第07讲 代数式与代数式的值（讲义，上海专用沪教版）数学小升初衔接

第07讲 代数式与代数式的值 预习目标 知识回顾 1. 理解代数式的概念，能判断一个式子是否为代数式； 2. 能说出代数式所表示的实际意义； 3. 掌握代数式求值的方法，能根据字母的取值求出代数式的值； 会用含字母的式子表示数列规律和图形规律； 4. 掌握整体代入法，能根据已知式子的值求代数式的值； 5. 能根据程序流程图进行代数式求值。 1. 上一讲我们学习了用字母表示数，掌握了含字母式子的书写规范。 2. 我们知道可以用字母表示数量关系、运算律、公式和规律。 3. 如：长方形面积 ，路程 ，搭 个正方形需要 根火柴棒。 4. 这些用运算符号将数和字母连接而成的式子，就是本讲要学习的代数式。 5. 当字母取具体数值时，代数式就有了具体的值——这就是代数式的值。 新知导图 预习精讲 想一想 同学们，请看下面某城市出租车的收费标准： 收费标准：起步价 8 元（3 千米以内），超过 3 千米后每千米收费 2.4 元。 【思考1】如果行驶路程为 x 千米（x>3），你能用一个含 x 的式子表示应付的车费吗？这个式子中有字母、有运算符号，它属于我们学过的哪一类式子？这个式子能表示所有超过3千米的乘车费用吗？——这说明了用字母表示数有什么优越性？ 【思考2】小亮乘车行驶了 7 千米，你能根据思考1中的式子算出他应付的车费吗？如果将“行驶 7 千米”换成“行驶 x 千米”，x 在这里表示什么？把 x=7 代入 8+2.4(x−3) 后得到的结果叫什么？计算时需要注意什么？（提示：代入负数不需要，但代入后括号内的运算顺序是什么？） 【思考3】小华乘车付费 20 元，他最多可能行驶了多少千米？这个问题和思考2有什么不同？如果把这个问题看成“知道输出的结果，反推输入的值”，你能联想到我们学过的哪种数学工具？（提示：回顾上一讲的程序流程图） 【思考4】小明的爸爸连续两天乘坐该出租车：第一天行驶了 a 千米，第二天行驶了 b 千米（a>3，b>3）。如果已知这两天一共支付了 40 元，即 8+2.4(a−3)+8+2.4(b−3)=40，你能求出 a+b 的值吗？这里并没有给出 a 和 b 各自具体是多少，为什么还能求出 a+b？这体现了什么数学思想？ 追问：如果小明一家三口分别乘坐出租车行驶了 x、y、z 千米（都超过3千米），你能写出总车费的代数式吗？如果已知总车费为 M 元，你能求出 x+y+z 的值吗？ 知识点01 代数式的概念 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）和括号将数与字母连接而成的式子，叫做代数式。注意： · 单独一个数或一个字母也是代数式。如：、、、 都是代数式。 · 代数式中不含等号（） 或不等号（、、、、） 。 代数式与等式、不等式的区别： 类型 特征 示例 代数式 不含等号或不等号 ，， 等式 含有等号“” ， 不等式 含有不等号“”等 ， 【即学即练1】 （25-26六年级上·上海静安·期末）下列各式中不是代数式的为（   ） A． B．314 C． D． 【答案】D 【知识点】代数式的概念 【分析】本题主要考查了代数式的识别，代数式是由运算符号连接数或字母的式子，不能包含等号或不等号，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵代数式定义为由运算符号连接数或字母的式子，不含等号或不等号， 选项A、B、C均符合代数式定义，故均不符合题意， 选项D含有等号“”，为方程，不是代数式，符合题意． 故选：D． 知识点02 代数式表示的实际意义 根据代数式说实际意义： 给定一个代数式，能够联系实际生活，说出它所表示的实际意义。即“用数学语言描述生活情境”。 根据实际问题写代数式： 将实际问题中的数量关系，用含字母的式子表示出来。即“用数学语言表达生活情境”。 【示例】 代数式 可以表示：一个数 的3倍与5的和；也可以表示：某商品单价 元，买3件多5元等。一个长方形的长为 ，宽为 ，面积 。 【即学即练2】 （25-26六年级上·上海杨浦·期末）的意义是的平方与的平方的和，那么的意义是_____． 【答案】x与y的差的平方 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的意义，根据代数表达式的定义， 表示先计算与 的差，再对该差进行平方运算． 【详解】解：的意义是x与y的差的平方 故答案为：x与y的差的平方． 知识点03 已知字母的值，求代数式的值 定义： 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算关系计算出的结果，叫做代数式的值。 求值步骤： 第一步：代入——将字母的取值代入代数式（负数、分数要加括号）； 第二步：计算——按运算顺序计算，得出结果。 运算顺序： 先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的。 代入负数的注意事项： 当字母取负数时，代入后必须加括号。如： 代入 ，应写成 ，不能写成 。 【示例】 当 ， 时，求 的值。 解：原式 。 【即学即练3】 （24-25六年级上·上海·阶段检测）若 ， ，且．则的值为____________． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值的几何意义 【分析】先根据平方根的定义求出的值，再根据绝对值的定义求出的值，结合，得到与异号，分情况计算，即可得到结果． 【详解】解：由 ，可得； 由 ，可得． ， 与 异号，故分两种情况讨论： 当 时， ，； 当 时， ，， 综上，的值为． 知识点04　已知式子的值，求代数式的值（整体代入法） 整体代入思想： 当题目给出的是某个式子的值，而不是字母的具体值时，将整个式子看作一个“整体”代入所求代数式。常用技巧： （1） 直接整体代入：如 ，求 ，则 。 （2） 变形后整体代入：如 ，求 ，则 。（3）拆项后整体代入：如 ，求 ，则 。 注意：整体代入法在后续学习配方法、换元法时还会反复用到，是初中数学最重要的数学思想方法之一。【示例】已知 ，求 的值。 解：。 【即学即练4】 1.（（25-26六年级上·上海·期末）已知：当时，多项式的值为2．当时，的值为__． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值． 根据当时，多项式的值为2得到，进而计算即可． 【详解】解：∵当时，多项式的值为2， ∴， ∴， 即 ∴当时，． 故答案为：． 知识点05　程序流程图与代数式求值 程序流程图： 用流程图表示运算顺序，输入一个数，按照流程图中指定的运算步骤进行计算，最终输出结果。 解题方法： · 根据流程图写出代数式； · 将输入值代入代数式，按顺序计算； · 注意运算顺序与流程图中的步骤一致。 常见题型： （1） 已知输入值，求输出结果； （2）已知输出结果，求输入值（反向推导）。 【示例】 输入 x → 乘以3 → 减去2 → 输出 （1）写出输出结果的代数式：； （2）当 时，输出 ； （3）当输出为 时，，。 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）根据如图所示的流程图计算，若，则的值为___． 【答案】4 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了规律探索，代数式求值，解题的关键是根据题意找出规律． 先求出，，，，得出规律，然后再求出结果即可． 【详解】解：由题知， 因为， 所以，，，，……， 由此可见，这列数从开始按，，4循环． 因为， 所以． 故答案为：4． 题型速练 题型01　代数式的概念辨析 【例1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）在中，______不是代数式． 【答案】 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，不含等号或不等号，含有等号，是方程，因此不是代数式． 【详解】代数式是指用运算符号（如加、减、乘、除、乘方）连接数字和字母的表达式，不能包含关系符号（如等号或不等号）， 选项、、均符合代数式定义，而含有等号，表示方程，不是代数式， 故答案为． 【例2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号（、、、、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、，含有等号，不是代数式，符合题意； B、5是代数式，不符合题意； C、是代数式，不符合题意； D、是代数式，不符合题意． 故选：A． 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）在，，2，m，，，中，代数式有___________个 【答案】5 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是关键．代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方）组成的数学表达式，不包含等号或不等号．根据代数式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，，2，m， 是代数式，共5个；和不是代数式． 故答案为：5． 2.（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）用运算符号或括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作_____． 【答案】代数式 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的定义，掌握代数式的定义是解题的关键． 用运算符号或括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式，单独一个数或一个字母也是代数式，据此解答即可． 【详解】解：用运算符号或括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式，单独一个数或一个字母也是代数式． 故答案为：代数式． 题型02 　代数式表示的实际意义 【例1】（25-26六年级上·上海杨浦·期末）的意义是的平方与的平方的和，那么的意义是_____． 【答案】x与y的差的平方 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的意义，根据代数表达式的定义， 表示先计算与 的差，再对该差进行平方运算． 【详解】解：的意义是x与y的差的平方 故答案为：x与y的差的平方． 【例2】（24-25六年级上·上海金山·期末）我们知道，用字母表示的代数式是可以具有实际意义的．下列赋予实际意义的例子中，不正确的是（   ） A．若某款笔记本的售价是4元/本，则表示购买a本笔记本所需的钱数 B．若平行四边形的底为，面积为，则它的高为 C．若某校六年级共有4个班，平均每个班有名女生，则表示六年级女生的总人数 D．若表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 【答案】B 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式的实际意义，解题的关键是读懂题意，需根据各选项中的情境判断是否合理. 【详解】解：选项A.，赋予实际意义正确，不符合题意； 选项B.∵，已知底，面积，∴，而非，故赋予表示高的意义不正确，符合题意.； 选项C.，赋予实际意义正确，不符合题意； 选项D.，赋予实际意义正确，不符合题意； 故选B． 【小试牛刀】 1.（24-25七年级上·上海奉贤·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．x减去y的相反数的差与y的积，用代数式表示为； B．x与y的和的5倍，用代数式表示为； C．x与y的平方差， 用代数式表示为； D．与的差的平方除的商， 用代数式表示为． 【答案】C 【知识点】列代数式、相反数的定义、代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了列代数式．熟练掌握代数式的定义，数量关系与运算顺序，是解题的关键． 根据数量关系，运算顺序，相反数，理清除与除以的关系，逐一列出代数式，判断即得． 【详解】A、x减去y的相反数的差与y的积，用代数式表示为，∴A不正确； B、x与y的和的5倍，用代数式表示为，∴B不正确； C、x与y的平方差， 用代数式表示为，∴C正确； D、与的差的平方除的商， 用代数式表示为，∴D正确． 故选：C． 题型03 ：已知字母的值，求代数式的值 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）当时，代数式的值为____________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】将代入代数式，再按照含乘方有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解∶ 将代入 ，得 ． 【例2】（25-26六年级上·上海崇明·期末）如果，且 ，那么的值为 （     ） A． B． C．或 D．7 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数比较大小，求一个数的绝对值，根据绝对值的定义和可确定b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海嘉定·期末）如果，那么________． 【答案】9 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出和的值，再计算即可，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 2.（25-26六年级上·上海杨浦·期末）当时，代数式的值是_____． 【答案】24 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，将代入代数式进行计算即可． 【详解】解：当时， 故答案为：24． 题型04 ：已知式子的值，求代数式的值（整体代入法） 【例1】（25-26六年级上·上海·期末）若，则的值为______． 【答案】 2026 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式的求值，将代数式变形为含已知条件的形式，整体代入进行计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2026． 【例2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 【答案】2024 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】利用已知条件得到，对所求多项式进行降次变形，再整体代入计算，运用整式的变形和整体代入的思想求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海静安·期末）已知，则_____． 【答案】2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟练运用整体的思想． 通过移项得到，然后将代数式变形为，再整体代入计算． 【详解】解：由得， 所以， 故答案为：2025． 2．（25-26六年级上·上海长宁·期末）已知，那么代数式的值是___________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式的整体代换求值，核心是通过对已知等式变形，得到与目标代数式相关的表达式，再进行整体代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 题型05：程序流程图与代数式求值 【例1】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图是一个运算程序，若先后输入和，则输出的结果是__． 【答案】 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据题意列式计算即可． 【详解】解：若先后输入和， ∵， ∴， 即输出结果为， 故答案为：． 【例2】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）已知字母n代表某一个数，按图所示程序输入计算，当第一次输入n为30时，那么第8次输出的结果应为 _____． 【答案】4 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查代数式求值，输入的n是30，是偶数，代入，即即可得到第一次输出的数值15，同时是第二次输入的数，15是奇数应该代入进行解答，依次进行计算即可，解答的关键是理解清楚题意． 【详解】解：把30代入得到第一次输出是， 把15代入得到第二次输出， 把22代入得到第三次输出是， 把11代入得到第四次输出， 把18代入得到第五次输出是， 把9代入得到第六次输出， 把16代入得到第七次输出是， 把8代入得到第八次输出， 故答案为：4． 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·期末）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为5的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． 把选项中的x，y值代入检验，即可求解． 【详解】解：A、当时，，输出结果为，不符合题目要求； B、当时，，输出结果为，不符合题目要求； C、当时，，输出结果为，符合题目要求； D、当时，，输出结果为，不符合题目要求． 故选：C． 基础过关 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代数式的概念 【分析】本题主要考查了代数式的定义，代数式是指把数或表示数的字母用等运算符号连接起来的式子，而对于带有等数量关系的式子则不是代数式，据此可得答案． 【详解】解：由代数式的定义可知四个选项中，只有C选项中的式子不是代数式， 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查代数式的定义，用运算符号将数字和字母进行连接的式子叫做代数式，单个数字和字母也是代数式，根据代数式定义进行判断即可． 【详解】解：A、是代数式，不符合题意； B、是等式，不是代数式，符合题意； C、是代数式，不符合题意； D、是代数式，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有_______个． 【答案】5 【知识点】代数式的概念 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可． 【详解】解：①0是代数式； ②是代数式； ③是等式，不是代数式； ④是代数式； ⑤是代数式； ⑥是代数式； ⑦是不等式，不是代数式； ⑧是不等式，不是代数式． 综上，代数式有①②④⑤⑥，共5个， 故答案为：5． 4．（25-26六年级上·上海普陀·期末）若，则代数式的值为_____． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，直接将已知数值代入代数式计算即可． 【详解】解：将代入代数式， 得． 故答案为：． 5．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）当，时，代数式的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，将给定的 m 和 n 的值直接代入代数式计算即可． 【详解】解：当，时，， 故选：B． 6．（24-25六年级上·上海·阶段检测）当、时，求代数式的值． 【答案】8 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值．把直接代入代数式计算求值即可． 【详解】解：当时， ． 7．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知 ，求的值 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，代数式求值，根据绝对值和平方的非负性可求得，代入即可解题. 【详解】解：∵ ∴ 解得 ∴将代入. 8．（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于代数式与，下列说法正确的是（    ） A．当两个代数式中的字母x取相同的值时，这两个代数式的值一定相等 B．当两个代数式中的字母x分别取不同的值时，这两个代数式的值一定不等 C．当两个代数式中的字母x取相同的值时，这两个代数式的值一定互为相反数 D．当两个代数式中的字母x分别取互为相反数的值时，这两个代数式的值一定相等 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、相反数的定义 【分析】本题考查了代数式的运算、相反数的定义，熟练掌握运算的法则是解题的关键．通过观察两个代数式的关系，直接计算其相反数关系即可判断出正确选项． 【详解】解：， 与的值互为相反数， 对于任意x取相同的值，代数式与的值互为相反数，故选项C正确， 故选：C． 9．（25-26六年级上·上海·期中）若与互为相反数，则______． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、相反数的定义 【分析】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， 且， 且， 解得，， ． 故答案为：． 10．（25-26六年级上·上海青浦·期中）如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查长方形与三角形的面积计算及代数式求值，运用割补思想； （1）用长方形面积减去两个空白三角形面积列代数式； （2）代入的值计算，关键是准确计算图形面积，易错点是三角形面积公式运用错误或代数求值计算失误； 解题思路：（1）通过割补法，用长方形面积减空白三角形面积得阴影面积的代数式； （2）将代入代数式求值． 【详解】（1）解：长方形的面积为； 左上角空白部分三角形：； 右下角空白部分三角形：； 阴影部分面积： 故答案为：； （2）将代入得： 故答案为： 11．（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，，且，则的值为（    ） A．8 B． C．或2 D．或 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，代数式求值，正确掌握绝对值的性质是解题的关键．由，，得，，又因为，那么有两种情况，分别是，或，，即可知道的值． 【详解】解：由，， 得，， 因为， 有两种情况，分别是，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或， 故选D． 12．（24-25六年级上·上海崇明·期末）如果互为相反数，是最大的负整数，那么的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值、相反数的定义 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，有理数的分类，先根据互为相反数，是最大的负整数，得出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵互为相反数，是最大的负整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）当，时，代数式的值是______． 【答案】14 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，解决本题的关键是将x、y的值代入多项式计算． 根据题意，将，代入计算即可． 【详解】解：将，代入得： ， 代数式的值是14， 故答案为：14． 14．（25-26六年级上·上海·阶段检测）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数；若，则，若，则．例： (1)求______， ______； (2)当，时，有，试求：的值； 【答案】(1)， (2) 【知识点】有理数的减法运算、已知式子的值，求代数式的值、有理数加法运算 【分析】本题考查了新定义，代数式求值，有理数的加减，读懂定义，正确列式，是解题的关键． （1）按照定义式计算即可； （2）先由，，根据定义式将，化简，再根据题意得方程，得出，再将要求的式子变形，使得能将整体代入，则问题得解． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，； （2）解：当，时，有，． ， ，即． ． 能力提升 15.（25-26六年级上·上海普陀·期末）【阅读材料】已知，求代数式的值． 小普同学在做作业时采用的方法如下： 由题意，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)当，求代数式的值是______； (2)当时，求代数式的值是______； (3)当，时，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2)4 (3)2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了求代数式的值． （1）把原式变形后整体代入即可； （2）由得到，把原式变形后整体代入即可； （3）把已知条件整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：，， ． 16．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）若，则_____． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，利用已知条件代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 17.（25-26六年级上·上海·单元复习）如果，那么____． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值，掌握整体代入求值是解题的关键；由可得，，把变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 18．（24-25六年级上·上海普陀·期末）当，时，代数式的值是______________． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，解决本题的关键是将x、y的值代入多项式计算．根据题意，将，代入计算即可． 【详解】解：将，代入得： ， 代数式的值是9， 故答案为：9． 19.（24-25六年级上·上海·期中）已知，，且，那么_____． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值的几何意义 【分析】此题考查了绝对值的意义，代数式求值问题．首先根据题意求出x和y的值，然后根据分情况讨论，最后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，时，． 故答案为：1． 挑战一刻 20．（24-25六年级上·上海·期末）历史上，数学家欧拉最先把关于的代数式用记号来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．如：当时，代数式的值记作， 则． 已知代数，且，回答下列问题： (1)__________； (2)若，求的值； (3)若，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，新定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接把代入中进行求解即可； （2）根据，得到，据此可得答案； （3）根据，，得到，则，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：代数，且， ， ， 故答案为：； （2）由（1）知，， ， ， ， ； （3），， ， ， ． 21.（25-26六年级上·上海金山·期中）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则： （1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到； （3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出． 请类比上例，解决下面的问题． 已知：，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)4 (2)6 (3)0 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）令，根据所给等式即可求出的值； （2）令，根据所给等式即可求出的值； （3）令，根据所给等式即可求出的值，再结合（1）（2）所求可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴； （2）解：当时，则， ∵， ∴； （3）解：当时，则， ∵， ∴， 又∵， ∴得， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 代数式与代数式的值 预习目标 知识回顾 1. 理解代数式的概念，能判断一个式子是否为代数式； 2. 能说出代数式所表示的实际意义； 3. 掌握代数式求值的方法，能根据字母的取值求出代数式的值； 会用含字母的式子表示数列规律和图形规律； 4. 掌握整体代入法，能根据已知式子的值求代数式的值； 5. 能根据程序流程图进行代数式求值。 1. 上一讲我们学习了用字母表示数，掌握了含字母式子的书写规范。 2. 我们知道可以用字母表示数量关系、运算律、公式和规律。 3. 如：长方形面积 ，路程 ，搭 个正方形需要 根火柴棒。 4. 这些用运算符号将数和字母连接而成的式子，就是本讲要学习的代数式。 5. 当字母取具体数值时，代数式就有了具体的值——这就是代数式的值。 新知导图 预习精讲 想一想 同学们，请看下面某城市出租车的收费标准： 收费标准：起步价 8 元（3 千米以内），超过 3 千米后每千米收费 2.4 元。 【思考1】如果行驶路程为 x 千米（x>3），你能用一个含 x 的式子表示应付的车费吗？这个式子中有字母、有运算符号，它属于我们学过的哪一类式子？这个式子能表示所有超过3千米的乘车费用吗？——这说明了用字母表示数有什么优越性？ 【思考2】小亮乘车行驶了 7 千米，你能根据思考1中的式子算出他应付的车费吗？如果将“行驶 7 千米”换成“行驶 x 千米”，x 在这里表示什么？把 x=7 代入 8+2.4(x−3) 后得到的结果叫什么？计算时需要注意什么？（提示：代入负数不需要，但代入后括号内的运算顺序是什么？） 【思考3】小华乘车付费 20 元，他最多可能行驶了多少千米？这个问题和思考2有什么不同？如果把这个问题看成“知道输出的结果，反推输入的值”，你能联想到我们学过的哪种数学工具？（提示：回顾上一讲的程序流程图） 【思考4】小明的爸爸连续两天乘坐该出租车：第一天行驶了 a 千米，第二天行驶了 b 千米（a>3，b>3）。如果已知这两天一共支付了 40 元，即 8+2.4(a−3)+8+2.4(b−3)=40，你能求出 a+b 的值吗？这里并没有给出 a 和 b 各自具体是多少，为什么还能求出 a+b？这体现了什么数学思想？ 追问：如果小明一家三口分别乘坐出租车行驶了 x、y、z 千米（都超过3千米），你能写出总车费的代数式吗？如果已知总车费为 M 元，你能求出 x+y+z 的值吗？ 知识点01 代数式的概念 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）和括号将数与字母连接而成的式子，叫做代数式。注意： · 单独一个数或一个字母也是代数式。如：、、、 都是代数式。 · 代数式中不含等号（） 或不等号（、、、、） 。 代数式与等式、不等式的区别： 类型 特征 示例 代数式 不含等号或不等号 ，， 等式 含有等号“” ， 不等式 含有不等号“”等 ， 【即学即练1】 （25-26六年级上·上海静安·期末）下列各式中不是代数式的为（   ） A． B．314 C． D． 知识点02 代数式表示的实际意义 根据代数式说实际意义： 给定一个代数式，能够联系实际生活，说出它所表示的实际意义。即“用数学语言描述生活情境”。 根据实际问题写代数式： 将实际问题中的数量关系，用含字母的式子表示出来。即“用数学语言表达生活情境”。 【示例】 代数式 可以表示：一个数 的3倍与5的和；也可以表示：某商品单价 元，买3件多5元等。一个长方形的长为 ，宽为 ，面积 。 【即学即练2】 （25-26六年级上·上海杨浦·期末）的意义是的平方与的平方的和，那么的意义是_____． 知识点03 已知字母的值，求代数式的值 定义： 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算关系计算出的结果，叫做代数式的值。 求值步骤： 第一步：代入——将字母的取值代入代数式（负数、分数要加括号）； 第二步：计算——按运算顺序计算，得出结果。 运算顺序： 先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的。 代入负数的注意事项： 当字母取负数时，代入后必须加括号。如： 代入 ，应写成 ，不能写成 。 【示例】 当 ， 时，求 的值。 解：原式 。 【即学即练3】 （24-25六年级上·上海·阶段检测）若 ， ，且．则的值为____________． 知识点04　已知式子的值，求代数式的值（整体代入法） 整体代入思想： 当题目给出的是某个式子的值，而不是字母的具体值时，将整个式子看作一个“整体”代入所求代数式。常用技巧： （1） 直接整体代入：如 ，求 ，则 。 （2） 变形后整体代入：如 ，求 ，则 。（3）拆项后整体代入：如 ，求 ，则 。 注意：整体代入法在后续学习配方法、换元法时还会反复用到，是初中数学最重要的数学思想方法之一。【示例】已知 ，求 的值。 解：。 【即学即练4】 1.（（25-26六年级上·上海·期末）已知：当时，多项式的值为2．当时，的值为__． 知识点05　程序流程图与代数式求值 程序流程图： 用流程图表示运算顺序，输入一个数，按照流程图中指定的运算步骤进行计算，最终输出结果。 解题方法： · 根据流程图写出代数式； · 将输入值代入代数式，按顺序计算； · 注意运算顺序与流程图中的步骤一致。 常见题型： （1） 已知输入值，求输出结果； （2）已知输出结果，求输入值（反向推导）。 【示例】 输入 x → 乘以3 → 减去2 → 输出 （1）写出输出结果的代数式：； （2）当 时，输出 ； （3）当输出为 时，，。 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）根据如图所示的流程图计算，若，则的值为___． 题型速练 题型01　代数式的概念辨析 【例1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）在中，______不是代数式． 【例2】（24-25六年级上·上海普陀·期末）下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）在，，2，m，，，中，代数式有___________个 2.（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）用运算符号或括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫作_____． 题型02 　代数式表示的实际意义 【例1】（25-26六年级上·上海杨浦·期末）的意义是的平方与的平方的和，那么的意义是_____． 【例2】（24-25六年级上·上海金山·期末）我们知道，用字母表示的代数式是可以具有实际意义的．下列赋予实际意义的例子中，不正确的是（   ） A．若某款笔记本的售价是4元/本，则表示购买a本笔记本所需的钱数 B．若平行四边形的底为，面积为，则它的高为 C．若某校六年级共有4个班，平均每个班有名女生，则表示六年级女生的总人数 D．若表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 【小试牛刀】 1.（24-25七年级上·上海奉贤·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．x减去y的相反数的差与y的积，用代数式表示为； B．x与y的和的5倍，用代数式表示为； C．x与y的平方差， 用代数式表示为； D．与的差的平方除的商， 用代数式表示为． 题型03 ：已知字母的值，求代数式的值 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）当时，代数式的值为____________． 【例2】（25-26六年级上·上海崇明·期末）如果，且 ，那么的值为 （     ） A． B． C．或 D．7 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海嘉定·期末）如果，那么________． 2.（25-26六年级上·上海杨浦·期末）当时，代数式的值是_____． 题型04 ：已知式子的值，求代数式的值（整体代入法） 【例1】（25-26六年级上·上海·期末）若，则的值为______． 【例2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海静安·期末）已知，则_____． 2．（25-26六年级上·上海长宁·期末）已知，那么代数式的值是___________． 题型05：程序流程图与代数式求值 【例1】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图是一个运算程序，若先后输入和，则输出的结果是__． 【例2】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）已知字母n代表某一个数，按图所示程序输入计算，当第一次输入n为30时，那么第8次输出的结果应为 _____． 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·期末）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为5的是（   ） A． B． C． D． 基础过关 1．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列各式中，不是代数式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海松江·期末）下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B． C． D．0 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有_______个． 4．（25-26六年级上·上海普陀·期末）若，则代数式的值为_____． 5．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）当，时，代数式的值为（    ） A．1 B． C． D． 6．（24-25六年级上·上海·阶段检测）当、时，求代数式的值． 7．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知 ，求的值 8．（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于代数式与，下列说法正确的是（    ） A．当两个代数式中的字母x取相同的值时，这两个代数式的值一定相等 B．当两个代数式中的字母x分别取不同的值时，这两个代数式的值一定不等 C．当两个代数式中的字母x取相同的值时，这两个代数式的值一定互为相反数 D．当两个代数式中的字母x分别取互为相反数的值时，这两个代数式的值一定相等 9．（25-26六年级上·上海·期中）若与互为相反数，则______． 10．（25-26六年级上·上海青浦·期中）如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若时，求的值． 11．（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，，且，则的值为（    ） A．8 B． C．或2 D．或 12．（24-25六年级上·上海崇明·期末）如果互为相反数，是最大的负整数，那么的值为______． 13．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）当，时，代数式的值是______． 14．（25-26六年级上·上海·阶段检测）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数；若，则，若，则．例： (1)求______， ______； (2)当，时，有，试求：的值； 能力提升 15.（25-26六年级上·上海普陀·期末）【阅读材料】已知，求代数式的值． 小普同学在做作业时采用的方法如下： 由题意，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)当，求代数式的值是______； (2)当时，求代数式的值是______； (3)当，时，求代数式的值． 16．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）若，则_____． 17.（25-26六年级上·上海·单元复习）如果，那么____． 18．（24-25六年级上·上海普陀·期末）当，时，代数式的值是______________． 19.（24-25六年级上·上海·期中）已知，，且，那么_____． 挑战一刻 20．（24-25六年级上·上海·期末）历史上，数学家欧拉最先把关于的代数式用记号来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．如：当时，代数式的值记作， 则． 已知代数，且，回答下列问题： (1)__________； (2)若，求的值； (3)若，求的值 21.（25-26六年级上·上海金山·期中）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则： （1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到； （3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出． 请类比上例，解决下面的问题． 已知：，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $