第10讲 反比例函数的图像与性质（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第10讲 反比例函数的图像与性质 （3大考点14大题型） 学习目标 1. 掌握反比例函数的图像分布、经过象限、增减性、对称性； 2. 掌握反比例系数k的几何意义； 3. 掌握反比例函数与一次函数综合相关知识点. 考点整理 一、反比例函数的图象与性质 性质 表达式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小 在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大 对称性 中心对称:反比例函数的图象关于原点成中心对称,如双曲线一支上的点A(a,b)关于原点的对称点A(-a,-b)在双曲线的另一支上 轴对称:反比例函数的图象关于直线y=x或y=-x 成轴对称 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 注意： (1)研究反比例函数的增减性及比较两个函数值的大小时，要分象限进行研究或比较. (2)判断某点是否在反比例函数的图象上，只需要判断该点的横、纵坐标之积是否等于k即可. (3)因为反比例函数和正比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一直角坐标系中，若反比例函数与正比例函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称. 二、反比例系数k的几何意义 当反比例函数图象与三角形、矩形结合时,可直接利用k的几何意义求解,若图形为不规则图形,则结合割补法进行求解. （一）一点一垂线 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= （二）一点两垂线 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= （三）两点一垂线 结论：S△ABC =2S△ABO = 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC =co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC =co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) （四）两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| （五）两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） （六）两曲一平行 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 三、反比例函数与一次函数综合 1.自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 题型归纳 【题型1 判断反比例函数的图像】 1．反比例函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 2．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 4．函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型2 已知反比例函数图像判断解析式】 5．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 7．如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 8．点在函数（   ）的图像上 A． B． C． D． 【题型3 由反比例函数的对称性求点的坐标】 9．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 10．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 11．在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 12．下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【题型4 已知双曲线分布情况求参数范围】 13．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 15．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 16．已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型5 判断反比例函数的增减性】 17．反比例函数,点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 18．下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是(     ) A． B． C． D． 19．在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 20．新定义：是关于的函数，当时，的最大值为，最小值为，此时令，则称当时，为关于的型函数．在下列函数中，当时，为关于的2型函数的是（     ） A． B． C． D． 【题型6 判断反比例函数图像所在象限】 21．在一块平地上，划出一个占地面积为100平方米的矩形区域，这个矩形区域的相邻两边长为米，米，那么关于的函数图像位于平面直角坐标系中的（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限 22．若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（    ） A．图像在第二、四象限 B．图象经过点 C．函数值随着的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 23．关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 24．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【题型7 已知反比例函数增减性求参数】 25．在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（     ） A．B． C． D． 26．在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（     ） A． B． C． D． 27．已知反比例函数中，随的增大而减小，则点关于轴的对称点在（    ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 28．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【题型8 比较反比例函数的数值和自变量大小】 29．如果点，，在反比例函数（）的图象上，那么（     ） A． B． C． D． 30．已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 31．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 32．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【题型9 已知比例系数求特定图形面积】 33．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 34．根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 35．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．平行于轴的直线分别交两图象于点，．过点，分别作轴的垂线，垂足为，，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 36．如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型10 根据图形面积求解析式】 37．如图，A为函数图象上的一点，C为x轴上的点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接，若，四边形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 39．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 40．如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【题型11 反比例函数与几何综合】 41．如图，在平面直角坐标系 中， 是函数图像上的动点，点 在 轴上，，以，为边的平行四边形的边 交该函数的图像于点 ，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形；②的面积始终等于 ； ③点 可能是 的中点；④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①② D．①③ 42．新定义：在平面直角坐标系中，若矩形的一组对边与一条坐标轴平行，我们称该矩形是“正矩形”．函数（）的图象如图所示，点，B是该图象上两点．若以为对角线的“正矩形”的面积为8，则点B的横坐标是（     ） A．2 B．3 C．2或 D．3或 43．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得为等腰直角三角形； ④若直线与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（     ） A．①②③ B．②④ C．② D．①③④ 44．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤的面积等于，其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型12 一次函数与反比例函数图像综合判断】 45．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 46．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 47．二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 48．二次函数（）的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【题型13 一次函数与反比例函数交点问题】 49．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 50．如图，为一次函数与反比例函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为，是反比例函数图象上一动点，且在点P的右侧，过点作交直线于点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 51．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 52．在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 【题型14 一次函数与反比例函数的实际应用】 53．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 54．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 55．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图像上．若直线的函数表达式为，则的值为（    ） A． B． C． D． 56．如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接，，，写出下列五个结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 反比例函数的图像与性质 （3大考点14大题型） 学习目标 1. 掌握反比例函数的图像分布、经过象限、增减性、对称性； 2. 掌握反比例系数k的几何意义； 3. 掌握反比例函数与一次函数综合相关知识点. 考点整理 一、反比例函数的图象与性质 性质 表达式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小 在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大 对称性 中心对称:反比例函数的图象关于原点成中心对称,如双曲线一支上的点A(a,b)关于原点的对称点A(-a,-b)在双曲线的另一支上 轴对称:反比例函数的图象关于直线y=x或y=-x 成轴对称 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 注意： (1)研究反比例函数的增减性及比较两个函数值的大小时，要分象限进行研究或比较. (2)判断某点是否在反比例函数的图象上，只需要判断该点的横、纵坐标之积是否等于k即可. (3)因为反比例函数和正比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一直角坐标系中，若反比例函数与正比例函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称. 二、反比例系数k的几何意义 当反比例函数图象与三角形、矩形结合时,可直接利用k的几何意义求解,若图形为不规则图形,则结合割补法进行求解. （一）一点一垂线 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= （二）一点两垂线 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= （三）两点一垂线 结论：S△ABC =2S△ABO = 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC =co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC =co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) （四）两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| （五）两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） （六）两曲一平行 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 三、反比例函数与一次函数综合 1.自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 题型归纳 【题型1 判断反比例函数的图像】 1．反比例函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 2．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，是反比例函数解析式，且， 只有B选项符合题意； 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴ ∵二次函数图象的对称轴为直线 ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∵当时，， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴只有D选项题意． 故选：D． 4．函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得． 当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确． 故选：D． 【题型2 已知反比例函数图像判断解析式】 5．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 7．如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图象是直线，反比例函数（）的图象分布：当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A. 的图象是直线，故此项不符合题意； B. 的图象是直线，故此项不符合题意； C. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限，故此项符合题意； D. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，故此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象特征和反比例函数的图象分布，掌握反比例函数图象分布的规律是解题的关键． 8．点在函数（   ）的图像上 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了函数的性质，掌握点坐标代入函数解析式成立，则点在函数图象上是解题的关键． 将点分别代入解析式即可求解； 【详解】解：将点代入，等式不成立，故该选项不符合题意； 将点代入，等式不成立，故该选项不符合题意； 将点代入，等式成立，故该选项符合题意； 将点代入，等式不成立，故该选项不符合题意； 故选：C． 【题型3 由反比例函数的对称性求点的坐标】 9．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 10．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得，故①正确； 由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故③错误； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴若在图象上，则也在图象上，故④正确． 综上，结论正确的是①④． 故选：D． 11．在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质可知，两个反比例函数的比例系数互为相反数，即可列方程求解． 【详解】解：反比例函数的图象与反比例函数的图象既关于x轴，又关于y轴成轴对称， ， ． 故选：C． 12．下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【分析】本题考查矩形相似的条件、正方形的判定、反比例函数的对称性以及平行投影的性质。逐一分析各选项，A、B、C均错误，D正确。 【详解】解：∵ 矩形相似需对应角相等且对应边成比例，但任意两个矩形的边长不一定成比例，∴ A错误； ∵ 对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，例如菱形对角线互相垂直但不是正方形，∴ B错误； ∵ 反比例函数图象既是轴对称图形（关于直线和对称），也是中心对称图形（关于原点对称），∴ C错误； ∵ 太阳光是平行光，同一时刻身高与影长构成相似三角形，故身高与影长的比相等，∴ D正确。 故选D 【点睛】本题涉及多个初中数学知识点，需熟练掌握相似多边形、特殊四边形、函数图象性质和平行投影的应用。 【题型4 已知双曲线分布情况求参数范围】 13．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 14．若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数系数的符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数 ，， ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限． 15．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象的象限由系数符号决定，第二、四象限时系数小于零，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得， 选项中只有1满足条件， 故选A． 16．已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据反比例函数的增减性，判断其图象在二、四象限，得到不等式，再解不等式即可． 【详解】，， 反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得． 故选：D． 【题型5 判断反比例函数的增减性】 17．反比例函数,点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，时函数图象位于第二、四象限，同一象限内随增大而增大，先判断三点所在象限，再比较函数值大小. 【详解】解：∵ 反比例函数， ∴ 函数图象分别在第二、四象限，且每个象限内随的增大而增大. ∵ ，点D、E都在第二象限， ∴ ， ∵ ，点F在第四象限，∴ , ∴ . 18．下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的增减性性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、函数中，，随增大而增大，不符合题意． B、函数中，，随增大而减小，符合题意． C、函数是反比例函数，在每个象限内随增大而减小，不符合题意． D、函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线，时随增大而增大，不符合题意． 19．在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 20．新定义：是关于的函数，当时，的最大值为，最小值为，此时令，则称当时，为关于的型函数．在下列函数中，当时，为关于的2型函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义，已知，可得，要求，即需要函数在该区间内的最大值与最小值满足，依次计算各选项的即可判断． 【详解】解：由题意得 ，，， ， ， 在中，， 随的增大而增大， 当时，最小值；当时，最大值， ，A选项不符合要求； 在中，， 随的增大而减小， 当时，最大值；当时，最小值， ，满足，B选项符合要求； 在中，， 在每个象限内，随的增大而减小， 当时，最大值；当时，最小值， ，C选项不符合要求； ， 开口向上，对称轴为，距离对称轴越远，函数值越大， 当时，最小值，离对称轴更远，时取得最大值， ，D选项不符合要求 【题型6 判断反比例函数图像所在象限】 21．在一块平地上，划出一个占地面积为100平方米的矩形区域，这个矩形区域的相邻两边长为米，米，那么关于的函数图像位于平面直角坐标系中的（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限 【答案】C 【分析】先根据矩形面积公式推导得到关于的函数表达式，再结合边长的实际意义确定，的取值范围，即可判断函数图像所在象限． 【详解】解：∵矩形面积等于相邻两边长的乘积，由题意得，整理得，该函数为反比例函数， 又∵，表示矩形的边长，边长为正实数， ∴， 可得， ∴函数图像只位于平面直角坐标系的第一象限． 22．若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（    ） A．图像在第二、四象限 B．图象经过点 C．函数值随着的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图像与性质，把点代入反比例函数求出，得到函数解析式，再逐一判断选项是否正确． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， A选项：， 反比例函数的图像在第二、四象限， 故A选项正确； B选项：当时，， 反比例函数的图像经过点， 故B选项正确； C选项：反比例函数中，， 函数图像经过第二、四象限，且在每个象限内数值随着的增大而增大， 故C选项不正确； D选项：反比例函数图像关于原点中心对称，故D选项正确． 故选：C． 23．关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数，，图象位于第一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴的图象位于第一、三象限内，图象与坐标轴不相交，每个象限内，y随x的增大而减小，当时，，故B、C、D正确，A错误， 故选：A． 24．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A、B选项错误，不符合题意； 图像不经过第二象限，经过第四象限， 故C正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【题型7 已知反比例函数增减性求参数】 25．在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意确定a的正负，然后再确定二次函数的开口方向和对称轴即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图像开口向下，对称轴为， 故只有选项C符合题意． 26．在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据判断随的变化规律，结合确定的最大值和最小值，再根据差值为列方程求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最小值，当时，取最大值， ∵的最大值和最小值之差为， ∴， 解得：． 27．已知反比例函数中，随的增大而减小，则点关于轴的对称点在（    ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的性质求出m的取值范围，再判断点P的横纵坐标符号，最后根据关于y轴对称的点的坐标特征判断所在象限． 【详解】解：∵反比例函数中，随的增大而减小， ∴比例系数， 解得， ∴，， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，点P在第二象限， ∵点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴点关于y轴的对称点的横坐标为正，纵坐标为正， ∴在第一象限． 28．已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内随的增大而减小， A、若两点在不同分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； B、若两点在同一分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意； C、当时，两点都在第一象限，，原说法正确，符合题意； D、当时，两点都在第一象限，，原说法错误，不符合题意. 【题型8 比较反比例函数的数值和自变量大小】 29．如果点，，在反比例函数（）的图象上，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用时反比例函数的图像分布和增减性，即可判断三个值的大小． 【详解】∵反比例函数中， ∴函数图像分布在第一、第三象限，且每个象限内随的增大而减小， ∵点的横坐标，该点在第三象限， ∴. ∵点，的横坐标满足，两点都在第一象限， ∴， 综上所述，． 30．已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据判断函数的增减性与所在象限，再结合三个点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ ，， ∵，三个点的横坐标都为正数， ∴ 三点都在第四象限， ∴，即． 31．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数判断函数图象所在象限和增减性，再结合各点纵坐标的大小比较横坐标即可. 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点A纵坐标为，点B纵坐标为，点C纵坐标为， ∴A、B在第三象限，C在第一象限，可得，，， 又∵，第三象限内随的增大而减小， ∴， ∴. 32．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将各点横坐标代入解析式计算出对应的，再比较大小即可得到结果． 【详解】解 点，，都在反比例函数的图象上. 将代入得 ， 将代入得 ， 将代入得 ， ， ． 【题型9 已知比例系数求特定图形面积】 33．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 34．根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 【答案】D 【分析】根据程序框图确定和时的函数解析式，利用反比例函数的性质判断选项B、C；利用反比例函数的几何意义计算的面积判断选项A；设点、的坐标，利用勾股定理构建方程判断选项D． 【详解】解：由程序框图可知：当时，；当时，．选项B错误； 当时，，， 随的增大而减小，选项C错误； 设，，其中， 点在上，点在上， ，， ，选项A错误 设，()， 若， 则， 即， 整理得：， ， ， ， ，方程有解， 可能等于， 选项D正确．故选：D． 35．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．平行于轴的直线分别交两图象于点，．过点，分别作轴的垂线，垂足为，，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【分析】根据反比例函数的几何意义，结合，得出，可得B正确，根据轴可得电流差为，可判断A错误；根据电流相同时，电阻的差值为，电阻相同时，电流的差值为，都不能用面积表示，可判断C、D错误；综上，即可得答案． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点， ∵平行于轴的直线分别交两图象于点，， ∴、两点的电流相等， ∴经过用电器的电流的差值为，故A选项错误，不符合题意， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积表示两款蓄电池的电压的差值，故B选项正确，符合题意， 当用电器的电流相同时，电阻的差值为，不能用面积表示，故C选项错误，不符合题意， 当用电器的电阻相同时，电流的差值为，不能用面积表示，故D选项错误，不符合题意． 36．如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数的中心对称性可得点的坐标，再设点的坐标为，利用平行四边形的性质，表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到与的关系，最后根据三角形面积公式和平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 四边形是平行四边形，且边经过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且为的中点， ∴ ， ∴ ， 设， ∵ 四边形是平行四边形，且设点， ， 整理得：， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得：，即， ∴，即． ∵在轴负半轴， ∴，符合题意． ∴． ∴． 故选：C． 【题型10 根据图形面积求解析式】 37．如图，A为函数图象上的一点，C为x轴上的点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接，若，四边形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】因为平行于x轴，且，所以与平行且相等，四边形是平行四边形，设点A的坐标为，因为A在反比例函数上，所以满足，根据平行四边形面积公式，结合长度等于点A的横坐标，长度等于点A的纵坐标，可建立面积与k的关系． 【详解】∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， 设点坐标为， ∵在上， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， 且平行四边形的高等于的纵坐标， ∴， 解得． 38．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 39．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】连接，根据平行线间的距离相等可知，再根据反比例函数系数的几何意义即可求出的值 【详解】解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 40．如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】连接，设，则得点D的坐标，根据三角形的面积为3求得k的值，再由得点C的坐标，由点C在反比例函数的图象上，求得的值，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵垂直于轴，为垂足，点D在的图象上， ∴， ∴， ∵三角形的面积为3， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型11 反比例函数与几何综合】 41．如图，在平面直角坐标系 中， 是函数图像上的动点，点 在 轴上，，以，为边的平行四边形的边 交该函数的图像于点 ，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形；②的面积始终等于 ； ③点 可能是 的中点；④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①② D．①③ 【答案】B 【分析】设点坐标，结合、平行四边形性质求出、坐标，再逐个推导验证四个结论的正误，最后选出正确结论对应的选项． 【详解】解：设．∵，且 在 轴上， ∴点在的垂直平分线上， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴ 点可以由 点向右平移得到，即． 对于①，先取得到点 ，再取得到点 ，再作 与平行且相等，得到点 ，此时为菱形，故①正确； 对于②，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故②正确； 对于③，∵，， ∴ 的中点横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴ 的中点不在上，即点 不可能是 的中点，故③错误； 对于④，设直线的解析式为，代入、， ∵ ， ∴ 解得， ∴ 直线的解析式为． 联立直线与反比例函数， ∵ ， ∴ 整理得， 解得，（不符合，舍去）， ∴ 点的坐标为． 当时，为直角三角形，由勾股定理得． ∵ ， ， ， 代入勾股定理等式并整理： ， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴ 点的纵坐标为， ∴ 此时点的坐标为． ∴一定存在，即可能是直角三角形，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 42．新定义：在平面直角坐标系中，若矩形的一组对边与一条坐标轴平行，我们称该矩形是“正矩形”．函数（）的图象如图所示，点，B是该图象上两点．若以为对角线的“正矩形”的面积为8，则点B的横坐标是（     ） A．2 B．3 C．2或 D．3或 【答案】D 【分析】设，由题意可知以为对角线的“正矩形”的各边都与坐标轴平行，可分别求出矩形的边长，再根据“正矩形”的面积为8列方程求解． 【详解】解：设， 根据矩形的四个角都是直角，若矩形的一组对边与一条坐标轴平行，那么该矩形的另一组边也应与另一条坐标轴平行， 四边形是“正矩形”， 轴，轴， ，， 以为对角线的“正矩形”的面积为8， ， 整理，得， 解得或， 点B的横坐标是3或． 43．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A的直线交x轴的正半轴于点C，连接，以下四个结论： ①任意一条过点A的直线一定与双曲线有两个交点； ②存在点C，使得的面积是面积的2倍； ③存在点C，使得为等腰直角三角形； ④若直线与双曲线另一个交点为D，则对于任意的点C都不可能使得成立． 其中所有正确的结论为（     ） A．①②③ B．②④ C．② D．①③④ 【答案】B 【分析】首先根据点 A 坐标求出反比例函数解析式，进而求出点 B 坐标和直线 解析式； 对于①，考虑直线 与双曲线相切或垂直于 x 轴的特殊情况； 对于②，计算 的面积，设点 C 坐标表示 的面积，列方程求解； 对于③，分为直角三种情况讨论，结合等腰三角形性质验证点 C 是否在 x 轴正半轴； 对于④，假设，利用中点公式求出点 D 和 C 的坐标，再验证 是否等于 ． 【详解】解： ∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为， ∵点在双曲线上， ∴， 即， 把和代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为； 对于①：当直线 与双曲线相切于点 A 时，联立方程组只有一组解， 设直线 为，把代入得： ， 即， ∴直线 为， 令 ， 整理得：， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 此时直线为， 令得 ， 解得：，点 在 x 轴正半轴，符合题意，故结论①错误； 对于②：设直线 交 x 轴于点E， 把代入得：， 解得：， ∴点 ， ， 设，则， , 令， 解得， ∵， ∴ 存在点 满足条件， 故结论②正确； 对于③：∵，， ∴， 设点C的坐标为， ， ， 当时，， ∴， 解得：， 此时， ∴，即，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意；故结论③错误； 对于④：若 ，则 D 为线段中点， 设，则， ∵点 D 在双曲线上， ∴， 解得 ， 此时 ，， ∴，， ∴， ∴不可能使得 成立，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是②④． 44．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤的面积等于，其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】（1）求出，同理，可判断⑤①；分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则，根据，可得，可得四边形为平行四边形，可判断②；证明四边形和是平行四边形，可判断④． 【详解】解：∵轴， ∴， 同理，故⑤正确； ∴，故①正确； 如图，分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，故②正确； ③根据题意无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误； 根据题意可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理四边形是平行四边形， ∴， ∴，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤． 【题型12 一次函数与反比例函数图像综合判断】 45．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． 46．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象交y轴的负半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、二、三象限可知，两结论一致，故本选项符合题意． 47．二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 48．二次函数（）的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数图象可知开口向下，即，对称轴在y轴的右侧，则有，与x轴有两个交点，则有，与y轴的正半轴交于一点，即，然后根据一次函数与反比例函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由二次函数图象可知开口向下，即，对称轴在y轴的右侧，则有，与x轴有两个交点，则有，与y轴的正半轴交于一点，即， ∴反比例函数中，图象经过第一、三象限； 一次函数中，所以该函数图象经过第一、二、三象限； ∴符合题意的只有C选项； 故选:C． 【题型13 一次函数与反比例函数交点问题】 49．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 50．如图，为一次函数与反比例函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为，是反比例函数图象上一动点，且在点P的右侧，过点作交直线于点，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，进而求出反比例函数解析式，过点P作交延长线于点G，作于点H，证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． 【详解】解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴， 如图，过点P作交延长线于点G，作于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵点M是反比例函数的图象上的一点， ∴， 解得：， ∴， ∵点M在点P的右侧， ∴点M的坐标为． 51．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，根据四边形的面积为12，得出，联立得出，根据根与系数的关系得出，代入进行求解即可． 【详解】解：设， ∴，，． ∵四边形的面积为12， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，化简整理得， 又联立，消去得：， ∴和是方程的两根． 由一元二次方程根与系数的关系可知， ∴， ∴， 解得． 52．在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先，设函数的图象与y轴交于点D，根据函数与函数相交于A、B两点，联立两个函数的表达式组成方程组，解方程组即可得出点的坐标，然后求得的长，最后，由即可求得结果． 【详解】解：如图，设函数的图象与y轴交于点D， ∵函数与函数相交于A、B两点， ∴， 解得，， ∴，， 将代入函数，得， ∴， ∴， ∴． 【题型14 一次函数与反比例函数的实际应用】 53．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 54．如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，则点A到直线距离的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式的应用， 锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出图形，理解题意是解题的关键． 过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E，分别求出F，D，E的坐标，根据勾股定理求出的长，利用三角函数求出的值，再求出的值，即可得答案． 【详解】解：如下图，过A作直线的平行线：直线，直线与x轴交于点F，与y轴交于点D，直线与y轴交于点E， 当直线与的唯一交点为A，且直线时，最小， 整理得：，此时方程有两个相等的实数根， ， 解得：（舍去）， 直线为， 当时，，则；当时，，则；当时，，则， ， ， ， 过D作与C， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 55．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图像上．若直线的函数表达式为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，可证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质得到，设设，，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则，令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图像上， ， 解得：或（不合题意舍去）， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 56．如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接，，，写出下列五个结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设，则，根据三角形的面积求出的面积，同法求出的面积，即可判断①；由①的结论可得和两三角形边上的高相等，进而可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③；由，可得，可判断④；证出平行四边形和平行四边形，可推出，进而可判断⑤；于是可得答案． 【详解】解：①设，则，由图象可知，， ∴的面积是：， 设，则， 由图象可知：，， 的面积是：， ∴的面积的面积，故①正确； ②和以为底，则两三角形边上的高相等， ∴，故②正确； ③∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，而只有当时，才有， 即不一定等于，故不一定成立；故③错误； ④∵， ∴，故④正确； ⑤∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴，故⑤正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：C． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、全等三角形的判定以及平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $