精品解析：湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

湖南师大附中2024——2025学年度高二第二学期期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 2i 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列中，，，函数，则 A. B. C. D. 8. 函数的部分图象如图所示，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 某物理量的测量结果，越大，该物理量在一次测量中的结果在的概率越大 C. 已知随机变量，若，则 D. 已知随机变量，若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，有且仅有一个零点 B. 若函数在区间上单调递增，则 C. 存在实数，使得在上恒成立 D. 若，则过原点有两条直线与曲线相切 11. 造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线．下列说法正确的是（ ） A. 轨迹仅经过一个整点（即横、纵坐标都是整数的点） B. 若点位于椭圆上，且，则的离心率为 C. 点与原点之间距离不超过 D. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线离心率为______． 13. 函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为_________． 14. 某盒子中有黑、白球各1个，记“从该盒子中随机抽取一个球，记录颜色后放回该球”为一次操作，重复以上操作，首次集齐黑、白两种颜色的操作次数为随机变量，则的数学期望为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，BC边上的高等于． （1）求的值； （2）若，求的周长． 16. 已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点． （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线与点的轨迹相交于，两点，若的内切圆半径为、且，求直线的方程． 17. 如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内动点且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角余弦值的取值范围． 18. 设函数． （1）当时．求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围． 19 已知集合．定义集合 （1）写出集合； （2）记集合中的元素个数为，证明：数列为等差数列： （3）从集合中任取个不同的数，证明：这个数中一定存在三个不同的数．使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中2024——2025学年度高二第二学期期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 2i 【答案】B 【解析】 【分析】利用共轭复数及复数除法求解. 【详解】由，得，所以. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求集合B，再求交集. 【详解】因为集合，则， 所以. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则（ ） A B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由向量，， 得， 由，得， 所以. 故选：A. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和差角的正弦公式计算得解. 【详解】. 故选：D. 5. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 6. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 7. 等比数列中，，，函数，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数看做与的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入可求得；根据等比数列性质可求得结果. 【详解】 又 本题正确选项： 【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系. 8. 函数的部分图象如图所示，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记与轴的交点为，连接，设，则，在中，利用余弦定理可求得，进而在中，求得，进而利用周期可求. 【详解】记与轴的交点为，连接，由题意可得在函数的图象上，且为一个对称中心， 设，则，又，， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得，解得， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以函数的最小正周期为， 所以，所以. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 某物理量的测量结果，越大，该物理量在一次测量中的结果在的概率越大 C. 已知随机变量，若，则 D. 已知随机变量，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正态分布对称性求解判断AC；利用正态分布的性质判断B；利用方差的性质求解判断D. 【详解】对于A，随机变量，， 则，A正确； 对于B，，越大，结果越分散，在的数据越少，概率越小，B错误； 对于C，，由，得，解得，C正确； 对于D，，则，而，则，D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，有且仅有一个零点 B. 若函数在区间上单调递增，则 C. 存在实数，使得在上恒成立 D. 若，则过原点有两条直线与曲线相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】由时，再结合又，，可对A判断；由由在区间上单调递增，等价于在上恒成立，分情况讨论即可对B求解判断；求出，则不恒成立，即可对C判断求解；设设切点，，可求出，再结合函数过，则在原点处有切线，则可对D判断. 【详解】A：当时，，， 所以在其定义域上单调递增，又，，所以当时，有且仅有一个零点，故A正确； B：，由在区间上单调递增，所以在上恒成立，即等价于在上恒成立， 当时，恒成立，当时，等价于， 又，当且仅当时，即时取等号， 所以，解得，所以，故B正确； C：，， 则， 则不恒成立，故C错误； D：当时，，则， 设切点，， 则直线斜率， 即，解得，或（舍去），此时切点不在原点且过原点有一条切线， 又因为函数，即原点在函数的图像上，则过原点处的切线斜率为存在， 所以在原点处也存在一条切线，综上所述过原点有两条直线与曲线相切，故D正确； 故选：ABD. 11. 造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线．下列说法正确的是（ ） A. 轨迹仅经过一个整点（即横、纵坐标都是整数的点） B. 若点位于椭圆上，且，则的离心率为 C. 点与原点之间距离不超过 D. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设，由已知条件可知，利用换元法可求出的取值范围，讨论即可求解；对于B，根据椭圆的定义以及勾股定理可求出值，即可求解；对于C，讨论当点与原点重合时，当点不与原点重合时，两种情况讨论，以及A选项中代入根据不等式即可求解；对于D，直线与曲线的位置关系，即可得出关于，（易错：不知道等号能否取到）即可求求解. 根据双纽线，椭圆的定义、方程、几何性质以及动点的轨迹和两点间的距离+直线与曲线的位置关系 【详解】对于A：由题意知，, 设，则， 化简得，即轨迹的方程为, 令，则，整理得， 则，解得．（关键：换元，根据一元二次方程有解，求的范围） 当时，或或，当时，或， 故经过整点，因此轨迹仅经过一个整点，故A正确． 对于B：因为点位于椭圆上，所以， 则， 解得，因为，所以，得， 所以的离心率为，故B错误． 对于C：当点与原点重合时，点与原点之间的距离为0，当点不与原点重合时， 点与原点之间的距离， 则点与原点之间的距离不超过，故C正确． 对于D：因为直线与曲线有且仅有一个公共点，直线和曲线都经过原点， 因此除原点外，直线和曲线无公共点， 由得， 因此当时，方程无解，则， 解得或，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再由离心率公式求解即可. 【详解】解：因为双曲线的一个焦点坐标为（2，0）， 所以，解得， 即有， 所以离心率. 故答案为： 13. 函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案. 【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间上单调递增，即当时, ;当时, . 因为可化为或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 某盒子中有黑、白球各1个，记“从该盒子中随机抽取一个球，记录颜色后放回该球”为一次操作，重复以上操作，首次集齐黑、白两种颜色的操作次数为随机变量，则的数学期望为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设  为第一次操作后，直到首次得到另一种颜色所需的额外操作次数，则  服从成功概率  的几何分布，根据几何分布的期望公式结合期望的线性运算性质可得到的数学期望. 【详解】第一次操作必然得到一种颜色（黑或白，概率均为 )，此时已有一种颜色； 此后，每次操作以概率  得到另一种颜色（即首次成功集齐两种颜色），或以概率  得到相同颜色（状态不变）. 设  为第一次操作后，直到首次得到另一种颜色所需的额外操作次数. 则  服从成功概率  的几何分布，分布列为, 其期望为 , 记,则, 两式错位相减得, ∴, ∴, ∴ , 总操作次数，故期望为：, 因此， 的数学期望为 3. 故答案为：3 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，BC边上的高等于． （1）求的值； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式和正弦定理计算即可求解； （2）根据正弦、余弦定理和完全平方公式计算可得，即可求解. 【小问1详解】 设中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由题意可得，即， 由正弦定理得，又， 所以． 【小问2详解】 由正弦定理得， 由余弦定理得， 又，所以， 所以的周长为． 16. 已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点． （1）求点的轨迹方程； （2）过点直线与点的轨迹相交于，两点，若的内切圆半径为、且，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，由对称的性质，结合椭圆的定义求出轨迹方程. （2）设直线及点坐标，利用三角形面积关系建立方程求出. 【小问1详解】 圆：的圆心，半径，连接，则， ， 因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，而焦距，短半轴长， 所以点的轨迹方程为. 小问2详解】 由（1）知是点的轨迹的右焦点，则过的直线与该轨迹必交于两点， 且直线不垂直于轴，设其方程为，， 则，由为的内切圆半径，且的周长为， 得， 又，因此，解得， 所以直线的方程为. 17. 如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知结合余弦定理得出，再由线面垂直的性质有、，进而有平面.； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，设，应用向量法求面面角的余弦值结合函数单调性即可求出范围. 【小问1详解】 因为所以， 所以，所以， 由三棱柱是直三棱柱，得平面，又平面，所以， 因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由于，且平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，且是四边形（不含边界）内的动点,． 所以，即， 设， 所以． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 设平面与平面所成角为 则， 令，则， 因为在上单调递减，所以，所以. 所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围. 18. 设函数． （1）当时．求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再分类讨论求出的单调区间. （3）由（2）中信息分类探讨并求出极小值，并确定函数有两个零点的条件，再结合零点存在性定理求解判断. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，且当时取等号，函数在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，函数在上单调递减，则最多一个零点； 当时，在处取得极小值，则最多一个零点； 当时，在处取得极小值，则最多一个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，要函数有两个零点，则必有， 解得，此时，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，， 因此当且仅当时，函数恰有两个零点， 所以实数的取值范围是. 19. 已知集合．定义集合 （1）写出集合； （2）记集合中的元素个数为，证明：数列为等差数列： （3）从集合中任取个不同的数，证明：这个数中一定存在三个不同的数．使得． 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据题意构造求出； （2）利用等差数列的定义证明； （3）利用抽屉原理证明. 【小问1详解】 已知， 根据的定义， . 满足条件的有: , 所以. 【小问2详解】 当时，. 对于集合，且，. 当时，， 则可以为，共k组. 当时，， 则可以为，共组. ⋯ 当时，则，共1组. 所以. 则. 因为（常数）， 且， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列. 【小问3详解】 ​设从集合中取出的2k+1个不同的数为. 假设不存在三个不同的数，使得. 考虑中最小的数，为了不满足， 与相加和为0的数不能同时取到； 同理对于，也不能同时取到等. 将集合中的数分成k组：，另外还有单独的0. 从这个数中取数，根据抽屉原理，因为总共取个数，而上述分组有k组再加上0这一组，共组. 如果不存在满足的三个数，那么每组中最多取2个数（除了0单独考虑），这样最多取2k个数，这与取了个数矛盾. 所以这个数中一定存在三个不同的数，使得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $