精品解析：北京三帆中学2024—2025学年度第二学期期末质量监测 八年级 数学

北京三帆中学2024—2025学年度第二学期期末质量监测 八年级 数学 考生须知 1．本试卷共6页，四大题，26小题，作答时长100分钟，满分110分． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试题答案一律填涂填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．考试结束后，请将资料一并交回． 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 1，1，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，若三角形三边长， ， （ 为最长边）满足，则该三角形为直角三角形，只需计算两短边的平方和，与最长边的平方比较即可判断． 【详解】解：选项A，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； 选项B，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； 选项C，最长边为，∵，，∴，满足，能构成直角三角形，符合题意； 选项D，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； 选项B：，∴B错误； 选项C：，∴C错误； 选项D：，计算正确，∴D正确． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，根据平行四边形、矩形、菱形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故A错误； 对于B，根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B正确； 对于C，对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故C错误； 对于D，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不是菱形，故D错误． 5. 一家鞋店在上一周内销售了某款女鞋30双，各种尺码鞋的销售数量如下表所示． 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 6 4 1 该店主决定本周进货时，影响该店主决策的统计量是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数 【答案】A 【解析】 【分析】店主进货时最关注最畅销的尺码，即销售量最高的尺码，众数反映一组数据中出现次数最多的数据，符合决策需求，据此判断即可． 【详解】解：∵由表格可得，尺码的女鞋销售量最多，为11双，是最畅销的尺码， 又∵众数的意义是反映一组数据中出现次数最多的数据，正好符合店主决策需要的信息， ∴影响该店主决策的统计量是众数． 6. 如图，中，， 于点，是 边的中点，连结．若 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理先求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵中，， 于点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ 又∵是 边的中点， ∴． 7. 在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断正确的有（ ） ①点在第一象限；②点在函数图象上； ③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性和坐标特征，逐一判断四个推断即可． 【详解】解：∵函数为，， ∴随的增大而增大，且， 逐个判断： ① 对于点， ， ，横纵坐标都为正， 点在第一象限，①正确； ② 当时，， 点不在函数图象上，②错误； ③ ， ， 由随增大而增大得，即， ，③正确； ④ ，， ，，可得， ， ，即，④正确； 综上，正确的推断共个． 8. 如图，在矩形中，，，点P是线段 上的一个动点，连结，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作的平分线，过作于，当、与三点共线，且 时， 最小，利用直角三角形的性质及勾股定理求解即可. 【详解】解：作的平分线，过作于， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当、与三点共线，且 时， 最小为， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴ ， 即： 的最小值为 . 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0求解即可； 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 解得 ． 故答案为：． 10. 在中，，则_________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 解得， ． 11. 已知一次函数（， 是常数）的图象上有两点，，若当时，，那么的值可以是____________（写出一个满足题意的值即可）． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的值均可） 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性，由时，可判断函数随的增大而减小，得到一次项系数小于，进而求出的取值范围，写出范围内任意一个值即可. 【详解】解：，是一次函数的图象上两点， 当时，， 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解得， 可取（答案不唯一）. 12. 某校八年级学生的数学学期成绩由平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩组成．甲、乙两名同学的各项成绩（百分制）和各项成绩占比如下表所示，那么从甲、乙两人的学期成绩看，__________的学期成绩更高（填“甲”或“乙”）． 成绩项目 平时成绩 期中考试成绩 期末考试成绩 在学期成绩中的占比 甲的成绩 90 85 90 乙的成绩 88 90 85 【答案】甲 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法求出甲、乙两人的学期成绩，再比较两人成绩的大小即可得到结果． 【详解】解：甲的学期成绩为 ， 乙的学期成绩为 ， 因为 ，所以甲的学期成绩更高． 13. 如图，在中，于点， ，，连接．若平分 ，则 的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质及角平分线的定义得出，进而得到，则即可求解． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵在中，， ∴， ∵平分 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案． 【详解】解：根据函数图象可得：不等式的解集是． 15. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图所示．在图中，若正方形的边长为，正方形的边长为，且，则正方形的边长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式，结合面积的和差关系可得个直角三角形的面积，进而得到一个直角三角形的面积，再结合正方形 的面积等于个直角三角形的面积与个小正方形面积之和，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：由图可知：∵个直角三角形的面积为： ∴正方形 的面积等于， ∴正方形的边长为． 16. 如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图， （1）____________； （2）菱形的面积是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过分析图象，点从点到用，此时的面积为，依此可求菱形的高 ，再由图象可知当点从到时，用时，应用两次勾股定理分别求和即可求解． 【详解】解：过点作 交的延长线于点， 由图象可知，点从点到用， 此时，的面积为， ∵， ∴菱形中， ∴， 即：， 当点从到时，用时， ∴，在中，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， 即：， 解得， ∴， 故答案为：；． 三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18题10分，19-22题，每小题8分，第23题10分，第24题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则求解； （2）先利用平方差公式、二次根式除法法则算乘除，再算二次根式的加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，且四边形是菱形． （1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点 为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，再以点 为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，连接， ，，则四边形是菱形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明； 证明： ， ， 四边形是平行四边形．（ ）（填推理的依据） ， ， 四边形是菱形．（ ）（填推理的依据） （3）若直线的表达式为，直接写出菱形的面积和直线的表达式． 【答案】（1）解：所求图形如图所示； （2）；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3）菱形的面积为24，直线的表达式为 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据题意的证明思路，结合菱形的判定方法解答即可； （3）对于直线，分别令，令，求出点A，B的坐标，得到菱形两条对角线的长，根据菱形的面积计算方法求解即可．运用待定系数法即可求出直线的表达式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：对于直线， 令，则 ，解得， 令，则， ∴，， ∴，， ∴在菱形中，，， ∴ ． ∵， ∴， 设过点，的直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 19. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移1个单位，与函数 的图象交于点． （1）求，的值； （2）在平面直角坐标系中画出 的图象，观察图象后直接写出：当时，的取值范围是 ； （3）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数 的值，小于函数的值，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）； （2）图象如图：； （3）． 【解析】 【分析】（1）解方程组，即可求解； （2）利用两点法画出函数的图象，利用函数图象求解即可； （3）根据题意，当时，分别求出 ，，的值，再根据题意列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：将函数的图象向上平移1个单位，则解析式为， ∵点是直线和直线 的交点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得点，，当，， 画出的图象略， 当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：当时，；当时，； ∵当时，函数的值大于函数 的值，小于函数的值， ∴当时，， 解得． 20. 如图，菱形的对角线 ，相交于点O，且，，． （1）求证：四边形 是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明∶， 四边形 是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形 是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先推导出四边形 是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，则四边形 是矩形，即可解答； （2）先推导出，，求出， ，，进而根据矩形的性质，得到，，再根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ∵四边形 是矩形， ∴，， ∴． 21. 某校为了解该校七年级和八年级学生的数学学习情况，从这两个年级的学生中，各随机抽取了60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制，且成绩均为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级数学成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ，，，，，）； b．七年级学生数学成绩在这一组是： 70，71，71，72，76，76，77，78，78，78，79，79，79，79 c．七年级，八年级学生数学成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 的值； （2）在此次测试中，某七年级学生A的数学成绩为76分，某八年级学生B的数学成绩为71分，学生成绩排名更靠前的是________（填“A”或“B”），理由是_________________________________________； （3）若该校七年级有1200名学生，八年级有600名学生，假设该年级七、八年级学生全部参加此次测试，估计该校七年级和八年级学生中数学成绩超过70分的总人数． 【答案】（1） （2）学生成绩排名更靠前的是B，理由如下： ∵在此次测试中，某七年级学生A的数学成绩为76分，中位数为分， ∴七年级有一半及以上的学生的数学成绩比学生A高， ∵某八年级学生B的数学成绩为71分，中位数为分， ∴八年级有一半及以上的学生的数学成绩比学生B低， ∴学生成绩排名更靠前的是B； （3）1100 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义进行求解即可； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）分别求出抽取的60人中，七年级、八年级成绩超过70分的人数占比，再求出总人数即可． 【小问1详解】 解：∵，七年级抽取学生人数为60名， ∴第30，31名学生的数学成绩在，且分别为78，79， ∴（分）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级： 抽取的60人中，成绩超过70分的人数为 （人），占比为． 七年级共有1200人，因此超过70分的人数约为 （人）． 八年级： 八年级的中位数是，说明成绩高于分的人数占一半，即60名样本中，超过70分的人数约为30人，占比为， 八年级共有600人，因此超过70分的人数约为（人）． ∴总人数为 （人）． 22. 如图，某景区内有一个露营区C，河边 上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了 ， ， ，请解决以下问题： （1）试判断步道与 的位置关系，并说明理由； （2）求观景台P与观景台B之间的距离的长．（结果保留到整数） 【答案】（1）解：，理由如下： ∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴， ∴是直角三角形，且， 即； （2）的长 ． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形，即； （2）设，在 中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， 在 中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴ ， ∴的长 ． 23. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示； -3 -2 -1 0 1 2 3 … 6 4 2 0 2 4 6 … 经历同样的过程画函数和的图象． （1）函数的自变量的取值范围____________． 对于函数，当_________时，． （2）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化． ①图象与图象的交点坐标为___________ ②图象关于__________对称 ③对于函数，当时，的取值范围_____________． （3）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． （4）拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是_____________． 【答案】（1）全体实数， （2）①；②；③ （3）函数向下平移个单位长度得，函数向左平移个单位长度得； （4） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象进行解答即可； （2）根据函数图象进行解答即可； （3）根据函数图象进行解答即可； （4）先推导出函数，当 时，随的增大而减小，得到当时，，进而推导出函数当时，，需满足对称轴，解得，即可解答． 【小问1详解】 解：由图象，可知，函数的自变量的取值范围全体实数； 对于函数，当时，． 【小问2详解】 解：由图像，可知 ①图象与图象的交点坐标为； ②图象关于对称 ③对于函数，当时，的取值范围 ． 【小问3详解】 解：由图象，可知 函数向下平移个单位长度得， 函数向左平移个单位长度得； 【小问4详解】 解：如图， 函数， 当 时，随的增大而减小， 即当时，， 函数的对称轴为， 且当时，， ∴函数需满足对称轴， 解得． 24. 在中，，，是中点，为上一点，连接 ，为 内一点，且，点关于直线 的对称点为点，与 交于点，连接，． （1）依题意补全图1； （2）求证：； （3）连接，若 ，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）依题意补全图形如下： （2）证明：连接． ∵点D关于直线 的对称点为E，， ，． ． ∵ ． ． ， ． ． （3）线段与的数量关系是：．证明如下： 连接并延长到F，使得，连接． ∴点N是中点． ∵点D与点E关于直线 的对称， ∴点M是中点． ∴为的中位线． ． ∵点N是中点， ． ，， ． ，． ， ． ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即． 【解析】 【分析】（1）按照题意补全图形即可； （2）连接．证明，即可得到结论； （3）连接并延长到F，使得，连接．证明为的中位线．则．证明．由 ．得到，进而根据全等三角形的性质结合角的和差得到 ．则，从而 即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 四、附加题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 在平面直角坐标系中，已知点和点，称以点为起点，点为终点的有向线段为“向量 ”，记作．用坐标表示为，．若两向量的横纵坐标均相等，则称两向量相等．当时，称点到点的变换为“沿的平移变换”． （1）已知点，，，则点经过“沿的平移变换”后的对应点的坐标为__________；直线：经过“沿的平移变换”后的对应直线解析式为______________； （2）爱研究的小帆应用“数形结合”的方法，发现：若点经过“沿的平移变换”后对应点为，那么四边形 是平行四边形．请你应用小帆发现的结论解决下面的问题： ①已知点，，且四边形是平行四边形，则点的坐标为___________； ②已知点，，点经过“沿的平移变换”后对应点为，若四边形 是正方形，则的坐标为____________． 【答案】（1） ； （2） ① ；② 或 【解析】 【分析】（1）利用向量的定义和向量的长度的计算公式解答； （2）①根据平行四边形的性质及向量的定义求解即可； ②根据正方形的性质及向量的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，，，点经过“沿的平移变换”后的对应点是， ∴ ， 解得： ， 即：； ∵直线：经过“沿的平移变换”为沿轴向右平移，沿轴向上平移 ， ∴直线：经过“沿的平移变换”后的对应直线解析式为： ； 【小问2详解】 解：①∵点，，且四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， 即：； ②设， ∵点，， ∴， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， 解得：， 当时， ； 当时，； ∴的坐标为或． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，定义如下：若存在两点，使得且，则称点为以这两个点为端点的线段的中点源．如图，正方形的顶点为，，，． （1）若点，则下列点是线段的中点源的有_________________（填写点的序号即可） ①，②，③，④ （2）点，都在直线 上，且线段 的中点源点在对角线 上，若 ，求点的坐标． （3）平行四边形 的四个顶点为，，，．在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若平行四边形 边上的所有点均可成为其中某些线段的中点源，请直接写出 的取值范围． 【答案】（1）②③ （2）或 （3） 或 【解析】 【分析】（1）根据“中点源”的定义求出线段的中点源，即可解答； （2）由   代入   得 ，设  ，根据中点源定义， 有两种可能：分别得  、，由  、  得直线  为  ，将 P代入   分别解得，即可写出的坐标； （3）根据“中点源”定义，分析可得平行四边形 边上的所有点只能在正方形的边上或正方形的外部 ，点   在直线   上，即对角线  上，通过几何分析，中点源的范围是由正方形顶点坐标决定的最值，然后分平行四边形在第二、第四象限讨论，建立不等式组，最终求出   的取值范围． 【小问1详解】 解：，， 设线段的中点源坐标为， 由题意可得， 且 ， 此时，中点源坐标为； 且 ， 此时，中点源坐标为； ②和③是线段的中点源． 【小问2详解】 解：点，都在直线 上，且 ， 点的坐标为， 设点坐标为， 点为线段 的中点源， 点坐标为，即， 或，即， ，， 可设直线 的函数解析式为， 可得，解得， 直线 的函数解析式为 ， 点在对角线 上， ，解得， 或，解得， 点坐标为或． 【小问3详解】 解：， 点在直线 ： 上运动， 对于点，定义如下：若存在两点，使得且，称点为以这两个点为端点的线段的中点源． ， 点为点和点的中点， 若在正方形的边上（包括顶点）任取两点 ， 则线段 的中点源在线段 的延长线或线段的延长线上， 平行四边形 边上的所有点只能在正方形的边上或正方形的外部． 如图，当平行四边形 在第二象限时， 正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的中点源的横坐标的最小值为 ， 纵坐标的最大值为 ， 要使平行四边形 边上的所有点均可成为其中某些线段的中点源， 须满足，，解得 ； 如图，当平行四边形 在第四象限时， 平行四边形 的四个顶点为，，，， 点向右平移个单位，向上平移一个单位变成点， ， 轴， ， 为等腰直角三角形，且 ， ， ， ， ， 点到轴和轴的距离均为， ， 正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的中点源的横坐标的最大值为 ， 纵坐标的最小值为 ， 要使平行四边形 边上的所有点均可成为其中某些线段的中点源， 须满足，，解得 ； 综上， 的取值范围为 或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京三帆中学2024—2025学年度第二学期期末质量监测 八年级 数学 考生须知 1．本试卷共6页，四大题，26小题，作答时长100分钟，满分110分． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试题答案一律填涂填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．考试结束后，请将资料一并交回． 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 1，1，1 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 5. 一家鞋店在上一周内销售了某款女鞋30双，各种尺码鞋的销售数量如下表所示． 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 6 4 1 该店主决定本周进货时，影响该店主决策的统计量是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数 6. 如图，中，， 于点，是 边的中点，连结．若 ，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断正确的有（ ） ①点 在第一象限；②点在函数图象上； ③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，在矩形中，，，点P是线段 上的一个动点，连结，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 10. 在中，，则_________ ． 11. 已知一次函数（， 是常数）的图象上有两点，，若当时，，那么的值可以是____________（写出一个满足题意的值即可）． 12. 某校八年级学生的数学学期成绩由平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩组成．甲、乙两名同学的各项成绩（百分制）和各项成绩占比如下表所示，那么从甲、乙两人的学期成绩看，__________的学期成绩更高（填“甲”或“乙”）． 成绩项目 平时成绩 期中考试成绩 期末考试成绩 在学期成绩中的占比 甲的成绩 90 85 90 乙的成绩 88 90 85 13. 如图，在中，于点， ，，连接．若平分 ，则 的长是____________． 14. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是____________． 15. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图所示．在图中，若正方形的边长为，正方形的边长为，且，则正方形的边长为____________． 16. 如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点 ．点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图， （1）____________； （2）菱形的面积是____________． 三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18题10分，19-22题，每小题8分，第23题10分，第24题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，且四边形是菱形． （1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点 ，再以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，连接， ，，则四边形是菱形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明； 证明： ， ， 四边形是平行四边形．（ ）（填推理的依据） ， ， 四边形是菱形．（ ）（填推理的依据） （3）若直线的表达式为，直接写出菱形的面积和直线的表达式． 19. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移1个单位，与函数 的图象交于点． （1）求，的值； （2）在平面直角坐标系中画出 的图象，观察图象后直接写出：当时，的取值范围是 ； （3）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数 的值，小于函数的值，直接写出 的取值范围． 20. 如图，菱形的对角线 ，相交于点O，且，，． （1）求证：四边形 是矩形； （2）连接，若，，求的长． 21. 某校为了解该校七年级和八年级学生的数学学习情况，从这两个年级的学生中，各随机抽取了60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制，且成绩均为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级数学成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ，，，，，）； b．七年级学生数学成绩在这一组是： 70，71，71，72，76，76，77，78，78，78，79，79，79，79 c．七年级，八年级学生数学成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 的值； （2）在此次测试中，某七年级学生A的数学成绩为76分，某八年级学生B的数学成绩为71分，学生成绩排名更靠前的是________（填“A”或“B”），理由是_________________________________________； （3）若该校七年级有1200名学生，八年级有600名学生，假设该年级七、八年级学生全部参加此次测试，估计该校七年级和八年级学生中数学成绩超过70分的总人数． 22. 如图，某景区内有一个露营区C，河边 上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了 ， ， ，请解决以下问题： （1）试判断步道与 的位置关系，并说明理由； （2）求观景台P与观景台B之间的距离的长．（结果保留到整数） 23. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示； -3 -2 -1 0 1 2 3 … 6 4 2 0 2 4 6 … 经历同样的过程画函数和的图象． （1）函数的自变量的取值范围____________． 对于函数，当_________时，． （2）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化． ①图象与图象的交点坐标为___________ ②图象关于__________对称 ③对于函数，当时，的取值范围_____________． （3）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． （4）拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是_____________． 24. 在中，，， 是中点，为上一点，连接 ，为 内一点，且，点关于直线 的对称点为点，与 交于点 ，连接，． （1）依题意补全图1； （2）求证：； （3）连接，若 ，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 四、附加题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 在平面直角坐标系中，已知点和点，称以点为起点，点 为终点的有向线段为“向量 ”，记作．用坐标表示为，．若两向量的横纵坐标均相等，则称两向量相等．当时，称点 到点的变换为“沿的平移变换”． （1）已知点，，，则点 经过“沿的平移变换”后的对应点的坐标为__________；直线：经过“沿的平移变换”后的对应直线解析式为______________； （2）爱研究的小帆应用“数形结合”的方法，发现：若点 经过“沿的平移变换”后对应点为 ，那么四边形 是平行四边形．请你应用小帆发现的结论解决下面的问题： ①已知点，，且四边形是平行四边形，则点的坐标为___________； ②已知点，，点 经过“沿的平移变换”后对应点为，若四边形 是正方形，则的坐标为____________． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，定义如下：若存在两点，使得且，则称点为以这两个点为端点的线段的中点源．如图，正方形的顶点为，，，． （1）若点，则下列点是线段的中点源的有_________________（填写点的序号即可） ①，②，③，④ （2）点，都在直线 上，且线段 的中点源点在对角线 上，若 ，求点的坐标． （3）平行四边形 的四个顶点为，，，．在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若平行四边形 边上的所有点均可成为其中某些线段的中点源，请直接写出 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $