精品解析：重庆市永川区2025-2026学年下学期期末教学质量监测八年级数学试题

永川区2025—2026学年下期期末教学质量监测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式：①被开方数的因数不含完全平方数；②被开方数不含分母或分母不含根号，根据此进行判断即可. 【详解】j解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A 2. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，的中点E，并步测出的长约为18，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. 18 B. 24 C. 27 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：D． 3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是(　　) A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 7，8，9 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为12+22≠32，故不是勾股数；故此选项错误； B、因为32+42=52，故是勾股数．故此选项正确； C、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误； D、因为72+82≠92，故不是勾股数．故此选项错误； 故选B． 4. 正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据正比例函数的图象经过第二、四象限时比例系数的符号特征，建立不等式求解即可. 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得 故选：D 5. 甲、乙两位同学准备参加学校科普大赛，如图是他们5次模拟测试成绩的折线统计图，成绩的方差分别记作和，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折线图，方差的意义，根据方差表示一组数据的波动情况情况，方差越小，数据越稳定，结合折线图进行判断即可． 【详解】解：由折线图可知，甲同学的成绩波动较小，成绩较稳定，乙同学的成绩波动较大，成绩不稳定， ∴； 故选：B． 6. 如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为4，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的面积为4得，再根据直角三角形斜边中线性质即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形，且面积为4， ∴， ∴， 中，，D为的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 7. 五一节前，李老师通过举手方式了解全班同学最想去的网红景点，统计结果如下表： 景点 李子坝轻轨站 洪崖洞 鹅岭二厂 十八梯 人数/个 12 20 7 7 根据以上信息，本次调查的景点中众数是（ ） A. 20 B. 7 C. 洪崖洞 D. 鹅岭二厂或十八梯 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数，根据众数是指一组数据中出现次数最多的数据，进行判断即可. 【详解】解：由表格可知，去洪崖洞的人数最多，故众数为：洪崖洞； 故选C. 8. 如图，正方体金属块在竖直向上的拉力作用下，向上做匀速直线运动，上升到离水面一定高度．图2是拉力F与时间t的关系图．下列判断： ①金属块在上升过程中受到的拉力逐渐增大； ②当时，金属块受到的拉力为； ③金属块受到的浮力． 其中正确的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】金属块匀速直线运动，受力平衡，满足，结合拉力图像分段分析：：金属块完全浸没，浮力不变，拉力不变；：金属块逐渐露出水面，浮力减小，拉力增大；：金属块完全离开水面，浮力为0，拉力等于重力． 【详解】解：由图象可知，，拉力的大小不变，故①错误； ，拉力逐渐增大，每秒增大， ∴金属块受到的拉力， ∴当时，金属块受到的拉力为，故②正确； ③金属块完全出水，拉力等于重力，即， 匀速运动受力平衡：， 代入、， 得，故③正确， 综上，②③正确，正确个数为2． 9. 如图，中，，分别平分和，于点D，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的变形计算，作于点，作于点，根据角平分线的性质，得到，推出四边形为正方形，证明，设，由勾股定理，得：，根据完全平方公式的变形求出的值，即可得出结果． 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∵分别平分和， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴ ， ∴，即：， ∴的面积； 故选A． 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点，下列说法： ①若点P为“整点”且在第二象限，则点P的个数为5个； ②若点P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线上； ③若点P为“超整点”，则点P的个数为2个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数，结合新定义“整点”“超整点”，考查象限内点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，分式整除性质，只需逐个判断三个说法的正确性即可． 【详解】解：逐一判断三个说法： 对于①：∵点为整点且在第二象限， ∴， 解得 ∵为整点， ∴和均为整数，可得为整数， ∴的取值为，，，，，共个，即点的个数为个，故①正确； 对于②：把代入直线， 得：，与点的纵坐标相等， ∴所有满足条件的整点都在直线上，故②正确； 对于③：∵点为超整点， ∴， ∴， ∴， ∴为整数， ∵结果为整数， ∴为整数，点为整数 ∴为整数，即为整数 ∴是的整数因数 ∵的整数因数为，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，； ∴，共个符合条件的点，故③错误， 综上，正确的说法共个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数时，二次根式有意义，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 移项，得， 系数化为，得． 12. 古代三分损益相生律中，黄钟弦长为81，三分损一得到的林钟弦长为_____． 【答案】54 【解析】 【分析】本题先明确三分损一的含义，三分损一指将原弦长三等分，去掉其中一份，保留两份，再根据黄钟弦长列出算式计算即可得到结果． 【详解】由题意得，三分损一后弦长为原弦长的， 列式计算得：． 13. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得． 故答案为：7． 14. 已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26．经计算，该组数据的中位数是16，上四分位数是20，则________． 【答案】33 【解析】 【分析】根据中位数和上四分位数的定义列方程求出和，再计算即可． 【详解】解：该组数据共个数，中位数为16， 中位数是第个和第个数据的平均数，即， 解得， 解法一：上四分位数应为17，y，22，26这四个数的中位数，即， 解法二：∵上四分位数为分位数，， ∴上四分位数是第个和第个数据的平均数，即， 解得， ． 15. 如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】72 【解析】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为、（），先根据图1大正方形面积求出直角三角形的斜边长，根据小正方形面积得到两直角边的差值的平方，利用勾股定理得到的值，进而求出的值．分析图2中大正方形的边长与直角三角形两直角边的关系，可知其边长为，所以面积为，展开后代入已得的和的值即可计算． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、（），  图1中大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形面积满足：； 图1中小正方形的边长为，因此小正方形面积满足：， 展开得： ，  将代入上式，得， 解得． 图2中大正方形的边长为， 因此大正方形面积为： ． 16. 对于任意一个四位正整数m，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3．则称m 为“吉安数”，例如，∵，且，∴5320是“吉安数”．若一个正整数a是另外一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为_________ ；若m是“吉安数”，记 ，若是一个完全平方数，则满足条件的“吉安数”m的最大值为______ ． 【答案】 ①. 7643 ②. 9461 【解析】 【分析】根据“吉安数”的概念列方程，求出a的值，进而求出这个数，首先根据题意设，然后根据“吉安数”的概念求解判断即可． 【详解】解：一个“吉安数”为， ∴， ∴， 故这个数为7643； ∵是一个完全平方数， ∴设，x是正整数， ∴， ∵是四位正整数， ∴， ∴， 又∵是正整数， ∴的最大值为9， 当时，， ∵， ∴9461是一个“吉安数”， 故满足条件的“吉安数”m的最大值为9461． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、18题每小题8分，其余各题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 在学习了菱形的判定后，数学兴趣小组研究发现：作三角形的一条角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，中，平分，交于点D，用尺规作的垂直平分线与，分别交于点E，点F，与交于点O，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵平分， ∴①_____． ∵，且与交于点O， ∴． ∵， ∴． ∴②______． ∵平分， ∴． ∴四边形是③______． ∴四边形是菱形． 进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是④______． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③平行四边形；④正方形 【解析】 【分析】（1）分别以点B、D为圆心，大于的长度为半径画弧交于点M、N，连接分别交、于点E、F，交于点O，再连接、； （2）由角平分线的定义得，再由全等三角形的性质得，再根据菱形的判定得证，最后由正方形的判定得出结论． 【小问1详解】 解：如图，、即为所求； 分别以点B、D为圆心，大于的长度为半径画弧交于点M、N，连接分别交、于点E、F，交于点O，再连接、； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴①． ∵，且与交于点O， ∴． ∵， ∴． ∴②． ∵平分， ∴． ∴四边形是③平行四边形， ∴四边形是菱形． 进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是④正方形． 故答案为：①；②；③平行四边形；④正方形． 【点睛】本题考查尺规作图—作垂直平分线、菱形的判定、正方形的判定、角平分线的定理、全等三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 19. 如图，在中，点O是对角线，的交点，过点O且垂直于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）9． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，可知，证明，即可得到； （2）根据平行四边形的性质得到，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵在中，点O是对角线，的交点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20. 已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若． （1）求的度数； （2）求矩形纸片的面积． 【答案】（1）的度数为，的度数为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用矩形对边平行的性质，得到内错角相等，结合折叠前后对应角相等的性质，可推导的度数，再利用平角为的性质计算的度数． （2）先在直角三角形中，结合的度数与的长度，利用直角三角形的边角关系求出和的长度．然后根据折叠的性质得到对应边相等，可知与长度相等，再求出的长度，再根据矩形面积公式计算矩形的面积． 【小问1详解】 解：∵ 四边形是矩形， ∴，， ∴． 根据折叠性质，折叠前后对应角相等， ∴． ∴． 在中，． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． 由勾股定理得：​． 根据折叠性质，得， ∴． ∴矩形面积​． 21. 技术已广泛应用于各领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组邀请了200名使用者分别对甲、乙两款软件使用情况进行评分．成绩（用表示）均高于90分，分为五组：A：；B：；C：；D：；E：）．从这200人中随机抽取了20人的评分结果，进行整理、分析和描述．下面给出了部分信息： 抽取的使用者对甲款软件评分： 分数 92 94 95 97 98 99 100 人数 1 3 2 3 1 3 7 抽取的使用者对乙款软件评分在B等级的数据：97，97，98，98，98，98． 抽取的使用者对乙款软件评分统计图 抽取的使用者对甲、乙两款软件评分统计表 类型 平均数 众数 中位数 方差 甲 97.5 98.5 6.55 乙 97.5 99 5.38 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为哪款软件更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）估计这200人中，对两款软件的评分成绩为A等的人数分别是多少？ 【答案】（1）100，98，5 （2）见详解 （3）100人，80人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，众数、中位数的计算，读懂统计图，熟练掌握中位数的计算是解题的关键． （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数或方差的意义求解即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：甲款软件评分中100出现了7次，次数最多，由众数定义可知， 乙款软件评分中位数是第10个，第11个数据的平均数， A等级的人数为人， B等级从小到大排序为∶97，97，98，98，98，98第10个，第11个数分别为98，98， 根据中位数计算方法可得， B等级人数所占比例为， 则，即， 故答案为∶100，98，5． 【小问2详解】 解：甲、乙两款软件的平均数相同，而甲款软件的众数和中位数都大于乙款软件的众数和中位数， 则甲款软件更优． 【小问3详解】 解： (人)， (人)， 答∶对甲乙两款软件的评分成绩为A等的人数分别是100人，80人． 22. 为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点在点的正东方，点在点的正北方5千米处，点在点的正西方，点在点的北偏东45°方向，点在点的正南方千米处，点在点的南偏西方向．（结果精确到十分位，参考数据：，） （1）求的长度； （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【答案】（1）的长度约为千米 （2）小明应选择路线①，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键． （1）过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形即可； （2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 则四边形为矩形， 在中，， 答：的长度约为千米． 【小问2详解】 解：如图，在中，， 在中， ， 四边形为矩形， 路线①的长度为 路线②的长度为 小明应选择路线①． 23. 某商场为了抓住热销衬衫的契机，决定用235000元购进A、B、C三种品牌的衬衫共500件，并且购进的三种衬衫都不少于100件，设购进A种品牌的衬衫件，B种品牌的衬衫件，三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示． 型 号 A B C 进价（元／件） 400 550 500 售价（元／件） 500 800 650 （1）用含、的代数式表示购进C种品牌的衬衫的件数； （2）求与之间的函数关系式； （3）设所购进的这三种品牌的衬衫能全部卖出，且在购销该品牌衬衫的过程中需要另外支出各种费用共2000元． ① 求利润P（元）与（件）之间的函数关系式； ② 求最大利润，并写出此时购进三种品牌的衬衫各多少件． 【答案】（1）购进C种品牌的衬衫件数为：500-- （2） （3）①P=150+43000；②最大利润为77950元，此时购进A、B、C种品牌的衬衫分别为233件、166件、101件 【解析】 【分析】（1）根据购进A、B、C三种品牌的衬衫共500件，并且购进的三种衬衫都不少于100件，设购进A种品牌的衬衫x件，B种品牌的衬衫y件，即可得； （2）根据进价表格，利用用235000元购进A、B、C三种品牌的衬衫共500件，即可得； （3）①根据表格得出进价与售价进而得出每件利润，得出总利润即可得；②首先求出x的取值范围，利用一次函数的性质即可得． 【小问1详解】 解：购进C种品牌的衬衫件数为：． 【小问2详解】 解：由题意得：， 化简整理得：． 【小问3详解】 解：①， 又∵， 整理得：； ②购进C种品牌的衬衫件数为：， 根据题意列不等式组： 解得，，且为整数， ∴的最大值是233， ∵在中，＞0， ∴P随的增大而增大， ∴当取最大值233时，P有最大值为77950元．， 此时购进A、B、C种品牌的衬衫分别为233件、166件、101件． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式组的应用，解题的关键是掌握这些知识点． 24. 如图，直线： 与直线交于点直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点在直线上，且的面积为面积的2倍，求点的坐标； （3）点在轴上，点在上，且以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）D的坐标为或． （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，分点在点的左侧和右侧两种情况进行讨论求解即可； （3）设，分三种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：将代入可得：，即， 设直线的解析式为， 分别将，代入可得： ， 解得：， 即直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴， ∴，， ∵的面积为面积的2倍， ∴， 当点在点右侧时， 设， ∴， 解得：， 则， 即； 当点在左侧时， 设， ∴， 解得： 则， 即； 综上所述，D的坐标为或． 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴当为平行四边形的对角线时，，解得，不符合题意，舍去； 当为平行四边形的对角线时，，解得，故； 当为平行四边形的对角线时，，解得，不符合题意，舍去； 综上：. 25. 如图，正方形中，点为边上一动点，作交、分别于P、点，连． （1）若点E为的中点，求证：F点为的中点； （2）若点E为的中点，，，求的长； （3）若正方形边长为2，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：如图，四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点F为的中点； （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由，推出，由，，推出，即可证明F点为的中点； （2）延长到N，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题． （3）取的中点M，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当C、P、M共线时，的值最小，则可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长到N，使得，连接， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵E，F分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：取的中点M，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴C、P、M共线时，的值最小，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川区2025—2026学年下期期末教学质量监测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，的中点E，并步测出的长约为18，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. 18 B. 24 C. 27 D. 36 3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是(　　) A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 7，8，9 4. 正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两位同学准备参加学校科普大赛，如图是他们5次模拟测试成绩的折线统计图，成绩的方差分别记作和，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为4，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 五一节前，李老师通过举手方式了解全班同学最想去的网红景点，统计结果如下表： 景点 李子坝轻轨站 洪崖洞 鹅岭二厂 十八梯 人数/个 12 20 7 7 根据以上信息，本次调查的景点中众数是（ ） A. 20 B. 7 C. 洪崖洞 D. 鹅岭二厂或十八梯 8. 如图，正方体金属块在竖直向上的拉力作用下，向上做匀速直线运动，上升到离水面一定高度．图2是拉力F与时间t的关系图．下列判断： ①金属块在上升过程中受到的拉力逐渐增大； ②当时，金属块受到的拉力为； ③金属块受到的浮力． 其中正确的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，中，，分别平分和，于点D，若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点，下列说法： ①若点P为“整点”且在第二象限，则点P的个数为5个； ②若点P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线上； ③若点P为“超整点”，则点P的个数为2个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 12. 古代三分损益相生律中，黄钟弦长为81，三分损一得到的林钟弦长为_____． 13. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是_____． 14. 已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26．经计算，该组数据的中位数是16，上四分位数是20，则________． 15. 如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 16. 对于任意一个四位正整数m，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3．则称m 为“吉安数”，例如，∵，且，∴5320是“吉安数”．若一个正整数a是另外一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为_________ ；若m是“吉安数”，记 ，若是一个完全平方数，则满足条件的“吉安数”m的最大值为______ ． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、18题每小题8分，其余各题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在学习了菱形的判定后，数学兴趣小组研究发现：作三角形的一条角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，中，平分，交于点D，用尺规作的垂直平分线与，分别交于点E，点F，与交于点O，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵平分， ∴①_____． ∵，且与交于点O， ∴． ∵， ∴． ∴②______． ∵平分， ∴． ∴四边形是③______． ∴四边形是菱形． 进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是④______． 19. 如图，在中，点O是对角线，的交点，过点O且垂直于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若． （1）求的度数； （2）求矩形纸片的面积． 21. 技术已广泛应用于各领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组邀请了200名使用者分别对甲、乙两款软件使用情况进行评分．成绩（用表示）均高于90分，分为五组：A：；B：；C：；D：；E：）．从这200人中随机抽取了20人的评分结果，进行整理、分析和描述．下面给出了部分信息： 抽取的使用者对甲款软件评分： 分数 92 94 95 97 98 99 100 人数 1 3 2 3 1 3 7 抽取的使用者对乙款软件评分在B等级的数据：97，97，98，98，98，98． 抽取的使用者对乙款软件评分统计图 抽取的使用者对甲、乙两款软件评分统计表 类型 平均数 众数 中位数 方差 甲 97.5 98.5 6.55 乙 97.5 99 5.38 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为哪款软件更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）估计这200人中，对两款软件的评分成绩为A等的人数分别是多少？ 22. 为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点在点的正东方，点在点的正北方5千米处，点在点的正西方，点在点的北偏东45°方向，点在点的正南方千米处，点在点的南偏西方向．（结果精确到十分位，参考数据：，） （1）求的长度； （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 23. 某商场为了抓住热销衬衫的契机，决定用235000元购进A、B、C三种品牌的衬衫共500件，并且购进的三种衬衫都不少于100件，设购进A种品牌的衬衫件，B种品牌的衬衫件，三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示． 型 号 A B C 进价（元／件） 400 550 500 售价（元／件） 500 800 650 （1）用含、的代数式表示购进C种品牌的衬衫的件数； （2）求与之间的函数关系式； （3）设所购进的这三种品牌的衬衫能全部卖出，且在购销该品牌衬衫的过程中需要另外支出各种费用共2000元． ① 求利润P（元）与（件）之间的函数关系式； ② 求最大利润，并写出此时购进三种品牌的衬衫各多少件． 24. 如图，直线： 与直线交于点直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点在直线上，且的面积为面积的2倍，求点的坐标； （3）点在轴上，点在上，且以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 25. 如图，正方形中，点为边上一动点，作交、分别于P、点，连． （1）若点E为的中点，求证：F点为的中点； （2）若点E为的中点，，，求的长； （3）若正方形边长为2，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $