山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高二下学期第三次段测数学试题

2025-2026学年下学期高二年级第三次段测 数学学科试题 2026.06 班级：_____________姓名：_____________考号：_____________ 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1．下列求导运算正确的是 A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，，则（ ） A．36 B．27 C．45 D．72 3．若的展开式的各项系数和为64，则的值为（ ） A．-1 B．-2 C．2 D．1 4．某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门．已知选报数学建模的学生占比60%，选报物理实验的学生占比70%．现在等可能的从该校选取一名学生，设事件为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是（ ） A． B．与不互斥 C． D．与相互独立 5．已知数列满足，，则的前7项和为（ ）． A． B． C． D． 6．甲、乙、丙、丁4位同学进行数学建模竞赛（无并列名次），赛后甲、乙预估自己成绩，甲说：“我不可能得到冠军”，乙说：“我应该不会是最差的”，假如两人都猜对了，那么乙得冠军的概率为（ ） A． B． C． D． 7．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现，两位同学各有3张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好5局时游戏终止的概率是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．设数列的前项和为，，则下列说法正确的是（ ） A．是等差数列 B．，，成等差数列，公差为-9 C．当或时，取得最大值 D．时，的最大值为32 10．下列说法正确的是（ ） A．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变． B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为65 D．对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 11．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的最小值为 B．函数有2个极值点 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．的展开式中常数项为________．（有数字填写答案） 13．设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 14．已知函数，，若，则的最小值为________，若在上为单调函数，则的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）设等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．（15分）设函数，，曲线在点处的切线方程为 （1）求，的值： （2）求函数的极值． 17．（15分）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响． （1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列； （3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差． 18．（17分）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若对任意，，求的取值范围； （3）证明：对任意，． 19．（17分）一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球．从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中．重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为． （1）求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $(立乙#)亚↓些斗旺常去语 爹要因*及出量交日量R画番出时套习■段田目■老孕静 狮主常显6再百围项继销日■甲图”号计中所☒日切目日号丑睡 生影县6剪习名U留到量甲m“以高习避县细目图号#坠 薹 篓 ■ 清在各尽日的谷题区域内作谷，每由服色矩用边凰佩定区螺的普察无效 在各县目的县区复内作年，出见边题风定区城的乏效 2025-2026学年下学期高二年级第三次段测 15.(13分) 16.(15分) 得 分 数学学科试题答题卡 2026.06 准考证 注意事项 弯生答圆前、在规定的地方准 [O][O)[0][O][O][O)[0 [0[O] 确填写考号和姓名。 四 2、 选择圆作答时，须用2B铅龟填 2I22IEL2I包2I2) 涂，如对答案进行修政，用棉 330e83003 A[④I4)A 皮轻擦干冲，注意不要报破答 )囹))II) 愿程， ggg(回 3、 在答题鲁对应圆号指定的容题 ☒U☑☑☑四可☑ 区域内答题，切不可超出黑色 图8)⑧周⑧周8)88)8 边柩，超出展色边福的答案无 ])][)][ 效 选弃题（请用2B铅笔填涂，单选每题5分，多选每题6分，共58分） 1、[AJ[B][C][D] 5、[AJ[IcJD] 9、IA][Ic]ID] 2、IA][)Ic][D] 6、IAJI)Ic]ID] 10、【A][8)[c][D] 3、[A]IBIc]ID1 7、IA][BIc]ID] 11、【A][B[C][D] 4、[A][B]IC]ID] 8、IAJ[)IC]ID] 填空题.【每题5分】(15分) 得 分 ■ ■ 左各日的区内作出色形边定区的答无 在各因日的容区域内作，团出国矩边限定区城的案无 镇在各则目的容因区做内作容，知出■矩形边风定区城的容塞无效 17.(15分) 18.(17分) 袋 19.(17分) 得 ■ 分 分 分 ■ 通在各息目的苦是区饭内作香，团出居合矩形边低限定区城的苍餐无效 谓在各目目的答因区域内作者，园白鼠色师形边祖限定区城的答高无效 请在各眉目的各酒区城内作容、鱼出■白矩形边温限定区碱的器案无效 处手各题卡第2真（共2页） 2025-2026学年下学期高二年级第三次段测 数学试题答案 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．AC 10．BC 11．ABD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．16 13．9 14．1 四、解答题 15【详解】（1）设等差数列的公差为． 由题意可得，解得，，则． （2）由（1）可知，则， 故 ． 16．【详解】（1）因为， 所以， ，， ∵切线过点，，由导数的几何意义可知，斜率，． （2）由（1）知，，可得， ， 令，则，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而可知是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为．所以函数的极大值为，极小值为． 17．【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）分布列见解析， 【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件，则． （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人）， 其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3． ，，，， 的分布列为： 0 1 2 3 ． （3）由题意得，， 的分布列为： Y 0 1 2 3 ． 18．【详解】（1）函数的定义域为，． 当时恒成立，函数在上单调递增， 当时，令得， 则当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）法1：当时，对任意，，等价于当时，对任意成立， 令，，则小于的最小值或下确界， ，， 则对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 又函数在时函数图象是连续的，且， 所以对任意恒成立，所以对任意恒成立， 所以函数在上单调递增． 因为，所以． 法2：设，，则，， 若，则，故存在，使得，， 故在上为减函数，故恒成立， 故在上恒成立，与题设矛盾； 若，设，则，故在上为增函数，故， 故在上为增函数，故， 故在上恒成立，故． （3）左边是首项为、公比为的等比数列前项和，即 右边是裂项求和结果． 由（2）结论，时对任意有， 令得变形得， 对累加得，即原不等式得证． 19．【详解】（1）设“恰好2次操作后盒子中球的颜色全部相同”为事件， 根据操作的规定，事件A发生即“恰好2次操作后盒子中5个球的颜色都为黑色”，2次操作，其中1次取出1红1黑，另一次取出2红， 所以； （2）操作2次后，的可能取值为2，3，4，5， ，， ，， 所以的分布列为 2 3 4 5 （3）记执行上述操作次后，盒子中黑球的个数为， 设，， 则，， 则， ， ， ， 所以 ， 所以， 又， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $