湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 以衡阳县历史文化、储水点取水等真实情境为载体，融合统计图表分析、概率计算等，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，实现知识应用与文化传承的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、充要条件、排列组合、双曲线、三角函数|单选第3题结合夏明翰纪念馆等文化地标，多选第9题通过折线图考查统计分析，体现数学眼光| |填空题|3题15分|双曲线离心率、概率期望、错位排列|第14题以小球入盒为情境，考查逻辑推理与创新思维| |解答题|5题77分|统计与独立性检验、立体几何、数列、抛物线、双曲线综合|第15题结合频率分布直方图与独立性检验，培养数据观念；第19题双曲线综合题，考查运算能力与逻辑推理，适配高考命题趋势|

湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．衡阳县历史悠久，名人众多，在一次社会实践活动中，甲、乙、丙、丁名同学计划在以下个地方各选处进行活动（处人不重复）：①夏明翰纪念馆；②湘西草堂（王船山故居）；③玉麟文化园；④琼瑶祖居.其中甲不去夏明翰纪念馆，乙不去琼瑶祖居，则本次活动这名同学不同去法有（    ）种. A． B． C． D． 4．已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．若，且为锐角，则（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 7．有三个储水点，分别储存着、、水.小明每次使用一个容积为的水桶从这三个储水点取水并带回家倒入水缸中储存，且每次取水必须将水桶装满.若要将这水全部取完，小明前往这三个储水点的不同顺序的种数为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．9 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（    ） A．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份 B．这10个月营业额的极差为37万元 C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D．这10个月营业额数据的下四分位数为23 10．设函数，则（   ） A．是偶函数 B． C．在区间上单调递增 D．为的极小值点 11．已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若点P在圆O上运动，则的最小值为21 B．圆O与圆的公共弦长为 C．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为 D．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．双曲线的离心率为_______． 13．某学校组织安全知识竞赛，有A，B两类问题，每人选6道A类问题和4道B类问题回答，已知甲同学能正确回答A，B两类问题中每道题的概率分别为0.8，0.6，每道题答对与否相互独立，记甲同学共正确回答了X道题，则________． 注：设X，Y为两个随机变量，则． 14．将编号为1，2，3，4，5的5个小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子放1个小球，要求只有编号为1，2的盒子中放入的小球的编号比盒子编号大，则不同的放法有_________种． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．    (1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； (2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 16．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 17．已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 18．已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中点、位于第一象限． (1)若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离； (3)若，求与的面积之比． 19．已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若，为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D D C D C AC BD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】， ，. 故选：C. 2．B 【分析】由得或，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由得，即或， 则“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 3．C 【分析】根据题意，分类讨论甲可以去的三个地方即可求解. 【详解】根据题意，甲可以去②、③、④三个地方，分情况讨论： 当甲去②时，由于乙不去④，只能去①或③，有种情况，丙丁去剩余的两个地方，有种情况，方案数共种； 当甲去③时，由于乙不去④，只能去①或②，有种情况，丙丁去剩余的两个地方，有种情况，方案数共种； 当甲去④时，乙丙丁可以去剩余的三个地方，有种情况，方案数共种； 综上所述，本次活动这名同学不同去法有种，故C正确. 4．D 【分析】由四边形为矩形→，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再对采用余弦定理即可求解. 【详解】因为四边形为矩形，所以，（矩形的对角线相等）， 所以以MN为直径的圆的方程为.直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为，由，解得或， 所以，或，. 不妨设，，又，所以，.在△AMN中，， 由余弦定理得， 即，则，所以，则，所以. 故选：D 【点睛】试题综合考查双曲线的方程与性质，考查考生灵活运用所学知识分析问题､解决问题的能力，体现理性思维､数学探索学科素养. 求解双曲线的离心率的方法： （1）公式法：直接求出a，c或找出a，b，c三者中任意两个的关系，代入公式求解； （2）构造法：由已知条件得出a，c关于的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解； （3）通过特殊值或者特殊情况求离心率，例如，令，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化运算. 5．D 【分析】利用弦化切可得出关于的方程，结合可解得的值. 【详解】因为为锐角，则，，， ， 整理可得， 即，解得或， 因为，故. 6．C 【详解】设双曲线的标准方程为（）， 则它的渐近线方程为， 已知实轴长小于虚轴长，即，所以 因为渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为和， 所以，即， 由，代入， 得 ，即， 虚轴长为，焦距为， 所以虚轴长与焦距之比为. 故选项C正确. 7．D 【分析】将分别储存着、、水的三个储水点依次记为甲、乙、丙，问题相当于把个甲、个乙、个丙进行排序，结合组合计数原理以及分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】将分别储存着、、水的三个储水点依次记为甲、乙、丙， 因为，，， 问题相当于把个甲、个乙、个丙进行排序，排序的方法有种. 故选：D. 8．C 【分析】利用给定不等式恒成立，求出的关系等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】当时，不等式恒成立， 得当时，恒成立，且当时，恒成立， 即当时，恒成立，且当时，恒成立， 因此且，则，即， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：C 【点睛】关键点点睛：按、分段讨论恒成立，求得是解决问题的关键. 9．AC 【分析】对A ，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对 B ，最大数据减去最小数据，即可判断；对 C ，分别计算前 5 个月和后 5 个月营业额的方差，比较两者大小；对 D ，将数据排序后，根据百分位数公式计算即可判断. 【详解】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元， 六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元， 十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确； 对于B，极差为，B错误； 对于C：前5个月的平均数， 方差； 后5个月的平均数， 方差 因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确； 对于D：将10个数据从小到大排序： 因为，所以下四分位数取第3项，即25，D错误. 10．BD 【分析】根据函数的定义域即可判断A,根据对数的性质即可求解B，求导，根据上导数的正负即可求解C，根据单调性即可由极值点的定义求解D. 【详解】的定义域为，故为非奇非偶函数，故A错误， 由于，且，故 当时，，此时，当时，，此时， 当时，，因此，B正确， 对于C, ，当时，，此时，因此在单调递减，故C错误， 对于D，，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，为的极小值点，D正确， 故选：BD 11．ACD 【分析】对于A，由两点间距离公式求解即可； 对于B，先求公共弦方程，再勾股定理求弦长；对于C，先求直线的方程，再求最大值，再结合二倍角公式求解；对于D，先求以为直径的圆的方程，再求直线的方程，进而表示点到直线的距离，再求最大值. 【详解】对于A，设，则， ，A正确； 对于B，将圆O与圆的方程相减可得两圆的公共弦方程为， 点O到公共弦直线的距离为，所以公共弦长为，B错误； 对于C，直线的方程为，连接，则，， 在中，， 当时，，从而取最大值， 因为是锐角，所以最大时最大，又最大时，，所以， 此时最大，最大值为，C正确； 对于D，设则，因为，所以线段为两圆的公共弦， 而为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即， 与圆O相减得直线的方程为， 将代入得，即， 令，解得，所以直线恒过定点， 则当且仅当时，点到直线的距离取得最大值，为，D正确. 12．/ 【分析】利用双曲线方程可得即可求解 【详解】由可得， 双曲线的离心率为， 故答案为： 13．7.2（或） 【分析】将总答对题数拆分为A类、B类答对题数之和，分别计算两类答对题数的期望，再利用期望的可加性求和得到结果. 【详解】设甲同学正确回答A类问题的题数为随机变量，正确回答B类问题的题数为随机变量，则， 由题意可知，，得：， 同理，因此：， 根据题目给出的期望线性性质，可得：. 14． 【分析】对1号盒子所选小球分类讨论，依次计算每类下满足2号盒子要求、剩余盒子都不满足“球编号大于盒子编号”的放法数，求和得到最终结果. 【详解】根据1号盒子内放入小球的编号分四类情况讨论： （1）若号盒子放号球，则号盒子可放号或号或号球， ①若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时只能是号盒子放号球，号盒子分别放号球，则不同的放法只有1种； ②若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时号盒子只能放号球，号球分别放入号盒子，不同的放法有种； ③若号盒子放号球，则剩余小球编号为，其中号球可放入号或号盒子，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； 即此时共有不同的方法种； （2）若号盒子放号球，则号盒子可放号或号球， ①若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时只能是号盒子放号球，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； ②若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时号球可放入号盒子中任意一个，号球可分别放入号盒子中的一个，不同的放法有种； 即此时不同的放法共有种； （3）若号盒子放号球，则号盒子可放号或号球， ①若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时只能是号盒子放号球，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； ②若号盒子放号球，则剩余小球编号为，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； 则不同的放法共有种； （4）若号盒子放号球，则号盒子可放号或号球， ①若号盒子放号球，则剩余小球编号为，此时只能是号球可放入号或号盒子，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； ②若号盒子放号球，则剩余小球编号为，号球可分别放入号盒子中的任意一个，则不同的放法有种； 即此时不同的放法共有种； 综上，不同的放法有种. 15．(1)，人 (2)表格如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 【详解】（1）由各组频率之和为，得，解得， 则属于“优等生”的有 人. （2）由题意，样本中男生有人，则女生有人． 属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人. 不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人． 所以得到列联表如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关． 根据表中数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 16．(1)证明：由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； (2)或 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据的关系及等比数列的定义求解； （2）数列的奇数项及偶数项分别求和即可得解. 【详解】（1）当时 ∴当时， 又 是等比数列， （2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的定义根据其方程得出准线，由定义得出抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，或通过焦半径公式，即可得出点的横坐标，代入方程得出纵坐标，根据点所在的象限得出其坐标； （2）设，得出线段AC的中点坐标，根据已知列式，代入方程得出点的坐标，即可由两点式得出直线的方程，即可由点到直线的距离公式得出答案； （3）设直线的方程为，设，根据已知与方程的联立与韦达定理得出，，，设原点到直线的距离为，由弦长公式与三角形面积公式的出，即可代入化解得出答案. 【详解】（1） 抛物线的准线为， 因为点到抛物线焦点的距离为2， 所以点到抛物线准线的距离为2， 所以点的横坐标为1， 代入方程的，解得， 因为点位于第一象限， 故点的坐标为. （2）设，则线段AC的中点坐标为 因为线段的中点在轴上， 所以，故， 代入方程得，解得，所以， 所以直线的方程为：，整理得： 所以原点O到直线l的距离 （3）由题意，直线的斜率显然存在且， 设直线的方程为， 设 由，得， 由，得：， 因为直线与抛物线交于点、， 所以，即，且，， 同理，，， 所以，， 由①，②得：，代入③得，代入②得 设原点到直线的距离为， 所以. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线中的三角形面积问题一般转化为弦长问题与点到直线距离问题，使用弦长公式利用直线与圆锥曲线联立得出的二次方程由韦达定理转化. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设直线l的方程为，联立方程，根据韦达定理求出，，根据得到的范围，构造的不等式，解出的范围，进而求出倾斜角的范围. 【详解】（1）由题，，得 故 （2）因为点M在第一象限，故不可能为直角； 若，将代入曲线，得符合题意，； 若，设点，则， 则 又因为点M满足，可得，此时， DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去． 综上，点M的坐标； （3）由题可得，双曲线 ， 当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线l的斜率一定存在， 又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，， 设直线l的方程为，、，且，， 联立方程，可得 显然，， ，，故 由，可得，且． 故 因此 ， 根据对勾函数的性质：在上单调递减， 可知， 又， 故，可得． 所以，直线l斜率的取值范围为， 直线l倾斜角的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $