精品解析：山东烟台市2025-2026学年高二下学期期末自主练习数学试题

2025~2026学年度第二学期期末自主练习 高二数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】不等式解得或， 时一定有，而时不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2. 已知集合，若且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 由，得， 由，得， 所以． 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，所以. ，，过点， 所以切线方程为. 4. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数.已知火箭的燃料占比为时，火箭的最大速度为，若使火箭的最大速度为，则此时火箭的燃料占比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，即， 当火箭的最大速度为时，， 故此时火箭的燃料占比为. 5. 若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象确定与的符号区间，结合与同号即可求解. 【详解】由的图象可知，当时，；当时，；当或时，； 当时，；当时，；当或时，； 若不等式，则与同号，分情况讨论： ①当且时，交集为； ②当且时，交集为； 因此，不等式的解集为，故D正确. 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性和对数换底公式化简比较求解. 【详解】当时，在上单调递增， 在上单调递减，所以，即， 因为， ，所以. 7. 已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数及指数函数单调性得出两段函数的单调性，根据分段函数存在最小值建立不等式，解不等式即可得结论. 【详解】由题意， 令，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 令，，在上单调递减，且值域为， 分段函数存在最小值，则 ，所以. 综上，实数的取值范围为. 8. 已知函数的最大值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. e 【答案】B 【解析】 【分析】通过最大值求出与间的关系式并构造新函数，利用单调性求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 若，则恒成立，无最大值. ，令，解得，所以在单调递增，在单调递减， 所以. 那么. ，解得，所以在单调递减，单调递增， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 若，则 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据偶函数定义判定A正确，再将绝对值函数分段讨论单调性，得出先减后增否定B，解绝对值不等式得到解集否定C，利用上函数单调递增，结合时证明D正确． 【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，A正确； 对于B， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上是先减后增，B错误； 对于C，由，得，解得，C错误； 对于D，当时，，， 因为在上单调递增，且， 所以，D正确． 10. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，令即可判断A；令即可判断B；先令求出，再分别令和令即可判断C；由可判断的周期是，求出一个周期的和即可求解. 【详解】已知定义在上的函数满足，且， 对于A，令，则，即，由于，解得，故A错误； 对于B，已知，令，则，化简得，即， 对任意，都可以令，则，故B正确； 对于C，已知，，令，则，化简得，解得， 再令，则，化简得，变形得， 再令，则，化简得，所以是一个偶函数， 结合，可得，所以，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，已知，进一步可得，所以的周期是， 已知，，，， 所以每个周期内和为， 前项可拆分为个完整周期加剩余项， 所以，故D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 若是奇函数，则 B. 当时，函数的图象关于点对称 C. 若函数有两个极值点，则或 D. 若对任意实数，以为边长总能构成三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用奇函数的特殊点，直接计算参数，验证即可； 选项B，利用函数对称性时，函数关于点对称； 选项C，函数有两个极值点，所以时有两个不相等的实数根； 选项D，，讨论与1的关系，由三角形成立条件通过极端值逼近决定的范围. 【详解】选项A，因为是奇函数， 所以，解得， 当时，，函数的定义域为， ，函数为奇函数，选项A正确； 选项B，当时，， ， 所以函数的图象关于点对称，选项B正确； 选项C，令， 所以函数有两个极值点等价于有两个不相等的异号零点， 因为，令得，， 令，即， 所以有两个不相同的正实数根， 所以，解得或， 且，，所以， 所以有两个不相同的正实数根时， 即函数有两个极值点时，选项C错误； 选项D，， 令， 当，，，能构成三角形； 当时，单调递增，所以单调递减， ，由三角形三边关系有 ，所以； 当时，， ，任意的使得， 当时，， ，不满足成立条件，所以； 当时，单调递减，， ，， 所以，即； 当时，， 不满足成立条件， 综上所述，，选项D正确. 【点睛】全面考查函数的性质，由函数奇偶性计算参数的值，函数对称中心条件，由函数极值点转化导数为零时的解的问题，通过函数单调性决定交点个数求参数范围，同时，根据三角形成立条件，利用逼近思想确定参数的取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数满足，且，则的值为___________. 【答案】18 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，则， 由，得，联立解得或， 因此或，所以. 13. 已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，作出函数的部分图象，数形结合求出范围. 【详解】当时，， 当时，，， 当时，，，当时，， 由，得，由函数有4个不同的零点， 得直线与函数的图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图： 观察图象知，当且仅当时，直线与函数的图象有4个交点， 所以实数的取值范围为. 14. 定义个元素构成的实数集的相伴数集，若中所有元素的最小值为1，则称为元规范数集.若集合为4元规范数集，则的取值范围为___________；若为6元规范数集，则中所有元素的绝对值之和的最小值为___________. 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】（1）根据元规范数集的定义列不等式求解； （2）由为6元规范数集，得中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1， 设中所有元素从小到大依次为：，再根据绝对值不等式求解即可. 【详解】（1）集合为4元规范数集， 中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1， 所以解得取交集得. （2）设中所有元素从小到大依次为：， 若为6元规范数集，则中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1， 即有，所以， ， ， ， 当时，， 所以中所有元素的绝对值之和的最小值为9. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小值； （2）若对，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【详解】（1）因为，所以， 令，即，解得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，取得最小值，即最小值为. （2）因为，使得，即. 由（1）知，，所以在上有解， 当时，函数在上单调递增，所以，不合题意. 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 则，解得或，又因为，所以实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）当时，求过点且与曲线相切的直线的方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）先利用导数写出切线斜率，再利用斜率坐标公式建立方程，求出切点，最后代入点斜式即可写出方程； （2）先求导分解因式，再根据的正负，比较两根2和的大小，分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，所以. 设切点为，则， 即，解得， 所以，又， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为函数的定义域为， 且 当时，由，得，在上单调递增， ，得，在上单调递减； 当时，因为， 当时，，在上单调递减； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 17. 一小微企业生产某种产品.经验表明，当该产品每件的售价为元时，日销售量为（单位：千件），且.已知当售价为2元/件时，日销售量为8千件；当售价为6元/件时，日销售量为2.5千件. （1）求的值； （2）假设每件产品的成本为1元，求为何值时，日利润最大？并求出最大日利润. 【答案】（1）， （2），千元 【解析】 【分析】（1）代入已知数据可求得参数值； （2）求出利润函数，然后利用导数求得最大值. 【小问1详解】 由题知，，即，解得. ，即，解得. 【小问2详解】 设日利润为，则. 由（1）知，当时，，， 所以当和时，单调递增当时，单调递减，又， 所以，当时，的最大值为12. 当时，， 因为，当且仅当时，等号成立，故. 综上，当时，日利润的最大值为千元. 18. 已知函数. （1）若在区间上单调递减，求的取值范围； （2）已知函数存在极值点. （i）证明：； （ii）当时，证明：函数在上存在唯一零点，且. 【答案】（1） （2）（i）对求导得， 当时，，在上单调递减，无极值点，不合题意. 当时，令，则. 由（1）知，，则对任意恒成立， 则在单调递增， 且当，，当，， 所以当时，存在，使得. 即当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值点. 又， 令，则， 令，得，故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即； （ii）由（i）知，当时，，故，且. 因为在上单调递增，，所以在上无零点. 又在上单调递减，且当时，， 故函数在上存在唯一零点. 因为在上单调递减，故要证， 只需证，只需证 因为， 令，则且， 故， 令， 则， 令，则， 因为，故，在上单调递减， 故，即， 故在上单调递减，所以. 又因为，所以，结论得证. 【解析】 【分析】（1）将函数单调递减转化为导数恒小于0，分离参数后构造函数，求新函数的最值，即可得到的取值范围； （2）（i）先分析导数符号，判断只有才存在极值点，利用极值条件把替换掉，代入构造新函数，求导求出最小值为0，即可证出 （ii）先结合单调性和函数取值证明零点唯一，再利用函数单调递减把不等式进行转化，换元构造函数，逐层求导判定函数值小于0，即可证明结论. 【小问1详解】 由题知，， 若函数在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则，所以在上单调递增， 所以.所以. 【小问2详解】 （i）略； （ii）略 19. 已知函数及其导函数的定义域均为，对，定义集合. （1）设，求； （2）对，定义集合，证明：“对，有”是“为偶函数”的必要条件； （3）设，若对且，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）因为为偶函数，所以，两边求导得. 下证：对，有. 对，当时，有，即， 又，所以，所以， 即. 当时，有，即， 又，所以，所以， 即. 所以.命题得证. （3） 【解析】 【分析】（1）由定义得，求出，，列出的不等式组求出的范围，从而得到． （2）必要性：由为偶函数得到，求导得到，从而得到函数是奇函数，由得到，即，故必要性成立； （3）由对任意且，都有，设，求出，由得到对恒成立，即恒成立，构造函数，求出，利用导数求出的单调性，利用单调性画出大致图像，求出，分别讨论求解得到的范围，从而得到实数的取值范围． 【小问1详解】 由题知，函数的定义域为. 因为，故. 由，即， 解得或.所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若且，都有， 所以， 所以， 即在上是非减函数，即在上恒成立. 因为，所以， 所以在上恒成立. 令. 当时，在上恒成立，满足题意. 当时，令，解得， 所以，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，解得. 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，不合题意. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末自主练习 高二数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，若且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数.已知火箭的燃料占比为时，火箭的最大速度为，若使火箭的最大速度为，则此时火箭的燃料占比为（ ） A. B. C. D. 5. 若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最大值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 若，则 D. 当时， 10. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 若是奇函数，则 B. 当时，函数的图象关于点对称 C. 若函数有两个极值点，则或 D. 若对任意实数，以为边长总能构成三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数满足，且，则的值为___________. 13. 已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围为___________. 14. 定义个元素构成的实数集的相伴数集，若中所有元素的最小值为1，则称为元规范数集.若集合为4元规范数集，则的取值范围为___________；若为6元规范数集，则中所有元素的绝对值之和的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小值； （2）若对，，使得，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，求过点且与曲线相切的直线的方程； （2）讨论的单调性. 17. 一小微企业生产某种产品.经验表明，当该产品每件的售价为元时，日销售量为（单位：千件），且.已知当售价为2元/件时，日销售量为8千件；当售价为6元/件时，日销售量为2.5千件. （1）求的值； （2）假设每件产品的成本为1元，求为何值时，日利润最大？并求出最大日利润. 18. 已知函数. （1）若在区间上单调递减，求的取值范围； （2）已知函数存在极值点. （i）证明：； （ii）当时，证明：函数在上存在唯一零点，且. 19. 已知函数及其导函数的定义域均为，对，定义集合. （1）设，求； （2）对，定义集合，证明：“对，有”是“为偶函数”的必要条件； （3）设，若对且，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $