2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系，通过交通事故刹车距离的现实问题导入，复习一次函数与方程、不等式的关联后，引导学生探究二次函数零点、方程根与不等式解集的内在联系，搭建从一次到二次的知识支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，借助函数图像和表格归纳“三个二次”关系发展直观想象，通过基础解法、含参数及逆向应用的分层例题提升数学运算与逻辑思维能力。学生能深化知识理解，教师可依托系统资源高效教学。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 (第1课时） 二次函数与一元二次方程、不等式 学 习 目 标 1 2 了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系；（重点） 能借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；（重点） 能借助一元二次函数求解一元二次不等式。（难点） 通过对一元二次不等式的学习，培养数学抽象和直观想象素养；借助解集的求解，培养数学运算能力。 新课引入 交通事故中的刹车距离问题 汽车在行驶过程中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为”刹车距”。刹车距 s（单位：m）与车速 x（单位：km/h）之间具有确定的函数关系。 甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞。交警在现场测得： 甲车的刹车距超过 12 m，但不足 15 m , 乙车的刹车距超过 11 m，但不足 12 m 已知这两辆汽车的刹车距函数分别如下： 甲车： s=0.01+0.1x 乙车：s=0.005+0.05x 车速超过 40 km/h 属于违法，试问：哪一辆车违法超速行驶？ 根据题意，可以列出以下不等式： 甲车：12<0.01+0.1x<15 乙车：11<0.005+0.05x<12 只需解出不等式成立的实数 x 的范围，即可确认两车是否违法。 互动探究 探究活动 1：一元二次不等式概念建构 问题 ：这些不等式有什么共同特征？ 甲车：12<0.01+0.1x<15 乙车：11<0.005+0.05x<12 归纳：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的不等式，叫做一元二次不等式。 互动探究 探究活动 2：“三个二次”关系探究 复习一元一次函数、方程、不等式的关联： 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题： 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式， y=a+bx+c 他们的联系又是怎样的呢？ 互动探究 探究活动 2：“三个二次”关系探究 观察一下一元二次不等式-12x+20<0和二次函数y=-12x+20的关系： 【注意】零点不是点，是交点的横坐标 实例分析 如图在坐标系中画出二次函数y=-12x+20的图像，图像与x轴有两个交点.它们的横坐标就是方程-12x+20=0的两个实根=10，即交点坐标为(2,0)和(10,0). 我们把使得a+bx+c=0的实数x叫做函数y=a+bx+c的零点. 所以函数y=-12x+20的零点就是=10 互动探究 探究活动 2：“三个二次”关系探究 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式a+bx+c>0的解集.首先求出一元二次方程a+bx+c=0的根，再根据二次函数图像求解. 实例分析 从图中可以看出，二次函数y=12x+20的两个零点=10将x轴分成三段. 当x<2或x>10时，函数图像位于x轴上方，此时y>0，即-12x+20>0； 当2<x<10时，函数图像位于x轴下方，此时y<0，即-12x+20<0，所以，一元二次不等式-12x+20<0的解集为：{x∣2<x<10} 互动探究 探究活动 2：“三个二次”关系探究 借助表格，小组合作完成： 判别式 方程 的根 两个不等实根 两个相等实根 无实数根 函数 () 图象 与 x 轴有两个交点 与 x 轴相切 与 x 轴无交点 不等式 解集 或 不等式 解集 构建体系 知识点 1：一元二次不等式的概念 项目 内容 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式 一般形式 ，，，（其中 为常数，且 ） 解集 使不等式成立的所有未知数的值组成的集合 注意 ① 一元二次不等式一定是整式不等式；② 不可省略 构建体系 一元二次不等式 知识点 2：一元二次不等式的求解方法（核心） 步骤 名称 内容 1 标准化 通过对不等式变形，使二次项系数大于零 2 求根 计算对应方程的判别式，若 ，求出相应一元二次方程的根 3 定解集 画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集 口诀记忆： a>0 时：大于取两边，小于取中间（针对 Δ>0 的情况） 典例分析 类型 1：一元二次不等式的基本解法 例 1（二次项系数大于 0）：解不等式 3+5x-2>0 方程： 3+5x-2=0 的两根是 =-2，=。 函数： 函数 y=3+5x-2 的图象开口向上，与 x 轴有两个交点。 不等式： 观察图象可得，不等式的解集为 {x∣x<-2 或 x>}。 例2：求不等式9-6x+1>0的解集 因为方程9-6x+1=0的Δ， 所以该方程有两个相等的实数根，解得， 画出一元二次函数y=9-6x+1的图象(如图)，可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴仅有一个交点(,0) 观察图象可得原不等式的解集为{x∣x≠} 典例分析 类型 1：一元二次不等式的基本解法 例 3（二次项系数小于 0）：解不等式 -2+3x+2≤0 标准： 原不等式化为 2-3x-2≥0 方程： 2-3x-2=0 的两根为 ， 函数： 且 a=2>0，如图 不等式： 不等式的解集是 {x∣x≤-}。 典例分析 类型 2：含参数的一元二次不等式 例 4：解关于 x 的不等式 a+2x+1<0 思路： 分类讨论思路（简记为”一 a，二 Δ，三两根大小”）： 序号 情况 处理方式 1 当 时 不等式变为一次不等式 2 当 时 讨论 的符号 3 当 时 抛物线开口向下， 恒成立 规划： 序号 情况 分析 解集 1 不等式变为 ，即一次不等式 2 抛物线开口向上，讨论 的符号 见下细分 3 抛物线开口向下， 恒成立 见下细分 典例分析 类型 2：含参数的一元二次不等式 例 4：解关于 x 的不等式 a+2x+1<0 a>0： 子情况 条件 判别式 根的情况 解集 1 无实根，开口向上 （空集） 2 有等根 ，开口向上 （空集） 3 两根 典例分析 类型 2：含参数的一元二次不等式 例 4：解关于 x 的不等式 a+2x+1<0 a<0： Δ=4-4a>0 恒成立（因为 a<0，所以 -4a>0） 抛物线开口向下，与 x 轴有两个交点 两根为 注意：由于 a<0，分母为负，所以 （大根在左，小根在右） 不等式 a+2x+1<0 要求函数值小于 0，即图象在 x 轴下方，取两根之外： ▭ 参数范围 解集 例5：求关于x的不等式+(1-a)x-a<0的解集，其中a是常数。 依题意知方程+(1-a)x-a=0的实数根为，且一元二次函数y=+(1-a)x-a的图象是开口向上的抛物线。 (1)当a<-1时，如图(1)，一元二次函数y=+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(a,0)与(-1,0)。 所以原不等式的解集为(a,-1)。 (2)当a=-1时，如图(2)，一元二次函数y=+(1-a)x-a的图象与x轴只有一个交点(-1,0)， 所以原不等式的解集为⌀。 (3)当a>-1时，如图(3)，一元二次函数y=+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(-1,0)与(a,0)， 所以原不等式的解集为(-1,a)。 综上所述，当a<-1时，原不等式的解集为(a,-1)； 当a=-1时，原不等式的解集为⌀； 当a>-1时，原不等式的解集为(-1,a)。 典例分析 类型 3：三个”二次”关系的逆向应用 例 6：若不等式 a+bx-2<0 的解集为 {x∣-2<x<}，则 ab=？ 说明： 1. 二次函数开口向上，故 a>0； 2. 方程 a+bx-2=0 的两根为 。 ： 对于一元二次方程 a+bx+c=0，两根 满足： 本题中 c=-2，代入两根： ,- ： =- -=-⟹b=7 ： ab=4×7=28 举一反三 1.已知不等式a-bx-1≥0的解集是{x | -}，则不等式-bx-a<0的解集是（） A.{x∣2<x<3} B.{x∣x<2 或 x>3} C.{x | } D.{x | } 解答∵ 举一反三 2.若关于x的不等式m-5x+m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是（） A.(-∞,-] B.(-∞,-) C.[-,0) D.(-,0) 解答当m=0时，不等式-5x≤0，解得x≥0，显然解集不是R，不符合题意； 当m≠0，由不等式的解集为R， 则m<0，且方程m-5x+m=0时，Δ≤0， 解得m≤-，即m的取值范围为(-∞,-]。故选:A。 举一反三 3.“a>3”是“-3a>0”成立的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解答由“a>3”可以推出“-3a=a(a-3)>0”， 反之，由“-3a=a(a-3)>0”不一定推出“a>3”， 也可以推出“a<0”。 所以“a>3”是“-3a>0”的充分不必要条件。故选：A。 举一反三 4.不等式 -+8x-3≥0 的解集为( B ) A.{x∣x≥4+, 或 x≤4-} B.{x∣} C.{x∣} D.{x∣} 解答由题可知，一元二次不等式对应的一元二次方程为 -+8x-3=0， 则 Δ=-4×(-1)×(-3)=52>0，所以方程有两个不相等的实数根 ，因为二次函数 y=-+8x-3 的图象开口向下， 所以原不等式的解集为 {x∣}。故选 B。 举一反三 5.若关于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(A) A.{x|x<-1或x>3} B.{x|-1<x<3} C.{x|1<x<3} D.{x|x<1或x>3} 解答因为不等式ax-b>0的解集是{x|x>1}，所以a>0，=1， 所以关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0，即a(x+)(x-3)>0，即(x+1)(x-3)>0， 解得x<-1或x>3， 故不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是{x|x<-1或x>3}。故选：A。 举一反三 6.已知关于x的一元二次不等式-2+mx-n≥0的解集为{x | ≤x≤2}，则的值为（） A.　　B.　　C.　　D.- 解答因为关于x的一元二次不等式-2+mx-n≥0的解集为{x | ≤x≤2}， 所以关于x的一元二次方程-2+mx-n=0的两个根分别为，2， 由根与系数的关系可得+2=，×2=，解得m=5，n=2，所以=。 举一反三 7.已知不等式a+bx+c>0的解集是{x∣-1<x<4}，则不等式b(-1)+a(x+3)+c>0的解集为( ) A.{x∣-2/3<x<1} B.{x∣} C.{x∣} D.{x∣} 解答 学海拾贝 要点 内容 概念 一元二次不等式的定义、一般形式、解集 方法 “三步法”：标准化 → 求根 → 定解集 思想 数形结合：借助二次函数图象解不等式 关系 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系 注意 ① 二次项系数必须化为正；② 解集用集合或区间表示；③ 含参数问题注意分类讨论 学海拾贝 三个“二次”关系的实质用数形结合的思想来解读： ① a+bx+c=0 的解 ⇔ 函数y=ax+b与x轴交点的横坐标 ② a+bx+c>0 的解 ⇔ 函数y=ax+b的图像位于x轴上方时，对应的x的取值范围的集合； ③ a+bx+c<0 的解 ⇔ 函数y=ax+b的图像位于x轴下方时，对应的x的取值范围的集合； 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $