精品解析：山西省晋中市昔阳县2025-2026学年第二学期七年级期末数学试卷

昔阳县2025—2026学年第二学期七年级期末质量测评题（卷） 数学 【温馨提示】 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在本试卷上完成． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的余角是，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余角的定义直接计算即可． 【详解】解：∵ 互余的两个角的度数和为，的余角是， ∴． 2. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念知，C选项中文字上方的图案是轴对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，理解此概念是关键． 3. 2026年4月15日，山西五大文脉旅游线路发布，分别是：华夏之根，土木华章，晋魂春秋，雄关万里，表里山河．某自媒体创作者计划从这五条线路中随机选择一条进行实地探访，则他选中“华夏之根”线路的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数出所有等可能结果数和所求事件的结果数，然后利用概率公式，即可计算． 【详解】∵从5条线路中随机选择1条，共有5种等可能的结果，选中“华夏之根”线路的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，选中“华夏之根”线路的概率为． 4. 年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外激光光源系统，理论上可支撑芯片制造工艺．若，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，由于，可得，再利用科学记数法的表示方法表示即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、和不属于同类项，不能相加，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则等知识点，运用以上知识点正确计算每个选项的值是解题关键． 6. 如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理，确定第三边的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据三角形的三边关系可得： ， 即 ，选项中只有符合该范围． 7. 山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据“大量重复试验中，事件的稳定频率可作为其概率的估计值”的统计原理，观察折线统计图中沙棘树苗的成活频率最终稳定在附近，以此估计该种沙棘树苗成活的概率即可． 【详解】解：从折线统计图可以看出，随着试验的推进，沙棘树苗成活棵数的占比（即成活频率）逐渐稳定在附近，因此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为． 故选：C． 8. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示，其中，，分别可以绕点，上下调节一定的角度，经使用发现：当，且时，台灯光线最佳，此时为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 9. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）之间有下面的关系： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 11 12 下列说法不正确的是（ ） A. x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B. 弹簧不挂重物时的长度为 C. 物体质量每增加，弹簧长度y增加 D. 所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了表格法表示两个变量的关系，根据表格数据逐项判断即可． 【详解】解：A、由表得：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，则正确，故不符合题意； B、由表得：当时，，则弹簧不挂重物时的长度为，则正确，故不符合题意； C、由表得：当时，，则，则物体质量每增加，弹簧长度y增加，则正确，故不符合题意； D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，则错误，故符合题意； 故选：D． 10. 如图，，点在线段上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到，，进而求出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ．， ，即， ， ， ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键是掌握运算法则． 12. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 13. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形（），座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，再利用角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，、是的中线，连接，的面积是20，则的面积是________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分求解即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积是20， ∴， ∵是的中线， ∴，即是的中线， ∴，即的面积是5． 15. 如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】已知，两个三角形全等存在两种对应情况：①；②，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】解：由题意得：，，， ，与全等，分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得：， ，， 将代入，得，解得； 情况2：， 此时对应边：，， ，即， 解得：， ，， 将代入，得，解得， 综上，的值为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）计算： （2）（用乘法公式简便计算） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再加减运算即可求解； （2）将原数化为，再利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 18. 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） （2）的面积为 　 　；（直接写答案） （3）在直线l上找一点P，使的长最短．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，即为所求； ． （2）5 （3）如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 19. 如图，在中，点，在边上，点在边上，点在边上，，且，请判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】 理由：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】由，利用平行线的内错角相等得到，再结合已知条件进行等量代换，推出，从而利用同旁内角互补判定． 【详解】略 20. 2025年12月2日是第14个“全国交通安全日”，主题是“文明交通礼行天下”，学校里也纷纷开展了校园安全宣讲活动，提醒同学们在上下学途中特别要注意骑车安全，不满16周岁不得骑行电动车．周末，小明骑单车从家出发去博物馆，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后立即前往博物馆．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离与时间之间的关系如图所示，根据图中提供的信息回答下列问题． （1）图中因变量是 ； （2）小明家到博物馆的路程是 米，小明在书店停留了 分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请通过计算比较，在整个从家到博物馆的过程中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 【答案】（1）离家距离 （2）1500；4 （3）在分钟时间段小明骑车速度最快，速度为300米/分钟，在安全限度内． 【解析】 【分析】（1）在距离与时间的关系图象中，时间是自变量，离家距离随时间的变化而变化，是因变量． （2）由图象终点纵坐标可得家到博物馆的路程；由水平线段的时间差可得在书店的停留时间． （3）分段计算各时间段的骑行速度，比较大小后与安全限度300米/分钟进行对比． 【小问1详解】 解：在离家距离与时间的关系中，时间变化引起离家距离的变化， 因变量是离家距离． 【小问2详解】 解：由图象可知，当时间为16分钟时，离家距离为1500米， 小明家到博物馆的路程是1500米， 小明在书店停留的时间为（分钟）． 【小问3详解】 解：分三个阶段计算小明骑车的速度： 第1阶段（分钟）：速度（米/分钟）， 第2阶段（分钟）：速度（米/分钟）， 第3阶段（分钟）：速度（米/分钟）， ， 在分钟时间段小明骑车速度最快，速度为200米/分钟， ∵ 200米/分钟没有超过300米/分钟的安全限度， ∴速度在安全限度内． 21. 阅读与思考 【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直观，形少数时难入微，”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．将四个长为，宽为的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． 任务： （1）观察发现：请你观察图2用两种不同的方法表示正方形的面积，写出，，之间的一个等量关系式为 ； （2）理解应用：根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）用两种方法表示正方形的面积：方法一，大正方形的面积减去四个长方形的面积；方法二，直接求正方形的边长再算面积． （2）将第(1)问的等量关系中的替换为，替换为，代入已知条件求解． 【小问1详解】 解：正方形的边长为， 正方形的面积为， 四个长方形的面积之和为， 正方形的面积， 又正方形的边长为， 正方形的面积， ． 【小问2详解】 解：由(1)的结论， 令，，得， 即， ，， ， ， ， 或． 22. 角是常见的轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，数学课上同学们对角平分线的作法展开了研究． 课本学习 数学工具 操作探索 【作图步骤】 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点C： ③作射线， 射线就是 的平分线． 【工具介绍】仪器是一个角平分仪，其中， ． 【操作步骤】 ①将角平分仪的顶点Q与 的顶点O重合； ②调整角平分仪，使点D落在边上，点E落在边上； ③沿作一条射线，交于点L，即为的角平分线． 【工具介绍】把两个全等的含的和按如图所示放置． 【操作步骤】 ①将等角与重合后放置在的顶点O处， 边， 落在边上，边，落在边上； ②标记边与的交点为P，作射线，则射线即为的平分线． （1）如图1，射线是的平分线的依据是______； A． B． C． D． （2）如图2，小明使用角平分仪作的角平分线，过点L作于点K，若，求的面积； （3）如图3，小明受到启发后研究了一种角平分线的作法．此时射线是否为的平分线？请说明理由． 【答案】（1）C （2） （3）解：射线是的平分线，理由如下： ∵， ∴，，， ∴，即． 又， ， ∴． 在和中：， ， ，即是的平分线． 【解析】 【分析】（1）因为作图步骤中得到了三组对应边相等，所以可利用全等三角形的判定定理来确定依据，进而判断是角平分线的理由． （2）因为是角平分线，根据角平分线的性质可得到点L到的距离等于的长度；然后利用三角形面积公式，代入对应底和高的数值即可计算面积． （3）因为已知两个三角形全等，所以可得对应边、对应角相等；再结合已知条件，可证明 ，根据全等三角形对应角相等，得到，从而判断是否为角平分线． 【小问1详解】 解：由尺规作图步骤可得：，，为公共边，三边对应相等，依据判定，从而得到是角平分线，因此选C． 【小问2详解】 解：∵是的平分线， 又∵，， ∴点到的距离h也等于．  ∴． 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A． B． C． D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 （2）如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 （3）如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ． 【答案】（1）C （2），且， 理由：如图，设交于点， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据判定三角形全等即可； （2）设交于点，由角的和差得夹角相等，证明，得到，再通过三角形内角和定理求出，即可得到； （3）设与交于点，首先证明，得到，再通过三角形内角和定理求出； 【小问1详解】 解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，设与交于点， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昔阳县2025—2026学年第二学期七年级期末质量测评题（卷） 数学 【温馨提示】 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在本试卷上完成． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的余角是，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年4月15日，山西五大文脉旅游线路发布，分别是：华夏之根，土木华章，晋魂春秋，雄关万里，表里山河．某自媒体创作者计划从这五条线路中随机选择一条进行实地探访，则他选中“华夏之根”线路的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外激光光源系统，理论上可支撑芯片制造工艺．若，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 7. 山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 8. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示，其中，，分别可以绕点，上下调节一定的角度，经使用发现：当，且时，台灯光线最佳，此时为（ ） A. B. C. D. 9. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）之间有下面的关系： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 11 12 下列说法不正确的是（ ） A. x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B. 弹簧不挂重物时的长度为 C. 物体质量每增加，弹簧长度y增加 D. 所挂物体质量为时，弹簧长度为 10. 如图，，点在线段上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是___． 12. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 13. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形（），座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是________． 14. 如图，、是的中线，连接，的面积是20，则的面积是________． 15. 如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）计算： （2）（用乘法公式简便计算） 17. 先化简，再求值，其中，． 18. 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） （2）的面积为 　 　；（直接写答案） （3）在直线l上找一点P，使的长最短．（保留作图痕迹） 19. 如图，在中，点，在边上，点在边上，点在边上，，且，请判断，的位置关系，并说明理由． 20. 2025年12月2日是第14个“全国交通安全日”，主题是“文明交通礼行天下”，学校里也纷纷开展了校园安全宣讲活动，提醒同学们在上下学途中特别要注意骑车安全，不满16周岁不得骑行电动车．周末，小明骑单车从家出发去博物馆，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后立即前往博物馆．小明从家出发到博物馆的过程中，离家距离与时间之间的关系如图所示，根据图中提供的信息回答下列问题． （1）图中因变量是 ； （2）小明家到博物馆的路程是 米，小明在书店停留了 分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请通过计算比较，在整个从家到博物馆的过程中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 21. 阅读与思考 【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直观，形少数时难入微，”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．将四个长为，宽为的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． 任务： （1）观察发现：请你观察图2用两种不同的方法表示正方形的面积，写出，，之间的一个等量关系式为 ； （2）理解应用：根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值． 22. 角是常见的轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，数学课上同学们对角平分线的作法展开了研究． 课本学习 数学工具 操作探索 【作图步骤】 ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点C： ③作射线， 射线就是 的平分线． 【工具介绍】仪器是一个角平分仪，其中， ． 【操作步骤】 ①将角平分仪的顶点Q与 的顶点O重合； ②调整角平分仪，使点D落在边上，点E落在边上； ③沿作一条射线，交于点L，即为的角平分线． 【工具介绍】把两个全等的含的和按如图所示放置． 【操作步骤】 ①将等角与重合后放置在的顶点O处， 边， 落在边上，边，落在边上； ②标记边与的交点为P，作射线，则射线即为的平分线． （1）如图1，射线是的平分线的依据是______； A． B． C． D． （2）如图2，小明使用角平分仪作的角平分线，过点L作于点K，若，求的面积； （3）如图3，小明受到启发后研究了一种角平分线的作法．此时射线是否为的平分线？请说明理由． 23. 综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A． B． C． D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 （2）如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 （3）如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $