2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第3课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦分式不等式及高次不等式，通过复习一元二次不等式解法导入，以数轴穿根法和分式等价转化为核心，搭建从二次到高次、整式到分式的学习支架，帮助学生构建不等式求解的知识脉络。 其亮点在于以“问题驱动-方法提炼-分层训练”为主线，结合数轴穿根法培养数形结合的数学思维，通过典例覆盖无重根、含等号等题型，小结提炼“奇穿偶回”“分母不为0”等核心要点。既提升学生逻辑推理与代数式变形能力，又为教师提供规范的教学步骤和分层练习资源。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第3课时 分式不等式及高次不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 学 习 目 标 1 2 3 理解分式不等式、高次不等式的定义，掌握两类不等式的等价变形规则，明确不等式求解的定义域前提，杜绝变形增根、漏根问题。 熟练掌握数轴穿根法（零点分段法）的核心步骤，能独立求解整式高次不等式、各类分式不等式，可准确处理含重根、分母含未知数、参数简单取值等基础题型。 培养等价转化、数形结合、分类讨论的数学思维，提升代数式变形能力和逻辑推理能力，规范不等式解题步骤。 目标一：高次不等式解法（数轴穿根法/零点分段法） 知识讲解 高次不等式 理论 1. 适用题型 2.解题步骤 标准化变形：将不等式化为一端为0，另一端因式分解彻底的形式，且保证最高次项系数为正。若系数为负，两边同乘-1并反转不等号方向。 求零点：令因式等于0，求出所有实数零点，按从小到大顺序排列在数轴上，零点将数轴分为若干区间。 穿根规则（奇穿偶回）：从数轴右上方开始穿线；因式的根为奇次重根，曲线穿过数轴；为偶次重根，曲线触碰数轴后返回，不穿过。 定解集：数轴上方区间对应代数式的值大于0，下方区间对应代数式的值小于0；含等号时，解集包含零点，不含等号时剔除零点。 典例分析 题型一 高次不等式 标准化 例1 画图 解集 解下列不等式： (1) -5x+2>0 此高次不等式属于无重根型，属于基础题。上面已经对高次不等式的解题步骤做了规划，实际应用中，可简化为：化简，画图，解集。 分解因式得(x-1)(2x-)(x+2)≥0 如图： 不等式的解集为：{x∣-2<x<1/2 或 x>1} 典例分析 题型一 高次不等式 标准化 例2 画图 解集 解下列不等式： (2) 此高次不等式属于有重根型，属于拔高题。“穿针引线”法 （“穿根法”口诀） （最高次幂系数化正） 从右向左穿， 从上向下穿， 奇穿偶不穿。 ≥0 如图： 不等式的解集为：{x∣x<-3 或 x>2} 目标二：分式不等式解法 知识讲解 分式不等式 理论 1.核心原则 分式不等式不可直接两边同乘分母（分母正负未知），必须转化为整式不等式求解，且始终保证分母不为0。 2.四大等价公式（核心） （1）>0⇔f(x)⋅g(x)>0 （2）<0⇔f(x)⋅g(x)<0 （3）≥0⇔ （4）≤0⇔ 知识讲解 分式不等式 理论 3. 解题步骤 1. 移项通分：将不等式所有项移到左侧，化为单一分式，右侧为0； 2. 等价转化：按上述公式转化为整式不等式（组）； 3. 因式分解：对整式因式分解，用数轴穿根法求解； 4. 剔除分母零点：最终解集必须排除使分母为0的x值。 典例分析 题型二 分式不等式 化整式 例3 解 结论 解不等式：0 基础分式不等式，不需要化简整理，直接上手解 由等价公式转化为：(x-1)(x+3)>0（分母不为0已隐含） 零点为x=-3、x=1，穿根得大于0区间：(-∞,-3)∪(1,+∞)。 答案：{x∣x<-3或x>1} 典例分析 题型二 分式不等式 化整式 例4 解 结论 设x为实数，则不等式≥0的解集是？ 含等号分式不等式，化整式后，注意二次项系数为负。 因为≥0⟹ 解得2≤x≤5且x≠5，即2≤x<5， 所以不等式≥0的解集是[2,5). 典例分析 题型二 分式不等式 化标准 例5 化整 结论 解不等式：1 需移项通分的分式不等式，转化为一端为零的形式。 移项通分： 等价转化：(2-x)(x-1)<0⟹(x-2)(x-1)>0； 求解得：x<1或x>2。答案：{x∣x<1或x>2} 典例分析 题型二 分式不等式 化标准 例6 化整 结论 不等式的解集是（ ） A.{x∣-2≤x≤1} B.{x∣x≤-2} C.{x∣-2≤x<1} D.{x∣x>1} 需移项通分的分式不等式，转化为一端为零的形式。还要注意等号处理。 ≥2即为 即， 故 故解集为{x∣-2≤x<1}. 故选：C. 典例分析 题型二 分式不等式 化标准 例7 化整 结论 不等式≥1的解集是？ 需移项通分的分式不等式，转化为一端为零的形式。还要注意等号处理。 不等式等价于故 解得≤x<2， 所以原不等式的解集为{x∣3/2≤x<2} 目标三：对点练习 举一反三 1.解不等式0 等价于 (x-2)(x+3)>0 且 x≠-3，由数轴穿根法： 零点：x=-3，x=2 ， 开口向上，取两侧， 解得x<-3 或 x>2 1.解不等式 移项通分：1≤0 ，≤≤0 等价于 ≤0 且 x≠4由数轴穿根法： 零点：x=-5，x=4 - 取中间（含端点-5，不含端点4），得-5≤x<4 举一反三 3.解不等式 分子因式分解：≥0零点：x=-2，x=1，x=2,正 - x<-2：负,注意 x≠1，且等号可取时分子为0（即 x=±2）, 得-2≤x<1 或 x≥2 4.解不等式 <0 <0等价于 (x+7)(x-2)(x+1)<0 且 x≠2,x≠-1，得x<-7 或 -1<x<2 举一反三 5.解不等式 ≤0,由数轴穿根法： - x>3：正 - 2<x<3：负 - -1<x<2：正 - -2<x<-1：负 - x<-2：正取负值区间及分子为零的点：-2≤x≤-1或 2<x<3 6.解不等式 ,由数轴穿根法（从右上方开始），注意 x≠0,1,2：取正值区间及分子为零的点：0<x≤2-√ 或 1<x<2 或 x≥2+ 举一反三 7.解不等式 8.解不等式 解：零点：x=-2（二重根，偶回），x=1，x=3（单根，奇穿） 由数轴穿根法（从右上方开始，偶回）： x>3：正 - 1<x<3：负 -2<x<1：正 - x<-2：正,注意 ≥0 恒成立，等号在 x=-2 时成立。 取负值区间及等号成立的点：得x=-2 或 1≤x≤3 举一反三 9 10.解不等式 解：令 t=（t≥0）：-5t+4≥0，(t-1)(t-4)≥0，解得 t≤1 或 t≥4 即≤1 或 ≥4，≤1：-1≤x≤1，≥4：x≤-2 或 x≥2 目标四：小结 学海拾贝 1. 高次不等式核心注意点 （1）必须标准化：解题前务必保证最高次项系数为正，否则穿根方向完全错误； （2）牢记奇穿偶回：奇次重根穿透数轴，偶次重根不穿透，是最易出错的考点； （3）区分等号有无：不含等号，解集不含零点；含等号，所有有效零点全部纳入解集。 学海拾贝 2. 分式不等式核心禁忌 （1）严禁直接乘分母：分母含未知数，正负无法确定，直接相乘会导致不等号方向出错； （2）永远保留分母不为0：含等号的分式不等式，零点使分子为0可保留，使分母为0的点绝对剔除； （3）必须移项通分：不等式左右有常数项时，先移项、通分、合并为单一分式，再转化为整式不等式。 学海拾贝 3. 通用解题规范 （1）因式分解必须彻底，不可保留二次不可分解因式； （2）解集最终统一写成集合或区间形式，符合考试答题规范； （3）遇到含参数题型，需根据零点大小、分母正负分类讨论，不遗漏情况。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $