山东潍坊市2025-2026学年高二数学下学期期末考试自编模拟卷（四）

**基本信息** 聚焦数列、导数、概率统计核心内容，通过姜撞奶建模、手机近视概率等真实情境题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，适配高二期末及一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|数列基本量（第2题）、概率计算（第3、4题）|基础巩固，梯度合理| |多选|3/18|数学建模（第9题）、导数应用（第11题）|多维度考查，区分度高| |填空|3/15|独立事件概率（第12题）、切线方程（第13题）|针对性补弱，强化细节| |解答|5/77|数列与导数综合（15、19题）、概率统计应用（16、18题）|注重逻辑推理与数学建模，贴合高考命题趋势|

潍坊市高二下学期期末考试数学模拟试题（四） 考试范围：人教B版选择性必修第三册第五章数列、第六章导数及其应用，一轮复习概率统计 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列为等差数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 3．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩，且，若按分层抽样的方式取份试卷进行成绩分析，则应从分以上的试卷中抽取（    ） A．份 B．份 C．份 D．份 4．某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 5．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过小时的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足且，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 8．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．某学校数学兴趣小组在＂探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况＂的数学建模活动中，将时间（分钟）与温度（摄氏度）的关系用模型（其中e为自然对数的底数）拟合．设，变换后得到一组数据： 2 2.5 3 3.5 4 4.04 4.01 3.98 t 3.91 由上表可得线性回归方程，则（   ） A．样本数据的下四分位数为2.5 B． C．当时，残差为0.01 D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D．今天是星期二，天后是星期三 11．下列命题正确的是（ ） A．已知函数满足：，且，则 B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点 C．已知，则 D．直线上的点到曲线距离的最小值为 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．，是两个相互独立的随机事件，且，，则______． 13．设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为__________. 14．若正项整数数列满足，，已知，则的所有可能取值的和为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记为等比数列的前n项和，已知公比，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求，并判断，，是否成等差数列，说明理由． 16．（15分） 某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1） (3)估计这次数学竞赛中63分以上的人数． 17．（15分） 已知等差数列的前项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 18．（17分） 已知甲盒有个红球和个黄球，乙盒有个红球和个黄球，，，小球除颜色外大小质地完全相同. (1)若，小王从甲盒中任取个球，再从乙盒中任取个球，记小王取出红球的个数为. （i）求； （ii）求的分布列和数学期望； (2)若，小王从甲盒中有放回地连续取出个球，再从乙盒中有放回地连续取出个球.设小王恰好取出个红球的概率为，求的最大值. 19．（17分） 已知； (1)讨论的单调性； (2)若，且； （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 潍坊市高二下学期期末考试数学模拟试题（四） 考试范围：人教B版选择性必修第三册第五章数列、第六章导数及其应用，一轮复习概率统计 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 2．已知数列为等差数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【解析】在等差数列中，由，解得. 3．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩，且，若按分层抽样的方式取份试卷进行成绩分析，则应从分以上的试卷中抽取（    ） A．份 B．份 C．份 D．份 【答案】B 【解析】∵ 数学成绩服从正态分布，∴ 正态分布曲线关于直线对称. ∵ ，∴ . ∴ . ∴ 按分层抽样抽取份试卷时，应从分以上的试卷中抽取份. 4．某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 【答案】C 【解析】先选重复数字，有10种；再选重复数字所在的两个位置，有种． 剩下两个位置填两个不同数字，且不能等于重复数字，因此从其余9个数字中有序选2个，有种． 所以总数为． 5．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，求导得. 由在上单调递增，得对任意恒成立，整理得. 设，，求导得，故在上单调递增. 因此，要使在上恒成立，需. 6．长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过小时的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设某校学生近视为事件，玩手机超过1小时为事件，由题设可得，，. 则从每天玩手机不超过小时的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为. 则由全概率公式：. 7．已知定义在上的函数满足且，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：构造函数， 则， 因为定义在上的函数满足，所以， 所以在上单调递增，且， 所以不等式可化为，即，所以， 即不等式的解集为. 故选：D. 8．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分， 符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、 甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率； 情况二：甲赢4局，乙赢2局， 从6局中选4局甲赢，有种， 其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、 乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种， 则符合题意的获胜情况有9种，此时概率； 情况三：甲赢5局，乙赢1局， 符合题意的情况有种，此时概率； 情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率； 综上，概率． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．某学校数学兴趣小组在＂探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况＂的数学建模活动中，将时间（分钟）与温度（摄氏度）的关系用模型（其中e为自然对数的底数）拟合．设，变换后得到一组数据： 2 2.5 3 3.5 4 4.04 4.01 3.98 t 3.91 由上表可得线性回归方程，则（   ） A．样本数据的下四分位数为2.5 B． C．当时，残差为0.01 D． 【答案】ABD 【解析】对于A选项，样本取值按从小到大排列为：，，，，共有5个数据， 则其下四分位数的位置计算为，则取第二个数据，即2.5，故A正确； 对于B选项，，则， 则，解得，故B正确； 对于C选项，当时，的实际观测值为，代入回归方程得， 所以对应残差为，故C错误； 对于D选项，对原指数模型两边同时取自然对数：，可得， 和已知线性回归方程对比，可得，两边取指数得，故D正确. 10．已知，则（    ） A． B． C． D．今天是星期二，天后是星期三 【答案】AC 【解析】令，则. 所以. 由二项式定理可得展开式的通项，且. 对于A，，故A正确； 对于B，令，得. 令得 所以，即，故B错误； 对于C，对两边取导数， 得. 令，得，故C正确； 对于D， . 因为(，，)， 所以除以7的余数为2.今天是星期二，天后是星期四，故错误. 11．下列命题正确的是（ ） A．已知函数满足：，且，则 B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点 C．已知，则 D．直线上的点到曲线距离的最小值为 【答案】ABC 【解析】对于A，由于，两边求导，得， 令，分别得，， 由，可得，所以，故选项A正确；        对于B，函数的切线与函数的图象可以有两个公共点， 例如函数，在处的切线为，该切线与函数的图象还有一个公共点，故选项B正确； 对于C，，故， 所以， ，故选项C正确； 对于D，由函数 得， 令，解得，则，， 所以函数在处的切线方程为，即， 又由直线与之间的距离为， 即直线上的点到曲线距离的最小值为，所以D错误. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．，是两个相互独立的随机事件，且，，则______． 【答案】0.8 【解析】，是两个相互独立的随机事件，且，，则 13．设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】因为，所以， 直线的斜率为， 由题意可得，解得. 故答案为：. 14．若正项整数数列满足，，已知，则的所有可能取值的和为________． 【答案】24 【解析】因为， 当时，，解得， 当时，，解得或， 当时，，解得或或， 则的所有可能取值的和为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记为等比数列的前n项和，已知公比，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求，并判断，，是否成等差数列，说明理由． 【答案】(1) (2)；，，成等差数列，理由见解析 【解析】（1）由题意得，，，………2分 整理得，解之得或2． 因为公比，所以．………………………………………………………5分 由等比数列通项公式可得．…………………………………………………7分 （2）由等比数列的前n项和公式及（1）得．……9分 所以，又，，…………11分 因此，所以，，成等差数列．……………………13分 16．（15分） 某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1） (3)估计这次数学竞赛中63分以上的人数． 【答案】(1) (2)估计中位数为77.1，平均数为76.5 (3)855人 【解析】（1）由题意得，解得；…………4分 （2）由（1）得成绩落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为， 因为，所以中位数落在上，………………6分 则可估计中位数为，……………………………………8分 平均数为；……………………10分 （3）设为63分以上的频率，为63分以上的人数， 则，所以，………………14分 故63分以上的人数估计为855人．……………………………………………………15分 17．（15分） 已知等差数列的前项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由数列为等差数列，设首项为，公差为， 又对恒成立，所以有， 联立， 即， 解得 ………………3分 所以 ， 故数列的通项公式为．…………………………………………5分 （2）由， 则， ………………………………………………7分 所以， ，……………………………………10分 两式相减得：， ……………………………………………………………………………………………14分 所以．………………………………………………………………15分 18．（17分） 已知甲盒有个红球和个黄球，乙盒有个红球和个黄球，，，小球除颜色外大小质地完全相同. (1)若，小王从甲盒中任取个球，再从乙盒中任取个球，记小王取出红球的个数为. （i）求； （ii）求的分布列和数学期望； (2)若，小王从甲盒中有放回地连续取出个球，再从乙盒中有放回地连续取出个球.设小王恰好取出个红球的概率为，求的最大值. 【答案】(1)（i）； （ii） (2) 【解析】（1）当时，甲盒有2个红球和个黄球，乙盒有2个红球和个黄球. （i）甲盒取个红球，乙盒取个红球的概率为， 甲盒取个红球，乙盒取个红球的概率为， 故．………………………………………………4分 （ii）可取，，，，．…………………………………………………5分 ， ， ， ， ，………………………………………………8分 所以分布列为 .………………………………10分 （2）甲盒取个红球，乙盒取个红球的概率为， 甲盒取个红球，乙盒取个红球的概率为， ，12分 令，. 所以，………………………………………………………………13分 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减.……………………………………………15分 所以.………………………………………………16分 即当，时，的最大值为．…………………………………………17分 19．（17分） 已知； (1)讨论的单调性； (2)若，且； （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）求证：． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)（Ⅰ）或 （Ⅱ）略 【解析】（1）的定义域为，，……1分 当时，，在上单调递增；……………………………………3分 当时，令，即，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，……………………………………5分 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增.…………………………6分 （2）（Ⅰ）由（1）得，当时，单调递增，不可能有两个零点． 所以，此时……………………8分 又或时，，所以只需即可， 即，解得或.…………………………………………10分 （Ⅱ）要证：，只要证， 显然，所以，………………………………………………11分 又在单调递增，所以只要证，………………12分 因为，即证， 因为，所以只要证对恒成立即可．……13分 ， 因为时，所以恒成立， 当时，恒成立，在单调递减， 而，所以对恒成立，……………………16分 即成立．……………………………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $