26.2二次函数的图象和性质（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2二次函数的图象和性质（暑假预习讲义）2026-2027学年 人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 二次函数的图象和性质】 二次函数的图象是一条抛物线。当＞0时，抛物线开口向上；当＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；||越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) （，） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 【知识点2 二次函数解析式的表示方法】 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【知识点3 二次函数的平移】 方法一：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成 y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m） ⑵y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c） 题型突破： 题型一：y=ax2的图象与性质 1.对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 2.抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（　　） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 3.若抛物线的开口向下，则m的值为（　　） A． B． C．3 D．﹣3 4.下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③y＝，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是（　　） A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③② 5．二次函数的图象是 ，当时，开口向 ；当时，开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ． 题型二：y=ax2+k的图象与性质 1．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 2．已知点、、都在二次函数的图象上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是 ． 4．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 5．若二次函数的图象上有两个点，则 （填“”或“”或“”）． 题型三：y=a(x+h)2的图象与性质 1.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 2．抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 3．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 4.已知函数．当时，的取值范围为 ． 5．已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 题型四：y=a(x+h)2+k的图象与性质 1．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 2.已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 3.与抛物线形状相同，顶点为（3，）的抛物线解析式为 ． 4．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 5．已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 题型五：y=ax2+bx+c的图象与性质 1.已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 2．已知二次函数图象的开口方向 ．（填“向上”或“向下”） 3．抛物线的对称轴是直线 ． 4.已知二次函数，当时，的取值范围为 ． 5.已知二次函数．    (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 ①当时，则x的取值范围为___________； ②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________． 题型六：待定系数法二次函数解析式 1.若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）    A． B． C． D． 2.已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式． 3.二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 4.已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B． （1）求抛物线的解析式． （2）求△ABC的面积． 题型七：二次函数图象的平移 1.在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的表达式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2﹣5 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1 2.把二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+3）2﹣1 3.要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（　　） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 4.若抛物线向右平移m个单位长度后经过点（3，3），则m＝（　　） A．﹣2 B．﹣2或4 C．2或4 D．2或﹣4 5.将二次函数y＝ax2﹣8ax+2的图象向左平移m（m＞0）个单位后过点（5，2），则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2二次函数的图象和性质（暑假预习讲义）2026-2027学年 人教版九年级上册 知识归纳： 【知识点1 二次函数的图象和性质】 二次函数的图象是一条抛物线。当＞0时，抛物线开口向上；当＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；||越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) （，） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 【知识点2 二次函数解析式的表示方法】 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【知识点3 二次函数的平移】 方法一：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成 y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m） ⑵y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c） 题型突破： 题型一：y=ax2的图象与性质 1.对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 【答案】B． 2.抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（　　） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【答案】A． 3.若抛物线的开口向下，则m的值为（　　） A． B． C．3 D．﹣3 【答案】B． 4.下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③y＝，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是（　　） A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③② 【答案】A． 5．二次函数的图象是 ，当时，开口向 ；当时，开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ． 【答案】 抛物线 上 下 y轴 题型二：y=ax2+k的图象与性质 1．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 2．已知点、、都在二次函数的图象上，则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 4．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】（0,8） 5．若二次函数的图象上有两个点，则 （填“”或“”或“”）． 【答案】 题型三：y=a(x+h)2的图象与性质 1.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】D 2．抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 3．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 4.已知函数．当时，的取值范围为 ． 【答案】 5．已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 【答案】，直线，，小，． 题型四：y=a(x+h)2+k的图象与性质 1．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 【答案】C 3.与抛物线形状相同，顶点为（3，）的抛物线解析式为 ． 【答案】或 4．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 5．已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标是 (2)当时，y随x的增大而增大 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标是； （2）解：， 当时，y随x的增大而增大． 题型五：y=ax2+bx+c的图象与性质 1.已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 2．已知二次函数图象的开口方向 ．（填“向上”或“向下”） 【答案】向上 3．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 4.已知二次函数，当时，的取值范围为 ． 【答案】/ 5.已知二次函数．    (1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)若点在该函数图象上 ①当时，则x的取值范围为___________； ②当（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【详解】（1）解：列表如下： x …… 0 1 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 二次函数如图所示：    （2）解：①由图可知：当时，x的取值范围为， 故答案为：； ②由图可知，该二次函数对称轴为直线， ∵y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：． 题型六：待定系数法二次函数解析式 1.若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 2.已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式． 【答案】解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， 根据题意，得， 解得， ∴所求二次函数解析式为y＝4x2﹣3x+3． 3.二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 【答案】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8， 解得：a＝2， ∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3）， 即y＝2x2﹣4x﹣6． 25． 二次函数的解析式y＝x2﹣5x+6，对称轴是直线x，顶点坐标是（）． 4.已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B． （1）求抛物线的解析式． （2）求△ABC的面积． 【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4， 把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1， 所以y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3， 令x＝0，则y＝3， ∴B点的坐标为（0，3）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得 ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3， 设对称轴直线x＝1与直线AB相交与点D， ∴当x＝1时，y＝2， ∴D点坐标（1，2）， 所以CD＝4﹣2＝2， S△CAB＝S△BCD+S△ACD（1+2）×2＝3， ∴△ABC的面积为3． 题型七：二次函数图象的平移 1.在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的表达式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2﹣5 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1 【答案】A． 2.把二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+3）2﹣1 【答案】C． 3.要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（　　） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C． 4.若抛物线向右平移m个单位长度后经过点（3，3），则m＝（　　） A．﹣2 B．﹣2或4 C．2或4 D．2或﹣4 【答案】B． 5.将二次函数y＝ax2﹣8ax+2的图象向左平移m（m＞0）个单位后过点（5，2），则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 学科网（北京）股份有限公司 $