第2章 章末检测（二） 一元二次函数、方程和不等式（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理一元二次函数、方程和不等式的核心内容，通过选择、填空及解答题串联比较大小、不等式求解、充分必要条件、基本不等式应用等知识点，构建“概念理解-方法掌握-实际应用”的逻辑脉络。 其亮点在于注重数学思维与建模能力培养，如用“1”的代换求函数最值、分类讨论解含参不等式，设计龙虾养殖利润计算等实际问题。题目分层设置，帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习针对性。

章末检测（二）　一元二次函数、方程和不等式 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则有（　　） A. M＞N B. M≥N C. M＜N D. M≤N 解析：　因为M－N＝（2a2－4a）－（a2－2a－3）＝a2－2a＋3＝ （a－1）2＋2＞0，所以M＞N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第一册 2. 不等式 ＜0的解集为（　　） A. {x｜－2＜x＜3} B. {x｜x＜－2} C. {x｜x＜－2或x＞3} D. {x｜x＞3} 解析：　法一　原不等式可化为（x－3）（x＋2）＜0，其对应方程的 两根分别为3和－2，对应函数的图象为开口向上的抛物线，故原不等式的 解集为{x｜－2＜x＜3}. √ 法二　 ＜0等价于不等式组 ①，或 ②，解①，得x∈⌀；解②，得－2＜x＜3.所以原不等式的解集为{x｜－2＜x＜3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 3. 已知p：2x－3＞0，q：6x－8＞x2，则p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析：　因为2x－3＞0，所以x＞ ，又因为6x－8＞x2，则2＜x＜4， 因为{x｜2＜x＜4}⫋ ，所以p是q的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 4. 若a＞0，b＞0且2a＋b＝4，则 的最小值为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 解析：　因为a＞0，b＞0，故2a＋b≥2 （当且仅当2a＝b时取等 号）.又因为2a＋b＝4，所以2 ≤4⇒0＜ab≤2，所以 ≥ ，故 的最小值为 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 5. 已知a，b∈R，若ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则下列不等式正确的是 （　　） A. ＜ B. ＋ ＞0 C. a2＞b2 D. a＜｜b｜ 解析：由题意得a＞0，b＜0，所以 ＞0＞ ，故A错误； ＜0， ＜0，所以 ＋ ＜0，故B错误；由a＋b＞0得a＞｜b｜，所以a2＞b2，故C正确，D错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 6. 已知命题p：“∀x∈R，（a＋1）x2－2（a＋1）x＋3≥0”为真命 题，则实数a的取值范围是（　　） A. －1＜a＜2 B. a≥1 C. a＜－1 D. －1≤a≤2 解析：　当a＝－1时，3≥0成立；当a≠－1时，需满足 解得－1＜a≤2.综上所述，－ 1≤a≤2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 7. 一个容积为1 000 mL的容器里盛满浓度为80%的酒精.第一次倒出若干 毫升后，用水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满.要使 这时容器内的酒精的浓度不大于20%.则每次至少倒出溶液（　　） A. 200 mL B. 500 mL C. 1 000 mL D. 1 500 mL 解析：设每次倒出溶液x mL. 根据题意，得1 000×80%－1 00×20%≤80%x ＋ x，整理得x2－2 000x＋750 000≤0，解得500≤x≤1 500.又因为x≤1 000，所以500≤x≤1 000.故每次至少倒出500 mL溶液. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：　因为x＞0，y＞0，不等式 ＋ ＋ ≥0恒成立，即m≥－ （x＋y）恒成立.因为 （x＋y）＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当x＝y时取等号，所以－ （x＋y）≤－4，所以m≥ －4，所以m的最小值为－4. 8. 设x＞0，y＞0，不等式 ＋ ＋ ≥0恒成立，则实数m的最小值是 （　　） A. －2 B. 2 C. 1 D. －4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（　　） A. c－a＜c－b B. ac2≥bc2 C. ＜ D. ＜1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：由a＞b，得－a＜－b，那么c－a＜c－b，所以A正确；由a＞b，且c2≥0，所以ac2≥bc2，所以B正确；取a＝1，b＝－2，可知 ＝1＞ ＝－ ，此时不等式 ＜ 不成立，所以C错误；取a＝－1，b＝－2，此时 ＝2＞1，即不等式 ＜1不成立，所以D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 10. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥3}，则 下列说法正确的是（　　） A. a＜0 B. ax＋c＞0的解集为{x｜x＞6} C. 8a＋4b＋3c＜0 D. cx2＋bx＋a＜0的解集为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥3}，所以a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2，3，即3×（－2）＝ ＝－6，3＋（－2）＝－ ＝1⇒c＝－6a，b＝－a，因此选项A正确；因为c＝－6a，a＜0，所以ax＋c＞0⇒ax－6a＞0⇒x＜6，因此选项B不正确；由c＝－6a，b＝－a可知：8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a＞0，因此选项C不正确；因为c＝－6a，b＝－a，所以cx2＋bx＋a＜0⇒－6ax2－ax＋a＜0⇒6x2＋x－1＜0，解得－ ＜x＜ ，因此选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 11. 已知正数a，b满足（a－1）（b－1）＝1，则（　　） A. ＋ ＝1 B. ＋2b≥5 C. a＋b≥4 D. a2＋b2≥8 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解析：由（a－1）（b－1）＝1，可得ab＝a＋b，即 ＋ ＝1，故A正确；由（a－1）（b－1）＝1＞0，a，b均为正数，可知a＞1，b＞1. ＋2b＝ ＋2（b－1）＋2≥2 ＋2＝2 ＋2，当且仅当 ＝2（b－1），即b＝1＋ 时，等号成立，故B错误；a＋b＝（a＋b） ＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故C正确；a2＋b2≥2ab＝2（a＋b）≥8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围 是 ⁠. 解析：x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2 －6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2. {k｜k≥4或k≤2} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 13. 若－1＜x＜y＜1，则x－y的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：因为－1＜x＜y＜1，所以 则 得－ 2＜x－y＜0，因此x－y的取值范围是{x－y｜－2＜x－y＜0}. {x－y｜－2＜x－y＜0} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 14. 已知关于x的不等式（x－1）（x－2a）＞0（a∈R）的解集为集合 A，集合B＝{x｜2＜x＜3}.若B⊆A，则实数a的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：关于x的不等式（x－1）（x－2a）＞0（a∈R）的解集为A. ① 当2a＞1时，A＝{x｜x＜1或x＞2a}，∵B⊆A，∴ 解得 ＜ a≤1；②当2a＝1，即a＝ 时，A＝{x｜x≠1}，此时B⊆A，满足题 意；③当2a＜1时，A＝{x｜x＜2a或x＞1}，满足B⊆A，由2a＜1，解 得a＜ .综上可得实数a的取值范围为{a｜a≤1}. {a｜ a≤1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）解下列不等式. （1）－3x2＋5x－2＞0； 解：原不等式可化为3x2－5x＋2＜0， 因为Δ＝（－5）2－4×3×2＝1＞0，所以方程3x2－5x＋2＝0的两个实数 根为x1＝ ，x2＝1. 所以不等式－3x2＋5x－2＞0的解集为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2） ＞1. 解：原不等式可化为 －1＞0， 所以 ＞0，即 ＞0，解得x＜－2.故原不等式的解集为{x｜x ＜－2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 16. （本小题满分15分）（1）求函数y＝ －x（0＜x＜4）的最小值； 解：因为0＜x＜4，所以4－x＞0， 则y＝ －x＝ ＋4－x－4≥2 －4＝－2， 当且仅当 ＝4－x，即x＝3时等号成立，所以函数y的最小值为－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2，求 ＋ 的最小值. 解：法一　 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥2＋ ＝ ， 当且仅当 ＝ ，即a＝b＝ 时等号成立， 所以 ＋ 的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 法二　 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ －2＝ （2a＋b）－2 ＝ －2≥ －2＝ ， 当且仅当 ＝ ，即a＝b＝ 时等号成立， 所以 ＋ 的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 17. （本小题满分15分）已知关于x的不等式（ax－1）（x－1）＜0. （1）当a＝2时，解上述不等式； 解：当a＝2时，代入可得（2x－1）（x－1）＜0，解得 ＜x＜1， 所以不等式的解集为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）当a＜1时，解上述关于x的不等式. 解：当a＝0时，代入不等式可得－x＋1＜0，解得x＞1； 当0＜a＜1时，化简不等式可得a （x－1）＜0，由 ＞1，解不等 式可得1＜x＜ ； 当a＜0时，化简不等式可得a （x－1）＜0，解不等式可得x＞1或 x＜ . 综上可知，当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞1}. 当0＜a＜1时，不等式的解集为 . 当a＜0时，不等式的解集为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 18. （本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地， 已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年 付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾 养殖基地每年收入90万元. （1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯 利润； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解：由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝12，即 解得a＝3，c＝0，所以y＝3x2. 又投资243万元，x年共收入90x万元， 设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243（x∈N*）. 令P＞0，即90x－3x2－243＞0，即x2－30x＋81＜0，解得3＜x＜27 （x∈N*）， 所以从第4年开始获得纯利润. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 ①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地； ②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地. 问该水产养殖户会选择哪种方案？ 解：方案①： 年平均利润t＝ ＝90－3 ≤90－3×2 ＝36（万 元），当且仅当x＝9时，取等号， 所以当x＝9时，t取最大值36， 此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462（万元）. （2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两 种处理方案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 方案②： 由（1）知P＝90x－3x2－243＝－3（x－15）2＋432（x∈N*）， 当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元， 此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）. 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 19. （本小题满分17分）学习与探究问题：已知正实数x，y满足x＋y＝ 1，求 ＋ 的最小值.求解本题的方法很多，其中一种求解方法是： ＋ ＝ （x＋y）＝5＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ 且x ＋y＝1，即x＝ ，y＝ 时等号成立.这种解题方法叫做“1”的代换. （1）利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足 － ＝1，试比较a2－b2与（x－y）2的大小，并注明等号成立的条件； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 解：a2－b2＝（a2－b2） ＝x2＋y2－ ，　 又 ＋ ≥2 ＝2｜xy｜， 当且仅当 ＝ 时，等号成立， 所以x2＋y2－ ≤x2＋y2－2｜xy｜≤x2＋y2－2xy＝（x－y）2， 因此a2－b2≤（x－y）2， 当且仅当 ＝ 且 － ＝1，x，y同号时等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 （2）利用（1）中的结论，求T＝ － 的最小值，并注明使T 取得最小值时t的值. 解：令x＝ ，y＝ ，t≥1， 设 － ＝1，则 － ＝1， 即 t＋ ＝0对任意t≥1恒成立， 则 ＝ ， ＋ ＝1，解得a2＝1，b2＝ ，所以x2－9y2＝1. 因为9t－8＝t－1＋8t－7＞t－1，所以T＝x－y＞0， 由（1）中的结论得（x－y）2≥a2－b2＝1－ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 所以T＝x－y≥ ＝ ， 当且仅当 ＝ ，x2－9y2＝1，且x，y＞0， 即x＝ ，y＝ 时等号成立，此时t＝ . 所以当t＝ 时，T有最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第一册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $