专题04认识一元二次方程 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年北师大版数学八升九暑假预习讲义

专题04认识一元二次方程暑假预习讲义 · 概念理解：理解一元二次方程的定义，牢记方程满足的三个条件：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2，能准确辨别一元一次、二元一次、一元二次方程。 · 标准形式：掌握一元二次方程一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)，分清二次项、一次项、常数项，准确识别二次项系数a、一次项系数b，牢记a≠0这一关键限制条件。 · 方程的解：理解一元二次方程的根（解）的含义，会将给定数值代入方程检验，判断该数是否为方程的解。 · 建模列式：能从实际问题、几何图形问题中提取等量关系，设未知数并列出简单一元二次方程，体会方程建模思想。 · 取值辨析：能根据一元二次方程定义，结合a≠0求解字母参数的取值范围，规避忽略二次项系数不为 0 的易错点。 · 预习习惯：梳理定义辨析、参数求值、实际列方程过程中的疑问，对比一元一次方程知识建立知识关联，带着疑点课堂重点听讲。 预习必备 知识梳理 1.一元二次方程的定义 2.一元二次方程的一般形式 3.一元二次方程的解 4.由实际问题列一元二次方程 5.高频考点题型 6.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程一般式 3.由一元二次方程定义求参数 4.一元二次方程解的判定 5.一元二次方程的解求参数 6.一元二次方程的解的估算 7.求一元二次方程的各项系数 8.一元二次方程的解求代数式值 9.由实际问题列一元二次方程 10.新定义运算题 强化题型 解答题6题 知识点01：一元二次方程的定义 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.三个必备条件（缺一不可） 1 整式方程：分母不含未知数、根号内不含未知数； 2 只含 1 个未知数（通常用x表示）； 3 未知数最高次数为 2，且二次项系数不能为 0。 3.辨析对比 方程类型 核心判定条件 标准形式 核心区别 一元二次方程 ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数 2；④二次项系数≠0 ax2+bx+c=0(a≠0)\) 未知数最高次数为 2 一元一次方程 ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数 1 ax+b=0(a≠0) 未知数最高次数为 1 二元一次方程 ①整式方程；②含有两个未知数；③未知数次数均为 1 ax+by+c=0 存在两个不同未知数 知识点02：一元二次方程的一般形式 1.标准形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 2.各项名称 ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项（不含未知数）。 3.关键要求：a≠0 若a=0，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，不再是二次方程。 4.特殊形式（一般形式的变形） 缺一次项：ax2+c=0(b=0)； 缺常数项：ax2+bx=0(c=0)； 缺一次项、常数项：ax2=0(b=0,c=0)。 5.化为一般形式步骤 去分母→去括号→移项（全部移到等号左边，右边为 0）→合并同类项，按降幂排列。 知识点03：一元二次方程的解（根） 1.概念：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.检验方法：把数值代入方程左右两边，若两边相等，则该数是方程的根。 3.简单应用：已知方程的根，将根代入方程，可求方程中未知参数的值。 知识点04：根据实际问题列一元二次方程（建模） 通用步骤 1 审题，找出题目中的等量关系； 2 设未知数（直接设 / 间接设）； 3 用含未知数的代数式表示相关量； 4 根据等量关系列出等式，整理得到一元二次方程。 知识点05：高频考点题型 题型 1：判断各式是否为一元二次方程 判断依据：整式、一个未知数、最高次 2、二次项系数不为 0。 题型 2：确定二次项、一次项、常数项（先化成标准形式再找） 题型 3：含参数方程，根据一元二次方程定义求字母取值 核心限制：二次项系数a≠0，未知数次数 = 2，联立求解。 题型 4：已知方程的根，代入求参数数值 题型 5：实际几何、生活问题列一元二次方程（不要求解方程） 易错点汇总 1.整理一般形式时，移项忘记变号，导致各项系数符号出错； 2.忽略a≠0，求解参数时漏掉二次项系数不为 0 的限制条件； 3.误把分式方程、带根号未知数的方程当成一元二次方程； 4.找系数时，忘记带上该项前面的正负号； 5.实际建模时，无法准确挖掘题目隐藏的等量关系。 题型1.一元二次方程的定义 【典例】一元二次方程的常数项是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键，解题时要注意查看是否是一元二次方程一般形式．一元二次方程的一般形式为（其中），常数项是． 【详解】解：方程中，常数项是． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 【跟踪专练2】若是关于x的一元二次方程，则a的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数且最高次数为2的方程叫作一元二次方程． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列一元二次方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，含有2个未知数，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，故不是一元二次议程； ④，是一元二次方程； ⑤，是一元二次方程． 所以一元二次方程的个数为3个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 题型2.化成一元二次方程一般式 【典例】将一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 将一元二次方程化为一般形式，需通过移项使方程右边为0，并按降幂排列左边各项． 【详解】解：， 移项得， 故答案为：． 【跟踪专练1】将方程改写成的形式，则的值分别为（   ） A．1，3，2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解：， ， ，，． 故选：D． 【跟踪专练2】将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将原方程所有项移至等号左边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程化成一般形式是， 故选：． 题型3.由一元二次方程定义求参数 【典例】方程为一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为且二次项系数不为，由此确定的值 【详解】解：方程为一元二次方程，则未知数的最高次数必须为，且二次项的系数，满足条件， 故． 故答案为 【跟踪专练1】关于x的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 【跟踪专练3】关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 题型4.一元二次方程解的判定 【典例】若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：C． 【跟踪专练1】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 【跟踪专练2】在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 【跟踪专练3】若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 题型5.一元二次方程的解求参数 【典例】若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得，， 解得． 【跟踪专练1】若2是方程的一个根，则c的值是（  ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得， 解得． 【跟踪专练2】若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中求出的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解． 根据凤凰方程的定义得，根据方程且有一个解为得，通过加减消元即可求解． 【详解】解：∵方程是凤凰方程， ∴． ∵是方程的解， ∴，即． 将两式相加：，得 ， ∴，即． 将两式相减：，得 ， ∴． 故且， 故选C． 题型6.一元二次方程的解的估算 【典例】根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【跟踪专练1】观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的近似解，观察表格中的数据可得到方程的一个近似解的取值范围为，逐项判断即可得解． 【详解】解：由表格数据可知，当时，， 当时，， ∵， ∴的一个近似解的取值范围为， ∴为的一个近似解， 故选：C． 【跟踪专练2】根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 【跟踪专练3】我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求一元二次方程的近似解，通过观察表格数据，找到使的值等于100的x的范围．当时，值为99.41小于100；当时，值为100.84大于100，因此解在1.1和1.2之间． 【详解】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 题型7.求一元二次方程的各项系数 【典例】一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 【跟踪专练1】方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可得到对应系数． 【详解】解：∵原方程为， ∴整理为一般形式得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【跟踪专练2】将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 【跟踪专练3】已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需将方程化为二次项系数为正的一般形式后确定常数项． 【详解】解：展开方程，得． 由于二次项系数为负，方程两边乘以，得． 因此常数项为． 故答案为：． 题型8.一元二次方程的解求代数式值 【典例】已知是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 3 【分析】根据一元二次方程的根的定义，得到满足的关系式，再将所求代数式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入方程，得，整理，得， ∴． 【跟踪专练1】若是方程的一个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴，即， ∴ ． 故选：D． 【跟踪专练2】若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 【跟踪专练3】已知和是方程的两个解，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，先利用方程的解得到，再结合根与系数关系得到，将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴ ∴ ∵a和b是方程的两个解 ∴， ∴ ， 故选：D． 题型9.由实际问题列一元二次方程 【典例】如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，是解题的关键．设每条小道的宽为x米，根据长方形面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设每条小道的宽为x米，根据题意得： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米． 【答案】20，20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为米，则的长度为米，然后根据矩形的面积公式列出方程，结合题意舍掉不合适的结果即可． 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 根据题意得：， 解得：，， 或， 舍去， ，， 答：羊圈的边长，各为20米，20米． 故答案为：20，20． 【跟踪专练2】某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】由题意得， ， 整理得，． 故答案为：． 【跟踪专练3】某农场利用围墙为一边，用总长米的栅栏围成了如图所示的（1）（2）（3）的三块矩形区域，若这三块区域的面积都相等，且总区域面积为平米，设 ，试列出方程（化成二次项系数为的一元二次方程，要求为一般式）___________________； 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出，设，则，，根据栅栏总长为米得出，则，进而根据总区域面积为平米，列出方程，再化为一般式即可求解． 【详解】解：∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形的面积是矩形的倍， ∴， ∴； 设，则，， 由题意，得：， ∴， ∴， ∵总区域面积为平米， ∴，即； ∴ 即． 故答案为：． 题型10.新定义运算题 【典例】新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 【跟踪专练1】定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 【答案】0或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 将代入方程，根据定义运算得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：0或． 【跟踪专练2】关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】此题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 【跟踪专练3】我们规定：用方括号括起来的若干实数称为“数集”，例如：就是一个数集，其中的实数具有互异性和无序性，即任意两个实数互不相等，且改变它们排列顺序后，所得数集仍与原数集相同．如：．已知数集，数集，且． （1）若、为非负数，则________； （2）若、为任意实数，则所有可能值的和为________． 【答案】 【分析】（1）数集A，B相等，元素完全相同，且x，y为非负数，故，．结合，分情况讨论：若且，代入解得，此时；若且，解得，与非负矛盾，舍去，进而即可得到解答； （2）数集A，B均含元素，．分两种有效情况：①（同（1），符合互异性）；②，，此时、，也满足条件，得．则可求出所有可能值的和． 【详解】解：∵， ∴与的元素完全相同， ∵有意义， ∴， （1）∵为非负数， ∴， ∴，， ①当，时，则， 将代入得， 解得， ∵， ∴，符合条件，此时； ②当，时，则， 将代入， 得 ∴，与非负矛盾，舍去； 综上所述，； （2）∵含元素， ∴必有一个元素为， 当时，则，中有两个相等元素，违反互异性，舍去； 当时，①，，由得， 同（1）可得符合条件的解，故是有效解； ②，， 将代入得，，， 此时，不成立，舍去； 当时，则， ①，，则， 将代入得，， 此时，，符合互异性， ∴是有效解； ②，， 将代入得，矛盾，舍去； 综上所述，的所有可能值为和， ∴所有可能值的和为． 解答题 1．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 2．已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 【答案】没有公共根，见解析 【分析】本题考查了方程组的解，解题的关键是掌握两个方程的公共根即为两个方程组成的方程组的根； 设关于x的方程 与 有公共根，公共根为 ，推出或，结合题目条件得出，将其代入①，即可得出结论． 【详解】解：没有公共根，理由如下： 不妨设关于x的方程 与 有公共根， 设公共根为 ， 则有 得， ∴或， ，， ，，则 假设 ， 则，即，与矛盾， ， ， ∴， ， 将 代入①得 ， ∵ ，所以 均为正数，其和 必大于0， ∴ ，不成立，产生矛盾不符合题意， 关于 的两个方程没有公共根． 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 4．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 5．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 6．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04认识一元二次方程暑假预习讲义 · 概念理解：理解一元二次方程的定义，牢记方程满足的三个条件：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2，能准确辨别一元一次、二元一次、一元二次方程。 · 标准形式：掌握一元二次方程一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)，分清二次项、一次项、常数项，准确识别二次项系数a、一次项系数b，牢记a≠0这一关键限制条件。 · 方程的解：理解一元二次方程的根（解）的含义，会将给定数值代入方程检验，判断该数是否为方程的解。 · 建模列式：能从实际问题、几何图形问题中提取等量关系，设未知数并列出简单一元二次方程，体会方程建模思想。 · 取值辨析：能根据一元二次方程定义，结合a≠0求解字母参数的取值范围，规避忽略二次项系数不为 0 的易错点。 · 预习习惯：梳理定义辨析、参数求值、实际列方程过程中的疑问，对比一元一次方程知识建立知识关联，带着疑点课堂重点听讲。 预习必备 知识梳理 1.一元二次方程的定义 2.一元二次方程的一般形式 3.一元二次方程的解 4.由实际问题列一元二次方程 5.高频考点题型 6.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程一般式 3.由一元二次方程定义求参数 4.一元二次方程解的判定 5.一元二次方程的解求参数 6.一元二次方程的解的估算 7.求一元二次方程的各项系数 8.一元二次方程的解求代数式值 9.由实际问题列一元二次方程 10.新定义运算题 强化题型 解答题6题 知识点01：一元二次方程的定义 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.三个必备条件（缺一不可） 1 整式方程：分母不含未知数、根号内不含未知数； 2 只含 1 个未知数（通常用x表示）； 3 未知数最高次数为 2，且二次项系数不能为 0。 3.辨析对比 方程类型 核心判定条件 标准形式 核心区别 一元二次方程 ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数 2；④二次项系数≠0 ax2+bx+c=0(a≠0)\) 未知数最高次数为 2 一元一次方程 ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数 1 ax+b=0(a≠0) 未知数最高次数为 1 二元一次方程 ①整式方程；②含有两个未知数；③未知数次数均为 1 ax+by+c=0 存在两个不同未知数 知识点02：一元二次方程的一般形式 1.标准形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 2.各项名称 ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项（不含未知数）。 3.关键要求：a≠0 若a=0，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，不再是二次方程。 4.特殊形式（一般形式的变形） 缺一次项：ax2+c=0(b=0)； 缺常数项：ax2+bx=0(c=0)； 缺一次项、常数项：ax2=0(b=0,c=0)。 5.化为一般形式步骤 去分母→去括号→移项（全部移到等号左边，右边为 0）→合并同类项，按降幂排列。 知识点03：一元二次方程的解（根） 1.概念：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.检验方法：把数值代入方程左右两边，若两边相等，则该数是方程的根。 3.简单应用：已知方程的根，将根代入方程，可求方程中未知参数的值。 知识点04：根据实际问题列一元二次方程（建模） 通用步骤 1 审题，找出题目中的等量关系； 2 设未知数（直接设 / 间接设）； 3 用含未知数的代数式表示相关量； 4 根据等量关系列出等式，整理得到一元二次方程。 知识点05：高频考点题型 题型 1：判断各式是否为一元二次方程 判断依据：整式、一个未知数、最高次 2、二次项系数不为 0。 题型 2：确定二次项、一次项、常数项（先化成标准形式再找） 题型 3：含参数方程，根据一元二次方程定义求字母取值 核心限制：二次项系数a≠0，未知数次数 = 2，联立求解。 题型 4：已知方程的根，代入求参数数值 题型 5：实际几何、生活问题列一元二次方程（不要求解方程） 易错点汇总 1.整理一般形式时，移项忘记变号，导致各项系数符号出错； 2.忽略a≠0，求解参数时漏掉二次项系数不为 0 的限制条件； 3.误把分式方程、带根号未知数的方程当成一元二次方程； 4.找系数时，忘记带上该项前面的正负号； 5.实际建模时，无法准确挖掘题目隐藏的等量关系。 题型1.一元二次方程的定义 【典例】一元二次方程的常数项是_______． 【跟踪专练1】下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若是关于x的一元二次方程，则a的值为___________． 【跟踪专练3】下列一元二次方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2.化成一元二次方程一般式 【典例】将一元二次方程化成一般形式为______． 【跟踪专练1】将方程改写成的形式，则的值分别为（   ） A．1，3，2 B． C． D． 【跟踪专练2】将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 题型3.由一元二次方程定义求参数 【典例】方程为一元二次方程，则的值为_____． 【跟踪专练1】关于x的方程是一元二次方程，则________． 【跟踪专练2】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 题型4.一元二次方程解的判定 【典例】若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 【跟踪专练1】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【跟踪专练2】在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【跟踪专练3】若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 题型5.一元二次方程的解求参数 【典例】若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【跟踪专练1】若2是方程的一个根，则c的值是（  ） A．6 B． C． D． 【跟踪专练2】若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 【跟踪专练3】如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 题型6.一元二次方程的解的估算 【典例】根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是______． 【跟踪专练1】观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是________． 【跟踪专练3】我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 题型7.求一元二次方程的各项系数 【典例】一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【跟踪专练1】方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【跟踪专练3】已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是________． 题型8.一元二次方程的解求代数式值 【典例】已知是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【跟踪专练1】若是方程的一个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【跟踪专练2】若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【跟踪专练3】已知和是方程的两个解，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 题型9.由实际问题列一元二次方程 【典例】如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____． 【跟踪专练1】如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为_____米． 【跟踪专练2】某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）． 【跟踪专练3】某农场利用围墙为一边，用总长米的栅栏围成了如图所示的（1）（2）（3）的三块矩形区域，若这三块区域的面积都相等，且总区域面积为平米，设 ，试列出方程（化成二次项系数为的一元二次方程，要求为一般式）___________________； 题型10.新定义运算题 【典例】新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【跟踪专练1】定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 【跟踪专练2】关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【跟踪专练3】我们规定：用方括号括起来的若干实数称为“数集”，例如：就是一个数集，其中的实数具有互异性和无序性，即任意两个实数互不相等，且改变它们排列顺序后，所得数集仍与原数集相同．如：．已知数集，数集，且． （1）若、为非负数，则________； （2）若、为任意实数，则所有可能值的和为________． 解答题 1．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 4．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 5．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 6．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $