精品解析：北京市平谷区2025—2026学年度第二学期期末考试样卷 初二数学

2025—2026学年度第二学期期末考试样卷 初二数学 注 意 事 项 1．本样卷共8页，共三大题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样卷上作答无效；自主命题部分题答案写在自主命题试卷上． 4．在答题卡上，选择题、作图题用铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意． 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 3. 一元二次方程，配方后可变形为(　　) A. B. C. D. 4. 已知为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 7名同学的身高分别为164，172，168，169，170，171，176（单位：厘米）．增加1名身高为的同学后，现在8名同学身高的平均数和方差与原来相比（ ） A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数变大，方差不变 C. 平均数不变，方差变大 D. 平均数变小，方差不变 6. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 8. 如图，已知正方形的边长是，点为对角线的中点，过点的射线、分别交、于点、，且，、交于点，则下面结论中：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③四边形面积是定值；④；⑤的最小值是．正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 10. 如图，菱形的两条对角线，交于点，若，，则菱形的面积为________． 11. 一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正________边形． 12. 如图，的周长为16cm，相交于点O，交于E，则的周长为_________cm． 13. 车间4名工人单日加工零件的个数分别为9，12，18，9，若将这4名工人按照完成的个数大小排序后分成两组，共有以下3种情况，分别计算组内离差平方和，可以得到表中的结果： 分组情况 组内离差平方和 和 和 和 分组情况和的组内离差平方和是________，依据以上计算结果，合理的分组情况是________． 14. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为_______． 15. 如图，正方形中，将边折叠至，连接，，若，，则的长为_______． 16. 一次函数（，k、b是常数）与（ ，m是常数）的图象交于点，下列结论正确的序号是_________． ①关于的方程的解为； ②关于，的二元一次方程组的解是； ③一次函数图象上任意不同两点和满足：； ④若，则． 三、解答题(共68分，第每题5分；第21题6分；第每题5分；第24题7分；第25题5分；第26题6分；第题每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： 18. 如图，直线经过点，． （1）求直线对应的函数解析式； （2）连接，，求的面积． 19. 如图，在中，点O是边的中点，过点C作的平行线交的延长线于点D，连接．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．求车道的宽？ 21. 我们知道几何命题的证明共有5个步骤：①审题：根据题目中的文字语言找出题设和结论；②画图：根据题目中的题设和结论画出图形；③写已知和求证：用数学符号语言写出已知和求证；④分析：找到证明的思路和方法；⑤证明：写出证明过程． 求证命题：“四条边都相等的四边形是菱形”． （1）画出边长为a的菱形 作图步骤如下： ①在射线上任取一点（不与点重合），以为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ②以点B为圆心，长为半径画弧，在弧上任取一点（不在直线上）； ③分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ④连接，，． 所以四边形即为所求作的菱形． 请使用直尺和圆规，补全作图过程（保留作图痕迹）． （2）完成下面的证明． 已知：在四边形中，______________； 求证：四边形是菱形． 证明：∵______________，______________， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形．（填推理依据：______________________________） 22. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 24. 为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各20位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了相关信息． a．睡眠时长（单位：小时）： 男生 女生 b．睡眠时长频数直方图（分组：，，，，）； c．睡眠时长的最小值、四分位数、最大值和箱线图如下： 性别 最小值、四分位数和最大值 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 男生 女生 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全男生睡眠时长频数分布直方图； （2）________；________；________； （3）若该校初二年级共有400名学生，估计该年级学生的睡眠时长不低于9小时的有________人； （4）根据箱线图，试从两个角度分析男生、女生的睡眠情况． 25. 如图，在菱形中，，交于点C，过点B，D分别作，的平行线，两平行线交于点A，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 26. 如图1，是外部的一定点，是线段上一动点，连接． 小明根据学习函数的经验，对线段，的长度之间的关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点D在上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 在，的长度这两个量中，确定________的长度是自变量，________的长度是这个自变量的函数； （2）在平面直角坐标系中，画出所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：连接，当为等腰三角形时，的长度约为________．(精确到) 27. 如图，在中，，于点，是线段上一点(不与点，重合)，连接，是的中点，点为内一点，且，连接，． （1）依题意补全图形，并求的大小； （2）当时，连接，判断与的位置关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点为，此时存在点满足：（其中），则称点是点的美好距离点． （1）如图，点的坐标为，点的坐标为 ①在点，，，中，________是点的美好距离点； ②已知点是平面内一点，且点同时是点和的美好距离点，请直接写出点的坐标__________． （2）已知点在直线上，正方形的对角线交点为，边长为，且四条边均与坐标轴平行，点为正方形边上的一点，若对于任意一点，都存在一点，使得点是点的美好距离点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末考试样卷 初二数学 注 意 事 项 1．本样卷共8页，共三大题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样卷上作答无效；自主命题部分题答案写在自主命题试卷上． 4．在答题卡上，选择题、作图题用铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意． 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、它不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不合题意； B、它是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不合题意； C、它是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不合题意； D、它既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意 ． 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标规律，利用规律直接求解即可，用到的性质为：关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数， 已知点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 3. 一元二次方程，配方后可变形为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：方程， 移项得：， 配方得：，即． 故选：A． 4. 已知为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在第一象限，可得 ，对于一次函数的一次项系数，，根据图象的性质判断即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴ ， ∴一次项系数 ∴随增大而减小，排除掉选项， ∵常数项， ∴直线与轴交于正半轴，C选项交轴负半轴，不符合，只有D满足条件． 5. 7名同学的身高分别为164，172，168，169，170，171，176（单位：厘米）．增加1名身高为的同学后，现在8名同学身高的平均数和方差与原来相比（ ） A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数变大，方差不变 C. 平均数不变，方差变大 D. 平均数变小，方差不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题先计算原数据和新数据的平均数，再根据方差计算公式比较方差大小，即可得到结论． 【详解】解：∵原7名同学身高总和为 ∴原平均数为 新增1名身高为的同学后，新总和为 ∴新平均数为， 因此平均数不变．设原数据中各数据与平均数的平方和为，则原方差新增数据与平均数的差的平方为， 因此新方差 ∵， ∴方差变小． 6. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 7. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，连接并延长交于点，若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位线性质求出，，求出，然后由角平分线和平行线的性质推出，得到，，然后求出，证明出，得到． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴ ∴ ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 8. 如图，已知正方形的边长是，点为对角线的中点，过点的射线、分别交、于点、，且，、交于点，则下面结论中：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③四边形面积是定值；④；⑤的最小值是．正确结论的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形性质与可证多组全等三角形，不止三对，即可判断①错误； 根据同角余角相等、、证，得，结合，即可判断为等腰直角三角形，②正确； 根据全等三角形面积相等进行等积转化，四边形面积等于固定的面积，即可判断其面积为定值，③正确； 根据全等得，推出，再由对角线关系，即可证，④正确； 根据等腰直角三角形边长关系，结合垂线段最短求出最小值，即可求解最小值为2，⑤正确． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵点为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵，即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 综上，全等三角形多于3对，故结论①错误； ②由①可知：，，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，故结论②正确； ③∵， ∴ ∵ 又∵， ∴四边形的面积恒为4，故结论③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论④正确； ⑤∵是等腰直角三角形，， ∴要最小化，只需最小化， ∴最小值为到的垂线段长度：， ∴，结论⑤正确； 综上，正确结论：②③④⑤，共4个． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 10. 如图，菱形的两条对角线，交于点，若，，则菱形的面积为________． 【答案】12 【解析】 【详解】解：∵菱形的两条对角线，交于点，，， ∴， ∴菱形的面积为. 11. 一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正________边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查正多边形与多边形外角和的相关知识，正多边形的每个外角相等，且任意多边形的外角和为，利用外角和与单个外角的度数可求出这个正多边形的边数． 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形每个外角相等，因此可得这个正多边形的边数为 ． 12. 如图，的周长为16cm，相交于点O，交于E，则的周长为_________cm． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，中垂线的性质，根据平行四边形的性质，求出，垂直平分，得到，进而得到的周长等于，即可． 【详解】解：∵的周长为16cm，相交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长； 故答案为：8． 13. 车间4名工人单日加工零件的个数分别为9，12，18，9，若将这4名工人按照完成的个数大小排序后分成两组，共有以下3种情况，分别计算组内离差平方和，可以得到表中的结果： 分组情况 组内离差平方和 和 和 和 分组情况和的组内离差平方和是________，依据以上计算结果，合理的分组情况是________． 【答案】 ①. ②. 和 【解析】 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算待求分组两个组的离差平方和，求和得到总组内离差平方和，再比较三个分组的组内离差平方和，组内离差平方和越小，组内数据差异越小，分组越合理． 【详解】解：分组的离差平方和：该组平均数，离差平方和为． 分组的离差平方和：该组平均数，离差平方和为． 因此该分组的总组内离差平方和为． 比较三个分组的组内离差平方和得，组内离差平方和越小，分组越合理， 因此合理分组为和． 14. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由函数图象可知，当时，， 则关于的不等式的解集为． 15. 如图，正方形中，将边折叠至，连接，，若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点F，则，根据正方形的性质与同角的余角相等可证明，得到，由折叠得到，根据“三线合一”得到，从而在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点D作于点F，则 ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵边折叠至， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 16. 一次函数（，k、b是常数）与（ ，m是常数）的图象交于点，下列结论正确的序号是_________． ①关于的方程的解为； ②关于，的二元一次方程组的解是； ③一次函数图象上任意不同两点和满足：； ④若，则． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】根据一次函数交点与一元一次方程、二元一次方程组的关系判断①②，根据一次函数的性质判断③，化简绝对值方程求解后判断④． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴点的坐标满足两个函数解析式， 将代入得，解得， 将代入得，即． 对于①，方程的解就是两个函数图象交点的横坐标，交点横坐标为，故①正确； 对于②，将代入方程，左边，右边，左边右边，所以不是方程组的解，故②错误； 对于③，， 随的增大而减小， 当时，， 此时， 当时，，此时，故任意不同两点都满足，故③正确； 对于④， ， ， 由得，即， 解得或，故④错误． 综上，正确的序号是①③． 三、解答题(共68分，第每题5分；第21题6分；第每题5分；第24题7分；第25题5分；第26题6分；第题每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据配方法求解方程． 【详解】解： ∴． 18. 如图，直线经过点，． （1）求直线对应的函数解析式； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式，分别把两点代入直线解析式，解方程组求出即可； （2）先求出直线与轴的交点坐标，再用割补法分别算两个三角形的面积，最后计算两个三角形的面积和即可． 【小问1详解】 解：设直线对应的函数解析式为 ； 【小问2详解】 解：设直线与轴交点为C，如图所示， 令，则， ． 19. 如图，在中，点O是边的中点，过点C作的平行线交的延长线于点D，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先根据题意证明出，得到，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 20. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．求车道的宽？ 【答案】车道宽为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意表示出停车位总占地长和宽，再根据停车位总占地面积为平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：观察图形可知，车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据题意，得， 整理得，即， 解得，（舍去）． 答：车道宽为米． 21. 我们知道几何命题的证明共有5个步骤：①审题：根据题目中的文字语言找出题设和结论；②画图：根据题目中的题设和结论画出图形；③写已知和求证：用数学符号语言写出已知和求证；④分析：找到证明的思路和方法；⑤证明：写出证明过程． 求证命题：“四条边都相等的四边形是菱形”． （1）画出边长为a的菱形 作图步骤如下： ①在射线上任取一点（不与点重合），以为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ②以点B为圆心，长为半径画弧，在弧上任取一点（不在直线上）； ③分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ④连接，，． 所以四边形即为所求作的菱形． 请使用直尺和圆规，补全作图过程（保留作图痕迹）． （2）完成下面的证明． 已知：在四边形中，______________； 求证：四边形是菱形． 证明：∵______________，______________， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形．（填推理依据：______________________________） 【答案】（1）解：所求图形，如图所示． （2）；；；有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据题意直接作图即可； （2）根据命题“四条边都相等的四边形是菱形”填写第一空，根据平行四边形的判定方法填写第二、三空，根据菱形的判定方法填写第四空． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知：在四边形中，； 求证：四边形是菱形． 证明：，， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 22. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求出k的值． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于和， ∵的值越大，越靠近轴， ∴， ∴，且， 综上所述，，且． 24. 为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各20位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了相关信息． a．睡眠时长（单位：小时）： 男生 女生 b．睡眠时长频数直方图（分组：，，，，）； c．睡眠时长的最小值、四分位数、最大值和箱线图如下： 性别 最小值、四分位数和最大值 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 男生 女生 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全男生睡眠时长频数分布直方图； （2）________；________；________； （3）若该校初二年级共有400名学生，估计该年级学生的睡眠时长不低于9小时的有________人； （4）根据箱线图，试从两个角度分析男生、女生的睡眠情况． 【答案】（1） （2）；； （3） （4）①女生的睡眠时长中位数为小时，男生的睡眠时长中位数为小时，略高于女生，说明男生中等水平的睡眠时长比女生长一些； ②女生的睡眠时长的箱体比男生的低，说明女生睡眠时长相对更集中，更稳定，男生睡眠时长波动大，个体差异更明显． 【解析】 【分析】（1）根据男生睡眠数据找到的个数，即可求解； （2）根据四分位数以及中位数的定义，分别求得男生睡眠数据中的下四分位数、中位数以及女生睡眠数据中的上四分位数，即可求解． （3）根据样本估计总体，求得男、女生的睡眠时长不低于9小时的占比乘以即可求解； （4）根据箱线图的特征分析，即可求解． 【小问1详解】 解：男生睡眠数据中的有：，，，共3个 【小问2详解】 解：男生睡眠数据中的中位数 解法一：，男生睡眠数据中的下四分位数为第，位数的平均数：， ，女生睡眠数据的上四分位数为第，位数的平均数：， 解法二：将个数据分成两组，前10个数据的中位数即男生睡眠数据中的下四分位数为第，位数的平均数： 将个数据分成两组，后10个数据的中位数即女生睡眠数据中的上四分位数为 【小问3详解】 人 【小问4详解】 略 25. 如图，在菱形中，，交于点C，过点B，D分别作，的平行线，两平行线交于点A，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：由题意可知，， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，即可得到四边形是矩形； （2）设，根据矩形的性质得到，，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，进而求出，即可求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ∴设，， ∵四边形是矩形， ，， ∵菱形， ，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ，， 在中，， ． 26. 如图1，是外部的一定点，是线段上一动点，连接． 小明根据学习函数的经验，对线段，的长度之间的关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点D在上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 在，的长度这两个量中，确定________的长度是自变量，________的长度是这个自变量的函数； （2）在平面直角坐标系中，画出所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：连接，当为等腰三角形时，的长度约为________．(精确到) 【答案】（1）； （2） （3），或 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义，确定自变量，函数即可． （2）利用描点法画出函数图象即可． （3）分三种情形：当时，见图中点，此时．当时，见图中点，此时．当时，． 【小问1详解】 解：确定的长度是自变量，的长度是这个自变量的函数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 当时，见图中点，此时． 当时，见图中点，． 当时，见图中点，此时． 27. 如图，在中，，于点，是线段上一点(不与点，重合)，连接，是的中点，点为内一点，且，连接，． （1）依题意补全图形，并求的大小； （2）当时，连接，判断与的位置关系，并证明． 【答案】（1） （2）解：， 证明：如下图所示，延长至，使，连接，，在上取，使，连接， ， ，， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，，设，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据即可求出结果； （2）延长至，使，连接，，在上取，使，连接，可证，根据全等三角形的性质可证． 【小问1详解】 解：是的中点，， ， 1 ，， 设， ， ， ； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点为，此时存在点满足：（其中），则称点是点的美好距离点． （1）如图，点的坐标为，点的坐标为 ①在点，，，中，________是点的美好距离点； ②已知点是平面内一点，且点同时是点和的美好距离点，请直接写出点的坐标__________． （2）已知点在直线上，正方形的对角线交点为，边长为，且四条边均与坐标轴平行，点为正方形边上的一点，若对于任意一点，都存在一点，使得点是点的美好距离点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，．②， （2）或 【解析】 【分析】（1）对于①，将各候选点坐标代入距离公式，判断计算结果是否等于即可； 对于②，分别写出点和点的美好距离点满足的绝对值方程，联立两个方程，分情况讨论去掉绝对值符号求解； （2），先确定正方形各边的坐标范围，再根据“美好距离点”的定义，得出点的对称点与点满足的距离关系，因为直线上的点的对称点也在某条直线上，所以问题转化为该直线与正方形所有边上点的距离为的区域存在交点，结合图形求得临界值即直线过轴上方的顶点，即可求解． 【小问1详解】 解：①根据定义：点关于轴的对称点为， ∵点是的2美好距离点 ∴ ：，不符合； ：，符合； ：，不符合； ：，符合 ②点是点和的美好距离点， 设，的对称点，∴； 的对称点，∴ 当时， 即 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，无解 当时， ∴ 当时， 方程组为：，解得： 当时， 方程组为：，无解； 当时， 方程组为，解得： 当时，经检验，原方程组无解； 综上所述，点的坐标为和； 【小问2详解】 正方形中心在原点，边长为4，边与坐标轴平行，故在正方形边上， 满足：或 设，则关于轴的对称点 ∴所在的直线为 ∵正方形的边长为，且点是点的美好距离点，即到直线的最大美好距离为 直线和关于轴对称， 又∵正方形的对角线交点为，边长为，且四条边均与坐标轴平行， ∴当最大时，直线过轴上方正方形的顶点， 如图，取正方形的顶点，， 分别代入 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $