湖南衡阳市第二十六中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 高二数学期末卷以3D打印、藻井文化、匹克球运动等真实情境为载体，通过基础题（如集合、复数）与综合题（如导数拐点、数列与解析几何）的分层设计，考查数学抽象、逻辑推理及数据观念，适配高二学段能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、空间向量、排列组合|第6题以藻井正八边形考解三角形，体现文化传承| |填空题|3题/15分|双曲线离心率、解三角形、概率期望|第14题摸牌终止问题，考查随机变量期望| |解答题|5题/77分|三角函数、统计与概率、立体几何、导数应用、数列与解析几何|第16题匹克球统计分析，结合独立性检验与分布列；第18题导数拐点创新设问，第19题数列与椭圆综合，考查逻辑推理与模型观念|

高二数学期末 本试卷分地第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 时量120分钟满分150分 一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知A=,B={−1,1,2},则A∩B= A.{1,2} B.{−1,1,2} C.[0,+∞) D.(0,+∞) 2.已知z在复平面内对应的点为(1,1),则z= A.2i B.1-i C.1+i D.2 3.已知直线l的方向向量为,平面的法向量为,则“//”是“l⊥”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数在x0=1处的切线方程为 A.y=2026x B.y=2026x-2025 C.y=2025x+2026 D.y=2025x+1 5.某学校高一年级科技节数学活动中，某班有10件3D打印作品，其中有6件3D花瓶作品，现需要从中选出3件做展示，则选出的作品中恰有1件3D花瓶作品的选法有 A.32种 B.36种 C.60种 D.72种 6.藻井通常位于室内的上方，呈伞盖形，由细密的斗拱承托，象征天宇的崇高，藻井上一般都绘有彩画、浮雕.据《风俗通》记载：“今殿作天井.井者，东井之像也.菱，水中之物.皆所以厌火也.”藻井的形式有四方八方，圆形等，构造复杂.如图1为北京法海寺藻井的局部图，从图中可以看到最中间为正八边形，则图2中∠OED的余弦值为 A. B. C. D. 7.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2,AA₁=1,点O是B₁D₁的中点，点P为线段BC₁的中点，则直线OP与平面BDD₁B₁所成角的正弦值是 A. B. C. D. 8.设数列{an}的前n项和构成数列{Sn},{Sn}的前n项的平均数构成数列{Cn},已知数列{an}满足a₁=1,an+an+1=3,则C2026= A.3079520 B.1520 C.1521 D.3079521 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知的二项展开式共有7项，则下列说法正确的有 A.n=6 B.第3项的二项式系数为20 C.含x3项的系数为160 D.常数项为1 10.已知函数在x=7处取得极大值，f(x)的导函数为,则 A. B.f(x)有两个极值点 C. D.当0<x<1时，f(x)>f(x²) 11.若x1满足3x+1+x-4=0,x2满足log₃(x+1)+x—4=0,则下列说法正确的是 A.x1∈(0,1) B.>27 C. D.sin 3-1<sinx2-cos x1<sin 2-cos 1 第Ⅱ卷 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.双曲线的离心隼为_______. 13.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知点D在BC边上，AD⊥AC,sim∠BAC=,AB=,BD=2,则AC=________ 14.一个不透明的金子中有三张纸牌，分别标有数字1,2.3,每一次从盒子中摸出一张牌，记录数字后放回，直到连续两次摸到3号牌结束浩戏，记诺戏终止时模牌次数为X,则E(X)=____, 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知. (1)求函数y=f(x)的单调增区间； (2)设,求函数y=g(x)在区间[0]上的值城， 16.(本小题满分15分) 匹克球是一种集网球、乒乓球、羽毛球技术特点于一体的隔网对抗性拍球运动，因其上手快、趣味性强且老少皆宜而广受欢迎.某校随机调查了100名男生和100名女生对匹克球的爱好程度，现统计得出样本中爱好匹克球的人数占样本总数的50%,其中爱好匹克球的女生有45人. 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 女生 45 合计 200 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，依据小概率值α=0.1的独立性检验，分析爱好匹克球是否与性别有关； (2)现从这100名男生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，然后从这20人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中爱好匹克球的人数为X,求X的分布列和数学期望. 附: 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17.(本小题满分15分) 如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C1的棱长均为2,M，N，P分别为线段BB1，AB，A1C的中点. (1)证明：NP//平面BCC₁B₁; (2)作出过M，N，P三点的截面与正三棱柱表面的交线(请保留作图痕迹，并用文字语言叙述作图过程),并求出交线的长度之和. 18.(本小题满分17分) 若有导函数,二阶导数是对一阶导数再求导的结果，通常记.若函数在区间(a,b)内有二阶导数，∃x0∈(a,b),使f″(x0)=0,且存在δ>0,f"(x)在(x0-δ,x0)上的符号与在(x0,x0+δ)上的符号相反，则x0为f(x)的拐点.已知 (1)求函数的拐点； (2)已知直线y=a与的图象有两个交点，求实数a的取值范围； (3)已知0<x₁<x₂,函数在x=x1和x=x2处的切线斜率相等，证明：x₁+x₂>4. 19.(本小题满分17分) 已知△AnBnCn中∠An，∠Bn，∠Cn所对的三边分别为an,bn,cn,且an+1=an,(其中n∈N*),b₁+c₁=2a1, (1)证明：{bn+cn}为常数列； (2)若在△A₁B₁C₁中，B₁(-1,0),C₁(1,0),点A1的轨迹为曲线Γ,E,F为曲线Γ上的两个动点，O为坐标原点，直线OE,OF的斜率分别为k₁，k₂,当k₁k₂=时，△EOF的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由. (3)若b₁>c1,△AnBₙCn的面积为Sn,判断数列{Sn}的单调性并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学期末参考答案 一、二、选择题 题号 123 4 5 8 10 y 答案 B ACD ABC ACD 1.A【解析】依题意，A={xx≥0}，B={-1,1,2},所以A∩B={1,2). 2.C【解析】由之在复平面内对应的，点为(1,1)，得之=1+i. 3.C【解析】“a∥n”可以推出“l⊥a”,“l⊥a”可以推出“a∥n”,因此选C 4D【解折1/-2026-士(>0，y1)-20251)=2026, 因此切线方程为y=2025(x-1)十2026=2025x+1. 5.B【解析3件作品恰有1件3D花瓶作品，则从6件3D花瓶作品中选1件，从4件非3D花瓶作品中选2件，一共有 CC=36(种)选法. 6A【解折】正八边形年条边所对的国心角为圣，则∠OD-受一吾-警， 则cos∠OED=cos 3π 1+cos 3x 4 2-√2_√2-√2 1 1-os4。/2-2_2-2 π (或cos∠OED=sin8=√ 2 2 7.C【解析】连接AC交BD1于O点，连接OB, D 因为长方体ABCD-A1BCD中，DD1⊥平面ABCD,所以AC⊥DD,由AC⊥BD,B,D∩DD=D,所以 A1C⊥平面BDDB,所以平面OCB⊥平面BDDB,所以，点P在平面BDD1B上的投影落在直线OB上，所以直 线OP与平面BDD1B所成角为OP与OB所成角∠BOP.取OB的中，点Q,连接PQ,则PQ∥A1C,所以PQ⊥OB, PQ-号，又0P-号，所以∠BOP-,则直线OP与平面BD,所成角的正孩位为。 8.B【解析】因为数列{an}满足a1=1,a.十am+1=3, 则a1=1,a2=2,a3=1,a4=2,…, 3k-2,n=2k-1,k∈N°， 所以Sn= 3k,n=2k,k∈N*, 所以C=S+S.+S道=31+2++1013)×2-2X1013-1520. 2026 2026 9.ACD【解析】对于A,(2x十1)”的二项展开式共有n十1项，由题意得n=6,故A正确；对于B,因为n=6,所以(2x十 1)的展开式中第十1项为T+1=C(2x)6-·1=C哈·2-·x,所以当=2时，Cg=15,故B错误；对于C,当k =3时，C·2-=C%·23=160,故C正确；对于D,当k=6时，C哈·26-=C8·2°=1，即常数项为1，故D正确. 10.ABC【解析】由8Z>0,得0<<8， 则函数f(x)的定义域为(0,8)， 则f(x)=ln(8-x)-lnx十ax,x∈(0,8)， 高二数学参考答案(7月)一1 则f(x)=1。-1+a, x-8 x 因为函数f(x)在x=7处取得极大值， 所以f(7)=-1-号+a=0,即a=, 所以f)=ln(8-x)-hx+9, 则f)=8是+9-82)D, 7x(x-8) 令f()<0,得0<x<1或7<x<8; 令f(x)>0,得1<x<7. 所以函数f(x)在区间(0,1)和区间(7,8)上单调递减，在区间(1,7)上单调递增， 则西数f在1=7处取得极大值，在x一1处取得板小值，符合题意，即a=号，故A正确； 由上述过程知f(x)有两个极值，点，故B正确； 由f(x)=8(x-1)(x-7) 7x(x-8) 则f(4十x)=8(4+x1)(4+x-7)_8(x+3)(x-3) 7(4+x)(4+x-8)7(4+x)(x-4)’ f(4-x)=841)4-x2-83-x)(-x-3)=8(x+3D(z3 7(4-x)(4-x-8)7(4-x)(-x-4)7(4+x)(x-4)' 所以(4十x)=f(4一x),故C正确； 由上述可知函数f(x)在区间(0,1)上单调递减， 当0<x<1时，0<x2<x<1,则f(x)<f(x2),故D错误. 11.ACD【解析】令f(x)=3+1+x-4,f(x)在R上单调递增.f(0)=3+0-4=-1<0,f(1)=32一3>0， ∴.f(x)的零点G∈(0,1)，故A正确； 由35+1十x一4=0得3+1=4一x1,即函数y=3+1与函数y=4一x的图象交于，点A(x,y), 由log(x2+1)十x2-4=0得log(x2+1)=4-x2, 即函数y=log(x十1)与函数y=4-x的图象交于点B(x2,y2), 函数y=3+1与函数y=log(x十1)的图象关于直线y=x十1对称，y=4一x的图象也关于直线y=x十1对称， ∴点A(知，y)与点B(x2,y2)关于直线y=x十1对称. ys3*1 4A(x) 3=x+1 M B(x2Y) y=log (x+1) 6 y=4-x 3 x= 记直线y=x十1与y=4-x交于点M,y=+1, 2, 解得 y=4-x, 5 y=2: 故点M的坐标为（受，昌）， 高二数学参考答案(7月)一2 1十x2=2xM=3,3+4=27,故B错误； ∴35+3>2√3·35=2√35+5=2√3=63，故C正确； 由x十x3=3及∈(0,1)知x2∈(2,3)， sinx2-cosG=sinx2-cos(3-x2),x2∈(2,3)， 令h(x)=sinx-cos(3-x),x∈[2,3]. ,y=sinx在区间[2,3]上单调递减，y=cos(3一x)在区间[2,3]上单调递增， .h(x)在区间[2,3]上单调递减， .'.h(2)=sin 2-cos 1,h(3)=sin 3-cos 0=sin 3-1, .sin3-1<sinx2-cosx<sin2-cos1,故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.√2【解析】等轴双曲线的离心率为√2 134-巨【解]析图，：n∠BAC-2号，ADLAC, :.sn∠BAD=Sin(∠BAC-5)=3 在△BAD中，由正孩定理得In BAD广2织D丽 AB 即兰一SinZADB:解得n∠ADB- 2 3√2 2 ·∠ADB为钝角，∴cOS∠ADB=- 2 在△BAD中，由余弦定理得，AB=BD十AD-2BD·ADcos∠ADB, 即(32)=2+AD-2X2AD·(-号)， 解得AD=4-√2， ∴.AC=AD=4-√2. 14,12【解析】设已经连续摸出次3号牌的情况下，还需摸X。次牌才结束比赛(k=0,1,2), 每一火横到3号牌的概率为号，横到的不是3号牌的概率为号， 显然X2=0,X1的分布列如下所示： X 1 1+E(X) 3 3 故E(X)=1X}+[1+E(X)】×号.① X。的分布列如下所示： Xo 1+E(X1) 1+E(X) P 1 2 故EX,)=3[1+E(X)]+号[1+E(X)].② 由①②解得E(X)=12,即E(X)=12. 高二数学参考答案(7月)一3 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解折】(1d)=2w5cas2x5(eos2aoms号-S血2zsin吾）-3cos2z+号sn2z=3sn(2zr+号）.…3分 令-受+2k≤2x+子<受+2kx(∈Z),解得-段+k≤x≤径十km(∈ZD. …5分 所以f)的单调增区间为[-登+m,吾+6纸]（∈D. …6分 (2)当ze[0,受]时，2x+5∈[晋]，周此f)=3sm(2x+晋)[-35,3] ………8分 令=x,时[-]g0=g-孩品发图象开口向上对帮销为直线 2 …9分 最小值：g0=(侵》厂-子-日 令=9，则g(-3）-9+-2” 4 ,令t=3,则g(3)=32-3=6.…12分 则g)在区间[0，受]上的值城为[-，27+65] …13分 16.【解析】(1)依题意可得列联表如下： 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 55 45 100 女生 45 55 100 合计 100 100 200 …2分 零假设为H。:爱好匹克球与性别无关， :X-2055X55-45×45) =2<2.706, 5分 100×100×100×100 .依据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分依据推断H。不成立，因此认为H。成立，即认为爱好匹克球与性 别无关。… …6分 (2)依题意，从爱好匹克球的男生中抽取20X55 100 =11人， 从不爱好匹克球的男生中抽取20×45 0=9人， …7分 则X的可能取值为0,1,2,3，…8分 则PX=0)是-高PcX=1=-器 PX=2)-C-器P(X=3)-号-8， C4=11」 12分 则X的分布列为 X 0 1 2 P 33 33 1 95 95 76 76 13分 所以X的数学期望为：(X0=0X品+1×器+2X器+3×号-器 7620 15分 高二数学参考答案(7月)一4 17.【解析】(1)证明：法一：如图，连接AN,延长AN和B1B,因它们共面且不平行，所以不妨设它们的交点为D,连接 CD,因为N为AB的中点，所以N为A1D的中点，又，点P为A1C的中，点，所以NP为△A1DC的中位线，所以NP ∥CD,… …3分 B p B 又CD在平面BCC1B1内，NP在平面BCC1B外，所以NP∥平面BCCB.…6分 法二：面面平行的判定定理，如图，取AC的中点E,证明平面NPE∥平面BCCB.…5分 p M A B 又NP在平面NPE内，所以NP∥平面BCCB. …6分 法三：向量共面定理，取AC的中，点E,利用NP-N心+E驴-=号BC+号BB,证明NP∥平面BCCB. …5分 又NP在平面BCCB1外，所以NP∥平面BCCB.… …6分 法四：连接AC,BC,由正三棱柱的性质可得，当P为A1C的中点时，点P也为AC1的中，点，…2分 又，点N为AB的中，点，则NP为△ABC的中位线，即NP∥BC,…4分 所以NP∥平面BCCB. …6分 (2)如图，过MN的直线交A1A的延长线于F点，连接FP,并延长FP交A1C于G点，交AC于H点，连接NH,直 线MN与A1B的延长线交于I,点，连接IG,与BC交于Q,点，连接MQ,则五边形MNHGQ即为所求. …10分（作图2分，文字描述2分） G H F 高二数学参考答案(7月)-5 因为正三棱柱ABC-A1BC的棱长均为2， 所以由图可知，MN=√2，△MBN≌△FAN,△MBN≌△MB,I,△PHC≌△PGA1,△FAH∽△FAG, 因比，AF=1,AH=7,AG=号，FH=,GH=5,BI=1, 由孩定里得NH-9, …13分 在平面ABC内，BI=1,AG=是，过G作GK∥BG交AB于K点，则AK=KG=A,G=号，则BK=合 BQ=号KG=1,即Q为BG中点，所以QG=,MQ=厄， 所以五边形MNHGQ的周长为MN+NH+HG十GQ+MQ=2W2+√3+√5.…15分 18.【解折1)：f)=名，“()=。，f()=。 …2分 令(x）=之三0，得x=2,中 …3分 因为(x)在(-0∞，2)上为负，(2，十0∞)上为正，… …4分 所以f(x)的拐点为2.… …5分 (2)由(1)知当x∈（-∞，2)时，(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(2，十∞)时，f"(x)>0,f(x)单调递增.…6分 当x=2时，f(x)m=f(2)=己当x→+o∞，f(x)→0；当x-∞，f(x)+o0 令f()=1=0,得x=1,… …9分 f(x)的大致图象如下所示， 6 …10分 -2-10 123436x -1 当直线y=a与f()的图象有两个交点时，a∈(-己，0）小. …11分 3)◆g)=f)=12>0,8)=是>0. 因为函数f(x)在x=和x=x2处的切线斜率相等， 所以g(x)=g(x2), 高二数学参考答案(7月)一6 由(2)可知，g(x)在(0,2)上递减，在(2，十∞)上递增，且x∈(1，十∞)时，g(x)<0,g(x)(x>0)的图象如下图所示： 1.6…1- 1.4--}--{------}------------}----------}----------1--}------} 1.2--7--1-----7--1-----r--1-----r--7---------1------7----------------1 0.8 0.6 -------------片-------------------- 0.4 -F 0.2 0.20.40.60.812141618222242628323436384424.44.64.8了 -T -0.2 --7-------T--1---1--r--7---1---- ----下--7 ! 故g(x1)=g(x2)→1<x1<2<x2. 12分 要证明x1十x2>4,即证x2>4-x1>2,即证g(x2)>g(4-x1),即证g(x1)>g(4-x1). …13分 不妨设F(x)=g(x)-g(4-x),x∈(1,2)，4-x∈(2,3)， 则Fa)=g+84-x)=号+=2=x一2》（侵-）0， 故F(x)在(1,2)上递减，… 16分 因此，F(x1)>F(2)=0,即1<x1<2,g(x1)>g(4-x1),即01十x2>4.…17分 19.【解析】(1)，an+1=an,.{an}为常数列， b+1=a.十g 2 今h.1十c1=6C十a,=)6,十c)十a4, … 2 2分 c+1=8,+b 2 设b+1十C1十入三2[（亿十Ca)十入]，则上分=☑以=-2a.……4分 ∴.{bn十cn一2a1}是以b十G一2a1=0为首项的常数列，.bn十cn=2a1,即{bn十cn}为常数列.…5分 (2)B(-1,0),C(1,0),.a1=BC1=2,.b1+G1=2a1=4,即AC+AB1=4>B1C, 点A1在以点B,C为焦点的椭圆上，… …6分 设接满圆方程为岁+节-1(p>g>0),则 =4, 解得 p2=4, 2-q=1,g=3 精圆方程为学十芳=1， 又点A1不在直线BG上，曲线T的方程为实十兰1(x≠士2.…7分 当直线EF的斜率不存在时，由于，=一是，考虑到0E,0F关于x轴对称，不坊设为-写， 2 则点E,F的坐标分别为E(巨，）F(E,-）) 此时S=2XW2X√6=3；…呼 …8分 当直线EF的斜率存在时，设E(x1,y),F(x2,y2),直线EF的方程为y=x十m, + 由置+背-1”消y可得，g十4状)2+86n十m-12=0, y=kx十m, 则有△=64km2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,即m2<4k2+3, 一8km 4m2-12 西十x=3+十4k2西=3+4k2， …10分 高二数学参考答案(7月)一7 所以|EF|=√1十|x1一2|=√1十√（十x2)2-4x1x =√十k/（8)2-4×4212=4W31t/4k2=n2+3.……11分 3+4k2 点O到直线EF的距离d=m √1+， Ss=专EFd-0y胶干 B 0 又因为(·2=当业=-3 2xx24’ 所以西十na十）+-+ n(写）)+m 、3 X1C2 4m2-12 4 3+4k 化简可得2m2=4k2十3，满足△>0，… …12分 代入S-250V4-m+3=2y3m-5, 3+4k2 2m2 综上，△EOF的面积为定值√3. …13分 (3).△A,B.C中，bn+cn=2a>a1=an, 1 A在以B,Cn为焦点的椭圆上，S,为焦点三角形面积，S。=2·a·y%.…14分 B O C 6t1=a,十ca 2 →61-61=522=-号6，-6)，又6-4>0， 2 2 6-6。=(么-G）.(2），…15分 《6,-6)是一个正负摆动的教列，但6.-6=(-)·(-）随n的增大而减小， ∴.三角形两边之差|bn一cn越来越小， ∴.随着n的增大，An在y轴上左右来回横跳，但离y轴距离越来越近，yA越来越大， S,=号a,·y%随n的增大而增大，即{S}是递增数列，…7分 高二数学参考答案(7月)一8