例1　比较下列各题中数的大小： (1)1.11.1，1.10.9；(2)0.1-0.2，0.10.9；(3)30.1，π0.1；(4)1.70.1，0.91.1；(5)0.70.8，0.80.7. 【解】(1)因为y=1.1x是增函数，1.1>0.9，故1.11.1>1.10.9. (2)因为y=0.1x是减函数，-0.2<0.9，故0.1-0.2>0.10.9. (3)因为y=x0.1在(0，+∞)上单调递增，3<π，故30.1<π0.1. (4)因为1.70.1>1.70=1，0.91.1<0.90=1，故1.70.1>0.91.1. (5)取中间值0.70.7，因为0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7). 比较幂大小的常用方法有： 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1. 【解】　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5＞1， 所以函数y＝1.5x在R上是增函数．因为2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值， 因为0＜0.6＜1，所以函数y＝0.6x在R上是减函数． 因为－1.2＞－1.5，所以0.6－1.2＜0.6－1.5. (3)由指数函数性质得，1.70.2＞1.70＝1，0.92.1＜0.90＝1，所以1.70.2＞0.92.1. 🎯跟踪练习 1-2 下列大小关系正确的是(　　) A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43 【解】　0.43<0.40=1=π0=30<30.4. 故选B 🎯跟踪练习 1-3设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 【解】　∵1.50.6>1.50=1，0.60.6<0.60=1，故1.50.6>0.60.6，又函数y=0.6x是减函数，且1.5>0.6， ∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6. 即b<a<c. 故选C 知识点2 简单的指数不等式的解法 🎯例2 求满足下列条件的x的取值范围． (1)3x－1>9x； (2)a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1). 【解】　(1)因为3x－1>9x，所以3x－1>32x， 又y＝3x在定义域R上是增函数， 所以x－1>2x，所以x<－1.即x的取值范围是(－∞，－1). (2)当a>1时，因为a－5x>ax＋7，所以－5x>x＋7，解得x<－； 当0<a<1时，因为a－5x>ax＋7，所以－5x<x＋7，解得x>－. 综上所述，当a>1时，x的取值范围是；当0<a<1时，x的取值范围是. 解指数不等式的类型及应注意的问题： (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要将a分为0<a<1和a>1两种情况讨论． (3)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解． (4)形如af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的不等式，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1 解不等式23x-1≤2. 【解】不等式23x-1≤2可化为23x-1≤21，则3x-1≤1，解得x≤故原不等式的解集是. 🎯一题多变 　将跟踪练习 2-1改为“解不等式≤2”. 【解】　∵2=∴原不等式可以转化为.∵y=是减函数， ∴3x-1≥-1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}. 🎯跟踪练习 2-2 已知>ax+6，求实数x的取值范围. 【解】　分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)=ax是减函数， ∴x2-3x+1<x+6，∴x2-4x-5<0，解得-1<x<5； ②当a>1时，函数f(x)=ax是增函数，∴x2-3x+1>x+6， ∴x2-4x-5>0，解得x<-1或x>5， 综上所述，当0<a<1时，实数x的取值范围是{x|-1<x<5}； 当a>1时，实数x的取值范围是{x|x<-1或x>5}. 知识点3 指数型函数的最值(值域) 🎯例3 　函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为，求函数y＝3a2x－1在[0，1]上的最大值． 【解】　因为函数y＝ax在定义域上是单调函数，且y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为，所以1＋a＝，解得a＝，所以函数y＝3a2x－1＝3×＝12×，因为函数y＝在定义域上为减函数， 所以y＝3a2x－1在[0，1]上的最大值为当x＝0时的函数值12. 求指数型函数最值，核心是换元法： 令内层函数为t，先求t的值域，再结合外层指数函数的单调性求解， 若底数，外层单调递增；若，外层单调递减. 也可转化为二次函数求最值，注意换元时t的取值范围，并依据复合函数“同增异减”原则综合判断. 反思 归纳 🎯跟踪练习 3-1 函数f(x)＝在区间[－2，2]上的最小值是(　　) A．－　　　　　　　　　　 B． C．－4 D．4 【解】结合指数的性质可知f(x)在该区间单调递减，故当x＝2时，f(x)取最小值，为. 故选B. 🎯跟踪练习 3-2 若2x2＋1≤的解集是函数y＝2x的定义域，求函数y＝2x的值域． 【解】由2x2＋1≤得2x2＋1≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)≤0，解得－3≤x≤1，即函数y＝2x的定义域为[－3，1].由于函数y＝2x在R上是增函数，故当x＝－3时，取得最小值，当x＝1时，取得最大值2，所以函数的值域为. 知识点4 指数函数图象和性质的综合运用 🎯例4 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-1. (1)判断函数y=g(x)的奇偶性，并求函数y=g(x)的值域； (2)若实数m满足g(m)+g(m-2)>0，求实数m的取值范围. 【解】(1)因为g(x)=f(x)-1=-1=定义域为R， 设任意x∈R，-x∈R，且g(-x)==-g(x)，所以函数g(x)是奇函数. 又因为g(x)=-1=-1，1+3-2x>1，所以0<<2，所以-1<-1<1， 所以函数y=g(x)的值域是(-1，1). (2)因为y=1+3-2x是R上的减函数，所以g(x)=-1=-1在R上是增函数， 所以y=g(x)在R上是单调递增的奇函数， 由g(m)+g(m-2)>0得，g(m)>-g(m-2)=g(2-m)，所以m>2-m，所以m>1. 故实数m的取值范围是(1，+∞). 函数性质的综合应用 (1)解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题. (2)一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解. 反思 归纳 🎯跟踪练习 4　设a>0，函数f(x)=是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值；(2)求f(x)在[0，1]上的值域. 【解】　(1)由f(x)=f(-x)，得即4x=0，所以=0， 根据题意，可得-a=0，又a>0，所以a=1. (2)由(1)可知f(x)=4x+ 设任意的x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)==(. 因为0≤x1<x2，所以所以<0. 又因为x1+x2>0，所以>1，所以1->0，所以f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增. 所以函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)=4+；最小值为f(0)=1+1=2. 故f(x)在[0，1]上的值域为. 自学小结 指数函数的图象与性质（二） 1.知识清单： (1)利用单调性比较大小. (2)简单的指数不等式的解法. (3)指数型函数的最值(值域). (4)指数函数图象和性质的综合运用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：研究y=af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．函数f(x)＝()x在区间[1，2]上的最大值是(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C．3 D．2 【解】因为>1，所以指数函数f(x)＝()x为增函数，所以当x＝2时，函数取得最大值，且最大值为3. 故选C. 2．已知2－a≥2－b，则a与b的大小关系是(　　) A．a>b B．a<b C．a≥b D．a≤b 【解】因为y＝2x是R上的增函数，且2－a≥2－b，所以－a≥－b，所以a≤b. 故选D. 3．函数y＝21－x的单调递减区间为________． 【解】由已知得，f(x)的定义域R.设u＝1－x，则y＝2u，因为u＝1－x在R上为减函数， 又因为y＝2u在(－∞，＋∞)上为增函数，所以y＝21－x在(－∞，＋∞)上为减函数． 答案：(－∞，＋∞) 4．若指数函数y＝ax在区间[－1，1]的最大值和最小值的和为，求a的值． 【解】指数函数y＝ax在区间[－1，1]上的最大值和最小值的和为，当a>1时，可得ymin＝，ymax＝a，那么＋a＝，解得a＝2， 当0<a<1时，可得ymax＝，ymin＝a， 那么＋a＝，解得a＝，故a的值可能是或2. 5.不等式的解集为　　　　. 【解】因为y=是减函数，且所以x2-2x-2<x-4，即x2-3x+2<0， 解得1<x<2. 所以不等式的解集为(1，2). 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第七周 第 1天 指数函数的图象和性质(二) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式. (重点) 2.掌握指数函数图象和性质的综合应用. (重难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 利用单调性比较大小 🎯教材例题 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5，1.73； (2)0.，0.； (3)1.70.3，0.93.1. 🎯例1　比较下列各题中数的大小： (1)1.11.1，1.10.9；(2)0.1-0.2，0.10.9；(3)30.1，π0.1；(4)1.70.1，0.91.1；(5)0.70.8，0.80.7. 比较幂大小的常用方法有： 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1. 🎯跟踪练习 1-2 下列大小关系正确的是(　　) A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43 🎯跟踪练习 1-3设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 知识点2 简单的指数不等式的解法 🎯例2 求满足下列条件的x的取值范围． (1)3x－1>9x； (2)a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1). 解指数不等式的类型及应注意的问题： (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要将a分为0<a<1和a>1两种情况讨论． (3)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解． (4)形如af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的不等式，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1 解不等式23x-1≤2. 🎯一题多变 　将跟踪练习 2-1改为“解不等式≤2”. 🎯跟踪练习 2-2 已知>ax+6，求实数x的取值范围. 知识点3 指数型函数的最值(值域) 🎯例3 　函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为，求函数y＝3a2x－1在[0，1]上的最大值． 求指数型函数最值，核心是换元法： 令内层函数为t，先求t的值域，再结合外层指数函数的单调性求解， 若底数，外层单调递增；若，外层单调递减. 也可转化为二次函数求最值，注意换元时t的取值范围，并依据复合函数“同增异减”原则综合判断. 反思 归纳 🎯跟踪练习 3-1 函数f(x)＝在区间[－2，2]上的最小值是(　　) A．－　　　　　　　　　　 B． C．－4 D．4 🎯跟踪练习 3-2 若2x2＋1≤的解集是函数y＝2x的定义域，求函数y＝2x的值域． 知识点4 指数函数图象和性质的综合运用 🎯例4 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-1. (1)判断函数y=g(x)的奇偶性，并求函数y=g(x)的值域； (2)若实数m满足g(m)+g(m-2)>0，求实数m的取值范围. 函数性质的综合应用 (1)解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题. (2)一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解. 反思 归纳 🎯跟踪练习 4　设a>0，函数f(x)=是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值；(2)求f(x)在[0，1]上的值域. 自学小结 指数函数的图象与性质（二） 1.知识清单： (1)利用单调性比较大小. (2)简单的指数不等式的解法. (3)指数型函数的最值(值域). (4)指数函数图象和性质的综合运用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：研究y=af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．函数f(x)＝()x在区间[1，2]上的最大值是(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C．3 D．2 2．已知2－a≥2－b，则a与b的大小关系是(　　) A．a>b B．a<b C．a≥b D．a≤b 3．函数y＝21－x的单调递减区间为________． 4．若指数函数y＝ax在区间[－1，1]的最大值和最小值的和为，求a的值． 5.不等式的解集为　　　　. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $