第02讲 有理数的加法与减法（讲义，上海专用沪教版）数学小升初衔接

第02讲 有理数的加法与减法 预习目标 知识回顾 1. 掌握有理数的加法法则，能熟练进行有理数的加法运算； 2. 理解并掌握有理数加法的运算律（交换律、结合律），并能运用运算律简化运算； 3. 掌握有理数的减法法则，能将减法转化为加法进行计算； 4. 能熟练进行有理数的加减混合运算； 5.理解并掌握“省略加号的和式”（代数和）的读法与写法。 1. 上一讲我们学习了有理数的引入，认识了正数、负数、数轴、相反数和绝对值等概念。 2. 小学阶段我们学习过正数的加法与减法：如 ，。 3. 我们还知道减法是加法的逆运算，如 。 4. 现在数的范围扩大了——引入了负数，那么“负数+负数”等于什么？“正数-负数”又等于什么？这就是本讲要解决的问题。 新知导图 预习精讲 想一想 某超市在国庆节期间，每天用正、负数记录当天的盈亏情况（盈利为正，亏损为负）。下表是该超市第一周的盈亏记录： 图1 【思考1】根据上表，星期一的盈利+3万元和星期二的亏损-2万元相加，即 (+3)+(−2)，表示这两天合计盈亏多少万元？星期四的亏损-3万元和星期五的亏损-4万元相加，即 (−3)+(−4)，表示这两天的合计盈亏又是多少？观察这两个算式，你发现“正数+负数”和“负数+负数”在计算时，符号和数值分别有什么规律？ 【思考2】如果星期三的盈利+5万元与星期四的亏损-3万元相加，即 (+5)+(−3)，结果是+2万元。那么星期三的盈利+5万元减去星期四的亏损-3万元，即 (+5)−(−3)，结果应该是多少万元？“盈利5万元减去亏损3万元”在实际中是什么意思？它与“盈利5万元加上盈利3万元”(+5)+(+3) 有什么关系？这说明了减法和加法之间可以怎样转化？ 【思考3】如果我们要计算这一周的总盈亏，可以怎样列式？观察算式 (+3)+(−2)+(+5)+(−3)+(−4)+(+6)+(−1)，你能否通过调整加数的顺序（比如把正数放在一起、负数放在一起）让计算更简便？这背后用到了什么运算律？如果把括号和加号省略，这个式子可以写成什么形式？它有哪些读法？ 知识点01 有理数的加法法则 同号两数相加： 取相同的符号，并把绝对值相加。如：；。 异号两数相加： 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 如：；。 互为相反数的两个数相加得 0：如：；。 一个数同0相加，仍得这个数： 如：；；。 记忆口诀：同号相加一边倒，异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑。 【即学即练1】 1．（25-26六年级上·上海金山·期末）如表，算筹是我国古代的计算工具，采用纵、横两种摆法表示数字，规则为“一纵十横，百立千僵”，即个位纵式、十位横式、百位纵式、千位横式，依此类推．古人在个位数字上画斜线表示该数为负数．例如：“”表示数字“”． 现有算筹“”和“”，将它们所表示的数求和，得到的数是_______． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法运算 【分析】本题考查算筹计数法的规则应用，正负数的加减运算，理解算筹的纵横规则是解题关键． 根据算筹计数法的规则，将算筹转化为数字，然后进行求和计算． 【详解】 解：根据题意可知，表示，表示， 则． 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：______． 【答案】/ 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，直接根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点02 有理数加法的运算律 小学阶段学习的加法运算律在有理数范围内同样适用。 运算律 字母表示 说明 加法交换律 交换加数的位置时，要连同符号一起交换 加法结合律 先把前两个数相加，或先把后两个数相加 （1）运用运算律的目的是“简化运算”，通常将同号的数先相加（同号结合），或将互为相反数的数先相加（相反数结合），或将能凑整的数先相加（凑整结合）。 （2）多个有理数相加时，可以根据需要灵活运用运算律： 同号结合法：正数与正数结合，负数与负数结合。 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加得0。 凑整结合法：和为整数的数先相加。 【示例】 计算： 原式 （同号结合） 【即学即练2】 1．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】0.5 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键；因此此题可根据有理数的加法交换律及结合律进行求解即可． 【详解】解：原式． 2．（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．结合加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ． 知识点03 有理数加法中的符号问题 符号的确定： 同号相加：符号不变。 异号相加：符号与绝对值较大的加数相同。 互为相反数相加：结果为 0（既不是正数也不是负数）。 符号判断技巧： 计算前先观察两个加数的符号：同号还是异号？ 异号时，比较绝对值的大小，确定结果的符号。 口诀：“同号不变异号变，跟着大数把号占；大减小数作结果，符号千万别搞反。” 【示例】 判断下列各式的符号： （1）：异号，，结果为负。 （2）：异号，，结果为负。 （3）：异号，，结果为正。 【即学即练3】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）点A为数轴上表示的点，当时，则点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或8 D．2或 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，减法运算，在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离．根据数轴上两点距离的定义，点B可能在点A的左侧或右侧，分别计算对应数值，即可作答． 【详解】解：∵点A为数轴上表示的点， ∴当点B在点A右侧时，； 当点B在点A左侧时， ∴B点表示的数是2或； 故选：D 2．（25-26六年级上·上海·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的加法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．先计算绝对值，再根据有理数加法法则运算． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点04　有理数加法在生活中的应用 有理数加法在实际生活中有广泛应用，常见类型： 连续变化类：温度连续升降、水位连续涨落等，将每次的变化量依次相加。 汇总统计类：将多个数据（如各月盈亏、各科成绩等）相加，求总和。 误差范围类：利用“基准值 ± 误差”确定取值范围。 【要点】 关键是确定正、负分别表示什么意义。 列式时注意统一单位。 【示例】 某地早晨气温为 C，中午上升了 C，中午气温为：C。 【即学即练4】 1，（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，如果横向、纵向的分数之和相等，那么_________． 【答案】/ 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，熟练掌握法则是正确解决本题的关键．根据横向、纵向的分数之和相等，列式即可求得答案． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 2．（2025六年级上·上海·专题练习）为数轴上一点，且距离原点个单位长度，一只蚂蚁从点出发，向右爬行了个单位长度到达点，则点表示的有理数是__________． 【答案】0或4/4或0 【知识点】有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，有理数的加法运算，解题的关键根据题意列出式子，再根据有理数的加法法则进行计算．根据点距离原点个单位，得到表示的数可以是或，根据平移性质，由“右加，左减”列出算式，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：为数轴上一点，且距离原点个单位长度， 表示的数可以是或， 当为时，向右爬行个单位长度到达点，点表示的数为； 当为时，向右爬行个单位长度到达点，点表示的数为； 故点表示的有理数是或． 故答案为：或． 知识点05　有理数的减法法则 减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 运算步骤： 第一步：变号——将减号变为加号，同时将减数变为它的相反数。 第二步：计算——按加法法则进行计算。 本质： 有理数的减法运算可以统一转化为加法运算。 记忆口诀：“减负等于加正，减正等于加负”。 【示例】 （1） （2） （3） （4） 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海静安·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的加法和减法运算，解题的关键是掌握有理数的加、减的运算法则． 分别对每个选项按照有理数加减运算法则进行计算，然后判断其正确性． 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 故选：B． 2．（25-26六年级上·上海·期中）若已知有理数，满足：，，则下列说法中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定不小于0 C．一定是正数 D．一定是非负数 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加法与减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据绝对值的性质可得一定是非负数，一定是非正数，再根据有理数的加法与减法法则进行判断即可得． 【详解】解：∵，， ∴一定是非负数，一定是非正数，则选项A错误；选项D正确； 不一定不小于0，如：，此时，则选项B错误； 不一定是正数，如：，此时，则选项C错误； 故选：D． 知识点06　省略加号和括号的形式（代数和） 定义： 在一个含有有理数加减混合运算的式子里，通常将加号省略不写，写成省略加号的和式，也叫代数和。 写法规则： · 每个数的符号保留（正号可省略，负号必须写）。 · 省略加号和括号后，式子中的“+”号全部去掉，只保留每个数的符号。 两种读法： 例如： （1） 按运算读：“负5减3加7减2”； （2） 按代数和读：“负5、负3、正7、负2的和”。 【示例】将 省略加号：原式 【即学即练6】 1.（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】0.5 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键；因此此题可根据有理数的加法交换律及结合律进行求解即可． 【详解】解：原式． 2．（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．结合加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ． 知识点07　有理数减法的实际应用 有理数减法在实际生活中的应用，常见类型： 温差/温差问题： 最高气温 − 最低气温 = 温差。如：最高 C，最低 C，温差 C。 高度差问题： 高处海拔 − 低处海拔 = 高度差。如：山峰 m，盆地 m，高度差 m。变化量问题：终值 − 初值 = 变化量（正为增加，负为减少）。如：气温从 C 变为 C，变化量 C。 差距/差值问题： 较大数 − 较小数 = 差距。 【即学即练7】 1.（25-26六年级上·上海普陀·期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数的意义、有理数的加减，计算出薯片的净含量范围，再结合题意即可得解． 【详解】解：∵薯片检测报告上注明净含量为， ∴净含量范围为：净含量，即净含量，故A不符合标准． 故选：A． 2．（25-26六年级上·上海·期中）某零件的直径尺寸在图纸上标注是，则这种零件的标准尺寸是______，合格产品的零件尺寸范围是______． 【答案】 10 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查正负数的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，并能准确理解题意． 根据零件的直径尺寸是10±0.05（mm），意思是这种零件的标准尺寸是，最大尺寸是，最小尺寸是，计算后则可得出结果． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，某零件的直径尺寸在图纸上标注是， 则这种零件的标准尺寸是，最大尺寸是，最小尺寸是，即合格产品的零件尺寸范围是． 故答案为：10，． 知识点08　有理数的加减混合运算 统一为加法：将加减混合运算中的减法统一转化为加法。 运算顺序： 先统一为加法，再按从左到右的顺序依次计算。 步骤：① 减法转加法 → ② 写成省略加号的和式（可选） → ③ 按从左到右计算 【示例】计算： 原式 （统一为加法） 省略加号的和式： 【即学即练8】 1.（25-26六年级上·上海·单元复习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数的加减混合运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用加法交换律和结合律计算即可求解，掌握有理数的运算律和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 2.（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加减混合运算及有理数的加法的运算律是解题的关键．根据有理数加法的运算律，将能凑整的数先凑整，得到，再进一步计算，即得答案． 【详解】解：原式． ． 知识点09　有理数加减混合运算的应用 将有理数加减混合运算的知识应用到实际问题中。 常见模型： 行程问题：起点记为0，向某个方向为正，反方向为负，多次移动后求最终位置。 盈亏问题：盈利为正，亏损为负，求总盈亏。 基准量问题：以某个数为基准，超过为正，不足为负，求实际值或比较差距。 综合应用：多个量的连续变化，列综合算式求解。 【要点】 · 将实际问题转化为数学算式时，先明确“正”和“负”分别表示什么。 · 列出算式后，可先统一为加法，再灵活运用运算律简化计算。 【示例】 某食品包装袋上标有“净含量：”。 最多：g；最少：g。 【即学即练9】 1.（25-26六年级上·上海·寒假作业）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用每天的最高温度减去最低温度，然后相比即可得出答案． 【详解】解：第1天温差为：； 第2天温差为：； 第3天温差为：； 第4天温差为：； ∵， ∴第1天温差最大． 故选：A． 2．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）某商品包装袋上标注净含量：克，下列选项中表示净含量范围正确的是（    ） A．497克克 B．497克克 C．500克克 D．497克或503克 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数加法和减法的应用，根据“克”表示净含量以500克为基准，允许有克的误差，因此范围是从500减3克到500加3克． 【详解】解：∵净含量标注为克， ∴ 最小值为克，最大值为克， ∴净含量范围是497克克． 故选A． 题型速练 题型01 有理数加法运算 【例1】（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例2】（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算：_____． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，将小数化为分数，再与通分后相加，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 常见错误/必记结论 - 同号相加：符号不变，绝对值相加。 - 异号相加：符号跟着绝对值大的走，绝对值大的减绝对值小的。 - 相反数相加得 0。 - 任何数加0等于原数。 - 异号相加时，结果的符号很容易出错——先确定符号，再算绝对值。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海长宁·期中）若，的相反数是，则的相反数为______ 【答案】或/或 【知识点】有理数加法运算、求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，根据绝对值的意义求出x的值，根据相反数的定义求出 y的值，然后计算的值，再求的相反数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的相反数是， ∴， ∴当时，，则的相反数是， 当时，，则的相反数是， 综上所述，的相反数为或， 故答案为：或． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：______ 【答案】2 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和同分母的分数加法运算法则． 先将带分数化为假分数，再结合有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型02 有理数加法的运算律（简便运算） 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】． 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据加法法则和运算律即可求解，熟练掌握有理数的加法计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【例2】（25-26六年级上·上海闵行·期末）如果两个数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．至少有一个负数 B．至少有一个正数 C．至少有一个为 D．均不为 【答案】A 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，两个数的和为负数，则两个数不可能都是非负数，因此至少有一个是负数，据此即可求解，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：∵ 两个数的和为负数， ∴ 两个数不可能都是非负数， ∴ 至少有一个数是负数， 选项：． 常见错误/必记结论 - 加法交换律和结合律在有理数范围内同样适用。 - 交换位置时要连同符号一起交换，如 移到后面要带负号。 - 简便运算的策略：同号结合、相反数结合、凑整结合。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算______． 【答案】/ 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算，两个负数相加，取负号，并将绝对值相加，由此计算即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 2.（2025六年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】0 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数加法运算律 【分析】现将小数形式化为分数形式，再用加法的交换律及结合律，结合有理数加（减）法则，进行简便运算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，加法运算律，会熟练运用运算律进行简便运算是解题的关键． 题型03 ：有理数加法中的符号问题 【例1】（25-26六年级上·上海·单元复习）利用加法运算律计算各题． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加法运算律 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用加法的运算律进行求解较简便； （2）利用加法的运算律进行求解较简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 常见错误/必记结论 - 两个负数相加，和一定是负数。 - 异号相加，符号跟着绝对值大的走。 - 有理数加法没有“越加越大”的规律——加上负数，和反而变小。 【小试牛刀】 1.（（2025六年级上·上海·专题练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 2.（26-27七年级·上海·暑假作业）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、数轴上整点覆盖问题 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 题型04 ：有理数加法在生活中的应用 【例1】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负)，如图①，表示，则图②所表示的结果是________________． 【答案】0 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法运算 【分析】本题主要考查正数和负数，有理数的加法运算，理解题意是解题的关键． 根据已知条件列出式子即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：0． 【例2】（25-26六年级上·上海闵行·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【答案】(1)同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“”运算得它本身，负数与0“” 运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，例子见解析 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算； （1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“”运算法则，即可求解； （2）根据（1）中的运算法则进行计算即可求解； （3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算和，即可求解． 【详解】（1）解： “”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加. 一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 （2）解： （3）解：结合律在有理数的“”运算中不适用. 例如：           ；    这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用 常见错误/必记结论 - “上升”加正数，“下降”加负数。 - 连续变化时，依次相加即可。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海虹口·期末）小爱同学有每月1日称体重的习惯，并和上个月作比较，下面的表记录下她的体重变化情况，已知她6月1日的体重是，那么她12月1日的体重是_______． 7月1日 8月1日 9月1日 10月1日 11月1日 12月1日 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正负数的应用，理解题中正负数的意义是解题的关键． 根据表格中每月体重变化值，计算从6月1日到12月1日的总变化量，再与6月1日体重相加． 【详解】解：∵6月1日体重为， 由表格可知7月1日至12月1日的体重的总变化量为： ， ∴12月1日体重为． 故答案为：． 2.（25-26六年级上·上海嘉定·期末）小明的晨跑计划是每次跑1000米，训练后记录“里程偏差”，规定：实际多跑的里程记为正数，少跑的里程记为负数（需要后续补跑）．6次训练的偏差记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 偏差（米） 根据表格数据，这6次训练中，所有偏差的总里程（即实际多跑的里程需要补跑的里程）是________米． 【答案】490 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法的应用，根据题意，总里程为实际多跑的里程与需要补跑的里程之和，即所有偏差的绝对值之和，由此计算即可得出结果，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故所有偏差的总里程为米， 故答案为：． 题型05：有理数的减法运算 【例1】（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）计算：_____． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算、求一个数的绝对值 【分析】先根据绝对值的性质计算绝对值，再进行有理数的减法运算即可得到结果． 【详解】解：原式． 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）列式计算：减去什么数所得的差是？ 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则解题即可． 【详解】解： ． 常见错误/必记结论 - 减去一个数 = 加上这个数的相反数。 - 减法转加法时，只变“减数”的符号，被减数不变。 - 口诀：“减负等于加正，减正等于加负”。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）一个数减去等于减去的差，求这个数． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了分数的加减运算、有理数的加减运算等知识点，弄清楚减数、被减数、差之间的关系是解题的关键． 先根据减数、被减数、差之间的关系列式，然后再运用有理数的加减运算计算即可． 【详解】解：这个数是： ． 答：这个数是. 2．（25-26六年级上·上海·期中）如果一个数加上所得的和是7，那么这个数是_______． 【答案】/ 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算法则，根据有理数的减法运算法则，用和减去加数即可求出这个数． 【详解】解：由题意知，这个数为． 故答案为：． 3．（25-26六年级上·上海宝山·期中）计算：_______． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的减法运算，需要先通分，将异分母分数转化为同分母分数后再计算． 【详解】解： 故答案为：． 题型06：省略加号和括号的形式 【例1】（25-26六年级上·上海长宁·期末）计算：___________． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算，需掌握同分母分数的加法法则，以及正数与负数相加的运算规则． 【详解】解：． 故答案为：． 【例2】（25-26六年级上·上海虹口·期中）如果一个数减去所得的差是6，那么这个数是_________． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据有理数的减法法则可得这个数等于差加上减数，由此即可得． 【详解】解：由题意得：这个数是 ． 故答案为：． 常见错误/必记结论 - 省略加号时，每个数的符号要保留。 - 正号可以省略不写，但负号必须写。 - 省略加号的和式有两种读法，两种都要掌握。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海浦东新·期中）已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数，点B距离点A为个单位长度，则点B表示的数是 ______． 【答案】 或 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了异分母分数的加减法计算，分类讨论是解答本题的关键． 分点B在点A的左侧和右侧两种情况求解即可． 【详解】解：点A表示数为，点B与点A的距离为． 当点B在点A右侧时，点B表示的数为； 当点B在点A左侧时，点B表示的数为． 故答案为或． 2.（25-26六年级上·上海·阶段检测）数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数是_______． 【答案】、 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数加法运算，有理数的减法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 到一个点的距离等于3的点有两个，分别位于该点的左侧和右侧． 【详解】解∶ 数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数有两个，分别位于该点的左、右侧，这两个数分别是，， 故答案为：、． 题型07：有理数减法的实际应用 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米，则丙地的海拔高度是______米． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】此题考查了有理数的加减运算的实际应用，根据题意列式求解即可． 【详解】∵甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米， ∴（米） ∴丙地的海拔高度是米． 故答案为：． 【例2】（2025六年级上·上海·专题练习）如图，小华从家出发，途经图书馆到达学校要走1千米，那么从小华家到青少年活动中心比到图书馆近____千米． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了分数加减法的应用，读懂题图获取信息是解题的关键．先从图中获取到小华家到青少年活动中心的距离，再求得小华家与图书馆的距离，两距离作差即可得解． 【详解】解：由图可知，小华家到青少年活动中心的距离为千米， 小华家与图书馆的距离为（千米）， 从小华家到青少年活动中心比到图书馆近（千米）． 故答案为： ． 常见错误/必记结论 - 温差 = 最高气温 − 最低气温。 - 高度差 = 高处海拔 − 低处海拔。 - 变化量 = 终值 − 初值。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）2025年6月，某科研团队进行材料耐温测试，材料A在（液氮温度）至环境下表现稳定．这个稳定温度范围跨越了_______℃． 【答案】1046 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查有理数的减法在实际问题中的应用，理解稳定范围是最高温度与最低温度的差值是解题的关键． 根据液氮稳定温度的范围，用最高温度减最低温度即可求解． 【详解】在－196℃（液氮温度）至＋850℃环境下表现稳定， 所以稳定温度范围跨越了． 故答案为：1046． 2.（25-26六年级上·上海·单元测试）天气预报说明天的气温是，明天的昼夜温差是________． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键； 根据题意可列出算式，再计算即可得到答案. 【详解】解：， 所以明天的昼夜温差是； 故答案为：. 3.（25-26六年级上·上海闵行·期中）某日北京、上海、哈尔滨、长春、沈阳这五个城市的最高气温和最低气温记录如下： 城市 北京 上海 哈尔滨 长春 沈阳 最高气温 12 14 1 2 5 最低气温 3 5 该日温差最大的城市是__________，其温差是__________． 【答案】 哈尔滨 13 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法法则在实际生活中的应用与有理数的大小比较．通过计算每个城市的温差（最高气温减去最低气温），并比较差值大小，确定温差最大的城市及其温差． 【详解】解：北京温差：； 上海温差：； 哈尔滨温差：； 长春温差：； 沈阳温差：． ， ∴最大温差为，对应城市为哈尔滨． 故答案为：哈尔滨，13． 题型08：有理数的加减混合运算 【例1】（25-26六年级上·上海静安·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先化简括号，再根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ． 【例2】（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法化为加法，再把小数化为分数，再根据加法法则计算，即可作答． 【详解】解： ． 常见错误/必记结论 - 步骤：①统一为加法 → ②按从左到右依次计算。 - 可先写成省略加号的和式再计算。 有理数加减中的简便运算 - 观察算式，灵活运用运算律。 - 常见技巧：同号结合、相反数结合、凑整结合、同分母结合。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】4 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键．根据有理数的加减运算法则以及交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 2.（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；先写成省略括号的形式，再利用交换律与结合律进行简便计算即可． 【详解】解： ． 题型09：有理数加减混合运算的应用 【例1】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）某大米包装袋上的标识：，表示此袋大米的重量有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，根据标识，确定重量范围，再判断各选项是否在此范围内，即可． 【详解】解：标识表示重量最小值为，最大值为； A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） 根据上表回答问题： (1)星期二收盘时，该股票每股______元？ (2)本周内该股票收盘时的最高价是______元，最低价是______元？ (3)已知买入股票与卖出股票均需支付交易费．交易费的计算方式是：成交金额乘以0.005．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1) (2)； (3)小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他会赚元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键， （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义分别求得每天的实际股票价格后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：（元）， 即星期二收盘时，该股票每股元， 故答案为：； （2）解：周一实际的股票价格：（元）， 周二实际的股票价格：（元）， 周三实际的股票价格：（元）， 周四实际的股票价格：（元）， 周五实际的股票价格：（元）， 则本周内该股票收盘时的最高价是元，最低价是元， 故答案为：；； （3）解： （元）， 即小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他会赚1740元． 常见错误/必记结论 - 位移 = 各次移动的代数和（正负表示方向）。 - 总路程 = 各段路程的绝对值之和。 - 总盈亏 = 各月盈亏相加。 - 实际值 = 基准值 + 相对值。 “上方”加正数，“下方”加负数。 平均分 = 基准 + 相对值的平均值。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）“蛟龙”号载人潜水器是一艘我国自行设计、自主集成研制的载人潜水器．如果“蛟龙”号载人潜水器以下潜深度为标准，某次下潜深度达到记作，那么下潜深度为记作________m． 【答案】 【知识点】相反意义的量、有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数及有理数的加减法在实际生活中的应用，要熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 根据题意，以为标准，低于标准记为负，高于标准记为正即可求解． 【详解】解：根据题意得：，下潜深度达到记作， ∴下潜深度为记作：， 故答案为：． 2.（25-26六年级上·上海闵行·期中）如果某一天的最高温度是，最低温度是，那么这一天的温差是______． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，直接用该天的最高气温减去最低气温即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 基础过关 1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）根据要求完成下列问题． (1)在数轴上分别画出点、、，点表示数，点表示数，点表示数2，点表示的数是___________； (2)如果点距离点个单位，那么点表示的数是___________． 【答案】(1) (2)或 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示数，解题的关键是掌握用数轴上点表示数的方法，以及数轴上两点之间的距离计算方法． （1）在数轴上表示出来即可； （2）根据题意，进行分类讨论：当点在点左边时，当点在点右边时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点、、即为所求；点表示的数是． （2）解：当点在点左边时，点表示的数为：； 当点在点右边时，点表示的数为：； 故答案为：或． 2．（25-26六年级上·上海金山·期中）上海某公司2024年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法的实际应用，正负数的应用． 将盈利记为正数，亏损记为负数，计算四个季度的和即可． 【详解】解：∵第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万， ∴全年盈亏（万）． 故选：B． 3．（25-26六年级上·上海·期中）全班数学测试平均成绩为76分，某同学考80分，记作分，得分74分记作_____分． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算、正负数的定义 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数的减法运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再进行有理数的减法运算，进而得出答案． 【详解】解：全班数学测试平均成绩为76分，某同学考80分，记作分，得分74分记作：分， 故答案为：． 4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：______． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了分数的减法，首先把小数化为分数，再通分把异分母分数化为同分母分数，根据同分母分数的减法法则进行计算，最后把计算结果化为最简分数． 【详解】解： 故答案为：． 5.（25-26六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个有理数的和一定大于其中一个加数 B．两个有理数的和可能比这两个加数都小 C．两个有理数的差一定小于被减数 D．一个较大的数减去一个较小的数结果可能为负数 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法以及正数和负数，熟记运算法则是解题的关键．根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：． 【详解】A 选项：例如，和不大于加数0，所以该选项错误； B 选项：例如，比和都小，该选项正确； C 选项：例如，差7大于被减数5，所以该选项错误； D 选项：较大数减较小数，结果一定是正数，所以该选项错误． 故选：B． 6．（25-26六年级上·上海松江·期末）某质监部门抽查了一批盒装牛奶，检测报告上标明净含量为，则下列产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减运算的应用．根据“净含量：”的含义求出净含量的合格范围后再比较即可． 【详解】解：由条件得标准净含量的最小值为， 最大值， ∴只有选项不符合要求； 故选：A． 7．（25-26六年级上·上海长宁·期末）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】相反数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查相反数的定义，需先化简各选项中的数，再根据定义判断． 【详解】解：选项A：，与2相等，不是相反数； 选项B：，与2相等，不是相反数； 选项C：，2与绝对值相等、符号相反，互为相反数； 选项D：，，两数相等，不是相反数． 故选：C． 8.（2025六年级上·上海·专题练习）小王观察发现：家里的冰箱冷藏室温度为，冷冻室温度为零下，那么冰箱冷藏室与冷冻室的温差为_______． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数的减法，根据题意直接列出算式，然后按有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：22． 9.（24-25六年级下·上海·开学考试）若山底气温是，山顶气温是，则此时两地的温差是________． 【答案】20 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的应用，理解题意，正确列式的解答问题的关键． 用山底气温减去山顶气温即可得出答案． 【详解】解：两地的温差是 故答案为：20. 10．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的加法法则与分数通分运算．先将多个负数相加转化为正数求和后取相反数，再通过找最小公倍数通分，统一分母后计算分子和，最后保留负号得结果． 【详解】解： ． 11.（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数加法运算律计算即可． 【详解】解： 12.（25-26六年级上·上海·期中）新疆大部分地区夏天昼夜温差较大，故历来有“早穿皮祅午穿纱，围着火炉吃西瓜”之说．如果新疆某地某天的最低气温为，最高气温为，那么当天的温差是多少？ 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法运算的实际应用，根据题意列出算式即可求解，理解题意是解题的关键 【详解】解：， 答：当天的温差是． 13.（25-26六年级上·上海·期中）某公司去年第一季度（1月到3月）共亏损万元，第二季度（4月到6月）平均每月盈利万元，说明这个公司去年上半年总的盈亏情况． 【答案】这个公司上半年总共盈利万元 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的定义，理解题意并列出算式是解题的关键． 根据正负数的定义进行解题． 【详解】解： ， ∴盈利万元． 答：这个公司上半年总共盈利万元． 14.（2025六年级上·上海·专题练习）上海冬季某两天的气温如下表所示： 最高温度 最低温度 第一天 7 第二天 这两天中，第______天温差较大． 【答案】一 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】先计算温差，再比较大小解答即可． 本题考查了温差的计算，有理数的大小比较，熟练掌握减法计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一天的温差为：， 第二天的温差为：， 又， 故第一天温差大， 故答案为：一． 能力提升 15.（25-26六年级上·上海虹口·期中）一家商店一周七天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：元、1000元、1500元、元、1800元、元、800元． 问：这家商店这一周共盈亏多少元？ 【答案】盈利3900元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 先分别计算正数之和、负数之和，再求总和即可． 【详解】解：正数之和：（元）． 负数之和：（元）． 总和：（元）． 答：这家商店这一周共盈利3900元． 16.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ (2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 【答案】(1)沈师傅距离第一批乘客出发地的东面，距离千米 (2)千米小时 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用，绝对值，熟练掌握正负数的意义是解题的关键； （1）根据题意，列式计算即可求解； （2）计算沈师傅每段行驶路程的绝对值之和，进而求解速度即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可得：（千米）； 答：将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面，距离千米； （2）解：由题意得：（千米）， 上午沈师傅开车的时间为小时分钟， ， 故沈师傅开车的时间为小时， （千米小时）； 上午沈师傅开车的平均速度是千米小时； 17.（25-26六年级上·上海·期中）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存___吨． 【答案】 【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，根据有理数的加法运算，可得答案，利用有理数的加法运算是解题的关键． 【详解】解：（吨， 故本周五天后这种小麦库存吨， 故答案为：． 18.（25-26六年级上·上海嘉定·期末）数轴上有、两点，点表示，点表示，下列说法正确的是（    ） A．、两点间的距离为1 B．点表示的数的相反数比点表示的数的相反数小 C．点到原点的距离是 D．点在点的左侧 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算、相反数的定义、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数，有理数比较大小，根据数轴上两点间的距离公式可判断A、C；求出点A和点B表示的数的相反数，再比较大小即可判断B；根据数轴上右边的数大于左边的数即可判断D． 【详解】解：∵点表示，点表示， ∴、两点间的距离为，故A说法错误； ∵点表示的数的相反数为，点表示的数的相反数为，且， ∴点表示的数的相反数比点表示的数的相反数大，故B说法错误； ∵点表示， ∴点到原点的距离是，故C说法正确； ∵点表示，点表示， ∴点在点的右侧，故D说法错误； 故选：C． 19.（25-26六年级上·上海闵行·期中）已知：，且，则______． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查有理数的运算，根据绝对值的意义，结合，求出的值，再根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴； 故答案为：． 挑战一刻 20．（25-26六年级上·上海松江·期中）为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 【答案】(1)米；米 (2)米 (3)累计跑步米 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算解决实际问题，读懂题意，准确得到每天跑步距离是解决问题的关键． （1）按照每日距离变化表，直接计算即可得到答案； （2）按照每日距离变化表，直接计算这5天跑步距离即可得到答案； （3）由（2）中各天跑步距离直接求和即可得到答案． 【详解】（1）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 答：小明在9月21日跑步米、22日跑步米； （2）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 9月23日：（米）， 9月24日：（米）， 9月25日：（米）， 9月25日是跑步最多的一天，是（米）； （3）解：由（2）中各天跑步距离可得，（米） 答：累计跑步米． 21.（25-26六年级上·上海·寒假作业）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 有理数的加法与减法 预习目标 知识回顾 1. 掌握有理数的加法法则，能熟练进行有理数的加法运算； 2. 理解并掌握有理数加法的运算律（交换律、结合律），并能运用运算律简化运算； 3. 掌握有理数的减法法则，能将减法转化为加法进行计算； 4. 能熟练进行有理数的加减混合运算； 5.理解并掌握“省略加号的和式”（代数和）的读法与写法。 1. 上一讲我们学习了有理数的引入，认识了正数、负数、数轴、相反数和绝对值等概念。 2. 小学阶段我们学习过正数的加法与减法：如 ，。 3. 我们还知道减法是加法的逆运算，如 。 4. 现在数的范围扩大了——引入了负数，那么“负数+负数”等于什么？“正数-负数”又等于什么？这就是本讲要解决的问题。 新知导图 预习精讲 想一想 某超市在国庆节期间，每天用正、负数记录当天的盈亏情况（盈利为正，亏损为负）。下表是该超市第一周的盈亏记录： 图1 【思考1】根据上表，星期一的盈利+3万元和星期二的亏损-2万元相加，即 (+3)+(−2)，表示这两天合计盈亏多少万元？星期四的亏损-3万元和星期五的亏损-4万元相加，即 (−3)+(−4)，表示这两天的合计盈亏又是多少？观察这两个算式，你发现“正数+负数”和“负数+负数”在计算时，符号和数值分别有什么规律？ 【思考2】如果星期三的盈利+5万元与星期四的亏损-3万元相加，即 (+5)+(−3)，结果是+2万元。那么星期三的盈利+5万元减去星期四的亏损-3万元，即 (+5)−(−3)，结果应该是多少万元？“盈利5万元减去亏损3万元”在实际中是什么意思？它与“盈利5万元加上盈利3万元”(+5)+(+3) 有什么关系？这说明了减法和加法之间可以怎样转化？ 【思考3】如果我们要计算这一周的总盈亏，可以怎样列式？观察算式 (+3)+(−2)+(+5)+(−3)+(−4)+(+6)+(−1)，你能否通过调整加数的顺序（比如把正数放在一起、负数放在一起）让计算更简便？这背后用到了什么运算律？如果把括号和加号省略，这个式子可以写成什么形式？它有哪些读法？ 知识点01 有理数的加法法则 同号两数相加： 取相同的符号，并把绝对值相加。如：；。 异号两数相加： 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 如：；。 互为相反数的两个数相加得 0：如：；。 一个数同0相加，仍得这个数： 如：；；。 记忆口诀：同号相加一边倒，异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑。 【即学即练1】 1．（25-26六年级上·上海金山·期末）如表，算筹是我国古代的计算工具，采用纵、横两种摆法表示数字，规则为“一纵十横，百立千僵”，即个位纵式、十位横式、百位纵式、千位横式，依此类推．古人在个位数字上画斜线表示该数为负数．例如：“”表示数字“”． 现有算筹“”和“”，将它们所表示的数求和，得到的数是_______． 2．（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：______． 知识点02 有理数加法的运算律 小学阶段学习的加法运算律在有理数范围内同样适用。 运算律 字母表示 说明 加法交换律 交换加数的位置时，要连同符号一起交换 加法结合律 先把前两个数相加，或先把后两个数相加 （1）运用运算律的目的是“简化运算”，通常将同号的数先相加（同号结合），或将互为相反数的数先相加（相反数结合），或将能凑整的数先相加（凑整结合）。 （2）多个有理数相加时，可以根据需要灵活运用运算律： 同号结合法：正数与正数结合，负数与负数结合。 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加得0。 凑整结合法：和为整数的数先相加。 【示例】 计算： 原式 （同号结合） 【即学即练2】 1．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：． 2．（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算： 知识点03 有理数加法中的符号问题 符号的确定： 同号相加：符号不变。 异号相加：符号与绝对值较大的加数相同。 互为相反数相加：结果为 0（既不是正数也不是负数）。 符号判断技巧： 计算前先观察两个加数的符号：同号还是异号？ 异号时，比较绝对值的大小，确定结果的符号。 口诀：“同号不变异号变，跟着大数把号占；大减小数作结果，符号千万别搞反。” 【示例】 判断下列各式的符号： （1）：异号，，结果为负。 （2）：异号，，结果为负。 （3）：异号，，结果为正。 【即学即练3】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）点A为数轴上表示的点，当时，则点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或8 D．2或 2．（25-26六年级上·上海·期末）计算：______． 知识点04　有理数加法在生活中的应用 有理数加法在实际生活中有广泛应用，常见类型： 连续变化类：温度连续升降、水位连续涨落等，将每次的变化量依次相加。 汇总统计类：将多个数据（如各月盈亏、各科成绩等）相加，求总和。 误差范围类：利用“基准值 ± 误差”确定取值范围。 【要点】 关键是确定正、负分别表示什么意义。 列式时注意统一单位。 【示例】 某地早晨气温为 C，中午上升了 C，中午气温为：C。 【即学即练4】 1，（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，如果横向、纵向的分数之和相等，那么_________． 2．（2025六年级上·上海·专题练习）为数轴上一点，且距离原点个单位长度，一只蚂蚁从点出发，向右爬行了个单位长度到达点，则点表示的有理数是__________． 知识点05　有理数的减法法则 减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 运算步骤： 第一步：变号——将减号变为加号，同时将减数变为它的相反数。 第二步：计算——按加法法则进行计算。 本质： 有理数的减法运算可以统一转化为加法运算。 记忆口诀：“减负等于加正，减正等于加负”。 【示例】 （1） （2） （3） （4） 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海静安·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海·期中）若已知有理数，满足：，，则下列说法中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定不小于0 C．一定是正数 D．一定是非负数 知识点06　省略加号和括号的形式（代数和） 定义： 在一个含有有理数加减混合运算的式子里，通常将加号省略不写，写成省略加号的和式，也叫代数和。 写法规则： · 每个数的符号保留（正号可省略，负号必须写）。 · 省略加号和括号后，式子中的“+”号全部去掉，只保留每个数的符号。 两种读法： 例如： （1） 按运算读：“负5减3加7减2”； （2） 按代数和读：“负5、负3、正7、负2的和”。 【示例】将 省略加号：原式 【即学即练6】 1.（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：． 2．（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算： 知识点07　有理数减法的实际应用 有理数减法在实际生活中的应用，常见类型： 温差/温差问题： 最高气温 − 最低气温 = 温差。如：最高 C，最低 C，温差 C。 高度差问题： 高处海拔 − 低处海拔 = 高度差。如：山峰 m，盆地 m，高度差 m。变化量问题：终值 − 初值 = 变化量（正为增加，负为减少）。如：气温从 C 变为 C，变化量 C。 差距/差值问题： 较大数 − 较小数 = 差距。 【即学即练7】 1.（25-26六年级上·上海普陀·期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海·期中）某零件的直径尺寸在图纸上标注是，则这种零件的标准尺寸是______，合格产品的零件尺寸范围是______． 知识点08　有理数的加减混合运算 统一为加法：将加减混合运算中的减法统一转化为加法。 运算顺序： 先统一为加法，再按从左到右的顺序依次计算。 步骤：① 减法转加法 → ② 写成省略加号的和式（可选） → ③ 按从左到右计算 【示例】计算： 原式 （统一为加法） 省略加号的和式： 【即学即练8】 1.（25-26六年级上·上海·单元复习）计算：． 2.（25-26六年级上·上海·期中）计算： 知识点09　有理数加减混合运算的应用 将有理数加减混合运算的知识应用到实际问题中。 常见模型： 行程问题：起点记为0，向某个方向为正，反方向为负，多次移动后求最终位置。 盈亏问题：盈利为正，亏损为负，求总盈亏。 基准量问题：以某个数为基准，超过为正，不足为负，求实际值或比较差距。 综合应用：多个量的连续变化，列综合算式求解。 【要点】 · 将实际问题转化为数学算式时，先明确“正”和“负”分别表示什么。 · 列出算式后，可先统一为加法，再灵活运用运算律简化计算。 【示例】 某食品包装袋上标有“净含量：”。 最多：g；最少：g。 【即学即练9】 1.（25-26六年级上·上海·寒假作业）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 2．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）某商品包装袋上标注净含量：克，下列选项中表示净含量范围正确的是（    ） A．497克克 B．497克克 C．500克克 D．497克或503克 题型速练 题型01 有理数加法运算 【例1】（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【例2】（25-26六年级上·上海宝山·期末）计算：_____． 常见错误/必记结论 - 同号相加：符号不变，绝对值相加。 - 异号相加：符号跟着绝对值大的走，绝对值大的减绝对值小的。 - 相反数相加得 0。 - 任何数加0等于原数。 - 异号相加时，结果的符号很容易出错——先确定符号，再算绝对值。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海长宁·期中）若，的相反数是，则的相反数为______ 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：______ 题型02 有理数加法的运算律（简便运算） 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【例2】（25-26六年级上·上海闵行·期末）如果两个数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．至少有一个负数 B．至少有一个正数 C．至少有一个为 D．均不为 常见错误/必记结论 - 加法交换律和结合律在有理数范围内同样适用。 - 交换位置时要连同符号一起交换，如 移到后面要带负号。 - 简便运算的策略：同号结合、相反数结合、凑整结合。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算______． 2.（2025六年级上·上海·专题练习）计算：． 题型03 ：有理数加法中的符号问题 【例1】（25-26六年级上·上海·单元复习）利用加法运算律计算各题． (1) (2) 常见错误/必记结论 - 两个负数相加，和一定是负数。 - 异号相加，符号跟着绝对值大的走。 - 有理数加法没有“越加越大”的规律——加上负数，和反而变小。 【小试牛刀】 1.（（2025六年级上·上海·专题练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（26-27七年级·上海·暑假作业）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 题型04 ：有理数加法在生活中的应用 【例1】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负)，如图①，表示，则图②所表示的结果是________________． 【例2】（25-26六年级上·上海闵行·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 常见错误/必记结论 - “上升”加正数，“下降”加负数。 - 连续变化时，依次相加即可。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海虹口·期末）小爱同学有每月1日称体重的习惯，并和上个月作比较，下面的表记录下她的体重变化情况，已知她6月1日的体重是，那么她12月1日的体重是_______． 7月1日 8月1日 9月1日 10月1日 11月1日 12月1日 2.（25-26六年级上·上海嘉定·期末）小明的晨跑计划是每次跑1000米，训练后记录“里程偏差”，规定：实际多跑的里程记为正数，少跑的里程记为负数（需要后续补跑）．6次训练的偏差记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 偏差（米） 根据表格数据，这6次训练中，所有偏差的总里程（即实际多跑的里程需要补跑的里程）是________米． 题型05：有理数的减法运算 【例1】（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）计算：_____． 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）列式计算：减去什么数所得的差是？ 常见错误/必记结论 - 减去一个数 = 加上这个数的相反数。 - 减法转加法时，只变“减数”的符号，被减数不变。 - 口诀：“减负等于加正，减正等于加负”。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）一个数减去等于减去的差，求这个数． 2．（25-26六年级上·上海·期中）如果一个数加上所得的和是7，那么这个数是_______． 3．（25-26六年级上·上海宝山·期中）计算：_______． 题型06：省略加号和括号的形式 【例1】（25-26六年级上·上海长宁·期末）计算：___________． 【例2】（25-26六年级上·上海虹口·期中）如果一个数减去所得的差是6，那么这个数是_________． 常见错误/必记结论 - 省略加号时，每个数的符号要保留。 - 正号可以省略不写，但负号必须写。 - 省略加号的和式有两种读法，两种都要掌握。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海浦东新·期中）已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数，点B距离点A为个单位长度，则点B表示的数是 ______． 2.（25-26六年级上·上海·阶段检测）数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数是_______． 题型07：有理数减法的实际应用 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米，则丙地的海拔高度是______米． 【例2】（2025六年级上·上海·专题练习）如图，小华从家出发，途经图书馆到达学校要走1千米，那么从小华家到青少年活动中心比到图书馆近____千米． 常见错误/必记结论 - 温差 = 最高气温 − 最低气温。 - 高度差 = 高处海拔 − 低处海拔。 - 变化量 = 终值 − 初值。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）2025年6月，某科研团队进行材料耐温测试，材料A在（液氮温度）至环境下表现稳定．这个稳定温度范围跨越了_______℃． 2.（25-26六年级上·上海·单元测试）天气预报说明天的气温是，明天的昼夜温差是________． 3.（25-26六年级上·上海闵行·期中）某日北京、上海、哈尔滨、长春、沈阳这五个城市的最高气温和最低气温记录如下： 城市 北京 上海 哈尔滨 长春 沈阳 最高气温 12 14 1 2 5 最低气温 3 5 该日温差最大的城市是__________，其温差是__________． 题型08：有理数的加减混合运算 【例1】（25-26六年级上·上海静安·期末）计算：． 【例2】（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：． 常见错误/必记结论 - 步骤：①统一为加法 → ②按从左到右依次计算。 - 可先写成省略加号的和式再计算。 有理数加减中的简便运算 - 观察算式，灵活运用运算律。 - 常见技巧：同号结合、相反数结合、凑整结合、同分母结合。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 2.（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 题型09：有理数加减混合运算的应用 【例1】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）某大米包装袋上的标识：，表示此袋大米的重量有可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） 根据上表回答问题： (1)星期二收盘时，该股票每股______元？ (2)本周内该股票收盘时的最高价是______元，最低价是______元？ (3)已知买入股票与卖出股票均需支付交易费．交易费的计算方式是：成交金额乘以0.005．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 常见错误/必记结论 - 位移 = 各次移动的代数和（正负表示方向）。 - 总路程 = 各段路程的绝对值之和。 - 总盈亏 = 各月盈亏相加。 - 实际值 = 基准值 + 相对值。 “上方”加正数，“下方”加负数。 平均分 = 基准 + 相对值的平均值。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）“蛟龙”号载人潜水器是一艘我国自行设计、自主集成研制的载人潜水器．如果“蛟龙”号载人潜水器以下潜深度为标准，某次下潜深度达到记作，那么下潜深度为记作________m． 2.（25-26六年级上·上海闵行·期中）如果某一天的最高温度是，最低温度是，那么这一天的温差是______． 基础过关 1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）根据要求完成下列问题． (1)在数轴上分别画出点、、，点表示数，点表示数，点表示数2，点表示的数是___________； (2)如果点距离点个单位，那么点表示的数是___________． 2．（25-26六年级上·上海金山·期中）上海某公司2024年第一季度盈利10万，第二季度盈利2万，第三季度亏损5万，第四季度亏损1万，则该公司2024年的盈亏情况为（   ） A．盈利2万 B．盈利6万 C．亏损6万 D．亏损8万 3．（25-26六年级上·上海·期中）全班数学测试平均成绩为76分，某同学考80分，记作分，得分74分记作_____分． 4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：______． 5.（25-26六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个有理数的和一定大于其中一个加数 B．两个有理数的和可能比这两个加数都小 C．两个有理数的差一定小于被减数 D．一个较大的数减去一个较小的数结果可能为负数 6．（25-26六年级上·上海松江·期末）某质监部门抽查了一批盒装牛奶，检测报告上标明净含量为，则下列产品中净含量不符合标准的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26六年级上·上海长宁·期末）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 8.（2025六年级上·上海·专题练习）小王观察发现：家里的冰箱冷藏室温度为，冷冻室温度为零下，那么冰箱冷藏室与冷冻室的温差为_______． 9.（24-25六年级下·上海·开学考试）若山底气温是，山顶气温是，则此时两地的温差是________． 10．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）计算：． 11.（25-26六年级上·上海·期末）计算： 12.（25-26六年级上·上海·期中）新疆大部分地区夏天昼夜温差较大，故历来有“早穿皮祅午穿纱，围着火炉吃西瓜”之说．如果新疆某地某天的最低气温为，最高气温为，那么当天的温差是多少？ 13.（25-26六年级上·上海·期中）某公司去年第一季度（1月到3月）共亏损万元，第二季度（4月到6月）平均每月盈利万元，说明这个公司去年上半年总的盈亏情况． 14.（2025六年级上·上海·专题练习）上海冬季某两天的气温如下表所示： 最高温度 最低温度 第一天 7 第二天 这两天中，第______天温差较大． 能力提升 15.（25-26六年级上·上海虹口·期中）一家商店一周七天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：元、1000元、1500元、元、1800元、元、800元． 问：这家商店这一周共盈亏多少元？ 16.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ (2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 17.（25-26六年级上·上海·期中）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存___吨． 18.（25-26六年级上·上海嘉定·期末）数轴上有、两点，点表示，点表示，下列说法正确的是（    ） A．、两点间的距离为1 B．点表示的数的相反数比点表示的数的相反数小 C．点到原点的距离是 D．点在点的左侧 19.（25-26六年级上·上海闵行·期中）已知：，且，则______． 挑战一刻 20．（25-26六年级上·上海松江·期中）为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 21.（25-26六年级上·上海·寒假作业）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $