精品解析：北京市燕山教育集团2025—2026学年第二学期八年级期末考试数学试卷

燕山教育集团2025—2026学年第二学期八年级期末考试数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式性质化简，按照先算根号内乘方再开方的顺序计算即可 【详解】解：先计算根号内的乘方，， ， 又的算术平方根是， ，即计算结果为 2. 以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用勾股定理的逆定理解题，若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次计算各选项即可得出结果． 【详解】解：选项A：，，，能组成直角三角形，符合题意； 选项B：，，，∴，不能组成直角三角形，不符合题意； 选项C：，，，∴，不能组成直角三角形，不符合题意； 选项D：，，，∴，不能组成直角三角形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法和乘除法法则计算即可． 【详解】A．，故不正确； B．与2不是同类二次根式，不能合并，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，不仅具有采光、通风的实用功能，更承载着深厚的文化寓意与艺术审美．如图所示的海棠纹窗棂的外轮廓是正八边形，它的每一个内角都是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式求出该正八边形的内角和，再根据正八边形的每个内角相等，即可求解． 【详解】解：该正八边形的内角和为， 每个内角为． 5. 对于正比例函数（），当自变量的值增加2时，函数的值增加6，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据x和y的变化关系列出等式，代入正比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：∵正比例函数解析式为，当增加时，增加， ∴变化后满足等式， 展开得， 代入，得， 消去，得， 解得． 6. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，由作图可知，， 在中，，， ∴. 7. 2026年3月14日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，燕山地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，9分，8分，则小越的作品总成绩为（ ） A. 27分 B. 9.3分 C. 9分 D. 8.7分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据三项得分的权重比，代入加权平均数公式即可求出总成绩． 【详解】∵三项得分的权重比为，三项得分分别为分，分，分， ∴总成绩（分）． 8. 小林在如图1所示的跑道上进行米折返跑，设小林的跑步时间为（单位：），距起跑线的距离为（单位：），与的函数关系的图象大致如图2所示．下列叙述错误的是（ ）． A. 小林跑完全程共用时 B. 小林跑第1个的平均速度大于跑最后的平均速度 C. 小林前跑过的路程大于最后跑过的路程 D. 小林在跑最后的过程中，速度越来越快 【答案】C 【解析】 【分析】从图像分段获取对应的运动过程信息，通过斜率变化判断速度变化． 【详解】解：选项A：图像横轴终点为，代表跑完米折返跑全程用时，A正确． 选项B：第1个：用时，平均速度； 最后：，用时，平均速度； ，第一段平均速度更大，B正确． 选项C：前：匀速跑向折返处，跑的路程：；最后：，图像曲线斜率绝对值逐渐变大（速度越来越快），越靠近终点单位时间路程越长，跑完，最后路程比大，不能与比较，C错误． 选项D：小林在跑最后的过程中，速度越来越快，最后对应的曲线，曲线从顶点向下降，曲线斜率绝对值不断增大，即速度越来越快，D正确． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案为：． 10. 比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【答案】< 【解析】 【分析】对于两个正无理数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】，， ， ， 又， ， ． 11. 如图，中，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，推出，结合，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 12. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，则____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，根据矩形的性质可得，再结合三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴． 故答案为：2 13. 如图，直线：与直线：（）交于点，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式的解集是直线在直线下方对应的自变量的取值范围，根据图象求解即可． 【详解】解：由图象可得，不等式的解集是． 14. 年月日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．为进一步增强同学们对航天知识的了解，某校组织了以“七秩问天路携手探九霄”为主题的航天知识竞赛，甲、乙两个班各派名学生参加，两个班学生的竞赛成绩如图所示，则__________，__________（填“”，“”或“”）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：根据题意得：甲班的名学生的成绩为，，，，， 乙班的名学生的成绩为，，，，， ， ， ， ， ，． 15. 已知命题“点，在一次函数（）的图象上，若，则”．请写出能说明为假命题的一组，的值：__________，__________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，命题为假命题时，一次函数中随的增大而减小，因此只需一次项系数，为任意实数，任取一组符合条件的值即可． 【详解】解：若命题是假命题，则说明在一次函数中，随的增大而减小， 由一次函数的性质可知，当一次项系数时，随的增大而减小，可取任意实数， 取，，满足条件．（答案不唯一） 16. 在中，，（），对角线，交于点，点是边上的一个动点（不与点，重合），连接并延长交于点，连接，． 给出下列四个结论： ①对于动点，四边形始终是平行四边形； ②当时，至少存在一个点，使得四边形是矩形； ③不论取何值，至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④若，不论取何值，至少存在一个点，使得四边形是正方形． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】由于经过平行四边形的中心O，故四边形一定也是平行四边形，这可以通过证明与相等来说明．然后只要让平行四边形再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形． 【详解】解：①∵四边形为平行四边形，对角线与交于点O， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 即E在上任意位置（不与A、B重合）时，四边形恒为平行四边形，故结论①正确． ②当时，， ∵， ∴不是矩形， ∴E在上任意位置，都不可能为矩形，故结论②错误． ③如图， 当时，为菱形，故结论③正确． ④由②可知，当时，不可能为矩形，更不可能为正方形，故结论④错误． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先求出和的值，再利用提公因式法和平方差公式分解因式，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 20. 学习了四边形知识后，小芳给出了“过直线外一点作这条直线的平行线”的新方法，如图． ①在直线上任取两点，，连接； ②分别以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ③作直线． 直线即为所求． 根据小芳设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：__________，__________， 四边形为平行四边形，（__________）（填推理的依据） ． 【答案】（1） （2）；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据平行四边形的性质：平行四边形的两组对边互相相等证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 21. 在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． （1）在图中，以线段为一边画一个正方形，并写出所画正方形的面积； （2）在图中，画一个三边长分别为，，的三角形． 【答案】（1）正方形即为所求，8 （2）即为所求 【解析】 【分析】（1）观察网格，求出正方形面积，从点、点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）将无理数边长拆分为网格直角三角形斜边，是直角边1、3的斜边，是直角边2、3的斜边，3为整数格线段，取公共顶点拼接三边得到目标三角形． 【小问1详解】 解：观察网格，点、横向差2格，纵向差2格，由勾股定理，正方形面积， 因此正方形面积为8． 从点向下平移2格、向右平移2格，同理从点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． 【小问2详解】 解：，，另为横格线段， 在网格中取格点，距离为3； 另取一点使其满足上述勾股定理， 即得到三边长为、、的三角形． 22. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数（）的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为平移可得，再将点代入，即可求解b的值，得到一次函数解析式． （2）因为当时，的值恒小于已求得的一次函数的值，将不等式整理为关于的不等式，结合的条件，利用不等式的性质，即可推导n的取值范围． 【小问1详解】 解：∵由平移得到， 因此，函数可写为． 将点代入解析式：， 解得． 因此这个一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：根据题意，当时，恒成立， 整理不等式得：． 当时，​， 因此的最大值为，即． 23. 如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：平行四边形， ． 又， 四边形是平行四边形． 是的平分线， ． ， ， ， ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质证明四边形是平行四边形，利用平行线的性质和角平分线的定义进一步证明，根据等角对等边得出，即可证明四边形是菱形． （2）作于点，由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理得出， 由含30度直角三角形的性质得出， 由勾股定理得出，由线段的和差关系得出，最后由勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点． 四边形是菱形， ． ， ． 在中，，， ， ∴， 在中，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ， ． 24. 某公司对员工使用技术辅助办公的能力进行评估测试．甲、乙、丙三个部门各有名员工，对他们的测试成绩数据（十分制且均为整数）进行整理、描述和分析． 下面给出了部分信息： ．甲、乙两个部门员工测试成绩的箱线图： ．丙部门员工的测试成绩为：，，，，，，，，，； ．甲、乙、丙三个部门员工测试成绩的平均数、众数、中位数及方差： 部门 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 丙 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，，的值； （2）甲部门员工小宇和乙部门员工小智的测试成绩都是分，这两名员工在本部门成绩排名更靠前的是__________（填“小宇”或“小智”），理由是__________； （3）公司对三个部门的测试成绩进行评估，平均数较大的部门排序靠前，若平均数相同，则方差较小的部门排序靠前，据此推断：三个部门中排序最靠前的是__________． 【答案】（1），， （2）小宇；甲部门上四分位数分，乙部门上四分位数分，小宇的成绩分高于甲部门前员工的成绩，而小智的成绩分低于乙部门前员工的成绩，故小宇的成绩在本部门排名更靠前 （3）丙 【解析】 【分析】（1）根据箱线图可得，根据丙部门员工的测试成绩并结合众数和中位数的定义可求出，的值； （2）根据四分位数的定义以及图表即可求解； （3）求出，，再比较三个部门的平均数和方差，即可求解． 【小问1详解】 解：由箱线图可得，甲部门的员工的测试成绩中位数为， 由丙部门员工的测试成绩可知，，； 【小问2详解】 小宇；甲部门上四分位数分，乙部门上四分位数分，小宇的成绩分高于甲部门前员工的成绩，而小智的成绩分低于乙部门前员工的成绩，故小宇的成绩在本部门排名更靠前； 【小问3详解】 ， ， 平均数的大小为，方差， 三个部门中排序最靠前的是丙． 25. 科学兴趣小组为了研究两种材料，的导热性差异，在两种不同材料容器中放入等量的水，并记录了在相同条件下，当加热时间为（单位：）时，容器中水的温度（单位：）和容器中水的温度（单位：），部分数据如下： 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 20 26 32 44 50 56 62 68 74 80 20 22 25 28 32 38 45 52 60 59 80 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中可以近似看作是关于的一次函数，补充完成以下内容． （1）①的值为__________； ②加热时间越长，容器中水的温度越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中，画出，两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当加热时，容器中水的温度与容器中水的温度差约为__________；（结果保留小数点后一位） ②当加热时间大约为__________时，两个容器内水的温度差最大．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）①38；②59不符合 （2） （3）①8.5；②8.9 【解析】 【分析】（1）①设一次函数解析式，代入求出解析式，当时即可求出； ②观察序列判断即可； （2）剔除异常点后描点连线即可； （3）①先代入到求出容器A温度，再根据正常点拟合近似一次函数求出容器B温度，计算温差； ②观察图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：①设一次函数解析式，代入表格及： ， 解得， 因此． 当时： ， 故． ②观察序列：， 时，，前一组时，温度下降，不符合规律． 表格处理：在对应的上划“”． 【小问2详解】 解：：取表格全部有效点，描点后连成一条直线； ：剔除异常点，描点后用平滑折线依次连接． 【小问3详解】 解：①容器A：代入到： ； 容器B：先根据正常点拟合近似一次函数（取） 设， ， 解得， 即， 时，， 温差：． ②先根据正常点拟合近似一次函数， 取， 此时的斜率与的斜率均为，观察图象，当加热时间大约为时，温差最大． 26. 在平面直角坐标系中，已知直线：（）经过点，且与直线：交于点． （1）求，，的值； （2）已知点，过点作垂直于轴的直线交直线于点，过点作垂直于轴的直线交直线于点．若，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）将点，的坐标代入中，可求出，的值，再将点的坐标代入中，可得的值； （2）由题意可得，，则，，根据，列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入中， 得 解得， 将点代入中，得， 解得， 即，，； 【小问2详解】 点在直线上，过点作垂直于轴的直线交于点， ， 恒等于， 过点作垂直于轴的直线交于点， ， ， ， ， 解得， 即的取值范围是． 27. 如图，正方形中，点为边上一点（与点，不重合），连接，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，连接． （1）依题意补全图形，并证明； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全的图形如图所示 证明：四边形是正方形， ，， ． ，即， ， ， ， ， 于点， ． （2）解：，证明如下： 如图，取的中点，连接，． 四边形是正方形， ，． ，， ． ， ， ， ∵， ∴． 点是的中点，点是的中点， 为的中位线， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全的图形即可．根据正方形的性质得到，，根据同角的余角相等得到，从而证明，得到，根据等腰三角形的“三线合一”即可得出结论； （2）取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，即可证明，得到．根据三角形中位线的性质得到，，从而可得出是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，因此． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义： 点，是图形上任意两点，记的最大值为，的最大值为，若，则称图形是“和谐图形”．已知点，，直线与轴，轴分别交于点，． （1）下列图形：①线段；②；③，其中是“和谐图形”的是_______（填序号）； （2）若直线上存在点，使得线段是“和谐图形”，求点的横坐标的值； （3）已知点为直线上一点，正方形以点为中心，边长为，且两条对角线均与坐标轴垂直．若在正方形上存在点，使得是“和谐图形”，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）②③ （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）对于直线，分别令，，求出点C，D的坐标．根据题意，分别找到每种图形的最左端与最右端，最高点与最低点，计算出对应的与的值，根据是否符合，进行判断即可； （2）设点的坐标为，根据题意表示出线段的与，由构造方程，解出的值； （3）先分析点所在区域，分别过点C、D作坐标轴的平行线，将平面直角坐标系分为块区域，结合题干所给的新定义可得，符合要求的点在两段折线上．利用正方形的性质可得点，点，计算出点与点落在折线上时，对应的的值，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：对于直线， 令，则，解得， 令，则， ∴，． 如图， 对于①线段：由图可知，，， ∵， ∴线段不是“和谐图形”； 对于②：由图可知，，， ∵， ∴是“和谐图形”； 对于③：由图可知，，， ∵， ∴是“和谐图形”； 综上，是“和谐图形”的是②③； 【小问2详解】 解：∵点P是直线上的一点， ∴设点的坐标为， ∵ ∴线段的，， ∵线段是“和谐图形”， ∴，即， 解得或， ∴点的横坐标的值为或； 【小问3详解】 解：设点，先分析点需满足的要求， 如图，分别过点C、D作坐标轴的平行线，将平面直角坐标系分为块区域， 当点在区域，即，时， ，， ∵， ∴，即， ∴此时点在直线上； 当点在区域，即，时， ，， ∴，解得， ∴此时点在直线上； 当点在区域，即，时， ，， ∴，即， ∴此时点在直线上； 同理，当点在区域、、时，对应的直线分别为，，， 当点在区域，即，时， ，， ∴，即，与题设矛盾， ∴该区域不存在符合要求的点； 同理，区域和区域也不存在符合要求的点； 综上，符合要求的点在上下两段折线上； 设正方形四个顶点分别为、、、， ①当点在点所在的上半折线上时，如图， ∵点在直线上， ∴设点的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∵、都与坐标轴垂直， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 由图可知，点在直线上， ∴，解得； ②当点在点所在的上半折线上时，如图， 由图可知，点在直线上， ∴，解得， ∴当正方形与点所在的上半折线相交时，的取值范围为； ③当点在点所在的下半折线上时，如图， 由图可知，点在直线上， ∴，解得； ④当点在点所在的下半折线上时，如图， 由图可知，点在直线上， ∴，解得， ∴当正方形与点所在的下半折线相交时，的取值范围为； 综上所述，的取值范围为或，即点的横坐标的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 燕山教育集团2025—2026学年第二学期八年级期末考试数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，不仅具有采光、通风的实用功能，更承载着深厚的文化寓意与艺术审美．如图所示的海棠纹窗棂的外轮廓是正八边形，它的每一个内角都是（ ） A. B. C. D. 5. 对于正比例函数（），当自变量的值增加2时，函数的值增加6，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 2026年3月14日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，燕山地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，9分，8分，则小越的作品总成绩为（ ） A. 27分 B. 9.3分 C. 9分 D. 8.7分 8. 小林在如图1所示的跑道上进行米折返跑，设小林的跑步时间为（单位：），距起跑线的距离为（单位：），与的函数关系的图象大致如图2所示．下列叙述错误的是（ ）． A. 小林跑完全程共用时 B. 小林跑第1个的平均速度大于跑最后的平均速度 C. 小林前跑过的路程大于最后跑过的路程 D. 小林在跑最后的过程中，速度越来越快 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 10. 比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 11. 如图，中，，则__________． 12. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，则____． 13. 如图，直线：与直线：（）交于点，则关于的不等式的解集是__________． 14. 年月日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．为进一步增强同学们对航天知识的了解，某校组织了以“七秩问天路携手探九霄”为主题的航天知识竞赛，甲、乙两个班各派名学生参加，两个班学生的竞赛成绩如图所示，则__________，__________（填“”，“”或“”）． 15. 已知命题“点，在一次函数（）的图象上，若，则”．请写出能说明为假命题的一组，的值：__________，__________． 16. 在中，，（），对角线，交于点，点是边上的一个动点（不与点，重合），连接并延长交于点，连接，． 给出下列四个结论： ①对于动点，四边形始终是平行四边形； ②当时，至少存在一个点，使得四边形是矩形； ③不论取何值，至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④若，不论取何值，至少存在一个点，使得四边形是正方形． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知，，求代数式的值． 20. 学习了四边形知识后，小芳给出了“过直线外一点作这条直线的平行线”的新方法，如图． ①在直线上任取两点，，连接； ②分别以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ③作直线． 直线即为所求． 根据小芳设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：__________，__________， 四边形为平行四边形，（__________）（填推理的依据） ． 21. 在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． （1）在图中，以线段为一边画一个正方形，并写出所画正方形的面积； （2）在图中，画一个三边长分别为，，的三角形． 22. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数（）的值，直接写出的取值范围． 23. 如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 24. 某公司对员工使用技术辅助办公的能力进行评估测试．甲、乙、丙三个部门各有名员工，对他们的测试成绩数据（十分制且均为整数）进行整理、描述和分析． 下面给出了部分信息： ．甲、乙两个部门员工测试成绩的箱线图： ．丙部门员工的测试成绩为：，，，，，，，，，； ．甲、乙、丙三个部门员工测试成绩的平均数、众数、中位数及方差： 部门 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 丙 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，，的值； （2）甲部门员工小宇和乙部门员工小智的测试成绩都是分，这两名员工在本部门成绩排名更靠前的是__________（填“小宇”或“小智”），理由是__________； （3）公司对三个部门的测试成绩进行评估，平均数较大的部门排序靠前，若平均数相同，则方差较小的部门排序靠前，据此推断：三个部门中排序最靠前的是__________． 25. 科学兴趣小组为了研究两种材料，的导热性差异，在两种不同材料容器中放入等量的水，并记录了在相同条件下，当加热时间为（单位：）时，容器中水的温度（单位：）和容器中水的温度（单位：），部分数据如下： 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 20 26 32 44 50 56 62 68 74 80 20 22 25 28 32 38 45 52 60 59 80 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中可以近似看作是关于的一次函数，补充完成以下内容． （1）①的值为__________； ②加热时间越长，容器中水的温度越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中，画出，两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当加热时，容器中水的温度与容器中水的温度差约为__________；（结果保留小数点后一位） ②当加热时间大约为__________时，两个容器内水的温度差最大．（结果保留小数点后一位） 26. 在平面直角坐标系中，已知直线：（）经过点，且与直线：交于点． （1）求，，的值； （2）已知点，过点作垂直于轴的直线交直线于点，过点作垂直于轴的直线交直线于点．若，结合函数图象，求的取值范围． 27. 如图，正方形中，点为边上一点（与点，不重合），连接，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，连接． （1）依题意补全图形，并证明； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义： 点，是图形上任意两点，记的最大值为，的最大值为，若，则称图形是“和谐图形”．已知点，，直线与轴，轴分别交于点，． （1）下列图形：①线段；②；③，其中是“和谐图形”的是_______（填序号）； （2）若直线上存在点，使得线段是“和谐图形”，求点的横坐标的值； （3）已知点为直线上一点，正方形以点为中心，边长为，且两条对角线均与坐标轴垂直．若在正方形上存在点，使得是“和谐图形”，直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $