精品解析：天津市河西区2025-2026学年第二学期期末学情调研高二年级数学学科试卷

天津市河西区2025-2026学年第二学期期末学情调研高二年级数学学科试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共100分，考试用时90分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（ ） A. 10 B. 9 C. D. 7. 已知x，y为正实数，则（　　） A. 2lgx+lgy=2lgx+2lgy B. 2lg（x+y）=2lgx•2lgy C. 2lgx•lgy=2lgx+2lgy D. 2lg（xy）=2lgx•2lgy 8. 已知定义域为的函数满足，，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 9. 设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共9小题，共64分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 11. 函数（且）过定点，则__________. 12. 已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 13. 已知函数，则函数的定义域为__________. 14. 若函数存在两个极值点，且，则______． 15. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的值为__________. 三.解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若，，，求的最小值. 17. 已知偶函数和奇函数满足. （1）求，的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）存在满足，求的取值范围. 18. 设函数（其中e是自然对数的底数），，已知它们在处有相同的切线． （1）求函数，的解析式； （2）求函数在上的最小值； （3）若对，恒成立求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市河西区2025-2026学年第二学期期末学情调研高二年级数学学科试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共100分，考试用时90分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要确定集合B，需结合交集和并集的定义分析. 【详解】交集，说明B包含2，且不包含A中的0、1； 并集，A已包含0、1、2，因此3、4必须来自B，且元素属于； 综上，集合. 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法根据不等式性质即可得充分性成立，取特殊值可知必要性不成立，可得出结论. 【详解】若，则，， 所以，即充分性成立， 令，则，，满足关系，但， 即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求解. 【详解】因为，， ， 所以. 4. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】B根据上函数符号判断；C由判断；D根据上函数单调性判断，结合排除法即可得答案. 【详解】对于，当时，，排除B； 由，排除C； 对于，当上单调递减，排除D. 故选：A 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数单调性和，再结合零点存在定理即可得解. 【详解】因为函数和均为单调递增函数， 所以函数为单调递增函数， 又，所以， 所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为. 故选：B. 6. 已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（ ） A. 10 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得   当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 7. 已知x，y为正实数，则（　　） A. 2lgx+lgy=2lgx+2lgy B. 2lg（x+y）=2lgx•2lgy C. 2lgx•lgy=2lgx+2lgy D. 2lg（xy）=2lgx•2lgy 【答案】D 【解析】 【详解】因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数）， 所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式， 故选D． 8. 已知定义域为的函数满足，，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得. 【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数， 又，所以， 所以，则是周期为的周期函数， 又因为，即， 又当时，，所以，解得， 所以， 所以. 9. 设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时，分且，，，四种情况；当时，分，，三种情况，当时，设，利用导数求出，对最大值的符号进行讨论分，，三种情况. 【详解】（i）当时，，代入方程整理得：  ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增；，单调递减， 时，时，故恒有1个根； 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 第II卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共9小题，共64分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，进而根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 11. 函数（且）过定点，则__________. 【答案】 7 【解析】 【分析】根据对数函数且恒过定点，令可求得定点坐标，得到，从而求得. 【详解】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 12. 已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令， 因为关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大， 即有两个零点，一个零点比小，另一个零点比大， 所以，即，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 13. 已知函数，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据函数和的关系，求出函数的定义域即可. 【详解】由题意，函数，则，解得， 即函数的定义域为， 所以，解得， 即函数的定义域为. 14. 若函数存在两个极值点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求导得到，，，，则，解得答案. 【详解】，定义域为，所以， 故，；又，所以． 又，故，所以，所以． 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的极值点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用消元的思想解方程是解题的关键. 15. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】令，，分和两种情况，通过分析的取值，得到对于任意的，是否恒成立，求得的值. 【详解】函数的定义域为. 令，则恒成立， 所以是增函数. 又， 所以当时，；当时，. 令， 则，在上单调递减. 若，则恒成立，是增函数； 又， 所以当时，；当时，. 此时当时，；当时，. 因此要使对于任意的，恒成立，须和有相同的零点，即. 若，恒成立. 当时，，所以， 因此存在，使成立， 即存在，使成立，不合题意. 综上所述，. 三.解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若，，，求的最小值. 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由的解集为，得 1和3是方程的两个根，结合韦达定理列方程求解参数，即可得到的解析式； （2）将代入并因式分解，根据确定对应方程的两个根，比较两个根的大小关系，根据一元二次不等式大于0的解集规律得到结果； （3）由得，根据，，结合基本不等式求最小值. 【小问1详解】 的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； . 【小问2详解】 ，，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【小问3详解】 ，，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 17. 已知偶函数和奇函数满足. （1）求，的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）存在满足，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数的性质，构造方程，解方程组得函数解析式； （2）根据函数解析式判断单调性，利用单调性解不等式即可； （3）由题意转化为，换元后求的最大、最小值，求的最大值，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 ， 因为，，所以， 解得，. 【小问2详解】 由可得定义域为， ，在上单调递减， 因为，所以，解得 所求不等式的解集为. 【小问3详解】 存在满足 即； 令，，在上单调递增，得在上单调递增，所以，； 在上单调递减，所以， 所以， 则，即， 解得或(舍)，综上可得 18. 设函数（其中e是自然对数的底数），，已知它们在处有相同的切线． （1）求函数，的解析式； （2）求函数在上的最小值； （3）若对，恒成立求实数k的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由切点和切线斜率相同，利用导数求函数，的解析式； （2）利用导数求函数单调性，分类讨论求函数在上的最小值； （3）利用导数研究函数单调性，通过最值解决恒成立问题. 【小问1详解】 函数，， 则有，， 由题意，两函数在处有相同的切线， 因为，，则， ，解得，， 所以，． 【小问2详解】 ，由得；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以， 当时，f（x）在上单调递减，在上单调递增， 所以． 当时，在上单调递增， 所以， 所以， 【小问3详解】 令， 由题意知当时，， 因为，恒成立， 所以，所以． ， 因为，由，得，所以； 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递增， ，不满足． ②当，即时，由①知，，满足． ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，满足． 综上所述，满足题意的实数k的取值范围为． 【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $