第03讲 实际问题与一元二次方程 （暑期衔接课堂）2026年暑假人教版九年级数学上册衔接讲义

第03讲 实际问题与一元二次方程（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 传播问题 典型例题二 增长率问题 典型例题三 与图形有关的问题 典型例题四 数字问题 典型例题五 营销问题 典型例题六 工程问题 典型例题七 行程问题 典型例题八 图表信息问题 典型例题九 动态几何问题 典型例题十 握手、循环赛问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河南濮阳·期中）某品牌新能源汽车2023年销量为10万辆，2025年销量达到万辆，设这两年销量的年平均增长率为，则可列的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）某市的绿化面积在三年内从30万亩增加到75万亩，如果这三年中每年的增长率相同为x，那么可列关于x的方程是 _____． 知识点02 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河南开封·阶段检测）世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，在病毒传播中，每轮平均1人会感染x个人，若2个人患病，则经过两轮感染就共有162人患病．求x的值（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有121人感染． (1)平均每人每轮感染多少人？ (2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度下降到原来的，这样第三轮传播后感染的总人数是多少？ 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）某省大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年底，全省公共充电桩总数量已从2023年底的15万个增长至万个．设全省公共充电桩数量的年平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·三模）收官之年，为了进一步巩固提升脱贫攻坚成果，夯实增收基石，壮大产业“龙头”．某火龙果果园去年栽种果树600株，现计划扩大栽种面积，使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年（包括去年）的总栽种量为2503，求这个相同的百分数．若设这个相同的百分数为，则根据题意，可列方程为________． 知识点04 碰面问题（循环问题） 1、重叠类型（双循环） n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= 2、不重叠类型（单循环） n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【即时训练】 1．（24-25九年级下·重庆开州·阶段检测）2023年开州区成功举办了和美乡村篮球大赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）某次聚会上，每两人握一次手，所有人握手28次，则本次聚会共有______人参加． 【典型例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·北京·期末）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 _______台电脑． 【例3】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 1．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）回答以下问题： (1)解方程： ①； ②． (2)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？ 2．（2025·广东阳江·一模）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 3．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【典型例题二 增长率问题】 【例1】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·广东惠州·期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”，为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程________． 【例3】（2025·辽宁沈阳·三模）某商品原来每件的售价为200元，经过两次降价后每件的售价为162元，并且每次降价的百分率相同，求该商品每次降价的百分率． 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 2．（2026·河南周口·二模）某工厂改进生产线后，某零件日产量从第一周的500件增加到第三周的605件．若第二周、第三周相对于前一周的增长率相同． (1)求每周平均增长率； (2)按此增长率，第四周日产量预计为多少件？ 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【典型例题三 与图形有关的问题】 【例1】（2025·云南临沧·模拟预测）如图，公园中有一块长为20，宽为15的矩形场地，场地中间有3块面积都是的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为x，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广西南宁·期末）如图所示，在一幅长、宽的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是，则金色纸边的宽为 _____．    【例3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）壮族三月三的历史由来有着深厚的文化底蕴和民族特色．据史书记载，这一节日起源于壮 族的原始宗教信仰，人们认为在农历三月三日这一天，大地回春、万物复苏， 是神圣而重要的时刻．某学习小组为宣传三月三，分别制作正方形三月三活动照片卡片和长方形封皮，如图，已知正方形卡片面积为，长方形封皮的长与宽的比为．面积为， 请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮当中去？ 2．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 3．（2026九年级下·广东清远·学业考试）在数学史上，人类对解一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，古代的一些数学家还研究过一元二次方程的几何解法．下面以方程为例加以说明：公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造如图，一方面，正方形的面积为，另一方面，它又等于．即正方形的面积为：，解得：，从而得到了方程的正数解． 这种方法直观地体现了数形结合的思想． (1)阿尔·花拉子米的几何解法求方程的解，为什么只能得到一个根？ (2)请根据阿尔·花拉子米的几何解法求方程的正数解．（在下面的方框中画出几何图形，标出相应的线段长度，并写出解题过程． (3)请写出利用几何解法求解关于的一元二次方程正数解的推导过程． 【典型例题四 数字问题】 【例1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 【例2】（24-25九年级上·江西赣州·阶段检测）两个相邻的偶数的积是80，这两个偶数是_____________ 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球，它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是30． (1)求这三个连续的自然数． (2)在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积大于20的概率． 1．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段检测）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 2．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）按要求完成下列各小题． (1)一个两位数，十位上的数字比个位上的数字x小3，个位数字的平方恰好是这个两位数，列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； (2)现有一面积为的长方形，将它的长剪短5m，宽剪短2m后，恰好得到一个边长为 xm的正方形，写出y与x之间的关系式，并写出关系式中的常数项． 3．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 【典型例题五 营销问题】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段检测）某商品每天销售40件，每件盈利20元，为减少库存，让顾客得到实惠，每件降价1元，则每天多售10件，若每天盈利1430元，每件应降价_________________元． 【例3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）某商店销售甲、乙两种零食： 甲零食每袋成本5元，售价10元，每天卖30袋，售价每提高1元，每天少卖2袋； 乙零食每袋成本7元，售价14元，每天卖6袋，售价每降低1元，每天多卖4袋． 甲、乙两种零食每天卖出的袋数总数不变（总数为36袋），且售价均为整数． (1)若甲零食售价提高2元，则甲零食每天卖________袋，乙零食售价为________元； (2)当甲零食的售价提高多少元时，销售这两种零食当天的总利润是268元？ 1．（2026·江苏泰州·二模）为备战2026靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的团购优惠方案如下：若购买数量不超过30个，则每个足球的售价为180元；若购买数量超过30个，则每增加1个，每个足球的售价降低2元，但每个足球的售价不得低于120元．若该足球队共花费6750元购买该品牌足球，求该足球队购买足球的数量．                                   2．（25-26九年级上·北京·期中）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． (1)求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ (2)4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 【典型例题六 工程问题】 【例1】（2025·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【例2】（24-25八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【例3】（2025·重庆渝中·二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 3．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【典型例题七 行程问题】 【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【例3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 1．（24-25九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 2．（24-25九年级下·重庆丰都·阶段检测）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． (1)求返回时A、B两地间的路程； (2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 【典型例题八 图表信息问题】 【例1】（24-25九年级上·宁夏银川·阶段检测）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【例2】（24-25九年级下·江苏南京·阶段检测）有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__． 【例3】（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 2．（24-25九年级上·山东·课后作业）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 3．（2025·河北唐山·二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2025年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【典型例题九 动态几何问题】 【例1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【例2】（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是________． 【例3】（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点P从点C开始沿CA边以4cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿着CB边向点B移动，求几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图所示，中．，点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点分别从同时出发，当其中某一个点到达终点时，另外一点也随之停止． (1)经几秒，使的面积等于？ (2)经几秒，两点间的距离是？ 3．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）如图，在中，，点P从点C开始沿向点B以的速度移动，点Q从A开始沿向点C以的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问： (1)出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？ (2)出发多少时间时，的面积为？ (3)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【典型例题十 握手、循环赛问题】 【例1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）某校10月14日举行校篮球比赛，采用单循环积分制（每两个班之间都比赛一场），比赛总场数为105场，设参赛班级有个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·天津河北·期末）某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，则九年级参赛的班级个数为______． 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）在参加学校组织的毕业典礼后，数学社团中的每两个九年级同学之间都通过握手来告别，如果所有九年级学生一共握手55次，那么该校数学社团共有多少名九年级学生？ 1．（2025·湖北襄阳·一模）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛． （1）①共有 ______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他_____ 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛_____场，列方程：____________． 【小试牛刀】（2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了次，有多少人参加聚会？ 【综合运用】（3）将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由． 3．（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 1．（24-25九年级上·云南·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储作为国内存储芯片的龙头企业，近几年营收实现了高速增长．已知2023年公司营收为亿元，到2025年营收达到亿元．设这两年间的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（） A． B． C． D． 3．（2025九年级·陕西·专题练习）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·四川自贡·阶段检测）如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使的面积为的是（　　） A．秒钟或秒钟 B．秒钟 C．秒钟或秒钟 D．秒种或秒钟 6．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）2025年某公司一月份的销售额是100万元，要使三月份的销售额达到144万元，平均每月销售额增长的百分率为_________． 7．（25-26九年级上·福建厦门·期中）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 8．（26-27九年级上·全国·周测）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 9．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 10．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 11．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能教会多少名同学？ 12．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图所示，在一块长为，宽为的矩形场地上欲修建两条宽度相同的人行道，剩余部分种上花草（阴影部分），若要使花草面积占矩形场地的，求人行道的宽度． 13．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）科技园区内一家企业为迎合市场需求，在8月份投入资金30万元，10月份投入资金36.3万元用来研发具有独特交互功能的智能摆件． (1)求该企业这两个月投入资金的月均增长率； (2)已知该企业制作一个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件．当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件，当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的售价． 14．（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 15．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，同时，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点P运动开始后第几秒时，的面积等于？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 实际问题与一元二次方程（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 传播问题 典型例题二 增长率问题 典型例题三 与图形有关的问题 典型例题四 数字问题 典型例题五 营销问题 典型例题六 工程问题 典型例题七 行程问题 典型例题八 图表信息问题 典型例题九 动态几何问题 典型例题十 握手、循环赛问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河南濮阳·期中）某品牌新能源汽车2023年销量为10万辆，2025年销量达到万辆，设这两年销量的年平均增长率为，则可列的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，可得2024年销量为万辆，2025年销量为万辆，根据2025年销量为万辆，列出方程，即可求解． 【详解】解：设年平均增长率为x， ∵ 2023年销量为10万辆， 经过一年，2024年销量为万辆， 再经过一年，2025年销量为万辆， 又∵ 2025年销量为万辆， ∴． 故选：B 2．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）某市的绿化面积在三年内从30万亩增加到75万亩，如果这三年中每年的增长率相同为x，那么可列关于x的方程是 _____． 【答案】 【分析】设每年增长率为x，根据第一年绿化面积是30万亩，则第二年绿化面积万亩，第三年绿化面积万亩，得出等式方程即可． 【详解】解：设每年增长率为x，则第二年绿化面积万亩，第三年绿化面积万亩， 根据题意得出：． 知识点02 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河南开封·阶段检测）世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，在病毒传播中，每轮平均1人会感染x个人，若2个人患病，则经过两轮感染就共有162人患病．求x的值（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】若2个人患病，则第一轮传染中感染2x人，第二轮传染中感染x（2+2x）人，根据“若2个人患病，则经过两轮感染就共有162人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：若2个人患病，则第一轮传染中感染2x人，第二轮传染中感染x（2+2x）人， 依题意得：2+2x+x（2+2x）=162， 即， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴x的值为8． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有121人感染． (1)平均每人每轮感染多少人？ (2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度下降到原来的，这样第三轮传播后感染的总人数是多少？ 【答案】(1)10人 (2)363人 【分析】（1）设平均每人每轮感染x人，开始是1个人，则第一轮感染x人，第二轮感染人，根据经过两轮传播，共有121人感染，得出关于x的方程，解方程即可得出结果； （2）由第二轮传播后，病毒的传播力度减少到原来的可知，第三轮的传染人数为． 【详解】（1）解：设平均每人每轮感染x人， 由题意得：， 解得，（舍）， 即平均每人每轮感染10人． （2）解：（人）， 即第三轮传播后感染的总人数是363人． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意找出等量关系列方程求解是解答本题的关键． 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）某省大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年底，全省公共充电桩总数量已从2023年底的15万个增长至万个．设全省公共充电桩数量的年平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算，从2023年底到2025年底经过两年，根据年平均增长率的增长模型列方程即可． 【详解】解：∵2023年底全省公共充电桩数量为万个，年平均增长率为， ∴2024年底的数量为万个， ∴2025年底的数量为万个， 又∵2025年底数量为万个， ∴可列方程：， 故选：D． 2．（2025·山西·三模）收官之年，为了进一步巩固提升脱贫攻坚成果，夯实增收基石，壮大产业“龙头”．某火龙果果园去年栽种果树600株，现计划扩大栽种面积，使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年（包括去年）的总栽种量为2503，求这个相同的百分数．若设这个相同的百分数为，则根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】由题意，找出题目的等量关系，然后列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得今年的栽种量为，明年的栽种量为， ∴三年的总栽种量为：． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是一道增长率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用．正确掌握题意，正确的列出方程是关键． 知识点04 碰面问题（循环问题） 1、重叠类型（双循环） n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= 2、不重叠类型（单循环） n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【即时训练】 1．（24-25九年级下·重庆开州·阶段检测）2023年开州区成功举办了和美乡村篮球大赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设共有x个队参赛，根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得， 故选：D． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）某次聚会上，每两人握一次手，所有人握手28次，则本次聚会共有______人参加． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据握手总次数的等量关系列出一元二次方程． 设本次聚会共有x人参加，利用握手总次数公式列出方程，求解并舍去不符合题意的解． 【详解】解：设本次聚会共有x人参加， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 本次聚会共有8人参加． 故答案为： 【典型例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则满足的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列出一元二次方程. 【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了个人 ∴两个人可感染个人 故一轮感染后，患流感人数为： 同理：个人可感染个人 故两轮感染后，患流感人数为： ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程与传播问题．找到每一轮感染新增人数是解题关键． 【例2】（24-25九年级上·北京·期末）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 _______台电脑． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意列方程得：， 解得（不符合题意，舍去）， 即每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑． 【例3】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【答案】(1)8个人 (2)会，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据题意得， ， 解得：（不符合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：（人）， ∵， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 1．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）回答以下问题： (1)解方程： ①； ②． (2)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？ 【答案】(1)①，；②，． (2)每轮感染中平均一台电脑感染11台． 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的应用传播问题，掌握传播问题中的等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）①利用因式分解法解一元二次方程即可； ②利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）设每轮感染中平均一台电脑感染x台，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：① 或 ∴，； ② 或 ∴，； （2）解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每轮感染中平均一台电脑感染11台． 2．（2025·广东阳江·一模）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【答案】(1)12只 (2)2197只 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可； （2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得： ， 解，得，，(不符合题意舍去)， 答：每只病鸡传染健康鸡12只； （2）解：， 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只． 3．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 【典型例题二 增长率问题】 【例1】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键．设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设该快递店揽件日平均增长率为x， 根据题意，得． 故选：B． 【例2】（24-25九年级下·广东惠州·期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”，为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月增长率为，根据前三个月累计进馆1260人次列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 【例3】（2025·辽宁沈阳·三模）某商品原来每件的售价为200元，经过两次降价后每件的售价为162元，并且每次降价的百分率相同，求该商品每次降价的百分率． 【答案】该商品每次降价的百分率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该商品每次降价的百分率为x，利用经过两次降价的售价原价（1该商品每次降价的百分率），可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该商品每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该商品每次降价的百分率为． 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 【答案】进馆人次的月平均增长率是 【分析】设进馆人次的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率是x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：进馆人次的月平均增长率是． 2．（2026·河南周口·二模）某工厂改进生产线后，某零件日产量从第一周的500件增加到第三周的605件．若第二周、第三周相对于前一周的增长率相同． (1)求每周平均增长率； (2)按此增长率，第四周日产量预计为多少件？ 【答案】(1) (2)666件 【分析】（1）设该厂每周平均增长率为，根据题意列出，即可得到答案； （2）根据增长率列出计算式即可． 【详解】（1）解：设该厂每周平均增长率为， ， 解得，（舍去）， 故增长率为； （2）解：件， 答：第四周日产量预计为件． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用． （1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可. （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可. 【详解】（1）解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， 取， 答：该品牌边刷套装的销售价应定为元． 【典型例题三 与图形有关的问题】 【例1】（2025·云南临沧·模拟预测）如图，公园中有一块长为20，宽为15的矩形场地，场地中间有3块面积都是的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为x，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．设通道的宽为，根据矩形草坪的面积，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·广西南宁·期末）如图所示，在一幅长、宽的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是，则金色纸边的宽为 _____．    【答案】8 【分析】挂图的长为，宽为，根据面积公式可得方程，求解即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为， ， 整理得：． 解得（舍）． 答：金色纸边的宽度为． 故答案为：8． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，利用矩形的面积计算方法建立方程是解决问题的关键． 【例3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 【答案】道路的宽为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．耕地的面积矩形耕地的面积三条道路的面积道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽，可根据此关系列出方程求出的值，然后将不合题意的舍去即可． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解，但，不符合题意，舍去； 答：道路的宽为． 1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）壮族三月三的历史由来有着深厚的文化底蕴和民族特色．据史书记载，这一节日起源于壮 族的原始宗教信仰，人们认为在农历三月三日这一天，大地回春、万物复苏， 是神圣而重要的时刻．某学习小组为宣传三月三，分别制作正方形三月三活动照片卡片和长方形封皮，如图，已知正方形卡片面积为，长方形封皮的长与宽的比为．面积为， 请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮当中去？ 【答案】能，计算见解析 【分析】设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为得到，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：设长方形封皮的宽为，则长为， 依题意，得， 整理，得，解得（负值已舍去）， ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为， ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 2．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，理由 设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）略 3．（2026九年级下·广东清远·学业考试）在数学史上，人类对解一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，古代的一些数学家还研究过一元二次方程的几何解法．下面以方程为例加以说明：公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造如图，一方面，正方形的面积为，另一方面，它又等于．即正方形的面积为：，解得：，从而得到了方程的正数解． 这种方法直观地体现了数形结合的思想． (1)阿尔·花拉子米的几何解法求方程的解，为什么只能得到一个根？ (2)请根据阿尔·花拉子米的几何解法求方程的正数解．（在下面的方框中画出几何图形，标出相应的线段长度，并写出解题过程． (3)请写出利用几何解法求解关于的一元二次方程正数解的推导过程． 【答案】(1)见详解 (2)，图见详解 (3)，过程见详解 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）把边长为3和x的两个小正方形拼成一个大正方形，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）同理（2）的过程可进行求解． 【详解】（1）答：因为在几何解法中，x代表的是正方形的边长，边长不能为负数，所以只能得到方程的正数解 （2）解：把边长为3和x的两个小正方形拼成一个大正方形，如图所示： ∴大正方形的面积为， 由方程配方得：， ∵，， ∴， ∴， 即是方程的正数解； （3）解：根据题意可构造如下图， ∴大正方形的面积为， 由方程配方得：， ∵，， ∴， ∴， 即是方程的正数解． 【典型例题四 数字问题】 【例1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数为， 当时，，此时这个两位数为， 综上所述，这个两位数为25或36， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·江西赣州·阶段检测）两个相邻的偶数的积是80，这两个偶数是_____________ 【答案】-10，-8或8，10 【分析】设两个相邻偶数中较小的一个是x，则另一个是．根据题意得，进而求解即可． 【详解】解：设两个相邻偶数中较小的一个是x，则另一个是．根据题意，得：， ∴， ∴ ． 当时，； 当时，． 故答案为：-10，-8或8，10． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球，它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是30． (1)求这三个连续的自然数． (2)在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积大于20的概率． 【答案】(1)三个连续的自然数是4，5，6 (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）设这三个连续的自然数分别为， 根据题意可列方程为， 求出的值，即可得出答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两数之积大于20的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵两数的积的最大值是30且三个自然数是连续的，设这三个数是，x，，则， 解得（舍去），， ∴较大的两个数是5和6． 则三个连续的自然数是4，5，6． （2）树状图如下： ∴ 1．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段检测）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 【答案】(1)满足上述结论，理由见详解 (2)见详解 (3)，；， 【分析】本题考查了整数规律问题及一元二次方程的应用； （1）根据已知条件进行运算，即可求解； （2）计算的结果是否能被整除，即可求解； （3）根据规律可得方程，解方程，即可求解； 理解规律，并能根据规律得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：满足上述结论； 理由如下： ， ， 为偶数； （2）解： ， 为偶数； 故上述结论正确； （3）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ，， 或，， 故符合要求的偶数为，；，． 2．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）按要求完成下列各小题． (1)一个两位数，十位上的数字比个位上的数字x小3，个位数字的平方恰好是这个两位数，列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； (2)现有一面积为的长方形，将它的长剪短5m，宽剪短2m后，恰好得到一个边长为 xm的正方形，写出y与x之间的关系式，并写出关系式中的常数项． 【答案】(1) (2)，常数项是10 【分析】本题考查一元二次方程的应用以及多项式的常数项． （1）根据两位数的表示方法，结合已知条件列出方程，再化为一般形式． （2）先根据长方形和正方形的边长关系表示出长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出关系式，最后确定常数项． 【详解】（1）解：设个位数为，则十位数为， 又个位数字的平方恰好是这个两位数， 所以， 即 （2）解：由题意得 常数项是10． 3．（24-25九年级上·江西九江·阶段检测）下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程求解即可； （2）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程解，结合图形进行分析即可． 【详解】（1）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， ∴最小的数为6． （2）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， 由图可知，当最小的数为3时，不能圈出4个数， ∴最小数与最大数的乘积不能为33． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解． 【典型例题五 营销问题】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，根据题意列方程即可； 【详解】解：设每台冰箱定价元时，种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，由题意得： ， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段检测）某商品每天销售40件，每件盈利20元，为减少库存，让顾客得到实惠，每件降价1元，则每天多售10件，若每天盈利1430元，每件应降价_________________元． 【答案】9 【分析】设每件应降价元，则每天销售件，每件盈利元，由此列方程即可求解． 【详解】解：设每件应降价元， 由题意知， 整理，得， 解得，， 为减少库存，让顾客得到实惠， 每件应降价9元． 故答案为：9． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据销量、单件盈利、总盈利的关系列出方程． 【例3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）某商店销售甲、乙两种零食： 甲零食每袋成本5元，售价10元，每天卖30袋，售价每提高1元，每天少卖2袋； 乙零食每袋成本7元，售价14元，每天卖6袋，售价每降低1元，每天多卖4袋． 甲、乙两种零食每天卖出的袋数总数不变（总数为36袋），且售价均为整数． (1)若甲零食售价提高2元，则甲零食每天卖________袋，乙零食售价为________元； (2)当甲零食的售价提高多少元时，销售这两种零食当天的总利润是268元？ 【答案】(1)26，13 (2)当甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据题意列出算式进行计算即可求解； （2）设甲零食的售价提高x元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：甲零食的售价提高2元，则甲零食每天卖出（袋）， 则乙销售了（袋）， 乙零食的售价为（元）． （2）解：设甲零食的售价提高x元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，由题意得： ， ∴， 解得，， ∵售价均为整数， ∴． 答：甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元． 1．（2026·江苏泰州·二模）为备战2026靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的团购优惠方案如下：若购买数量不超过30个，则每个足球的售价为180元；若购买数量超过30个，则每增加1个，每个足球的售价降低2元，但每个足球的售价不得低于120元．若该足球队共花费6750元购买该品牌足球，求该足球队购买足球的数量． 【答案】45个 【分析】设该足球队购买了x个足球，先判断，然后根据总花费6750元，列出方程，解方程，然后根据每个足球的售价不得低于120元，再进行判断即可． 【详解】解：设该足球队购买了x个足球， 若购买30个，总价为（元）， ∵， ∴， 则， 整理得：， ∴，，                                       当时，单价为（元），，不符合题意，舍去； 当时，单价为（元），，符合题意． 答：该足球队购买了45个足球． 2．（25-26九年级上·北京·期中）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利 2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】(1) ， (2) 每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元 (3) 不可能 【分析】（1）根据销售量=原销售量+降价增加的销售量，单件利润=原单件利润-降价金额，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程求解； （3）同样根据总利润关系列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数解，即可得出结论． 【详解】（1） 解： 已知每件降价1元，多售出2件，降价元时，多售出件 原每天售出20件， 因此每天销售量为件 ，原单件利润为元， 降价元后，单件盈利为元． （2）根据总利润等于单件盈利乘销售量， 列方程得 整理得 因式分解得 解得 因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元． （3） 假设平均每天赢利2000元， 列方程得 整理得 判别式得 因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价 所以平均每天赢利2000元不可能． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． (1)求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ (2)4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 【答案】(1)每顶普通帐篷进价元，每顶星空帐篷进价元 (2) 【分析】（1）设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶列方程求解即可； （2）根据普通帐篷总费用为元，星空帐篷数量为顶，新进价为元，由总采购费为12000元，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶 列分式方程： 化简得：，解得 经检验，是原方程的解， 因此 即普通帐篷进价200元，星空帐篷进价400元； （2）解：4月份采购数量： 普通帐篷数量：顶，星空帐篷数量：顶， 5月份采购条件：普通帐篷：数量25顶，新进价为元，总费用：元； 星空帐篷：数量为顶，新进价为元， 由总采购费为12000元，列方程： 化简整理得： 因为， 所以 【典型例题六 工程问题】 【例1】（2025·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 【例2】（24-25八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 【例3】（2025·重庆渝中·二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】(1)300 (2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 3．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 【典型例题七 行程问题】 【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 【例2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故甲走的步数是． 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）． 注：步数×平均步长＝距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求x的值； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 【答案】（1）①，② ；（2）的值为0.1；（3）王老师这的平均步长为0.5米/步． 【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）； （2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案； （3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长． 【详解】（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）； ②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）； 故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）； （2）根据题意得， 解得（舍去），. 则的值为0.1. （3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000， 500÷（24000−23000）＝0.5（m）． 答：王老师这500米的平均步长为0.5米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键． 1．（24-25九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 2．（24-25九年级下·重庆丰都·阶段检测）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． (1)求返回时A、B两地间的路程； (2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 【答案】(1)1800米 (2)52分钟 【分析】本题考查一元一次方程，一元二次方程的应用． （1）可设返回时两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解； （2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得： ， 解得， 答：返回时A、B两地间的路程为1800米； （2）解：设小明从A地到C地共锻炼了y分钟，由题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）． 答：小明从A地到C地共锻炼52分钟． 【典型例题八 图表信息问题】 【例1】（24-25九年级上·宁夏银川·阶段检测）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 【例2】（24-25九年级下·江苏南京·阶段检测）有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__． 【答案】 【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为． 【详解】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， 共比赛场数为， 共比赛了45场， ， 故答案为． 【点睛】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 【例3】（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 【答案】(1)15； (2)乙公司人． 【分析】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案； （2）设乙公司员工人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均收费减少60元，列出方程，求出的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数． 【详解】（1）解：设甲公司有人， ， ， （人）． 故答案为： （2）设乙公司人， ， ，， 若，每人费用：，不符舍去， 若，每人费用：，符合， 答：乙公司人． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·山东·课后作业）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 【答案】(1)超过部分应交(元)；(2) ；(3) 8月份该户居民交电费元． 【分析】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问. 【详解】解：(1)超过部分应交(元)； (2)由9月份交电费元，该户9月份用电量已超过规定的，所以9月份超过部分应交电费，即，解得，，由10月份的交电费元看，该户10月份的用电量没有超过，所以．所以． (3)当时，超过部分应交元，所以8月份该户居民交电费元． 【点睛】本题考查了学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键. 3．（2025·河北唐山·二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2025年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 【典型例题九 动态几何问题】 【例1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是________． 【答案】 【分析】根据题意设，则，在中，用含的式子表示出，根据两个小球的速度相等，时间相等，即可求解． 【详解】解：，，，设，则， 在中，， ∵两个小球滚动的速度相等，设速度为，根据题意可知，一个小球从点出发，另一小球立即从点出发，恰好在点处截住，则运动时间相等， ∴，则， ∴，解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查动点、方程与直角三角形的综合，掌握直角三角形的勾股定理，根据数量关系列方程，解方程是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点P从点C开始沿CA边以4cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿着CB边向点B移动，求几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ 【答案】5秒 【分析】设x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，在△ABC中，∠C=90°，根据面积关系，可得方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，则CP=4xcm，CQ=3xcm， 由题意得：×3x×4x=×30×40×， 解得：x1=5，x2=-5（不符合题意，舍去）， 答：5秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据△PCQ与△ABC的面积关系列出方程是解决问题的关键． 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或时，的面积为 【分析】此题主要考查了动点问题，一元二次方程的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或时，的面积为． 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图所示，中．，点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点分别从同时出发，当其中某一个点到达终点时，另外一点也随之停止． (1)经几秒，使的面积等于？ (2)经几秒，两点间的距离是？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用直角三角形的面积公式列方程求解． （）根据题意表示出的长，再根据三角形的面积公式列方程即可． （）设经过秒，两点间的距离为，先根据点的运动表示出，，再根据勾股定理，列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒，使的面积等于， 已知点的速度是，则， ∴， 点的速度是，则， ∵， 根据三角形的面积公式，得， ， 解得或． 故经过秒或秒，能使的面积等于． （2）设经过秒，两点间的距离是， 由()知∴，， ∵， 根据勾股定理， 即：， 整理，得， 根据求根公式， 解得：或（时间不能为负，舍去）， ∴经过秒，两点间的距离是． 3．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）如图，在中，，点P从点C开始沿向点B以的速度移动，点Q从A开始沿向点C以的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问： (1)出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？ (2)出发多少时间时，的面积为？ (3)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】(1)2秒 (2)当出发秒或秒时，的面积为 (3)是，最大面积为，此时运动时间3秒 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）利用勾股定理列出方程进行求解即可； （2）利用面积公式，列出方程进行求解即可； （3）利用面积列出二次函数解析式，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 由题意，得：， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：出发2秒时间时，点P，Q之间的距离等于 （2）由题意得：， 解得：或； 答：当出发秒或秒时，的面积为； （3）有最大值： ， ∴当时，面积最大为． 【典型例题十 握手、循环赛问题】 【例1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）某校10月14日举行校篮球比赛，采用单循环积分制（每两个班之间都比赛一场），比赛总场数为105场，设参赛班级有个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，单循环赛的总场数公式为班级数x与的乘积的一半，即． 【详解】解：设参赛班级有x个， ∵每两个班之间比赛一场， ∴总场数为． 又∵比赛总场数为105， ∴可列方程为， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·天津河北·期末）某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排场比赛，则九年级参赛的班级个数为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设九年级参赛的班级有个，由题意列出方程，然后求解并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设九年级参赛的班级有个， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）在参加学校组织的毕业典礼后，数学社团中的每两个九年级同学之间都通过握手来告别，如果所有九年级学生一共握手55次，那么该校数学社团共有多少名九年级学生？ 【答案】11名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：设该校数学社团共有名九年级学生，根据所有九年级学生一共握手55次，列出一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】解：设该校数学社团共有名九年级学生， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该校数学社团共有11名九年级学生． 1．（2025·湖北襄阳·一模）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛. 【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛.依题意列方程得：   ，    解得：，.      不合题意舍去， 答：比赛组织者应邀请8个队参赛. 【点睛】本题是一元二次方程的应用，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛． （1）①共有 ______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他_____ 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛_____场，列方程：____________． 【小试牛刀】（2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了次，有多少人参加聚会？ 【综合运用】（3）将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）①28；②，，；（2）5人；（3）能为整数，见解析 【分析】（1）①利用乘法运算即可求解； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有x（x-1）场比赛，可以列出一元二次方程； （2）同（1）的方法列出一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可求解； （3）同（1）的方法得到，，进一步求解即可． 【详解】解：（1）①共有场比赛； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有x（x-1）场比赛， 根据题意，列出相应方程：x（x-1）=28， 故答案为：28；②（x-1），，； （2）设有人参加聚会， 根据题意，得：， 解得，（舍去） 答：一共有人参加聚会； （3）依题意得，， ， ∵n为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴当或时，为整数． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 3．（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)3 (2) (3)10人 (4) 解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得； （3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得； （4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）略 1．（24-25九年级上·云南·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，总共送出的张数应该是x(x-1)张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张， ∴总共送出的张数应该是x(x-1)=2070， 故选：A 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储作为国内存储芯片的龙头企业，近几年营收实现了高速增长．已知2023年公司营收为亿元，到2025年营收达到亿元．设这两年间的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题思路是根据年平均增长率依次推导得到2025年营收的表达式，进而得到正确方程． 【详解】解：∵已知2023年营收为亿元，年平均增长率为， ∴2024年营收为亿元， ∴2025年营收为亿元 又∵2025年营收为亿元 ∴可列方程． 3．（2025九年级·陕西·专题练习）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（    ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米， 根据题意得：， 去分母得： ， 即， 解得：或（舍去）， 经检验分式方程的解，且符合题意， ， 则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为， 则． 5．（24-25九年级下·四川自贡·阶段检测）如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使的面积为的是（　　） A．秒钟或秒钟 B．秒钟 C．秒钟或秒钟 D．秒种或秒钟 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、动点几何，设秒时，的面积为，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，再根据点运动的时间，把不符合题意的解舍去． 【详解】解：设秒时，的面积为， 则有，， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，， ， ， 当秒时，的面积为， 故选：B． 6．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）2025年某公司一月份的销售额是100万元，要使三月份的销售额达到144万元，平均每月销售额增长的百分率为_________． 【答案】 【分析】先根据平均增长率的规律列出关于增长率的一元二次方程，舍去不符合实际意义的根，即可得到结果． 【详解】解：设平均每月销售额增长的百分率为， 根据题意得：， 解得：，， 因为增长率不能为负数，所以舍去， 即平均每月销售额增长的百分率为． 7．（25-26九年级上·福建厦门·期中）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会名同学． 由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会名同学． 故答案为：． 8．（26-27九年级上·全国·周测）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【答案】100 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 故最小的数为：9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18， 最大的数为：25， 故这6个数的和为：． 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 9．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 11．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能教会多少名同学？ 【答案】名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每位同学每节课能教会名同学，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每位同学每节课能教会名同学， 根据题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每位同学每节课能教会名同学． 12．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图所示，在一块长为，宽为的矩形场地上欲修建两条宽度相同的人行道，剩余部分种上花草（阴影部分），若要使花草面积占矩形场地的，求人行道的宽度． 【答案】人行道的宽度为2米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设人行道的宽度为，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设人行道的宽度为，则 ， ， ， ，（舍）. 答：人行道的宽度为2米． 13．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）科技园区内一家企业为迎合市场需求，在8月份投入资金30万元，10月份投入资金36.3万元用来研发具有独特交互功能的智能摆件． (1)求该企业这两个月投入资金的月均增长率； (2)已知该企业制作一个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件．当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件，当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的售价． 【答案】(1)10% (2)75元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用－增长率问题和利润问题，增长率问题：初始量为，终止量为，平均增长率为，则经过两次增长的等量关系为；利润问题：总利润＝单件利润×数量．熟练掌握根据等量关系建立一元二次方程是解题的关键． （1）初始量8月份为30万元，终止量10月份为36.3万元，设平均增长率为，根据增长率问题的等量关系建立一元二次方程即可求解． （2）可设智能摆件售价为元，则单件利润为元，每天销售量为，根据总利润＝单件利润×数量列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设该企业这两个月投入资金的月均增长率为， 由题意得：， 解得，（舍去）， 答：该企业这两个月投入资金的月均增长率为10%． （2）解：设智能摆件售价为元， 由题意得：， 解得，， ∵优惠力度要最大， ∴． 答：智能摆件售价为75元． 14．（25-26九年级上·江苏南通·期中）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价元． (1)降价后每件T恤衫的利润为__________（元），平均每天可多售出__________件（用含的代数式表示）； (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ (3)每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？ 【答案】(1)， (2)每件T恤衫应降价15元 (3)每件应降价10元 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程或函数表达式是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． （3）设利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销量建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，降价后的每件T恤衫的利润为元，平均每天可多售出件； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽快减少库存、增加盈利， ∴； 答：每件T恤衫应降价15元． （3）解：设利润为元，由题意得，， ∵， ∴当时，使每天获得的利润最大， ∴每件应降价10元． 15．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，同时，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点P运动开始后第几秒时，的面积等于？ 【答案】点P运动开始后第2秒或4秒时，的面积等于 【分析】设出时间，根据路程关系表示出线段的长度，代入三角形面积公式，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设点P运动开始后第t秒时，的面积等于， 由题意得：， 解得：或， 答：点P运动开始后第2秒或4秒时，的面积等于． 【点睛】 本题考查了几何动点问题，相关知识点有：矩形的性质、三角形面积、一元二次方程等，表示出线段的长度是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $