第01讲 有理数的引入（讲义，上海专用沪教版）数学小升初衔接

第01讲 有理数的引入 预习目标 知识回顾 1. 理解正数与负数的概念，能用正负数表示相反意义的量；2. 掌握有理数的定义及其分类（按定义和按符号）；3. 理解“非正数”“非负数”等带“非”字的概念；4. 掌握数轴的三要素，会用数轴上的点表示有理数；5. 理解相反数的意义，会化简多重符号；6. 理解绝对值的几何意义，会求一个数的绝对值；7. 能利用数轴比较有理数的大小，解决数轴上两点距离、点的平移等问题。 1. 小学阶段我们认识了自然数（0、1、2、3…）和正小数（如0.5、2.3等），这些数统称为“非负数”。2. 我们还在数射线上表示过数，知道数可以用点来表示。3. 但在生活中，光靠这些数还不够。比如：零下温度、低于海平面的高度、亏损金额……这些“相反意义”的量无法直接用以前学过的数表示。为了满足实际需要，数学中引入了负数。 新知导图 预习精讲 想一想 小明从路灯出发，向东走了3米，到达A点； 小华从路灯出发，向西走了3米，到达B点。 图1 【思考 1】同学们，如果规定“向东为正”，那么小明到达的A点可以记作什么？小华到达的B点可以记作什么？这里的“+3”和“-3”中的正号和负号分别表示什么含义？0表示什么位置？ 【思考 2】同学们，现在把这条马路画成一条直线，路灯的位置标为0，并规定向右为正方向。你能在这条直线上标出A点、B点的位置吗？ 【思考3】同学们，观察A点和B点在直线上的位置，它们到路灯（0点）的距离分别是多少？这两个距离有什么关系？ 知识点01 正数与负数 定义 举例 摘要 正数 大于0的数 0.5，，+4，5 正数前面的“＋”号可以省略不写 负数 在正数前面加上“-”（负号）的数 -0.5，，-7，-（+1） 负数前面的“-”号不可以省略不写 【补充】 1）判断一个数是正数还是负数，不能简单理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，要看起本质是正还是负。 如：①-（-2）就是一个正数，+（-2）就是一个负数. ②对于-a，当a为正数时，-a一定是负数；当a为负数时，-a一定是正数；当a为0时，-a是0. 2）0既不是正数，也不是负数。 它是正数与负数的分界点。 3）正数 > 0 > 负数. 【即学即练】 1．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数； B．负数的绝对值还是负数； C．既没有最小的负数，也没有最大的负数； D．两个有理数的差一定是负数． 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的分类、正负数的定义 【分析】本题考查有理数的分类、绝对值的性质、负数的范围以及有理数减法的性质． 需要根据基本概念逐一判断选项的正误． 【详解】∵ 有理数包括正有理数、负有理数和零，但选项A说“有理数分为正有理数和负有理数”，忽略了零， ∴ A错误； ∵ 负数的绝对值是它的相反数，是正数，而不是负数， ∴ B错误； ∵ 负数没有最小值（可无限减小），也没有最大值（负数中越接近零越大，但零不是负数）， ∴ C正确； ∵ 两个有理数的差可以是正数、负数或零，如， ∴ D错误． 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段检测）在下列有理数中，负数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数，把各数进行化简是解题的关键．首先把各个数进行化简，再根据在正数前面加上“”是负数即可得到答案． 【详解】解：，是负数，符合题意； ，是负数，符合题意； ，是正数，不符合题意； ，是负数，符合题意； ，是正数，不符合题意； ，是负数，符合题意； 故负数有个． 故选：C． 知识点02 0所表示的意义 在小学阶段，0通常表示“没有”。进入初中后，0的意义更加丰富： 0表示“没有” ——如0个苹果。 0表示“分界点” ——0是正数与负数的分界点。 0表示“基准” ——0℃是零上与零下的分界；海平面高度记为0m，是高于与低于海平面的基准。 0是一个整数 ——0是整数，但不是正数也不是负数。 【即学即练】 1.（24-25六年级·上海闵行·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．只有0的绝对值等于它本身 B．任何有理数都有相反数 C．0不是有理数 D．有理数可以分为正有理数和负有理数 【答案】B 【知识点】0的意义、有理数的分类、相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的性质，相反数的定义，有理数的定义和分类．熟练掌握各知识点是解题关键．根据绝对值的性质可判断A；根据相反数的定义可判断B；根据有理数的定义和分类可判断C和D． 【详解】解：正数和0的绝对值都等于它本身，故A错误，不符合题意； 任何有理数都有相反数，故B正确，符合题意； 0是有理数，故C错误，不符合题意； 有理数可以分为正有理数、负有理数和0，故D错误，不符合题意． 故选B． 2．（24-25六年级·上海·单元测试）下列说法不正确的是（    ） A．是自然数 B．是整数 C．表示没有 D．既不是正数也不是负数 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】根据有理数的基本定义判断即可． 【详解】解：0是自然数，也是整数，它既不是正数也不是负数， 0不仅可表示没有，也可以表示有，例如温度为0℃，不代表没有温度， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数0的理解，熟记基本定义是解题关键． 知识点03 相反意义的量 定义：生活中具有相反意义的量，如：零上与零下、高于与低于、收入与支出、向东与向西、盈利与亏损、上升与下降等。 表示方法：把其中一种意义的量规定为正，相反意义的量规定为负。如：零上5℃记作+5℃，则零下2℃记作-2℃。收入100元记作+100元，则支出50元记作-50元。 注意：“相反意义的量”必须满足：①意义相反；②有具体数量。 【即学即练】 1.（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法正确的有（   ）个． 绝对值越大的数越大； 非负数是零和正数的统称； 如果表示向东前进了，那么就表示向南前进了； 在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、相反意义的量、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的分类，相反意义的量，有理数与数轴，根据绝对值，有理数的分类，相反意义的量，有理数与数轴等知识逐一分析即可，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：绝对值越大的数不一定大，如，但，故错误，不符合题意； 非负数是零和正数的统称，故正确，符合题意； 表示向东，则应表示向西，而非向南，故错误，不符合题意； 数轴上与之间的有理数有无数个，故错误，不符合题意； ∴只有正确，正确的个数为个， 故选：． 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．因为不能被整除，所以不能用数轴上的点来表示 C．表示相反意义的两个量互为相反数 D．一个负数的绝对值是它的相反数 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、求一个数的绝对值、相反意义的量、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，数轴，相反数和绝对值的概念，根据概念逐项判断正误即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、有理数包括正有理数、负有理数和零，故原选项错误，不符合题意； 、任何有理数都可以用数轴上的点表示，是有理数，能用数轴上的点来表示，故原选项错误，不符合题意； 、相反数是指数值相等但符号相反的数，而表示相反意义的量不一定数值相等，故原选项错误，不符合题意； 、负数的绝对值是它的相反数，故原选项正确，符合题意； 故选：． 知识点04　正负数的实际应用 正负数在日常生活中有着广泛的应用： 温度计：零上为正，零下为负。 海拔高度：海平面以上为正，以下为负。 盈亏问题：盈利为正，亏损为负。误差范围：如“500g±5g”表示标准为500g，误差范围在500-5=495g到500+5=505g之间。 基准分：以某一分数为基准，高于基准记为正，低于基准记为负。 【即学即练4】 1，（25-26六年级上·上海嘉定·期末）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款50元记作元，那么向商家付款80元记作（    ） A． B． C．元 D．元 【答案】D 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，正负数表示具有相反意义的量，根据二维码收款记为正，向商家付款记为负求解即可． 【详解】解：∵二维码收款50元记作元， ∴向商家付款80元记作元， 故选：D， 2．（25-26六年级上·上海宝山·期末）我国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若温度上升记为，则温度下降记为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的意义．根据正负数表示相反意义的量，上升为正，则下降为负，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵温度上升记为， 则温度下降记为， 故选：B． 3.（25-26六年级上·上海闵行·期中）如果米表示向东走千米，那么米表示（   ） A．向东走米 B．向西走米 C．向东走米 D．向西走米 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负号表示相反方向的意义，即可求解． 【详解】解：米表示向东走千米， 米表示向西走米， 故选：B． 知识点05　有理数的定义与分类 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。即：有理数 = 整数 + 分数 （有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此也属于分数。） 有理数的分类（按定义） ：整数和分数统称为有理数。 有理数的分类（按符号） ：正有理数、零、负有理数。 带“非”字的概念： · 非负数：正数和0的统称（即 ） · 非正数：负数和0的统称（即 ） · 非负整数：正整数和0的统称（即自然数） · 非正整数：负整数和0的统称 【即学即练5】 1.（2026·上海静安·三模）下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 2．（25-26六年级上·上海宝山·期末）在、0、、π、、中，有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数分为整数和分数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵是有限小数， ∴是有理数； ∵0是整数， ∴0是有理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵ π是无限不循环小数， ∴π不是有理数； ∵是整数， ∴是有理数； ∵是有限小数， ∴是有理数， ∴有理数有5个， 故选：D 知识点06　数轴 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素： （1） 原点：数轴上的“0”点，是正数和负数的分界点。（2）正方向：通常规定向右（或向上）为正方向。（3）单位长度：数轴上表示单位长度的线段，任意两个相邻整数点之间的距离相等。 画数轴的步骤： 1 画一条直线；　　② 在直线上取一点为原点（标0）；　　③ 确定正方向（通常向右）；　　④ 选取适当的单位长度并标出刻度。 用数轴上的点表示有理数：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 · 正数在原点的右侧； · 负数在原点的左侧； · 0在原点。 利用数轴比较有理数大小：数轴上右边的数总比左边的数大。即：左 < 右。由此可得：正数 > 0 > 负数。 数轴上两点之间的距离： 数轴上两点之间的距离 = 右边点表示的数 − 左边点表示的数（大数减小数）。 数轴上点的平移： 点向右平移 → 数变大（加）；点向左平移 → 数变小（减）。 数轴上找原点： 已知数轴上两个点的位置关系，可根据距离和方向确定原点的位置。 数轴上整点覆盖问题： 数轴上从某点到某点之间有多少个整数点（整点），需要结合具体数值计算。 数轴上的规律探寻： 在数轴上按一定规律排列的点，需要找出规律并推广到一般位置。 【即学即练6】 1.（23-24六年级下·上海黄浦·期中）下列说法错误的是（    ） A．数轴的三要素是原点、正方向和单位长度 B．一个有理数的绝对值一定不是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 D．一个数的相反数一定是负数 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法、相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】此题考查了绝对值的性质，相反数的定义，数轴的定义．根据相反数的定义，绝对值的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，故本选项正确，不符合题意； B、一个有理数的绝对值是正数或零，一定不是负数，故本选项正确，不符合题意； C、互为相反数的两个数的绝对值相等，故本选项正确，不符合题意； D、一个负数的相反数正数，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，数轴上表示的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，用数轴上的点表示有理数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：的相反数是2． 故选：D． 知识点07　相反数 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 如：5和-5互为相反数，和互为相反数。 相反数的几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等。 相反数的性质： （1） a的相反数是-a。 （2）若a和b互为相反数，则a + b = 0。 （3）0的相反数是0。 化简多重符号： 一个数前面有多个“+”“-”号时，奇负偶正： · 负号的个数为奇数个时，结果为负； · 负号的个数为偶数个时，结果为正。 · 如：，，。 相反数的应用： · 求一个数的相反数； · 已知互为相反数求参数的值； · 数轴上关于原点对称的点。 【即学即练7】 1.（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）下面每组中的两个数互为相反数的是（   ） A．和5 B．和 C．和 D．8和 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查相反数，根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为零，计算每组两个数的和即可判断． 【详解】解：A、，故选项中的两个数不互为相反数，不符合题意； B、，故选项中的两个数不互为相反数，不符合题意； C、，故选项中的两个数互为相反数，符合题意； D、，故选项中的两个数不互为相反数，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果两个有理数的和为，那么下列说法不正确的是（    ） A．这两个数互为相反数 B．这两个数的绝对值相等 C．这两个数的商是 D．这两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等． 【答案】C 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了相反数的概念以及绝对值的几何意义，解决本题的关键是熟练掌握相反数的概念． 两个有理数的和为0，则它们互为相反数，但互为相反数的两个数的商不一定为，因为当两个数都是0时，商没有定义，由此判断选项即可． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且， ∵ ∴，即a与b互为相反数， 对于选项A：，即a与b互为相反数，正确； 对于选项B：，绝对值相等，正确； 对于选项C：当时，； 但当时，，分母为零无意义，商不存在，不正确； 对于选项D：数轴上点到原点的距离即绝对值，则，则距离相等，正确． 故选：C． 知识点08　绝对值 绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|。 距离是非负的，所以任何数的绝对值都是非负数。 求一个数的绝对值： 即：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 口诀：“正正负负0还是0”。 绝对值非负性： · |a| ≥ 0，即任意数的绝对值都是非负数。 · 若|a| + |b| = 0，则a = 0且b = 0。 利用绝对值比较大小： · 两个正数比较，绝对值大的数大； · 两个负数比较，绝对值大的反而小。 绝对值的其他应用： · 求数轴上两点间的距离：或； · 已知一个数的绝对值求这个数（注意有两个解）； · 绝对值方程。 【即学即练8】 1.（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．绝对值相等的两个数一定相等 B．绝对值等于它的相反数的数一定是负数 C．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 D．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查绝对值的几何意义和数轴概念，需注意相反数和负数的区别， 根据绝对值的定义和数轴的性质，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：对于A：∵绝对值相等的两个数可能互为相反数，如，但，∴A不符合题意， 对于B：∵绝对值等于它的相反数的数满足，即，时也成立，而0不是负数，∴B不符合题意， 对于C：∵数轴上离原点越远的点表示数的绝对值越大，但数本身可能为负，如离原点比3远，但，∴C不符合题意， 对于D：∵一个数的绝对值表示该数在数轴上对应点与原点的距离，∴绝对值越大，点离原点越远，∴D符合题意， 故选：D． 2.（25-26六年级上·上海·期中）绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． 题型速练 题型01正负数的识别与表示 【例1】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段检测）在下列有理数中，负数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数，把各数进行化简是解题的关键．首先把各个数进行化简，再根据在正数前面加上“”是负数即可得到答案． 【详解】解：，是负数，符合题意； ，是负数，符合题意； ，是正数，不符合题意； ，是负数，符合题意； ，是正数，不符合题意； ，是负数，符合题意； 故负数有个． 故选：C． 【例2】（25-26六年级上·上海金山·期末）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果将“收入元记作元”，那么“支出元”应记作（ ） A．元 B．元 C． D． 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、相反意义的量 【分析】本题考查正负数的实际意义，明确相反关系是解题关键． 收入记为正数，则支出记为负数，直接根据数值和对应符号即可得出答案． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元应记作负数，即元． 故选：． 常见错误/必记结论 0既不是正数，也不是负数。 “−a ”不一定是负数。 正数前面的“+”号可以省略，但负数前面的“-”号不能省略。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级下·上海·期末）在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【知识点】正负数的定义、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了正负数的分类，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键．根据非负数的定义逐一判断即可． 【详解】解：在，，0，，，，，7中， 非负数有，0，，，7共5个， 故选：B． 2．25-26六年级上·上海虹口·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 盈利记为正数，则亏损记为负数． 【详解】解：∵盈利元记作元， 盈利记为正，则亏损用负数表示， ∴亏损元记作元， 故选：B． 题型02 有理数的分类 【例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，注意区分无限循环小数与无限不循环小数．根据有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无限不循环小数是无理数，不属于有理数． 【详解】解：有理数是能表示为两个整数之比的数， ①有限小数可以写成分母为10的幂的分数，是有理数，正确； ②有理数不一定是有限小数，如无限循环小数（如）是有理数但不是有限小数，原说法错误； ③无限循环小数可以化成分数，正确； ④分数的分子除以分母必得小数（有限或无限循环），正确； ⑤无限小数包括无限不循环小数（如π），是无理数，不是有理数，原说法错误． ∴正确的有①③④，共3个． 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海·期中）在数，0，29，，，，，中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握整数和分数统称有理数． 根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：是有限小数，属于分数，是有理数， 0是整数，是有理数， 29是正整数，是有理数， 因为是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，不是有理数， 是负分数，属于有理数， ，是无限不循环小数，不是属于有理数， ，是循环小数，属于分数，是有理数， 共5个， 故选：C． 常见错误/必记结论 π（圆周率）是正数，但不是有理数（π是无限不循环小数，不能化为分数）——这是最常考的分类陷阱！ - 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此属于分数，是有理数。 - 整数包括正整数、0、负整数，不要漏掉0和负整数。 - 20%是15，属于分数。 - 有理数的分类标准要统一：要么按定义分（整数和分数），要么按符号分（正有理数、0、负有理数），不能混用。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海青浦·期中）在，，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查有理数的定义，运用分类判断思想，根据有理数是整数、分数（含有限小数和无限循环小数）的定义逐一判断，关键是明确有理数与无理数的区别，易错点是混淆无限循环小数和无限不循环小数． 【详解】解： 是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； 是整数，是有理数； 无限不循环小数，是无理数； 所以有理数有个； 故选：C． 2.（24-25六年级上·上海·期中）下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查的是有理数的定义与有理数的分类，根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】解：A、正数和负数、零统称为有理数 ，选项错误，不符合题意； B、是最大的负整数，选项错误，不符合题意； C、零不是正数，也不是负数，但是整数，选项正确，符合题意； D、除0以外的自然数就是正整数，选项错误，不符合题意； 故选：C． 3.（25-26六年级上·上海崇明·期末）下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的概念，有理数包括正有理数，负有理数和0，有理数是分数和整数的统称，0也是整数，1是最小的正整数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，原说法正确，不符合题意； B、负分数是有理数，原说法正确，不符合题意； C、有理数包括正有理数、负有理数和0，原说法错误，符合题意； D、1 是最小的正整数，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 题型03 ：数轴的三要素与画法 【例1】（25-26六年级上·上海松江·期中）如果点和点在数轴的一部分上的位置如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．点表示的数一定是负数： B．点表示的数一定小于点所表示的数； C．点表示的数与点所表示的数的和一定是正数； D．点表示的数的绝对值一定小于点所表示的数的绝对值； 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，由于不知道原点位置，故不能判断点A和点B所表示的数的正负，且不能判断二者所表示的数的绝对值的大小，而点A在点B左侧，则点A表示的数小于点B表示的数，据此可得答案． 【详解】解：∵不知道原点的位置， ∴点A表示的数不一定是负数，点A表示的数不一定是正数，点A表示的数的绝对值不一定小于点B所表示的数的绝对值， ∵点A在点B左侧， ∴点A表示的数一定小于点B表示的数， ∴四个选项中只有B选项说法正确，符合题意， 故选：B． 【例2】（25-26六年级上·上海金山·期末）如图，已知数轴上点表示的数是2026，且，则点表示的数是_______． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是2026， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故答案为：． 常见错误/必记结论 数轴三要素缺一不可：原点、正方向、单位长度。缺任何一个都不是数轴。 > - 单位长度必须均匀，不能忽长忽短。 > - 正方向通常规定为向右，箭头必须明确标出。 > - 原点左侧为负数，右侧为正数，0在原点。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·期中）如果数轴上的点Q表示的有理数是，那么点Q到原点的距离为_______个单位长度 【答案】6 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解题的关键．点Q表示的有理数为，根据绝对值的几何意义，点到原点的距离等于该数的绝对值． 【详解】解：， 故答案为：6． 2.（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【答案】0.6/ 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 题型04 ：用数轴比较有理数大小 【例1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 【答案】如图所示： 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【详解】略 【例2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）在数轴上表示、、，并将这些数用“”相连； 【答案】， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：数轴表示见答案， 则． 常见错误/必记结论 数轴上右边的数总比左边的数大。 > - 两个负数比较：绝对值大的反而小。（如 −5<−3） > - 先化简再比较：遇到绝对值、多重符号要先化简。 > - 正数 > 0 > 负数。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海金山·期中）（1）如图，在数轴上点A表示的数是_______，点B表示的数是_______． （2）请在数轴上用点C表示数的相反数，点D表示数． （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）． 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴上的数，相反数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）观察数轴可得答案； （2）先求得的相反数为，根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【详解】解：（1）点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （2）的相反数为，如图， （3）由数轴知：． 2.（23-24六年级上·上海金山·期末）把数表示在数轴上，并用“”把这些数连接起来． 【答案】，数轴见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了在数轴上表示数，从而比较数的大小，由题意首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可． 【详解】解：数轴上表示如图， ∴ 题型05：数轴上两点间距离与点的平移 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上的点表示有理数的方法． （1）根据正方形的边长，即可得到点第一次落在数轴上表示的数； （2）根据正方形的周长，即可得到点第五次落在数轴上表示的数； （3）根据题意求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，点与原点重合， ∴点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵正方形的边长为，点与原点重合，点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， ∴点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （3）解：由（2）知点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 此时，点在点的正上方，点所表示的数是，即， ∴以点、、三点为顶点的三角形面积为， 故答案为：． 常见错误/必记结论 两点间距离 = 大数 − 小数（或 |a−b|），结果一定是非负数。 > - 点的平移：右加左减（向右平移 → 数变大，加；向左平移 → 数变小，减）。 > - 不要混淆“点平移”与“两点间距离”。 【小试牛刀】 1.（24-25·上海·暑假作业）该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【知识点】相反数的定义、数轴上找原点、数轴上两点之间的距离 【分析】先求出点A、C在直尺上的距离，再根据点、C表示的数互为相反数，得到点O是线段的中点，进而可解答． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， ∴点A、C在直尺上的距离为， ∵点、C表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为． 题型06：数轴上找原点与整点覆盖问题 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）数轴上到原点距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点共有________个． 【答案】7 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上整点覆盖问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴和有理数的绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键． 根据数轴和绝对值的定义即可判断． 根据数轴和绝对值的定义，到原点距离小于4个单位长度的点对应绝对值小于4的整数 【详解】解：数轴上到原点的距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点有，共7个； 故答案为：7． 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的个数有（    ） ①有理数可以用数轴上的点表示； ②能够写成分数（、为整数且）的数叫作有理数； ③绝对值相等的两个数相等； ④两个负有理数，绝对值大的那个数反而小． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】有理数的定义、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的相关概念包括数轴表示、定义、绝对值性质、负数比较大小等．逐一分析每个说法即可判断． 【详解】有理数都可以用数轴上的点表示，故①正确； 有理数定义为可写成分数形式（、为整数且），故②正确； 绝对值相等的两个数可能相等或互为相反数，故③错误； 两个负有理数，绝对值越大，数越小，故④正确． 综上，正确的说法有①②④，共3个． 故选：D． 常见错误/必记结论 互为相反数的两个点关于原点对称，原点一定在它们的中点。 > - 找整点个数时注意端点是否取到：若区间端点本身是整数，则要算进去；若不是，则不算。 > - 整点个数 = 最大的整数 − 最小的整数 + 1（若端点都是整数）。 中点公式：a+b2（a、b为两端点表示的数）。 > - 互为相反数的两个数的中点是0。 先确定区间内的整数范围，再逐一列出。 > - −3.5和4.5都不是整数，所以端点本身不算。 > - 若区间端点是整数（如-3和5），则两端的整数都要算进去。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·期中）利用绝对值的几何意义，可以得到使小于3的整数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴理解表示与在数轴上对应点的距离． 利用绝对值的几何意义，将转化为数轴上x与1对应点的距离小于3，确定x的取值范围，再找出其中的整数个数． 【详解】解：根据绝对值的几何意义得， 表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离． 因为， 所以x对应的点与1对应的点之间的距离小于3． 在数轴上，1左边与1距离3个单位的数是，右边与1距离个单位的数是， 所以x的取值范围是． 在范围内的整数有、0、1、2、3，共5个． 故选：C． 2.（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则______． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义，绝对值表示数轴上点到原点的距离，根据绝对值的定义，一个数的绝对值为3，则这个数可以是3或，由此即可得解，熟练掌握绝对值的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， 故答案为：或． 题型07：相反数的概念与化简多重符号 【例1】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）的相反数是____________． 【答案】 【知识点】相反数的定义、化简多重符号 【分析】此题考查了化简多重符号，相反数，先化简多重符号，再求其相反数． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 【例2】（25-26六年级上·上海普陀·期中）的相反数是______． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”．根据相反数定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 常见错误/必记结论 化简多重符号法则：奇负偶正（看负号的个数）。 > - 互为相反数 → a+b=0，即b=−a。 > - 0的相反数是0。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）的相反数是________． 【答案】/ 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行分析，即可作答． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 2.（25-26六年级上·上海浦东新·期末）下列选项中所给的数字中互为相反数的一项是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【知识点】相反数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了相反数的定义，化简多重符号和求一个数的绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、和不互为相反数，不符合题意； C、和不互为相反数，不符合题意； D、和不互为相反数，不符合题意； 故选：A． 题型08：绝对值的概念与计算 【例1】（25-26六年级上·上海金山·期末）已知，是两个不为的不同有理数，且，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（    ） A．两点都在原点右侧 B．两点都在原点左侧 C．两点分别在原点两侧且到原点距离相等 D．其中一点为原点 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，由且，可知与互为相反数，因此在数轴上它们分别在原点两侧且到原点距离相等，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴，即与互为相反数， ∴在数轴上，互为相反数的两个点分别位于原点两侧，且到原点的距离相等， 故选：． 【例2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数的绝对值为正数 B．如果两数和为0，那么这两个数绝对值相等 C．只有正数和负数才有相反数 D．如果两个数绝对值相等，那么这两个数之和为0 【答案】B 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，正确理解相反数的定义和绝对值的定义是解题的关键．根据相反数的定义，绝对值的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、因为0的绝对值为0，不是正数，所以选项A错误，不符合题意； B、如果两数和为0，则它们互为相反数，而互为相反数的绝对值相等，所以选项B正确，符合题意； C、因为0的相反数是0，所以不是只有正数和负数才有相反数，所以选项C错误，不符合题意； D、因为绝对值相等的两数相等或互为相反数，但和不一定为0，所以选项D错误，不符合题意． 故选：B． 常见错误/必记结论 绝对值法则：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 > - 口诀：“正正负负0还是0”。 > - 若|x|=a（a>0），则x=±a——有两个解，不要漏掉负解！ 绝对值等于一个正数时，原数有两个可能（一正一负），这是绝对值最常考的易错点。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海杨浦·期末）数轴上，位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点所对应的数的绝对值（    ） A．逐渐增大； B．逐渐减小； C．先增大后减小； D．先减小后增大． 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】解：∵位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点到原点的距离先减小后增大， ∴根据绝对值的几何意义可得，这个点所对应的数的绝对值先减小后增大， 故选：D． 2.（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如果是的相反数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，那么______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值，特别注意：最大的负整数是，绝对值最小的数是0．根据相反数、绝对值的定义及性质进行分析．根据题意，分别求出a、b、c的值，然后计算它们的和． 【详解】解：，a是2的相反数， ． 是最大的负整数， ． 是绝对值最小的有理数， ． ． 故答案为：． 题型09：绝对值的非负性及应用 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的非负性．绝对值具有非负性，对于任意有理数恒成立；而其他选项在取负值时可能小于零． 【详解】解：∵表示的绝对值，根据绝对值的定义，对于任何有理数，都有； 而A．、B．、C．在时均可能小于零， 例如当时，， 但当时，， ∴只有选项D的值一定不小于零． 故选：D． 【例2】（25-26六年级上·上海杨浦·期末）足球生产厂家检测一批足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下被检测的四个足球中，最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的含义，绝对值的意义．根据正负数的意义，绝对值的意义进行判断即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴最接近标准质量的足球是． 故选：D． 常见错误/必记结论 绝对值的非负性：|a|≥0，任意数的绝对值都不小于0。 > - 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0——这是非负性最重要的一条推论。 > - 若|x|=a（a>0），则x=±a——记得讨论正负两个解。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海青浦·期末）如果，且，那么_________． 【答案】3 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解，再结合条件筛选符合的解． 【详解】解：由，得或， 解得或， 因为， 所以． 故答案为：3． 2.（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 题型10：数轴上的规律探寻 【例1】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数． 点表示的数是__________，点表示的数是__________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将、、、四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），； （2）见解析； （3） 【知识点】相反数的定义、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，相反数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）首先把0到1之间的长度平均分成3份，每份表示，所以点A表示的数是；然后把2到3之间的长度平均分成3份，每份表示，所以点B表示的数是； （2）先根据相反数的定义得到点表示的数是，然后根据在数轴上表示数的方法，在（1）中的数轴上分别画出点C、点D，并标明相应字母即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此将A、B、C、D四个点所表示的数从大到小排列即可． 【详解】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是； 故答案为：，； （2）由于点表示的数是的相反数，故点表示的数是， 如图所示： （3）根据题意得． 常见错误/必记结论 规律探寻题的步骤：写前几项 → 找周期或分组规律 → 推广到第n项。 > - 正负交替的数列，注意成对分组计算（如1-2、3-4、5-6…每组为-1）。 > - 要区分“奇数项”与“偶数项”的符号规律。 > - 最后一定要检验首项是否符合规律。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 基础过关 1．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、用数轴上的点表示有理数、有理数的定义 【分析】本题考查有理数的基本概念和性质，需准确理解有理数的定义和数轴表示方法； 选项A符合有理数的定义；选项B错误，因为绝对值大小与原数大小可能不一致；选项C错误，因为数轴上任意两点间有无数个有理数；选项D错误，因为所有有理数都可以用数轴上的点表示 【详解】A、∵ 有理数的定义是能写成分数形式 （、 为整数，）的数， ∴ A正确． B、∵ 取绝对值后，原数大小与绝对值大小不一定一致，例如 ，但 ， ∴ B错误． C、∵ 数轴上任意两点间都有无数个有理数， ∴ 与 之间有无数个有理数， ∴C错误． D、∵ 所有有理数都可以用数轴上的点表示， 是有理数， ∴ D错误． 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的有（　　） ①能够写成分数的数叫作有理数； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数； ③所有的素数都是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】有理数的定义、相反数的定义、质数与合数 【分析】本题考查了有理数的概念，相反数的定义，合数、素数的定义，解题的关键是掌握有理数的概念，相反数的定义，合数、素数的定义．利用有理数的概念，相反数的定义，合数、素数的定义解答． 【详解】解：①能够写成分数的数叫作有理数，说法正确； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数，说法错误，如：和两数符号不同，绝对值不同也不是相反数； ③所有的素数都是奇数，说法错误，2是素数但不是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数，说法错误，例如，8，9互素，但都是合数， 所以只有①正确． 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海·期中）下列数字中，，，0，，，，，有理数有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，整数和分数统称为有理数，解题的关键是注意不是有理数．根据有理数的概念即可得出答案． 【详解】有理数有，，0，，，，，， 共有个， 故选：D． 4．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 5.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）已知下列各数：、、、0，这四个数中非负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数的分类 【分析】本题考查非负数的概念，掌握相关的概念是解决本题的关键． 非负数包括正数和零，需要先化简每个数，然后判断是否非负即可． 【详解】解：∵，是非负数； ∵，不是非负数； ∵，是非负数； ∵，是非负数． ∴非负数有3个， 故选B． 6．（24-25六年级上·上海长宁·期中）下列说法正确的是（   ） A．整数只包括正整数和负整数 B．非负整数是自然数 C．若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除 D．最小的素数是1 【答案】B 【知识点】有理数的分类、数的整除、质数与合数 【分析】本题考查了有理数的分类，数的整除及素数的定义，关键分清整数和自然数的区别和联系．根据各选项的说法，挨个判断其正确与否，然后做出判断． 【详解】解：A、因为整数包括正整数、负整数和0，所以原说法错误； B、因为非负整数是和正整数，则非负整数是自然数，所以原说法正确； C、因为若整数m除以整数n恰好能除尽，则m不一定能被n整除，如：，则能除尽，但是10不能被4整除，所以原说法错误； D、最小的素数是2，所以原说法错误； 故选：B． 7．（25-26六年级上·上海长宁·期末）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】相反数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查相反数的定义，需先化简各选项中的数，再根据定义判断． 【详解】解：选项A：，与2相等，不是相反数； 选项B：，与2相等，不是相反数； 选项C：，2与绝对值相等、符号相反，互为相反数； 选项D：，，两数相等，不是相反数． 故选：C． 8.（25-26六年级上·上海静安·期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值不大于3的整数有6个，分别是 B．若，则必为负数 C．任意有理数的绝对值都是非负数 D．若，则，反之，若，则 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的性质． 根据绝对值的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：绝对值不大于3的整数包括，共7个，∴ A错误； B：若，则，a可以是0或负数，不一定是负数，∴ B错误； C：任意有理数的绝对值都是非负数，∴ C正确； D：若，则，但反之若，则，∴ D错误； 故选：C． 9.（25-26六年级上·上海奉贤·期中）规定：表示向右移动3记作，则表示向左移动4记作_______________． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，据此求解即可． 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴表示向右移动3记作，则（←4）表示向左移动4记作． 故答案为：． 10．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）如果规定向东为正，那么走米表示______． 【答案】向西走8米 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查的是正负数的意义，根据正负数的意义，规定向东为正，则负数表示相反方向，即向西，据此得出结论即可． 【详解】解：如果规定向东为正，那么米表示向西走8米． 故答案为：向西走8米． 11.（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则______． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义，绝对值表示数轴上点到原点的距离，根据绝对值的定义，一个数的绝对值为3，则这个数可以是3或，由此即可得解，熟练掌握绝对值的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， 故答案为：或． 12.（25-26六年级上·上海·期中）分数的相反数是_______． 【答案】/ 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数， 根据相反数的定义，正数的相反数是在该数前加负号． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 13.（25-26六年级上·上海·期中）某公司去年第一季度（1月到3月）共亏损万元，第二季度（4月到6月）平均每月盈利万元，说明这个公司去年上半年总的盈亏情况． 【答案】这个公司上半年总共盈利万元 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的定义，理解题意并列出算式是解题的关键． 根据正负数的定义进行解题． 【详解】解： ， ∴盈利万元． 答：这个公司上半年总共盈利万元． 14.(24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 【答案】见详解 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的概念与分类，整数和分数统称为有理数，大于0的有理数为正有理数，自然数是指0和正整数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，如图： 能力提升 15（2024六年级下·上海·专题练习）求的最小值是___． 【答案】 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．注意当的值不明确时，要分情况讨论是解题的关键． 根据绝对值均大于等于的性质，对的大小进行分情况讨论，去掉绝对值后，再进行比较大小，再求最小值． 【详解】解：当时，原代数式①； 当时，原代数式②； 当时，原代数式③； 据以上可得，且； 所以当时，原代数式取得最小值为， 故答案为：． 16.（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则_____．（填写“”、“”、“”或“”）． 【答案】 < 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的性质，运用分类讨论思想，根据的正负分析与的大小关系，关键是掌握绝对值的定义，易错点是忽略负数的绝对值是其相反数；解题思路：分和两种情况，结合绝对值性质判断的取值范围． 【详解】解：因为 ，且， 当 时，，不等式 不成立； 当 时，，不等式成立； 因此； 故答案为 ． 17.（24-25六年级下·上海·阶段检测）比较大小：_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据两个负数比较大小的法则，先求出两个数的绝对值，比较绝对值的大小，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：将化为分数，得．分别计算两个数的绝对值，得， 因为，即， 所以． 18.（24-25六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【答案】，，，， 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是负数，根据有理数的分类填写即可；正有理数是大于的有理数，有理数包括整数和分数；需要从给定的数中找出大于的整数和分数． 【详解】解：是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 既不是正数也不是负数，所以不是正有理数； 是大于的有限小数，有限小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 是大于的分数，分数属于有理数，所以是正有理数； 是大于的无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 正有理数有：． 故答案为： 19.（25-26六年级上·上海闵行·期中）某实验室规定，记录温度时采用“向下取整”法，即记录不超过实际温度的最大整数．例如某物体温度为，记录为，温度为，记录为，如果早晨某液体温度为，夜晚该液体温度为，那么，该液体温度早晚的两次记录分别为__________和__________． 【答案】 0 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用．根据“向下取整”法的定义，记录值为不超过实际温度的最大整数．对于正温度，向下取整取整数部分；对于负温度，向下取整取比实际温度更小的整数． 【详解】解：早晨温度为，采用“向下取整”法记录为； 夜晚温度为，采用“向下取整”法记录为． 故答案为：0，． 挑战一刻 20．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 【答案】(1)1或 (2)5 (3)169 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值的其他应用 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据绝对值的几何意义即可求解； （3）根据绝对值的几何意义即可求解． 本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为， 故答案为：169． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 有理数的引入 预习目标 知识回顾 1. 理解正数与负数的概念，能用正负数表示相反意义的量；2. 掌握有理数的定义及其分类（按定义和按符号）；3. 理解“非正数”“非负数”等带“非”字的概念；4. 掌握数轴的三要素，会用数轴上的点表示有理数；5. 理解相反数的意义，会化简多重符号；6. 理解绝对值的几何意义，会求一个数的绝对值；7. 能利用数轴比较有理数的大小，解决数轴上两点距离、点的平移等问题。 1. 小学阶段我们认识了自然数（0、1、2、3…）和正小数（如0.5、2.3等），这些数统称为“非负数”。2. 我们还在数射线上表示过数，知道数可以用点来表示。3. 但在生活中，光靠这些数还不够。比如：零下温度、低于海平面的高度、亏损金额……这些“相反意义”的量无法直接用以前学过的数表示。为了满足实际需要，数学中引入了负数。 新知导图 预习精讲 想一想 小明从路灯出发，向东走了3米，到达A点； 小华从路灯出发，向西走了3米，到达B点。 图1 【思考 1】同学们，如果规定“向东为正”，那么小明到达的A点可以记作什么？小华到达的B点可以记作什么？这里的“+3”和“-3”中的正号和负号分别表示什么含义？0表示什么位置？ 【思考 2】同学们，现在把这条马路画成一条直线，路灯的位置标为0，并规定向右为正方向。你能在这条直线上标出A点、B点的位置吗？ 【思考3】同学们，观察A点和B点在直线上的位置，它们到路灯（0点）的距离分别是多少？这两个距离有什么关系？ 知识点01 正数与负数 定义 举例 摘要 正数 大于0的数 0.5，，+4，5 正数前面的“＋”号可以省略不写 负数 在正数前面加上“-”（负号）的数 -0.5，，-7，-（+1） 负数前面的“-”号不可以省略不写 【补充】 1）判断一个数是正数还是负数，不能简单理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，要看起本质是正还是负。 如：①-（-2）就是一个正数，+（-2）就是一个负数. ②对于-a，当a为正数时，-a一定是负数；当a为负数时，-a一定是正数；当a为0时，-a是0. 2）0既不是正数，也不是负数。 它是正数与负数的分界点。 3）正数 > 0 > 负数. 【即学即练】 1．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数； B．负数的绝对值还是负数； C．既没有最小的负数，也没有最大的负数； D．两个有理数的差一定是负数． 2．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段检测）在下列有理数中，负数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点02 0所表示的意义 在小学阶段，0通常表示“没有”。进入初中后，0的意义更加丰富： 0表示“没有” ——如0个苹果。 0表示“分界点” ——0是正数与负数的分界点。 0表示“基准” ——0℃是零上与零下的分界；海平面高度记为0m，是高于与低于海平面的基准。 0是一个整数 ——0是整数，但不是正数也不是负数。 【即学即练】 1.（24-25六年级·上海闵行·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．只有0的绝对值等于它本身 B．任何有理数都有相反数 C．0不是有理数 D．有理数可以分为正有理数和负有理数 2．（24-25六年级·上海·单元测试）下列说法不正确的是（    ） A．是自然数 B．是整数 C．表示没有 D．既不是正数也不是负数 知识点03 相反意义的量 定义：生活中具有相反意义的量，如：零上与零下、高于与低于、收入与支出、向东与向西、盈利与亏损、上升与下降等。 表示方法：把其中一种意义的量规定为正，相反意义的量规定为负。如：零上5℃记作+5℃，则零下2℃记作-2℃。收入100元记作+100元，则支出50元记作-50元。 注意：“相反意义的量”必须满足：①意义相反；②有具体数量。 【即学即练】 1.（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法正确的有（   ）个． 绝对值越大的数越大； 非负数是零和正数的统称； 如果表示向东前进了，那么就表示向南前进了； 在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有个． A．个 B．个 C．个 D．个 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．因为不能被整除，所以不能用数轴上的点来表示 C．表示相反意义的两个量互为相反数 D．一个负数的绝对值是它的相反数 知识点04　正负数的实际应用 正负数在日常生活中有着广泛的应用： 温度计：零上为正，零下为负。 海拔高度：海平面以上为正，以下为负。 盈亏问题：盈利为正，亏损为负。误差范围：如“500g±5g”表示标准为500g，误差范围在500-5=495g到500+5=505g之间。 基准分：以某一分数为基准，高于基准记为正，低于基准记为负。 【即学即练4】 1，（25-26六年级上·上海嘉定·期末）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款50元记作元，那么向商家付款80元记作（    ） A． B． C．元 D．元 2．（25-26六年级上·上海宝山·期末）我国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若温度上升记为，则温度下降记为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26六年级上·上海闵行·期中）如果米表示向东走千米，那么米表示（   ） A．向东走米 B．向西走米 C．向东走米 D．向西走米 知识点05　有理数的定义与分类 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。即：有理数 = 整数 + 分数 （有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此也属于分数。） 有理数的分类（按定义） ：整数和分数统称为有理数。 有理数的分类（按符号） ：正有理数、零、负有理数。 带“非”字的概念： · 非负数：正数和0的统称（即 ） · 非正数：负数和0的统称（即 ） · 非负整数：正整数和0的统称（即自然数） · 非正整数：负整数和0的统称 【即学即练5】 1.（2026·上海静安·三模）下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 2．（25-26六年级上·上海宝山·期末）在、0、、π、、中，有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 知识点06　数轴 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素： （1） 原点：数轴上的“0”点，是正数和负数的分界点。（2）正方向：通常规定向右（或向上）为正方向。（3）单位长度：数轴上表示单位长度的线段，任意两个相邻整数点之间的距离相等。 画数轴的步骤： 1 画一条直线；　　② 在直线上取一点为原点（标0）；　　③ 确定正方向（通常向右）；　　④ 选取适当的单位长度并标出刻度。 用数轴上的点表示有理数：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 · 正数在原点的右侧； · 负数在原点的左侧； · 0在原点。 利用数轴比较有理数大小：数轴上右边的数总比左边的数大。即：左 < 右。由此可得：正数 > 0 > 负数。 数轴上两点之间的距离： 数轴上两点之间的距离 = 右边点表示的数 − 左边点表示的数（大数减小数）。 数轴上点的平移： 点向右平移 → 数变大（加）；点向左平移 → 数变小（减）。 数轴上找原点： 已知数轴上两个点的位置关系，可根据距离和方向确定原点的位置。 数轴上整点覆盖问题： 数轴上从某点到某点之间有多少个整数点（整点），需要结合具体数值计算。 数轴上的规律探寻： 在数轴上按一定规律排列的点，需要找出规律并推广到一般位置。 【即学即练6】 1.（23-24六年级下·上海黄浦·期中）下列说法错误的是（    ） A．数轴的三要素是原点、正方向和单位长度 B．一个有理数的绝对值一定不是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 D．一个数的相反数一定是负数 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，数轴上表示的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 知识点07　相反数 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 如：5和-5互为相反数，和互为相反数。 相反数的几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等。 相反数的性质： （1） a的相反数是-a。 （2）若a和b互为相反数，则a + b = 0。 （3）0的相反数是0。 化简多重符号： 一个数前面有多个“+”“-”号时，奇负偶正： · 负号的个数为奇数个时，结果为负； · 负号的个数为偶数个时，结果为正。 · 如：，，。 相反数的应用： · 求一个数的相反数； · 已知互为相反数求参数的值； · 数轴上关于原点对称的点。 【即学即练7】 1.（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）下面每组中的两个数互为相反数的是（   ） A．和5 B．和 C．和 D．8和 2．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果两个有理数的和为，那么下列说法不正确的是（    ） A．这两个数互为相反数 B．这两个数的绝对值相等 C．这两个数的商是 D．这两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等． 知识点08　绝对值 绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|。 距离是非负的，所以任何数的绝对值都是非负数。 求一个数的绝对值： 即：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 口诀：“正正负负0还是0”。 绝对值非负性： · |a| ≥ 0，即任意数的绝对值都是非负数。 · 若|a| + |b| = 0，则a = 0且b = 0。 利用绝对值比较大小： · 两个正数比较，绝对值大的数大； · 两个负数比较，绝对值大的反而小。 绝对值的其他应用： · 求数轴上两点间的距离：或； · 已知一个数的绝对值求这个数（注意有两个解）； · 绝对值方程。 【即学即练8】 1.（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．绝对值相等的两个数一定相等 B．绝对值等于它的相反数的数一定是负数 C．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 D．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远 2.（25-26六年级上·上海·期中）绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 题型速练 题型01正负数的识别与表示 【例1】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段检测）在下列有理数中，负数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（25-26六年级上·上海金山·期末）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果将“收入元记作元”，那么“支出元”应记作（ ） A．元 B．元 C． D． 常见错误/必记结论 0既不是正数，也不是负数。 “−a ”不一定是负数。 正数前面的“+”号可以省略，但负数前面的“-”号不能省略。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级下·上海·期末）在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．25-26六年级上·上海虹口·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 题型02 有理数的分类 【例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（24-25六年级上·上海·期中）在数，0，29，，，，，中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 常见错误/必记结论 π（圆周率）是正数，但不是有理数（π是无限不循环小数，不能化为分数）——这是最常考的分类陷阱！ - 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此属于分数，是有理数。 - 整数包括正整数、0、负整数，不要漏掉0和负整数。 - 20%是15，属于分数。 - 有理数的分类标准要统一：要么按定义分（整数和分数），要么按符号分（正有理数、0、负有理数），不能混用。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海青浦·期中）在，，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.（24-25六年级上·上海·期中）下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 3.（25-26六年级上·上海崇明·期末）下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 题型03 ：数轴的三要素与画法 【例1】（25-26六年级上·上海松江·期中）如果点和点在数轴的一部分上的位置如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．点表示的数一定是负数： B．点表示的数一定小于点所表示的数； C．点表示的数与点所表示的数的和一定是正数； D．点表示的数的绝对值一定小于点所表示的数的绝对值； 【例2】（25-26六年级上·上海金山·期末）如图，已知数轴上点表示的数是2026，且，则点表示的数是_______． 常见错误/必记结论 数轴三要素缺一不可：原点、正方向、单位长度。缺任何一个都不是数轴。 > - 单位长度必须均匀，不能忽长忽短。 > - 正方向通常规定为向右，箭头必须明确标出。 > - 原点左侧为负数，右侧为正数，0在原点。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·期中）如果数轴上的点Q表示的有理数是，那么点Q到原点的距离为_______个单位长度 2.（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 题型04 ：用数轴比较有理数大小 【例1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）在数轴上方空格里填上适当的整数或分数． 常见错误/必记结论 数轴上右边的数总比左边的数大。 > - 两个负数比较：绝对值大的反而小。（如 −5<−3） > - 先化简再比较：遇到绝对值、多重符号要先化简。 > - 正数 > 0 > 负数。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海金山·期中）（1）如图，在数轴上点A表示的数是_______，点B表示的数是_______． （2）请在数轴上用点C表示数的相反数，点D表示数． （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 2.（23-24六年级上·上海金山·期末）把数表示在数轴上，并用“”把这些数连接起来． 题型05：数轴上两点间距离与点的平移 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 常见错误/必记结论 两点间距离 = 大数 − 小数（或 |a−b|），结果一定是非负数。 > - 点的平移：右加左减（向右平移 → 数变大，加；向左平移 → 数变小，减）。 > - 不要混淆“点平移”与“两点间距离”。 【小试牛刀】 1.（24-25·上海·暑假作业）该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 题型06：数轴上找原点与整点覆盖问题 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）数轴上到原点距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点共有________个． 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的个数有（    ） ①有理数可以用数轴上的点表示； ②能够写成分数（、为整数且）的数叫作有理数； ③绝对值相等的两个数相等； ④两个负有理数，绝对值大的那个数反而小． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 常见错误/必记结论 互为相反数的两个点关于原点对称，原点一定在它们的中点。 > - 找整点个数时注意端点是否取到：若区间端点本身是整数，则要算进去；若不是，则不算。 > - 整点个数 = 最大的整数 − 最小的整数 + 1（若端点都是整数）。 中点公式：a+b2（a、b为两端点表示的数）。 > - 互为相反数的两个数的中点是0。 先确定区间内的整数范围，再逐一列出。 > - −3.5和4.5都不是整数，所以端点本身不算。 > - 若区间端点是整数（如-3和5），则两端的整数都要算进去。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·期中）利用绝对值的几何意义，可以得到使小于3的整数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2.（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则______． 题型07：相反数的概念与化简多重符号 【例1】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）的相反数是____________． 【例2】（25-26六年级上·上海普陀·期中）的相反数是______． 常见错误/必记结论 化简多重符号法则：奇负偶正（看负号的个数）。 > - 互为相反数 → a+b=0，即b=−a。 > - 0的相反数是0。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）的相反数是________． 2.（25-26六年级上·上海浦东新·期末）下列选项中所给的数字中互为相反数的一项是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型08：绝对值的概念与计算 【例1】（25-26六年级上·上海金山·期末）已知，是两个不为的不同有理数，且，那么用数轴上的点来表示，时，正确的是（    ） A．两点都在原点右侧 B．两点都在原点左侧 C．两点分别在原点两侧且到原点距离相等 D．其中一点为原点 【例2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数的绝对值为正数 B．如果两数和为0，那么这两个数绝对值相等 C．只有正数和负数才有相反数 D．如果两个数绝对值相等，那么这两个数之和为0 常见错误/必记结论 绝对值法则：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 > - 口诀：“正正负负0还是0”。 > - 若|x|=a（a>0），则x=±a——有两个解，不要漏掉负解！ 绝对值等于一个正数时，原数有两个可能（一正一负），这是绝对值最常考的易错点。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海杨浦·期末）数轴上，位于原点左侧的一点沿着正方向一直向右移动，途中经过原点．在这个过程中，这个点所对应的数的绝对值（    ） A．逐渐增大； B．逐渐减小； C．先增大后减小； D．先减小后增大． 2.（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如果是的相反数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，那么______． 题型09：绝对值的非负性及应用 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级上·上海杨浦·期末）足球生产厂家检测一批足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下被检测的四个足球中，最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 常见错误/必记结论 绝对值的非负性：|a|≥0，任意数的绝对值都不小于0。 > - 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0——这是非负性最重要的一条推论。 > - 若|x|=a（a>0），则x=±a——记得讨论正负两个解。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海青浦·期末）如果，且，那么_________． 2.（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，则_________，_________． 题型10：数轴上的规律探寻 【例1】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数． 点表示的数是__________，点表示的数是__________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将、、、四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 常见错误/必记结论 规律探寻题的步骤：写前几项 → 找周期或分组规律 → 推广到第n项。 > - 正负交替的数列，注意成对分组计算（如1-2、3-4、5-6…每组为-1）。 > - 要区分“奇数项”与“偶数项”的符号规律。 > - 最后一定要检验首项是否符合规律。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 基础过关 1．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 2．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的有（　　） ①能够写成分数的数叫作有理数； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数； ③所有的素数都是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25六年级上·上海·期中）下列数字中，，，0，，，，，有理数有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 5.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）已知下列各数：、、、0，这四个数中非负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 6．（24-25六年级上·上海长宁·期中）下列说法正确的是（   ） A．整数只包括正整数和负整数 B．非负整数是自然数 C．若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除 D．最小的素数是1 7．（25-26六年级上·上海长宁·期末）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 8.（25-26六年级上·上海静安·期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值不大于3的整数有6个，分别是 B．若，则必为负数 C．任意有理数的绝对值都是非负数 D．若，则，反之，若，则 9.（25-26六年级上·上海奉贤·期中）规定：表示向右移动3记作，则表示向左移动4记作_______________． 10．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）如果规定向东为正，那么走米表示______． 11.（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则______． 12.（25-26六年级上·上海·期中）分数的相反数是_______． 13.（25-26六年级上·上海·期中）某公司去年第一季度（1月到3月）共亏损万元，第二季度（4月到6月）平均每月盈利万元，说明这个公司去年上半年总的盈亏情况． 14.(24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 能力提升 15（2024六年级下·上海·专题练习）求的最小值是___． 16.（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则_____．（填写“”、“”、“”或“”）． 17.（24-25六年级下·上海·阶段检测）比较大小：_____．（填“”“”或“”） 18.（24-25六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 19.（25-26六年级上·上海闵行·期中）某实验室规定，记录温度时采用“向下取整”法，即记录不超过实际温度的最大整数．例如某物体温度为，记录为，温度为，记录为，如果早晨某液体温度为，夜晚该液体温度为，那么，该液体温度早晚的两次记录分别为__________和__________． 挑战一刻 20．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $