精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年度下学期期末考试八年级数学试题

重庆南开中学2025-2026学年度下学期期末考试初2027届 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成： 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大愿10个小愿，每小愿4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为，，的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下列纹样的示意图中，是中心对称图形的是（ ） A. 如意云纹 B. 涡旋云纹 C. 四瓣结纹 D. 回字纹 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的对角线，相交于点，是的中点，，，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 22 D. 24 5. 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若自然数满足，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，在矩形中，、相交于点，，．若，，则面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为边的中点，点为正方形内部一点，连接、、、，，．当时，可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，均为正整数，，下列说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，，方程的两个实数根分别为，，则； ③若为整数，且，则所有满足条件的整式的和为． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 因式分解：_______． 12. 要使分式有意义，的取值应满足___________． 13. 一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从口袋中随机摸出1个球，记下标号后放回，再随机摸取1个球，则两次所得标号之和为奇数的概率为___________． 14. 如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 15. 如图，在菱形中，，点是边上一点，连接，将沿直线翻折到菱形所在的平面内，得，连接并延长交于点，连接．若，则___________，___________． 16. 对于一个四位数，如果满足各个数位上的数字均不为0，且千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字的两倍与个位上的数字之差，则称这样的四位数为“信使数”．例如四位数3792，因为，所以3792是“信使数”．按照这个规定，最小的“信使数”是___________：规定，若、均为整数，则满足条件的“信使数”的最大值是___________ 三、解答题：（本大题9个小题，17题、18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接，且，请完成以下作图和填空： （1）用尺规完成以下作图，过作交延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：四边形为平行四边形． 证明：， ∴① ． ， ． ∴② ， ∵， ∴③ ． ． ， ． 四边形为平行四边形， ． ④ ． 四边形为平行四边形（⑤ ）． 20. 为优化研学体验，蓝谷研学基地组织公能中学七、八年级的所有学生对研学基地进行了满意度评分（满分为10分，学生打分均为不小于6的正整数）．从两个年级的调查结果中各随机抽取了20个样本数据，并进行如下整理、分析： 七年级学生对研学基地的满意度评分数据： 6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10 年级 平均数 众数 中位数 七年级 8.2 8 八年级 8.2 9 八年级学生对研学基地的满意度评分数据的扇形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对研学基地的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）公能中学七年级有840人，八年级有900人，请估计对研学基地十分满意（评分为10分）的七、八年级学生共有多少人？ 21. 如图，在中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动不与点、点重合），设运动时间为秒，记的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线的图象与的函数图象有1个交点，请直接写出的取值范围． 22. 重庆正加速打造“低空之城”，无人机作为低空经济的核心技术载体，在物流领域已实现规模化应用．某企业为布局无人机物流配送领域，购进工业级多旋翼无人机与固定翼无人机两种，购买多旋翼无人机花费240万元，购买固定翼无人机花费150万元，且购买多旋翼无人机的数量是购买固定翼无人机数量的2倍，已知购买一架固定翼无人机比购买一架多旋翼无人机多花3万元． （1）求购买一架多旋翼无人机与一架固定翼无人机各需要多少万元？（列方程解决问题） （2）该企业决定再次购进两种无人机共30架，恰逢市场对无人机售价进行调整，多旋翼无人机的售价比第一次购买时提高了10%．固定翼无人机按第一次购买时售价的9折出售．如果该企业此次购买两种无人机的总费用不超过400万元，那么最多可购买多少架固定翼无人机？ 23. 【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下，运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远． 【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成．忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1），抛实心球向前运动的水平距离（单位：米）、离开地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，其中表示重力加速度（，为常量）．表示实心球离手时距离地面的高度． 【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画． 【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以为离手角度进行实心球投掷．考虑到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量．通过查阅资料和初步计算，实心球离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下： 离手角度为时：； 离手角度为时：； 离手角度为时：． 通过消元，离手角度为时，，即可表示为关于的二次函数，将其命名为函数． （1）任务一：请表示：离手角度为时，关于的函数表达式： ；离手角度为时，关于的函数表达式： ； （2）任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中，离手角度为 时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； （3）任务三：中考实心球项目中，男生投掷9.7米及以上的距离则能够获得满分．请通过计算说明，该学习小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？ 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 25. 如图，在中，，以为直角边，向上作，，，连接，过点作交于点，交于点． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，点为线段上一点，连接，若，请用等式表示线段，，的数量关系并证明： （3）如图3，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学2025-2026学年度下学期期末考试初2027届 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成： 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大愿10个小愿，每小愿4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为，，的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式定义判断各选项即可，分式的定义为：形如，其中、是整式，中含有字母且的代数式是分式． 【详解】解：根据分式定义逐一判断： ∵选项A中是二次根式，不是分式，∴A不符合要求； ∵选项B中，分子分母都是整式，且分母含有字母，∴是分式，B符合要求； ∵选项C中，是常数，不是字母，分母不含字母，属于整式，∴C不符合要求； ∵选项D中，分母是常数，不含字母，属于整式，∴D不符合要求． 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下列纹样的示意图中，是中心对称图形的是（ ） A. 如意云纹 B. 涡旋云纹 C. 四瓣结纹 D. 回字纹 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：C项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； A、B、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都不是中心对称图形， 故选：C． 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 4. 如图，的对角线，相交于点，是的中点，，，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出为中点，结合为中点，利用三角形中位线定理求出的长，进而求出的长，即可求得平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，  是的中点，  是的中位线，  ，  ，  ，  是的中点，，  ，  的周长为：． 5. 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率问题的规律列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为，共经过两轮迭代， ∴第一轮迭代后能量密度为，第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为． 6. 若自然数满足，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】估算无理数的范围，再根据已知不等式确定自然数的值． 【详解】解：， 又， ， 不等式三边同时减1，得， 即， ，且为自然数， ． 7. 如图，在矩形中，、相交于点，，．若，，则面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由勾股定理可得，则，从而得到．容易证明四边形是平行四边形，则，由等积变形可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 9. 如图，在正方形中，点为边的中点，点为正方形内部一点，连接、、、，，．当时，可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质容易证明，则，，从而得到，结合等腰三角形的性质可得，因此． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中，均为正整数，，下列说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，，方程的两个实数根分别为，，则； ③若为整数，且，则所有满足条件的整式的和为． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据递推公式推导得到，再依次验证三个说法．对于①，直接计算即可；对于②，先求出、，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系，结合完全平方公式进行计算即可；对于③，由可得，由整数的性质可得是的正因数，结合可得，，，，分别求出对应的整式，最后求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为定值， ∴，即， 对于①，当时，，故①错误； 对于②，∵，， ∴，， ∴， 整理，得， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∴，故②正确； 对于③，∵，即， ∴， ∵为整数，为正整数， ∴是的正因数， ∴，，，，，，，，， ∴，，，，，，，，， ∵，为正整数， ∴，， ∴， ∴， ，，，，，， 又∵， ∴，即 解得或， ∴，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴所有满足条件的整式的和为，与题干给出的结果不一致，故③错误。 综上，只有1个说法正确． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，通过提取公因式的方法进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 要使分式有意义，的取值应满足___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不能为0，据此求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得． 13. 一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从口袋中随机摸出1个球，记下标号后放回，再随机摸取1个球，则两次所得标号之和为奇数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，根据结果计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中和为奇数的有4种情况， ∴两次所得标号之和为奇数的概率为． 14. 如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方，  关于的不等式的解集为． 15. 如图，在菱形中，，点是边上一点，连接，将沿直线翻折到菱形所在的平面内，得，连接并延长交于点，连接．若，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作于点，根据菱形性质以及折叠的性质得出，进而勾股定理求得，根据线段的和差关系，即可求得，根据折叠的性质可得，连接，作关于的对称点，连接，，过作于点，证明，进而得，，再证明得出，则，根据含30度角的直角三角形的性质，分别求得，最后在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵将沿直线翻折到菱形所在的平面内，得， ∴，， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∵将沿直线翻折到菱形所在的平面内，得， ∴， 如图，连接，作关于的对称点，连接，，过作于点， ∵ ∴是等边三角形， ∴， 同理可得是等边三角形，则 设 ∴ ∴， ∵关于对称， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 16. 对于一个四位数，如果满足各个数位上的数字均不为0，且千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字的两倍与个位上的数字之差，则称这样的四位数为“信使数”．例如四位数3792，因为，所以3792是“信使数”．按照这个规定，最小的“信使数”是___________：规定，若、均为整数，则满足条件的“信使数”的最大值是___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可得，由正整数的性质可得，，要使“信使数”最小，则优先让、尽可能小，因此取，，此时，满足要求的最小数为．对于的最大值，容易得到，由为整数可得，为完全平方数，结合，则或．当时，由是整数可得是奇数，从而推断出也是奇数，这与为整数矛盾；当时，可计算得，结合可得，从开始，寻找符合要求的“信使数”即可． 【详解】解：根据题意， ， ∴， ∵、、、是正整数， ∴，，， ∴， ∴， 要使 “信使数”最小，则，， 此时， ∴，或，， ∵， ∴最小的“信使数”为； ∵， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是完全平方数，且， ∵， ∴或， 当时， ∵是整数， ∴是偶数， ∴个位数也是偶数， 又∵， ∴也是偶数， ∴与的奇偶性相同， ∴是偶数， ∵是整数， ∴是的因数，这与是偶数矛盾，故舍去； 当时， ∵是整数， ∴是的因数， 又∵是偶数， ∴， ∵， 又∵是正偶数，即， ∴， ∵， ∴， 要使取得最大值，则要尽可能地大， ∴从大到小寻找符合要求的数， 当时， ∵， ∴或，都与矛盾； 当时，或（不符题意，舍去）， ∴，此时，为满足要求的最大“信使数”． 三、解答题：（本大题9个小题，17题、18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 两边同加上，得， 变形，得， 两边开方，得， 解得，； 【小问2详解】 解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 19. 如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接，且，请完成以下作图和填空： （1）用尺规完成以下作图，过作交延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：四边形为平行四边形． 证明：， ∴① ． ， ． ∴② ， ∵， ∴③ ． ． ， ． 四边形为平行四边形， ． ④ ． 四边形为平行四边形（⑤ ）． 【答案】（1）解：作图如下： （2）；；；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）按照作过一点与已知直线垂直的方法完成即可； （2）读懂推理过程，即可完成填空． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 20. 为优化研学体验，蓝谷研学基地组织公能中学七、八年级的所有学生对研学基地进行了满意度评分（满分为10分，学生打分均为不小于6的正整数）．从两个年级的调查结果中各随机抽取了20个样本数据，并进行如下整理、分析： 七年级学生对研学基地的满意度评分数据： 6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10 年级 平均数 众数 中位数 七年级 8.2 8 八年级 8.2 9 八年级学生对研学基地的满意度评分数据的扇形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对研学基地的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）公能中学七年级有840人，八年级有900人，请估计对研学基地十分满意（评分为10分）的七、八年级学生共有多少人？ 【答案】（1）7；8.5；108 （2）八年级；从中位数来看，八年级的中位数高于七年级的中位数，八年级对研学基地的满意度更高 （3）390人 【解析】 【分析】（1）根据众数的概念即可求得a；设八年级学生中评分为7分的有x人，利用平均数求出x的值，即可求得b的值，从而求得m的值； （2）根据众数或中位数作出说明即可； （3）利用样本估计总体的思想即可完成． 【小问1详解】 解：七年级学生对研学基地的满意度评分数据中，评分为7分出现的次数最多，故； 设八年级学生中评分为7分的有x个数据， 则评分为9分的有个数据， 由平均数得：， 解得， 则， 而6分、8分与10分的个数均为（个）， 把八年级的学生按评分由低到高排列，中间第10、11个评分的平均数为中位数， 而，则第10个、第11个评分分别为8分、9分， 所以， ； 【小问2详解】 解：八年级；理由略； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计对研学基地十分满意（评分为10分）的七、八年级学生共有390人． 21. 如图，在中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动不与点、点重合），设运动时间为秒，记的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线的图象与的函数图象有1个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，函数值随自变量的增大而增大，当时，函数值随自变量的增大而减小（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点A作于点D，分点P在上两种情况考虑即可； （2）利用描点法画出图象即可，根据图象从增减性质、最值等方面说即可； （3）画出函数的图象，结合的图象即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作于点D，如图， 则， 当点P在上时，如图， ∵，其中， ∴； 当点P在上时，如图， ∵，此时， 设点B到的距离为d， ∵， ∴， ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：图象略； 当时，函数值随自变量的增大而增大，当时，函数值随自变量的增大而减小（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：如图，当直线过原点时，； 当直线过时，，； 当直线过时，，； ∴当或时，直线与的函数图象有1个交点． 22. 重庆正加速打造“低空之城”，无人机作为低空经济的核心技术载体，在物流领域已实现规模化应用．某企业为布局无人机物流配送领域，购进工业级多旋翼无人机与固定翼无人机两种，购买多旋翼无人机花费240万元，购买固定翼无人机花费150万元，且购买多旋翼无人机的数量是购买固定翼无人机数量的2倍，已知购买一架固定翼无人机比购买一架多旋翼无人机多花3万元． （1）求购买一架多旋翼无人机与一架固定翼无人机各需要多少万元？（列方程解决问题） （2）该企业决定再次购进两种无人机共30架，恰逢市场对无人机售价进行调整，多旋翼无人机的售价比第一次购买时提高了10%．固定翼无人机按第一次购买时售价的9折出售．如果该企业此次购买两种无人机的总费用不超过400万元，那么最多可购买多少架固定翼无人机？ 【答案】（1） 购买一架多旋翼无人机需要12万元，购买一架固定翼无人机需要15万元. （2） 最多可购买13架固定翼无人机. 【解析】 【分析】（1）设两种无人机的单价，再根据“多旋翼无人机数量是固定翼无人机数量的2倍”的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果； （2）设固定翼无人机的购买数量，根据售价调整规则算出新单价，再根据“总费用不超过400万元”列出不等式，结合数量为正整数求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设购买一架多旋翼无人机需要万元，则购买一架固定翼无人机需要万元， 根据题意得：，  解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：购买一架多旋翼无人机需要12万元，购买一架固定翼无人机需要15万元． 【小问2详解】 解：设购买固定翼无人机架，则购买多旋翼无人机架， 调整价格后，多旋翼无人机单价为（万元），固定翼无人机单价为（万元）， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为13， 答：最多可购买13架固定翼无人机． 23. 【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下，运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远． 【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成．忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1），抛实心球向前运动的水平距离（单位：米）、离开地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，其中表示重力加速度（，为常量）．表示实心球离手时距离地面的高度． 【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画． 【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以为离手角度进行实心球投掷．考虑到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量．通过查阅资料和初步计算，实心球离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下： 离手角度为时：； 离手角度为时：； 离手角度为时：． 通过消元，离手角度为时，，即可表示为关于的二次函数，将其命名为函数． （1）任务一：请表示：离手角度为时，关于的函数表达式： ；离手角度为时，关于的函数表达式： ； （2）任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中，离手角度为 时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； （3）任务三：中考实心球项目中，男生投掷9.7米及以上的距离则能够获得满分．请通过计算说明，该学习小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？ 【答案】（1）； （2） （3）能获得满分 【解析】 【分析】（1）用x表示t，并代入y关于t的表达式中即可； （2）观察图象即可； （3）令，求得x的值，据此即可判断． 【小问1详解】 解：当离手角度为时，， 代入得， 则关于的函数表达式； 离手角度为时，， 代入得， 则关于的函数表达式； 【小问2详解】 解：观察图象知，从下往上，离手角度分别为，显然，离手角度为时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； 【小问3详解】 解：令， 解得（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴以最佳离手角度投掷实心球时，能获得满分． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2）；的最小值为 （3）点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点P作轴于点F，交直线于点E，先求出直线的解析式，设点P的坐标，则可表示点E的坐标，进而表示出线段，利用，最后求出其取最大值时点P的坐标；因，则，当最小时，最小，此时轴，根据点P的坐标求得的最小值； （3）根据A、C两点的坐标得，由条件得，求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：或直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 即， ∴抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴于点F，交直线于点E， 设直线的解析式为， 把A、C两点的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则可表示点E的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵ ， 当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，从而取得最大值， ∴， ∵点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时轴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：根据A、C两点的坐标知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，且， ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ∴， 令，解得， ∴，与x轴的另一个交点为点A， 当点N在上方的抛物线上时，则， 设此时的解析式为，把点M坐标代入得， 即的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 当直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点时，此时， 设直线与的交点为D点，如图，设， ∵， ∴， 解得， 即， 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或． 25. 如图，在中，，以为直角边，向上作，，，连接，过点作交于点，交于点． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，点为线段上一点，连接，若，请用等式表示线段，，的数量关系并证明： （3）如图3，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明：过A作于M，交于N． ． ， ． ． ，， ． 交于点， ． ，， ． ， ． ，， ． ， ． 在和中 ． ． ，， 是的中位线． ． ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）先得，则．由等腰三角形的性质，得．由勾股定理可得．可求的长度； （2）过A作于M，交于N，先证，再证，可得，再证，则； （3）作点E关于的对称点，连接，，取的中点，连接，作于P，先得出当取得最小值时，．过A作于M，得出与同底等高．设．则．设．建如图所示的平面直角坐标系∶则，，，，，延长与y轴交于点，设直线为，解得．可得的值． 【小问1详解】 解：， ． ． ， ． ， ． ，，， ． ， ． ． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：作点E关于的对称点，连接，，取的中点，连接，作于P，如图 ，，． 中，． 、A、共线时，，此时最小，即取最小值． 在和中 ． ，． ，， ，． ， ，． ， ． ． ． ， ． 在和中 ． ． ， ． ． ． 与同底等高． ． 设．则． 设．建如图所示的平面直角坐标系∶则，，，，，延长与y轴交于点， 设直线为，将，分别代入， 得，解得 直线为 于F， ． ． ， ． ，， ． ． ． 对于，当时，． 解得． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $