山东省潍坊市2025-2026学年高二下学期数学期末考试自编模拟卷（五）

**基本信息** 以数列、导数、概率统计为核心，融合AI技术应用、智能家电市场等现实情境，通过谢尔宾斯基地毯、杨辉三角等经典模型，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|函数导数、数列、概率|第8题以谢尔宾斯基地毯构建数列模型，培养数学眼光| |多选题|3/18|杨辉三角、概率事件、函数性质|第9题结合杨辉三角考查二项式系数性质，体现文化传承| |填空题|3/15|回归分析、二项式定理、切线问题|第14题跨曲线切线问题，提升数学思维的综合性| |解答题|5/77|独立性检验、数列求和、概率分布、回归分析、导数应用|第15题AI技术使用调查，融合独立性检验与分布列，强化数据观念；第18题智能家电市场规模分析，通过回归模型培养应用意识|

潍坊市高二下学期期末考试数学模拟试题（五） 考试范围：人教B版选择性必修第三册第五章数列、第六章导数及其应用，一轮复习概率统计 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知函数 ,则 的值为 ( ) A. -18 B. -16 C. 10 D. 20 2. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( ) A. 162 B. 243 C. 384 D. 512 3. 已知函数 ，则 的单调增区间为( ) A. B. C. D. 4. 已知等差数列 的前 项和分别为 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 5. 某校 6 个社团进行作品展示, 其中体育类 2 个、绘画类 1 个、演讲类 1 个、科技制作类 2 个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有( ) A. 432 种 B. 144 种 C. 96 种 D. 48 种 6. 若随机变量 ,随机变量 且 , 则 ( ) A. B. C. 2 D. 4 7. 已知函数 ，若 在区间 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 如图所示的一系列正方形图案称为 “谢尔宾斯基地毯”，在 4 个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列 的前 4 项,则下列结论正确的为( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 如图, “杨辉三角” 是二项式系数在三角形中的一种几何排列, 在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中就有出现, 则下列关于 “杨辉三角” 的性质中正确的是( ) 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 A. B. 第 8 行所有数字之和为 256 C. D. 记第 20,21 行数字的最大值分别为 ,则 10. 某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可以从中选择一类或者两类课程进行学习. 设事件 “甲选了两类课程”, “甲选了自然科学类课程”, 则 ( ) A. B. C. D. 与 相互独立 11. 设函数 ,给定下列命题,则下列选项正确的是 ( ) A. 函数 的最小值为 B. 不等式 的解集为 C. 函数 在 单调递增,在 单调递减 D. 若 恒成立，则实数 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知变量 满足线性相关关系,经验回归方程为 且 . 现有一对观测数据为 ，若该数据的残差为 0.6，则 _____. 13. 在 的展开式中，常数项等于_____. (用数字作答) 14. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 _____ 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 近几年来，人工智能(简称 )逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用,某校随机抽查了 100 名教师,调查他们使用 技术与年龄的情况,收集整理数据后得到如右列联表. 年龄 使用 技术情况 合计 经常使用 不经常使用 超过 40 周岁 20 30 50 不超过 40 周岁 40 10 50 合计 60 40 100 (1)依据小概率值 的独立性检验，分析是否经常使用 技术与年龄有无关联? (2)现从样本中经常使用 技术的教师中，按是否超过 40 岁分层，利用分层随机抽样的方法抽取 6 人进行调查, 并从被抽取的 6 人中随机抽取 3 人进行长期跟踪研究, 记这 3 人中年龄不超过 40 周岁的教师人数为 ，求 的分布列和数学期望. 参考公式: ,其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. （15分） 已知 . (1)若 ，求 的值； (2)若 ，求数列 的前 项和 . (3)若随机变量 满足 ，求数学期望 . 17. (15 分) 一个盒子里装有大小相同且质地均匀的 6 个小球,编号分别为1,2,3,4,5, 6. 甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回. 若两球编号之和是 3 的倍数, 则由这个人继续摸球; 否则, 由另一人开始摸球. (1)求在一次摸球后，摸出两球编号之和是 3 的倍数的概率； (2)假设第一次是甲摸球，在前 4 次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量 ，求随机变量 的分布列和期望; 18. (17分) 随着居民生活水平提升、消费观念转变以及技术不断革新, 智能小家电市场前景广阔, 记 2021~2025 年的年份代码分别为 1~5，下表为 2021~2025 年中国智能小家电市场规模 y (单位: 千亿元). 年份代码 x 1 2 3 4 5 市场规模 1.7 1.8 1.9 2.2 2.4 (1)从这 5 年中国智能小家电市场规模中的数据中任取 3 个，记取到的数据小于这 5 个数据平均数的个数为 ,求 的分布列及方差; (2)(i)根据表中数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合 与 的关系； (ii) 求出 关于 的经验回归方程. 附:① 样本相关系数 ②经验回归方程 中斜率的最小二乘估计公式为 . 19.(17分) 已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，不等式在上能成立，求整数的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 潍坊市高二下学期期末考试数学模拟试题（五） 考试范围：人教B版选择性必修第三册第五章数列、第六章导数及其应用，一轮复习概率统计 考试时间：120分钟，满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知函数 ,则 的值为 ( ) A. -18 B. -16 C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 , , 所以 . 2. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( ) A. 162 B. 243 C. 384 D. 512 【答案】C 【解析】因为 ,即 ,所以 ,可得数列 为等比数列, 首项为 ,公比 ,所以 ,所以 3. 已知函数 ，则 的单调增区间为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，令 得 ，故单调增区间为 。 4. 已知等差数列 的前 项和分别为 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由等差数列性质，，代入 。 5. 某校 6 个社团进行作品展示, 其中体育类 2 个、绘画类 1 个、演讲类 1 个、科技制作类 2 个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有( ) A. 432 种 B. 144 种 C. 96 种 D. 48 种 【答案】B 【解析】将 2 个体育类作品捆绑，共 种排法，其他作品任意排列，共有 种不同的展示方法. 将 2 个体育类作品捆绑，有 种排法，将绘画类与演讲类作品捆绑，有 种排法，其他作品任意排列，此时共有 种不同展示方法，所以体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻的展示方法有 (种). 6. 若随机变量 ,随机变量 且 , 则 ( ) A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】由题意得, , 因为 ,所以 ,则 ,则 7. 已知函数 ，若 在区间 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 ,则 , 又 在区间 上存在单调递增区间,则存在 ,使得 ,即 , 即 成立,令 ,则 ,所以 在 上单调递减,且 ,所以要使 在 上有解,只需 ,故 的取值范围是 . 8. 如图所示的一系列正方形图案称为 “谢尔宾斯基地毯”，在 4 个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列 的前 4 项,则下列结论正确的为( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由图可知, ,即 ,所以 错误; 所以 , 所以数列 是以 为首项,8 为公比的等比数列, 所以 ,所以 ,所以 ,所以 错误; ,所以 正确; 因为 ,所以 , 所以 所以 ,所以 错误. 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 如图, “杨辉三角” 是二项式系数在三角形中的一种几何排列, 在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中就有出现, 则下列关于 “杨辉三角” 的性质中正确的是( ) 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 A. B. 第 8 行所有数字之和为 256 C. D. 记第 20,21 行数字的最大值分别为 ,则 【答案】AB 【解析】对于 A， 所以 ,故 A 正确; 对于 ,由二项式系数的性质知,第 行各数的和为 ,所以第 8 行所有数字之和为 , 故 正确; 对于 ,故 错误; 对于 ,第 20 行数字的最大值为 ,第 21 行数字的最大值为 ,所以 ,故 D 错误. 10. 某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可以从中选择一类或者两类课程进行学习. 设事件 “甲选了两类课程”, “甲选了自然科学类课程”, 则 ( ) A. B. C. D. 与 相互独立 【答案】BC 【解析】对于 错误; 对于 ,则 正确; 对于 正确; 对于 ,则 与 不相互独立, 错误. 11. 设函数 ,给定下列命题,则下列选项正确的是 ( ) A. 函数 的最小值为 B. 不等式 的解集为 C. 函数 在 单调递增,在 单调递减 D. 若 恒成立，则实数 【答案】BD 【解析】因为函数 ,所以 ,则当 时 单调递减; 当 时 单调递增; 则函数 的最小值为 ,故 错误; 因为 ,所以不等式 的解集为 ,故 正确; 因为 ,当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减,故 错误; 恒成立，则 恒成立， 则 恒成立， 令 ,则 , 当 时 单调递增; 当 时 单调递减; 则 ,则 ,故 正确. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知变量 满足线性相关关系,经验回归方程为 且 . 现有一对观测数据为 ，若该数据的残差为 0.6，则 _____. 【答案】11.6 【解析】由题意,经验回归方程 经过点 , 则得 ,解得 ,所以 . 当 时, , 则 . 13. 在 的展开式中，常数项等于_____. (用数字作答) 【答案】2 【解析】由 ,根据二项式定理,其展开式的通项为 ,所以当 时,展开式的常数项为 ; 当 时,展开式 的系数为 ; 所以原式中展开式的常数项为 . 14. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 _____ 【答案】-1 或 0 【解析】设 ，切点为 ，可知 ，则切线方程为 ,化简得 ,设 ,切点为 ,可知 ,则切线方程为 ,化简得 ,当两条切线为同一直线时 , 由 可得 ,代入上式得 ,化简得 ,解得 或 ,由 ,可知 或 0 . 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 近几年来，人工智能(简称 )逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用,某校随机抽查了 100 名教师,调查他们使用 技术与年龄的情况,收集整理数据后得到如右列联表. 年龄 使用 技术情况 合计 经常使用 不经常使用 超过 40 周岁 20 30 50 不超过 40 周岁 40 10 50 合计 60 40 100 (1)依据小概率值 的独立性检验，分析是否经常使用 技术与年龄有无关联? (2)现从样本中经常使用 技术的教师中，按是否超过 40 岁分层，利用分层随机抽样的方法抽取 6 人进行调查, 并从被抽取的 6 人中随机抽取 3 人进行长期跟踪研究, 记这 3 人中年龄不超过 40 周岁的教师人数为 ，求 的分布列和数学期望. 参考公式: ,其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】(1)零假设为 :是否经常使用 AI 技术与年龄无关联. 根据表中数据,得: ,………………3分 根据小概率值 的独立性检验,可以推断 不成立,即是否经常使用 AI 技术与年龄有关联, 这种推断犯错误的概率不超过 0.001 .……………………………………………………6分 (2)采用按比例分配的分层随机抽样，超过 40 岁抽取人数为 ，不超过 40 岁抽取人数为 , 所以随机变量 的可能取值为1,2,3,…………………………………………………………9分 ……………………………………………………………………13分 所以 的分布列为: 1 2 3 1 5 3 5 1 5 所以 .………………………………………………15分 16. （15分） 已知 . (1)若 ，求 的值； (2)若 ，求数列 的前 项和 . (3)若随机变量 满足 ，求数学期望 . 【解析】(1)二项式的展开式的通项为 ,…………………………3分 由题意得的系数为， 则,解得.……………………………………………………5分 (2)当时，，则，…………………………7分 , 所以数列 的前 项和 …………………………………………………………………………10分 (3)由上知 ， ，……………………………………………………12分 即 ,………………………………13分 所以随机变量 服从 ,则 .…………………………15分 17. (15 分) 一个盒子里装有大小相同且质地均匀的 6 个小球,编号分别为1,2,3,4,5, 6. 甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回. 若两球编号之和是 3 的倍数, 则由这个人继续摸球; 否则, 由另一人开始摸球. (1)求在一次摸球后，摸出两球编号之和是 3 的倍数的概率； (2)假设第一次是甲摸球，在前 4 次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量 ，求随机变量 的分布列和期望; (3)假设第一次是乙摸球，求第 次是乙摸球的概率. 【解析】(1)在一次摸球后有 种等可能的结果， 其中“两球编号之和为 3”有 1 种结果，“两球编号之和为 6”有 2 种结果，“两球编号之和为 9” 有 2 种结果,故“两球编号之和是 3 的倍数”的概率为 .………………………………4分 (2)由题意 ，设事件 分别表示甲乙摸到 3 的倍数(以下连写表示顺次摸出情况),事件为 的概率 , 事件为 的概率 , 事件为 的概率 , 事件为 的概率 ,………………………………………………7分 0 1 2 3 ………………………………………………10分 (3)由 ，当 时， ， 整理可得 ,又 ,…………………………………………12分 所以 ,即 是首项为 ,公比为 的等比数列,…………………………13分 所以 ,故 .……………………………………15分 18. (17分) 随着居民生活水平提升、消费观念转变以及技术不断革新, 智能小家电市场前景广阔, 记 2021~2025 年的年份代码分别为 1~5，下表为 2021~2025 年中国智能小家电市场规模 y (单位: 千亿元). 年份代码 x 1 2 3 4 5 市场规模 1.7 1.8 1.9 2.2 2.4 (1)从这 5 年中国智能小家电市场规模中的数据中任取 3 个，记取到的数据小于这 5 个数据平均数的个数为 ,求 的分布列及方差; (2)(i)根据表中数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合 与 的关系； (ii) 求出 关于 的经验回归方程. 附:① 样本相关系数 ②经验回归方程 中斜率的最小二乘估计公式为 . 【解析】(1)5 个数据的平均数为 , 其中小于 2 的数据有 3 个，大于等于 2 的数据有 2 个， 所以 的所有可能取值为 1,2,3,…………………………………………………………1分 …………………………………………………………3分 所以分布列为: 1 2 3 0.3 0.6 0.1 所以 ，……………………………………4分 .…………5分 (2)(i)由题意 ,由 (1) ,则 0.34 于是 ,………………10分 因相关系数 非常接近于 1,故可以用线性回归模型拟合 与 的关系.…………………11分 (ii) 因 ,…………………………………………………13分 由 可得 ,………………………………15分 故 关于 的经验回归方程为 .……………………………………17分 19.(17分) 已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，不等式在上能成立，求整数的最小值. 【解析】(1)依题意可得， 所以.…………………………………………………………1分 ①若在单调递增;……………………………………2分 ②若，令，则， 当时，在单调递增, 当时,在单调递减，…………………………5分 所以，当时，无极值； 当时，存在极大值，，无极小值.………………………7分 (2)当时，. 因为，所以原不等式可化为, 即在能成立.…………………………………………………………9分 令,要使原不等式能成立,即, 则,令. 则, 所以在上单调递增.…………………………………………………………11分 因为, 所以,使,即, 当时,,即; 当时,,即. 所以在上单调递减,在上单调递增.……………………………………13分 由,得, 得到,…………………………15分 所以,………………………………………………………………16分 因为,所以.………………………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $