第05讲 有理数的混合运算（讲义，上海专用沪教版）数学小升初衔接

第05讲 有理数的混合运算 预习目标 知识回顾 1. 掌握有理数混合运算的运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号）；能正确进行有理数的乘方运算； 2. 能熟练进行含乘方的有理数混合运算；能进行乘方的逆运算（已知幂求底数）； 3. 能理解并执行简单的程序流程图，进行用例数的计算； 4. 能运用有理数混合运算解决“算24点”等实际问题。 1. 上一讲我们学习了有理数的乘方，掌握了“奇负偶正”的符号规律，以及 表示 个 相乘。 2. 第2讲我们学习了有理数的加法与减法，第3讲学习了有理数的乘法与除法，掌握了各自的计算法则。 3. 小学阶段我们学习过“先乘除、后加减，有括号先算括号”的运算顺序。 4. 现在数的范围扩大了——乘方也加入了运算家族。那么，当加、减、乘、除、乘方混合在一起时，应该按照什么顺序计算？这就是本讲要解决的问题。 新知导图 预习精讲 想一想 某工厂生产一种精密零件，一道工序需要经过多步计算才能确定最终参数。工程师给出了以下三个算式： 算式①：6÷2×(1+2) 算式②：6÷2×1+2 算式③：6÷(2×1+2) ，你能按照正确的顺序计算它吗？ 图1 同学们，请看下面这个关于工厂生产计划的问题： 某工厂生产一种精密零件，一道工序需要经过多步计算才能确定最终参数。工程师给出了以下三个算式： 算式①： 算式②： 算式③： 【思考1】观察上面三个算式，它们有什么相同和不同？请分别计算出三个算式的结果。为什么数字和运算符号都相同，结果却不同？这说明了什么？ 【思考2】如果工程师写出一个更复杂的算式：，你能按照正确的顺序计算它吗？请思考： （1）先算什么？再算什么？最后算什么？ （2） 和 的计算结果一样吗？有什么区别？ 知识点01 有理数混合运算的顺序 运算顺序（核心法则） ： ① 先算乘方； ② 再算乘除； ③ 后算加减； ④ 有括号，先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）； ⑤ 同级运算，从左往右依次计算。 口诀：“先乘方、再乘除、后加减，括号优先从左到右” 注意事项： 乘除是同一级运算，按从左到右的顺序进行； 加减是同一级运算，按从左到右的顺序进行； 括号内的运算优先于括号外的运算； 多层括号时，从最内层开始逐层向外计算。 【示例】 计算： 解：原式 （先算乘方） （再算乘法） （最后算加减） 【即学即练1】 1.（25-26六年级上·上海·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)13 (2)4 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是关键． （1）按照含乘方的有理数的混合运算进行计算即可； （2）先计算除法后，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 知识点02 含乘方的有理数混合运算 运算步骤： 第一步：算乘方 —— 确定幂的符号和绝对值； 第二步：算乘除 —— 同号得正，异号得负； 第三步：算加减 —— 按加法法则进行。 关键点： 注意 与 的区别； 乘除混合时，先将除法转化为乘法，再用“奇负偶正”； 括号内的运算优先，括号内同样遵循“先乘方、再乘除、后加减”。 【示例】 计算： 解：原式 （先算乘方） （再算乘除，从左到右） （最后算加减） 【即学即练2】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解： ． 2．（25-26六年级下·上海·期中）计算：． 【答案】3 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解： 知识点03 运算律在混合运算中的应用 在有理数混合运算中，灵活运用运算律可以大大简化计算： 加法交换律与结合律：将同号、相反数、能凑整的数先结合； 乘法交换律与结合律：将能凑整或约分的数先结合； 乘法分配律：，可顺用也可逆用。 【要点】 运用运算律时，要连同符号一起移动，不能丢掉负号。 【示例】 计算： 解：原式 【即学即练3】 1.（25-26六年级上·上海静安·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后进行加减计算． 【详解】解： ． 2．（25-26六年级上·上海崇明·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先计算小括号内的减法和乘方，接着计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：                        ． 知识点04　程序流程图的理解 流程图的符号含义： 图形 名称 含义 圆角矩形 起止框 表示程序的开始或结束 矩形 处理框 表示执行某个计算或操作 菱形 判断框 表示条件判断，根据真假走不同分支 平行四边形 输入/输出框 表示输入数据或输出结果 带箭头线段 流程线 表示执行的方向和顺序 执行流程： 按照箭头指向的顺序，依次执行各个框中的操作。遇到判断框时，根据条件是否成立，选择对应的分支路径。 用例数计算： 将给定的输入值代入流程图，按执行路径逐步计算，得出输出结果。多个输入值时，分别计算每个用例的输出。 【即学即练4】 1.（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是______． 【答案】13 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】此题考查的是根据程序图求值，掌握程序图中的条件和有理数的各个运算法则是解决此题的关键．将代入，按照程序图运算，结果不满足，就将结果重复程序图中的运算，直到结果，输出结果即可． 【详解】解：若开始输入时，则， ∴， ∴则最后输出的结果是13， 故答案为：13． 2．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）按照如图所示的计算程序，若输入的，则输出的值为；若输入的，则输出的结果________． 【答案】3 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】此题主要考查了代数式求值，正确得出b的值是解题关键．直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入时，得出y的值． 【详解】解：∵当输入x的值是，输出y的值是， ∴， 解得：， 故输入x的值是3时，． 故答案为：3． 知识点05　程序流程图与用例数计算 当给定多组输入值（用例数）时，需要分别计算每一组的输出结果，并按要求汇总。 常见考法： 给出多组输入值，分别求输出结果； 根据输出结果反推输入值； 统计满足某种条件的输入值个数。 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图是一个“数值转换机”，如果输出的结果为16，那么输入的a值是_________． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算、有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据“数值转换机”得到，然后求出，再根据乘方的逆运算求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海普陀·期中）下图是一个流程图． (1)已知输入的的值为，求出最后输出结果； (2)已知输入的的值为，求出最后输出结果． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】程序流程图与有理数计算、有理数四则混合运算 【分析】此题考查了程序的流程图及有理数的混合运算，弄清题中的程序流程列出算式进行计算是解题的关键． （1）根据题中的程序流程图，将 代入计算得到结果为，不是整数，输出结果即可． （2）根据题中的程序流程图将 代入计算得到结果为9，是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为不是整数，输出结果即可． 【详解】（1）解：把代入程序中得：， 不是整数，     输出结果为：． （2）解：把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 不是整数， 输出结果为：． 知识点06　“算24点”游戏 游戏规则： 给定4个整数，通过加、减、乘、除以及括号运算，使计算结果等于24。 解题策略： 逆推法：24 = 几 × 几、几 + 几、几 - 几、几 ÷ 几，反向推导； 凑数法：先凑出常见的中间数（如3、4、6、8、12等）； 固定一个数法：确定一个数在最终算式中的角色，构造其他三个数的组合。 常用组合： 注意： 每个数必须用且只能用一次； 可以用括号改变运算顺序； 只允许使用加、减、乘、除四种运算。 【示例】 用2、3、4、5算24点。 解：，，（不对） 换个思路：，，（不对） 再试：，，（不对） 正确：（不对） 找：（不对） ✓ 答案： 【即学即练6】 1．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或 题型速练 题型01 有理数混合运算的顺序判断 【例1】（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题按照四则混合运算顺序计算，先算乘方与括号内的运算，再算乘除，最后算加减，需将带分数化为假分数进行计算，同时利用0除以非零数得0、负数的奇次幂为负数的性质简化运算. 【详解】解：原式 . 【例2】（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 常见错误/必记结论 - 乘除是同级运算，应按从左到右的顺序计算，不能先算后面的乘法。 - 与 的结果不同，前者为 ，后者为 。 - 同级运算从左到右，添加括号后运算顺序改变，结果可能不同。 ，。。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】10 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是做题的关键．根据有理数的混合运算顺序和相应的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 2．（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先算乘方，同时将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算，再算加法即可． 【详解】解： ． 题型02 含乘方的有理数混合运算 【例1】（25-26六年级上·上海崇明·期末）定义一种新运算：； (1)求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1)21 (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，解一元一次方程，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意 ； （2）解：由题意，得 整理，得 解得． 【例2】（25-26六年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 常见错误/必记结论 表示 ，而 。 - 乘除混合时，按从左到右的顺序依次计算。 - 分数的乘方：分子分母分别乘方。 ， 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海长宁·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）先化简绝对值，进而根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （3）根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，掌握含乘方有理数混合运算法则是解题的关键． 先算乘方，然后再运用有理数混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型03 ：运算律在混合运算中的应用 【例1】（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【答案】(1) (2) 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，计算平均数即可得； （2）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，然后求出“”所代表的数，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 所以运算结果“”所代表的数为． （2） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 则运算结果“”所代表的数为， ∵运算结果“”所代表的数为2， ∴， 解得． 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）为了大力促进人工智能与教育教学深度融合，本学期学校开设了人工智能课程．已知利用如图1的二维码可以进行身份识别，小王同学建立了一个身份识别系统．图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为学生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，表示6班学生的识别图案是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据班级序号的计算方法一一进行计算即可． 【详解】解：A、第一行数字从左到右依次为1，0，1，0，序号为，表示该生为10班学生； B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为，表示该生为6班学生； C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生； D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生． 故选：B． 常见错误/必记结论 - 逆用分配律时，注意提取公因数的符号。 - 积的乘方逆用：。 - 利用运算律先化简再计算，可避免复杂运算。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海金山·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果为_______． (2)如图，B同学设置了一个数值转换机，如果输入的x分别为和，那么输出的结果分别为_______和_______． (3)C同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若A，B分别输入1，则输出结果1，记； ②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记 问：当A输入自然数6，B输入自然数1时，的值是_______． 当A输入自然数6，B输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1)6.625 (2)，3 (3)243， 【知识点】程序流程图与代数式求值、程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案； （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算； （3）观察计算条件，先将输入固定1，得到输入6、输入1的输出值，再根据条件③，将输入固定6算出、均输入6时的输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ， ， ， 故答案为：6.625； （2）解：若输入的为时，， ， ， ， 若输入的为时，， ， ， 故答案为：，3； （3）解：由三个条件可知，当，均为1时，输出结果为1， 先输入数值为1，则可得输入的值为2，， 当输入3时，， 同理得，， ， ， 若输入固定值为6，， 同理得，， …… ， ，， 故答案为：243，． 题型04 ：程序流程图的理解与执行 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题．先根据数据运算程序计算出前几次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：运算结果以1、8、4、2为周期，每4次循环一次， ，余数为1， 所以第2025次运算输出的结果与第1次输出的结果相同， 即为1， 故选：A． 【例2】（25-26六年级上·上海青浦·期中）根据如图的流程图，完成下列各题： 如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． 【答案】，过程见解析 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，先计算出的结果，若结果为非负数，则把结果乘以后输出，若结果不是非负数，则直接把结果输出，据此求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴输出的结果为． 常见错误/必记结论 - 按箭头方向顺序执行，不能跳过步骤。 - 注意 x 的值在执行过程中会发生变化，后面的步骤使用的是更新后的值。 - 输入负数时， 变为正数，注意符号变化。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·期中）如图所示，若输入的分数是，则输出的分数是________． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3代入进行计算，若小于或等于，再代入计算即可求解． 【详解】解：当输入的数值为时，输出结果为： ． 故答案为：． 45．（24-25六年级上·上海·期中）如图，如果开始输入，那么最后输出的结果是______． 【答案】2 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】根据题意，得，当时，，继续代入计算， 当时，，解答即可． 本题考查了程序式的计算，正确理解程序式的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 当时，，继续代入计算， 当时，， 符合题意，输出2． 故答案为：2． 题型05：程序流程图与用例数计算 【例1】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】程序流程图与有理数计算、相反数的定义、有理数的分类 【分析】此题将计算机编程流程与数学结合，题型新颖，考查了正负数的认识，有理数的加减法和相反数，正确计算是解题的关键． （1）先判断是负数，再进行的计算，判断结果为负数，直接输出即可； （2）先判断出是正数，再进行的计算，结果为正数，再取相反数即可； （3）要对输出结果进行分类讨论，前一程序结果是和进行逆向运算，并要验证是否符合题意即可． 【详解】（1）解：因为是负数，所以运算为， 所以输出结果为． （2）解：因为是正数，所以运算为， 所以输出结果为的相反数为． （3）解：如果输出的结果是，那么可分两种情况讨论： ①输出之前是取了相反数，使得结果为，则有，符合题意； ，符合题意； ②输出之前是未取相反数，结果就是，则有，符合题意 ，符合题意； 所以输入的分数为或或或． 常见错误/必记结论 - 判断框的条件用更新后的 x 值进行判断，而不是用原始输入值。 - 注意两个分支分别执行不同的操作，互不干扰。 - 多组用例时，分别列出每组输入对应的输出结果。 【小试牛刀】 （24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算即可求解，理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 【详解】解：当第一次输入的数是，， 第二次输入时，， ∴最后输出的结果为， 故选：． 题型06：“算24点”游戏 【例1】（25-26六年级上·上海长宁·期末）“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 常见错误/必记结论 - 算24点允许使用括号和分数运算，不要局限于整数运算。 - 当直接凑不出24时，考虑构造分数如 ，再与其他数运算。 - 每个数必须且只能用一次。 【小试牛刀】 （24-25七年级上·全国·课后作业）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 ___________． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． 根据题意和图形，可以写出一个结果为24的算式． 【详解】解：， 故答案为：． 题型07：有理数混合运算的综合应用 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 【答案】(1)2；； (2)③ (3) 【知识点】有理数的除法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的乘除法计算．熟练掌握新定义，有理数的除法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义和有理数的除法计算即可； （2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断；②等式两端分别计算，比较结果即可；③按新定义计算，可判断正确；④为偶数，偶数个负数相除，结果应为正． （3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：2；； （2）解：对于任何正整数n，当n为偶数时，，当n为奇数时，，故①错误； ∵，， ∴，故②错误； ，故③正确； ∵表示的是个a相除，而， ∴根据除法计算法则可知，多个非零有理数进行除法计算时，负数的个数为偶数个数，最后的结果的符号为正，即，故④错误； 故答案为：③； （3）解： ， 故答案为：． 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 【答案】(1)，9； (2)负数； (3)； (4)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方运算，有理数的混合运算，正数和负数，熟练掌握有理数的乘方运算法则，有理数的混合运算法则，理解新定义是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （2）把除法转变为有理数的乘方，然后根据有理数的乘方意义解答即可； （3）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （4）根据新定义和有理数的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：③， ． 故答案为：，； （2）解：把负数的圈奇次方转变为乘方形式，根据负数的奇次方表示奇数个负数的乘积，结果是负数． 故答案为：负数； （3）解： ； （4）解： ． 常见错误/必记结论 - 代入数值时，负数要加括号，避免符号混淆。 - 注意 与 的区别：，。 - 严格按照运算顺序计算，先乘方、再乘除、后加减。 【小试牛刀】 （24-25六年级上·上海·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】 直接写出计算结果：_____，_____；（结果直接写成幂的形式） (2)【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式．将下列运算结果直接写成幂的形式． _____：_____；_____． (3)算一算： 【答案】(1)； (2)；； (3) 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解决本题的关键． （1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，用除法运算直接得出结果即可； （3）根据运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ， ； （3）解： ． 基础过关 1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】利用有理数的乘方运算进行运算，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 【详解】解： 2．（25-26六年级上·上海·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算、减法的性质，掌握有理数混合运算的运算法则及减法的性质是解题关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26六年级上·上海崇明·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练计算是解题的关键． 先算乘方和绝对值，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： ． 4．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数混合运算的运算顺序、乘方的符号规则及分数与整数的加减运算能力．遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，先正确计算乘方再计算括号内式子，接着进行乘法运算，最后通过加减得出结果． 【详解】解： ． 5．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：_____________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握好有理数混合运算的法则是解题关键． 先计算乘方，再进行除法运算． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（25-26六年级上·上海·期末）计算：______． 【答案】5 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算平方运算，再计算减法，即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）计算： 【答案】4 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先运算乘方以及把小数化为分数，再把除法化为乘法，然后运算乘法，把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． 【详解】解： ． 8．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先运算乘方，再运算乘法，最后运算加法，即可作答． 【详解】解： ． 9．（25-26六年级上·上海金山·期末）计算：； 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“有括号的先算括号里面的，再算乘方，然后算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右依次进行”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 10．（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先运算乘方，再运算乘法以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 11．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据，再根据分配律进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 12．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键；因此此题可先算乘方，然后再进行有理数的运算即可． 【详解】解：原式 ． 14．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【答案】1 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法分配律及有理数的乘方进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为1． 能力提升 15.（25-26六年级上·上海长宁·期末）“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16．4-25六年级上·上海闵行·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； (3)算一算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及除方定义的运用． （）根据的圈次方定义计算可得； （）根据计算结果得出规律即可； （）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及的圈次方的法则计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（）得： ． 17.（25-26六年级上·上海金山·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算乘方和绝对值里的减法，再化简绝对值，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 18．（25-26六年级上·上海青浦·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）先计算除法，再计算加法即可求解； （2）先计算乘方，再计算括号内的，然后计算乘法，再计算加减即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 挑战一刻 19．（六年级下·上海徐汇·阶段检测）对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式：______（填一个算式即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点、含乘方的有理数混合运算 【分析】结合所给数字及结果的特点，利用“加、减、乘、除、乘方”进行尝试，即可得出答案． 【详解】解：， 或， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 20.（24-25六年级上·上海·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算、算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的混合运算 预习目标 知识回顾 1. 掌握有理数混合运算的运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号）；能正确进行有理数的乘方运算； 2. 能熟练进行含乘方的有理数混合运算；能进行乘方的逆运算（已知幂求底数）； 3. 能理解并执行简单的程序流程图，进行用例数的计算； 4. 能运用有理数混合运算解决“算24点”等实际问题。 1. 上一讲我们学习了有理数的乘方，掌握了“奇负偶正”的符号规律，以及 表示 个 相乘。 2. 第2讲我们学习了有理数的加法与减法，第3讲学习了有理数的乘法与除法，掌握了各自的计算法则。 3. 小学阶段我们学习过“先乘除、后加减，有括号先算括号”的运算顺序。 4. 现在数的范围扩大了——乘方也加入了运算家族。那么，当加、减、乘、除、乘方混合在一起时，应该按照什么顺序计算？这就是本讲要解决的问题。 新知导图 预习精讲 想一想 某工厂生产一种精密零件，一道工序需要经过多步计算才能确定最终参数。工程师给出了以下三个算式： 算式①：6÷2×(1+2) 算式②：6÷2×1+2 算式③：6÷(2×1+2) ，你能按照正确的顺序计算它吗？ 图1 同学们，请看下面这个关于工厂生产计划的问题： 某工厂生产一种精密零件，一道工序需要经过多步计算才能确定最终参数。工程师给出了以下三个算式： 算式①： 算式②： 算式③： 【思考1】观察上面三个算式，它们有什么相同和不同？请分别计算出三个算式的结果。为什么数字和运算符号都相同，结果却不同？这说明了什么？ 【思考2】如果工程师写出一个更复杂的算式：，你能按照正确的顺序计算它吗？请思考： （1）先算什么？再算什么？最后算什么？ （2） 和 的计算结果一样吗？有什么区别？ 知识点01 有理数混合运算的顺序 运算顺序（核心法则） ： ① 先算乘方； ② 再算乘除； ③ 后算加减； ④ 有括号，先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）； ⑤ 同级运算，从左往右依次计算。 口诀：“先乘方、再乘除、后加减，括号优先从左到右” 注意事项： 乘除是同一级运算，按从左到右的顺序进行； 加减是同一级运算，按从左到右的顺序进行； 括号内的运算优先于括号外的运算； 多层括号时，从最内层开始逐层向外计算。 【示例】 计算： 解：原式 （先算乘方） （再算乘法） （最后算加减） 【即学即练1】 1.（25-26六年级上·上海·期末）计算： (1) (2) 知识点02 含乘方的有理数混合运算 运算步骤： 第一步：算乘方 —— 确定幂的符号和绝对值； 第二步：算乘除 —— 同号得正，异号得负； 第三步：算加减 —— 按加法法则进行。 关键点： 注意 与 的区别； 乘除混合时，先将除法转化为乘法，再用“奇负偶正”； 括号内的运算优先，括号内同样遵循“先乘方、再乘除、后加减”。 【示例】 计算： 解：原式 （先算乘方） （再算乘除，从左到右） （最后算加减） 【即学即练2】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 2．（25-26六年级下·上海·期中）计算：． 知识点03 运算律在混合运算中的应用 在有理数混合运算中，灵活运用运算律可以大大简化计算： 加法交换律与结合律：将同号、相反数、能凑整的数先结合； 乘法交换律与结合律：将能凑整或约分的数先结合； 乘法分配律：，可顺用也可逆用。 【要点】 运用运算律时，要连同符号一起移动，不能丢掉负号。 【示例】 计算： 解：原式 【即学即练3】 1.（25-26六年级上·上海静安·期末）计算：． 2．（25-26六年级上·上海崇明·期末）计算： 知识点04　程序流程图的理解 流程图的符号含义： 图形 名称 含义 圆角矩形 起止框 表示程序的开始或结束 矩形 处理框 表示执行某个计算或操作 菱形 判断框 表示条件判断，根据真假走不同分支 平行四边形 输入/输出框 表示输入数据或输出结果 带箭头线段 流程线 表示执行的方向和顺序 执行流程： 按照箭头指向的顺序，依次执行各个框中的操作。遇到判断框时，根据条件是否成立，选择对应的分支路径。 用例数计算： 将给定的输入值代入流程图，按执行路径逐步计算，得出输出结果。多个输入值时，分别计算每个用例的输出。 【即学即练4】 1.（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是______． 2．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）按照如图所示的计算程序，若输入的，则输出的值为；若输入的，则输出的结果________． 知识点05　程序流程图与用例数计算 当给定多组输入值（用例数）时，需要分别计算每一组的输出结果，并按要求汇总。 常见考法： 给出多组输入值，分别求输出结果； 根据输出结果反推输入值； 统计满足某种条件的输入值个数。 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图是一个“数值转换机”，如果输出的结果为16，那么输入的a值是_________． 2．（25-26六年级上·上海普陀·期中）下图是一个流程图． (1)已知输入的的值为，求出最后输出结果； (2)已知输入的的值为，求出最后输出结果． 知识点06　“算24点”游戏 游戏规则： 给定4个整数，通过加、减、乘、除以及括号运算，使计算结果等于24。 解题策略： 逆推法：24 = 几 × 几、几 + 几、几 - 几、几 ÷ 几，反向推导； 凑数法：先凑出常见的中间数（如3、4、6、8、12等）； 固定一个数法：确定一个数在最终算式中的角色，构造其他三个数的组合。 常用组合： 注意： 每个数必须用且只能用一次； 可以用括号改变运算顺序； 只允许使用加、减、乘、除四种运算。 【示例】 用2、3、4、5算24点。 解：，，（不对） 换个思路：，，（不对） 再试：，，（不对） 正确：（不对） 找：（不对） ✓ 答案： 【即学即练6】 1．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 题型速练 题型01 有理数混合运算的顺序判断 【例1】（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【例2】（25-26六年级上·上海·期末）计算： 常见错误/必记结论 - 乘除是同级运算，应按从左到右的顺序计算，不能先算后面的乘法。 - 与 的结果不同，前者为 ，后者为 。 - 同级运算从左到右，添加括号后运算顺序改变，结果可能不同。 ，。。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海金山·期末）计算：． 2．（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算：． 题型02 含乘方的有理数混合运算 【例1】（25-26六年级上·上海崇明·期末）定义一种新运算：； (1)求的值； (2)如果，求的值． 【例2】（25-26六年级上·上海金山·期末）计算：． 常见错误/必记结论 表示 ，而 。 - 乘除混合时，按从左到右的顺序依次计算。 - 分数的乘方：分子分母分别乘方。 ， 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海长宁·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）计算：． 题型03 ：运算律在混合运算中的应用 【例1】（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段检测）为了大力促进人工智能与教育教学深度融合，本学期学校开设了人工智能课程．已知利用如图1的二维码可以进行身份识别，小王同学建立了一个身份识别系统．图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为学生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，表示6班学生的识别图案是（   ）    A．   B．   C．   D．   常见错误/必记结论 - 逆用分配律时，注意提取公因数的符号。 - 积的乘方逆用：。 - 利用运算律先化简再计算，可避免复杂运算。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海金山·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果为_______． (2)如图，B同学设置了一个数值转换机，如果输入的x分别为和，那么输出的结果分别为_______和_______． (3)C同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若A，B分别输入1，则输出结果1，记； ②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记 问：当A输入自然数6，B输入自然数1时，的值是_______． 当A输入自然数6，B输入自然数6时，的值是多少？ 题型04 ：程序流程图的理解与执行 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【例2】（25-26六年级上·上海青浦·期中）根据如图的流程图，完成下列各题： 如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． 常见错误/必记结论 - 按箭头方向顺序执行，不能跳过步骤。 - 注意 x 的值在执行过程中会发生变化，后面的步骤使用的是更新后的值。 - 输入负数时， 变为正数，注意符号变化。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·期中）如图所示，若输入的分数是，则输出的分数是________． 45．（24-25六年级上·上海·期中）如图，如果开始输入，那么最后输出的结果是______． 题型05：程序流程图与用例数计算 【例1】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 常见错误/必记结论 - 判断框的条件用更新后的 x 值进行判断，而不是用原始输入值。 - 注意两个分支分别执行不同的操作，互不干扰。 - 多组用例时，分别列出每组输入对应的输出结果。 【小试牛刀】 （24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 题型06：“算24点”游戏 【例1】（25-26六年级上·上海长宁·期末）“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 常见错误/必记结论 - 算24点允许使用括号和分数运算，不要局限于整数运算。 - 当直接凑不出24时，考虑构造分数如 ，再与其他数运算。 - 每个数必须且只能用一次。 【小试牛刀】 （24-25七年级上·全国·课后作业）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 ___________． 题型07：有理数混合运算的综合应用 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 常见错误/必记结论 - 代入数值时，负数要加括号，避免符号混淆。 - 注意 与 的区别：，。 - 严格按照运算顺序计算，先乘方、再乘除、后加减。 【小试牛刀】 （24-25六年级上·上海·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】 直接写出计算结果：_____，_____；（结果直接写成幂的形式） (2)【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式．将下列运算结果直接写成幂的形式． _____：_____；_____． (3)算一算： 基础过关 1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 2．（25-26六年级上·上海·期末）计算： (1)； (2)． 3．（25-26六年级上·上海崇明·期末）计算： 4．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：． 5．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：_____________． 6．（25-26六年级上·上海·期末）计算：______． 7．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）计算： 8．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）计算： 9．（25-26六年级上·上海金山·期末）计算：； 10．（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：． 11．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算： (1)； (2)． 12．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）计算： (1) (2) 13．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：． 14．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：______． 能力提升 15.（25-26六年级上·上海长宁·期末）“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 16．4-25六年级上·上海闵行·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； (3)算一算：． 17.（25-26六年级上·上海金山·期中）计算： 18．（25-26六年级上·上海青浦·期末）计算： (1)； (2)． 挑战一刻 19．（六年级下·上海徐汇·阶段检测）对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式：______（填一个算式即可） 20.（24-25六年级上·上海·期中）“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $