专题01菱形的性质与判定暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题01菱形的性质与判定暑假预习讲义 · 概念理解：牢记菱形定义，明确菱形与平行四边形的从属关系，能准确区分菱形、普通平行四边形、矩形的异同。 · 性质掌握：自主梳理菱形边、角、对角线、对称性四大性质，对比平行四边形性质，熟记菱形独有的特殊性质，会简单文字与几何语言书写。 · 判定运用：熟记三种菱形判定方法，分清判定的使用条件，能区分从平行四边形出发判定、从四边形直接判定两类思路。 · 计算能力：掌握菱形周长、面积两种求法（底乘高、对角线乘积的一半），能结合勾股定理完成边长、对角线长度相关计算。 · 思维规范：学会结合图形标注条件，掌握几何证明简单书写步骤，区分性质（已知菱形推边角对角线关系）与判定（已知条件证菱形）的逻辑区别。 · 预习习惯：梳理自学中对角线相关综合计算、证明题的疑问点，带着问题听课，建立特殊平行四边形的对比归纳思维。 预习必备 知识梳理 1.菱形的定义与从属关系 2.菱形的性质 3.菱形的面积计算 4.菱形的判定 5.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.菱形的性质求角度 2.菱形的性质求线段长 3.菱形的性质求面积 4.利用菱形的性质证明 5.添条件使四边形是菱形 6.证明四边形是菱形 7.由菱形的性质与判定求角度 8.由菱形的性质与判定求线段长 9.由菱形的性质与判定求面积 10.菱形与折叠问题 强化题型 解答题5题 知识点01:基本定义与从属关系 1.定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.从属关系：四边形→平行四边形→菱形；菱形是特殊平行四边形，兼具平行四边形全部性质 + 自身特有性质。 3.补充：正方形是特殊的菱形。 知识点02:菱形的性质（必考重点：通用性质 + 独有性质） 1. 继承平行四边形共有性质 对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称图形。 2. 菱形独有性质 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:菱形三种判定定理（重难点、证明题核心） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点05易错知识点（老师课堂必强调、学生易错汇总） 错误表述 正确结论 错误原因 一组邻边相等的四边形是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 缺少平行四边形前提 对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 普通四边形对角线垂直不能判定菱形 菱形对角线相等 菱形对角线互相垂直，不一定相等 混淆菱形与矩形对角线特点 菱形 4 条对称轴 菱形只有 2 条对称轴 和正方形对称轴混淆 知识点06:菱形、矩形、平行四边形核心简易区分（便于学生对比记忆） 1.平行四边形→加直角 = 矩形；平行四边形→加邻边相等 = 菱形； 2.矩形特征：角直角、对角线相等；菱形特征：四边等、对角线垂直。 题型1.菱形的性质求角度 【典例】已知，在菱形中，，在上取点P，连接，，则的度数为_________． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可． 【详解】解：在菱形中，， ∴互相垂直平分，， ∴， 当点P在上时： ∵互相垂直平分， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时： 同理： ∴；    综上：的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论． 【跟踪专练1】如图，菱形中，，则（    ） A．60° B．30° C．25° D．15° 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得AB=BC，∠B=∠D=120°，由菱形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠B=∠D=120°， ∴∠1=30°， 故选：B 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的性质，等积法得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵菱形中，于点E，于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系．根据菱形的性质求出，求出，根据，计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型2.菱形的性质求线段长 【典例】如图，、是菱形的对角线，．若，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得，，结合可求出，进而判定为等边三角形，即可得出的长 ． 【详解】解：四边形是菱形 ， ， 是等边三角形 ． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为_____．    【答案】 【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键．根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可求解． 【详解】解：∵菱形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与直角三角形斜边中线定理，关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，为的中点． ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． ∵， ∴是直角三角形； ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形和直角三角形的性质是解题关键． 先利用菱形的面积公式求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得出，从而计算出的长度． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 题型3.菱形的性质求面积 【典例】如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，含角的直角三角形，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，求出，，得到，，，则，继而求出，即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为和，重叠部分是一个面积为的菱形，则这个图案的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握是解答本题的关键．先求出两个菱形的面积再减去重叠部分． 【详解】解：菱形的面积：， 这个图案的总面积为：， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则菱形的面积为_______． 【答案】24 【详解】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由菱形的性质得到关于x的方程，掌握菱形的面积公式：菱形面积（a、b是两条对角线的长度）． 根据题意设，，由菱形的性质推出，，，，由等角对等边推出，从而得到，求出，得到，，，由勾股定理求出，得到，，，于是得到菱形的面积． 【解答】解：∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 【跟踪专练3】．如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C．12 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据证明得，由勾股定理得，最后由菱形的性质可求面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又为的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ∴, ∴； ∴菱形的面积， 故选：A． 题型4.利用菱形的性质证明 【典例】在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，理解其性质是解题的关键． 根据菱形的性质解题即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，，， ∴选项、、不合题意； 不一定成立（仅当菱形为正方形时对角线相等） ∴选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，垂足为E．若，则_________．    【答案】30 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，连接，先证明是等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出平分，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 故答案为：30． 【跟踪专练2】如图，菱形ABCD边长为4，∠B=60°，，，连接EF交菱形的对角线AC于点O，则图中阴影部分面积等于________________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，，由“”可证，可得，由面积的和差关系可求解． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，，， 是等边三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， 阴影部分面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，连接，点为的中点，交于点，交于点，则图中的等边三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，，则可证明都是等边三角形，可得，再由平行线的性质得到，则可证明都是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴都是等边三角形， ∴图中一共有4个等边三角形， 故选：A． 题型5.添条件使四边形是菱形 【典例】如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有 或 或 或 ，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； B、当平分时，， ∵， ∴， ∴， ∴，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 、当，时，不能证明是菱形，故本选项符合题意； D、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件___________能使四边形是菱形． 【答案】②③/③② 【分析】此题考查了平行四边形和菱形的判定定理，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由，得到四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理求解即可． 【详解】∵， ∴四边形是平行四边形 若添加条件①，可以证明四边形是矩形，不能证明是菱形，故①不符合题意； 若添加条件②平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故②符合题意； 若添加条件③， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故③符合题意； 综上所述，选择条件②③能使四边形是菱形． 故答案为：②③． 【跟踪专练3】在四边形中，，，添加下列条件后仍然不能推得四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形的判定，以及全等三角形的判定和性质，利用平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质判定逐项判断是否为菱形即可． 【详解】解：A． 添加，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴是菱形，故该选项不符合题意； B． 添加，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴是菱形，故该选项不符合题意； C． 添加，∵，∴，不能得出四边形是菱形，故该选项符合题意； D．添加，连接，如图，    ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 则是菱形， 故该选项不符合题意； 故选∶C． 题型6.证明四边形是菱形 【典例】如果把两张等宽的纸条交叉叠放在一起，那么重叠部分的四边形是_______．（填特殊的四边形） 【答案】菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形；熟练掌握平行四边形和菱形的判定是关键．首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形． 【详解】解：过点作于，于，   两条纸条宽度相同， ． ，， 四边形是平行四边形． ． 又． ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． 【跟踪专练1】在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； B、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，不能判定画框为菱形，符合题意； C、根据四边相等的四边形为菱形，能判定画框为菱形，不符合题意； D、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； 故选B． 【跟踪专练2】如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸①展开，就得到的图形是____________形． 【答案】菱 【分析】此题考查了利用对称设计图案以及菱形的判定．根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，据此可得到四边形为菱形． 【详解】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，只有菱形满足这一条件． 故答案为：菱． 【跟踪专练3】利用一个平行四边形画菱形，对于以下两种作法，根据画图痕迹可以判断（   ） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①②都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质及线段和垂直平分线的作法，根据作图方法结合平行四边形的性质利用菱形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：在作法①中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由作图可知垂直平分， 则， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，①正确； 在作法①中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， 由作图可知， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵不一定相等，则不一定相等， ∴不能判定 四边形是菱形，②不正确； 故选：B． 题型7.由菱形的性质与判定求角度 【典例】如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图画菱形，菱形的性质等知识，掌握这两部分知识是解题的关键；由作图知，四边形是菱形，则由，即可求解． 【详解】解：由作图知， 故四边形是菱形， 则，， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，，将沿向下翻折得到，点D为上一点，若，，，则的面积为________．    【答案】 【分析】由等腰三角形性质得，由三角形内角和定理得，由折叠得到，，由菱形性质得，求得，过B作于F，求出长，过C作于H，得，根据三角形面积公式可得出结论． 【详解】解：，， ， ， 将沿向下翻折得到， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 过B作于F， ， ， 过C作于H， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：．    【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形判定与性质，菱形判定与性质，等腰三角形性质，正确作出辅助线是解题关键． 【跟踪专练3】如图在平行四边形中，，于点，为中点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题． 【详解】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH． ∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH， ∴∠ABC=2∠ABF．故①正确， ∵DE∥CG， ∴∠D=∠FCG， 在△DFE和△CFG中， ， ∴△DFE≌△FCG（ASA）， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBG=90°， ∴BF=EF=FG，故②正确， ∵S△DFE=S△CFG， ∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH，∵CF∥BH， ∴四边形BCFH是平行四边形， ∵CF=BC， ∴四边形BCFH是菱形， ∴∠BFC=∠BFH， ∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE， ∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型8.由菱形的性质与判定求线段长 【典例】的对角线，交于点O，以下结论错误的是（   ） A． B．若，则 C． D．不可能是轴对称图形 【答案】D 【分析】题目主要考查平行四边形的性质和菱形的判定和性质，轴对称图形的判断，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 根据平行四边形的性质可判断A，C，由得到是菱形，进而可判断B，D． 【详解】解：∵平行四边形的对角线，相交于点O， ∴，，故A，C正确，不符合题意； 若， ∴是菱形 ∴，故B正确，不符合题意； ∴此时是轴对称图形，故D错误，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，△ABC中，AC=，BC=4，AB=3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是___________． 【答案】 【分析】先证明四边形CEBD是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形CEBD是菱形，进而可以解决问题． 【详解】解：∵EB∥CD，EC∥AB， ∴四边形CEBD是平行四边形， 在△ABC中， ∵AC=，BC=4，AB=3， ∴（）2+42=2+16=18=（3）2， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∵点D是AB的中点， ∴DC=AD=DB=AB=， ∴四边形CEBD是菱形， 四边形CEBD的周长=4DB=4×=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理逆定理、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定与性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键． 【跟踪专练2】如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，先根据菱形的性质得到线段的长度以及三角形的面积，然后即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为20，面积为24， ∴，， ∵分别作P点到直线、的垂线段、， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点F，若，则长为（   ） A．11 B．12 C．14 D．21 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，连接，证明四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵用直尺和圆规作出的平分线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴； 故选C． 题型9.由菱形的性质与判定求面积 【典例】如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝4，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．12 B．6 C．24 D．3 【答案】A 【分析】连接AC，BD，FH，EG，得出平行四边形ABFH，推出HF＝AB＝2，同理EG＝AD＝4，求出四边形EFGH是菱形，根据菱形的面积等于×GH×HF，代入求出即可． 【详解】解：连接AC，BD，FH，EG， ∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点， ∴AH＝AD，BF＝BC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，ADBC， ∴AH＝BF，AHBF， ∴四边形AHFB是平行四边形， ∴FH＝AB＝2， 同理EG＝AD＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点， ∴HGAC，HG＝AC，EFAC，EF＝AC，EH＝BD， ∴EH＝HG，GH＝EF，GHEF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴平行四边形EFGH是菱形， ∴FH⊥EG， ∴阴影部分EFGH的面积是×HF×EG＝×6×4＝12， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，关键是求出四边形EFGH是菱形． 【跟踪专练1】如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是__________．    【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理；首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】根据题意可得，， ∴四边形是菱形， ∴设和交于点O，    ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：24． 【跟踪专练2】如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是3， ∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3， ∴AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形． 如图，过A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ABC=60°， ∴∠BAE=90°-60°=30°， ∴AB=2BE， 在△ABE中，AB2=BE2+AE2， 即AB2=AB2+32， 解得AB=2， ∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6． 故答案是：6． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①； 根据菱形的面积结合变形即可判断④； 根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②； 根据直角三角形的性质即可判断③． 【详解】解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． 题型10.菱形与折叠问题 【典例】如图，在边长为6的菱形中，，点M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、折叠问题及勾股定理的运用，角直角三角形的性，熟知相关性质、定理，正确添加辅助线是正确解答此题的关键． 过点作于点，根据在边长为6的菱形中，，为中点，得到，从而得到，，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 在边长为6的菱形中，，为中点， ，， ， ， ， ， ∵折叠， ∴， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，M是上，，N是点上一动点，四边形沿直线翻折，点C对应点为E，当最小时， ___________． 【答案】7 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点E在上时，的值最小．作于H，如图，根据菱形的性质可求得，，在中，利用勾股定理计算出，再根据两点间线段最短得到当点E在上时，的值最小，然后证明即可． 【详解】解：作于H，如图， ∵菱形的边，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， ∵四边形沿直线翻折，点C对应点为E，， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，的值最小， 由折叠的性质得， 而， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形，菱形的性质，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形的边长为4，，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据菱形的性质证明△ABD是等边三角形，求得BD=4，再证明EF是△ABD的中位线即可得到结论． 【详解】解：连接AC，BD ∵四边形ABCD是菱形， ∴，BD平分∠ABC， ∴∠ ∵ ∴△ABD是等边三角形， ∴ 由折叠的性质得：，EF平分AO， 又∵， ∴ ∴EF为△ABD的中位线， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 解答题 1．如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． 【详解】（1）解：由菱形性质可知：． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴的长度为8； （2）解：由菱形性质可知：，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 2．如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为4，求菱形边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理，通过中位线定理把与联系起来是解题的关键． （1）由中位线定理证明，，通过等量代换得出，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据菱形的面积为4，得出，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ∴是的中位线， ，， 又，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点O，如图所示： 四边形是菱形， ∴，，， ∵菱形的面积为4， ∴， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 3．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）由菱形得，，由垂直得，即可用证全等； （2）勾股定理求，由全等得，结合菱形边长得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ∵， ∴， ∵菱形的边长为，即， ∴． 4．在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，．    (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据E为的中点，且，得到，结合菱形性质得到，从而得到是等边三角形，即可得到的度数； （2）根据是等边三角形结合勾股定理求出直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵E为的中点，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵，E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是得到是等边三角形． 5．四边形是菱形，，交于点，于点． (1)若对角线，，求的长； (2)连，求证：． 【答案】(1)DH= (2)证明见解析 【分析】（1）先根据菱形的性质得OA= OC， OB= OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB，然后根据菱形的面积公式即可得到； (2) 根据△BDH为直角三角形，得到OB =OH，∠OBH=∠OHB，根据三角形的内角和得到∠BOH= 180°-2∠OBH，AB = AD，所以得到∠OBH=∠ADB，所以∠DAH= 180°-2∠OBH，即可求证． 【详解】（1）因为四边形ABCD是菱形， 所以OA= OC= ，OB= OD=， AC⊥BD， 在Rt△AOB中， AB= ， S菱形ABCD=DHAB==   ∴5DH=24，即DH= ； （2）∵△BDH为直角三角形， ∴OB =OH，∠OBH=∠OHB， ∴∠BOH= 180-2∠OBH． ∵AB = AD， ∴∠OBH=∠ADB， ∴∠DAH= 180-2∠OBH． ∴∠BOH=∠DAH． 【点睛】本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01菱形的性质与判定暑假预习讲义 · 概念理解：牢记菱形定义，明确菱形与平行四边形的从属关系，能准确区分菱形、普通平行四边形、矩形的异同。 · 性质掌握：自主梳理菱形边、角、对角线、对称性四大性质，对比平行四边形性质，熟记菱形独有的特殊性质，会简单文字与几何语言书写。 · 判定运用：熟记三种菱形判定方法，分清判定的使用条件，能区分从平行四边形出发判定、从四边形直接判定两类思路。 · 计算能力：掌握菱形周长、面积两种求法（底乘高、对角线乘积的一半），能结合勾股定理完成边长、对角线长度相关计算。 · 思维规范：学会结合图形标注条件，掌握几何证明简单书写步骤，区分性质（已知菱形推边角对角线关系）与判定（已知条件证菱形）的逻辑区别。 · 预习习惯：梳理自学中对角线相关综合计算、证明题的疑问点，带着问题听课，建立特殊平行四边形的对比归纳思维。 预习必备 知识梳理 1.菱形的定义与从属关系 2.菱形的性质 3.菱形的面积计算 4.菱形的判定 5.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.菱形的性质求角度 2.菱形的性质求线段长 3.菱形的性质求面积 4.利用菱形的性质证明 5.添条件使四边形是菱形 6.证明四边形是菱形 7.由菱形的性质与判定求角度 8.由菱形的性质与判定求线段长 9.由菱形的性质与判定求面积 10.菱形与折叠问题 强化题型 解答题5题 知识点01:基本定义与从属关系 1.定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.从属关系：四边形→平行四边形→菱形；菱形是特殊平行四边形，兼具平行四边形全部性质 + 自身特有性质。 3.补充：正方形是特殊的菱形。 知识点02:菱形的性质（必考重点：通用性质 + 独有性质） 1. 继承平行四边形共有性质 对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称图形。 2. 菱形独有性质 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:菱形三种判定定理（重难点、证明题核心） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点05易错知识点（老师课堂必强调、学生易错汇总） 错误表述 正确结论 错误原因 一组邻边相等的四边形是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 缺少平行四边形前提 对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 普通四边形对角线垂直不能判定菱形 菱形对角线相等 菱形对角线互相垂直，不一定相等 混淆菱形与矩形对角线特点 菱形 4 条对称轴 菱形只有 2 条对称轴 和正方形对称轴混淆 知识点06:菱形、矩形、平行四边形核心简易区分（便于学生对比记忆） 1.平行四边形→加直角 = 矩形；平行四边形→加邻边相等 = 菱形； 2.矩形特征：角直角、对角线相等；菱形特征：四边等、对角线垂直。 题型1.菱形的性质求角度 【典例】已知，在菱形中，，在上取点P，连接，，则的度数为_________． 【跟踪专练1】如图，菱形中，，则（    ） A．60° B．30° C．25° D．15° 【跟踪专练2】如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为___________． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型2.菱形的性质求线段长 【典例】如图，、是菱形的对角线，．若，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为_____．    【跟踪专练2】如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则___________． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型3.菱形的性质求面积 【典例】如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为_____． 【跟踪专练1】如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为和，重叠部分是一个面积为的菱形，则这个图案的总面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则菱形的面积为_______． 【跟踪专练3】．如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C．12 D． 题型4.利用菱形的性质证明 【典例】在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，垂足为E．若，则_________．    【跟踪专练2】如图，菱形ABCD边长为4，∠B=60°，，，连接EF交菱形的对角线AC于点O，则图中阴影部分面积等于________________． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，连接，点为的中点，交于点，交于点，则图中的等边三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型5.添条件使四边形是菱形 【典例】如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 【跟踪专练1】如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 【跟踪专练2】如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件___________能使四边形是菱形． 【跟踪专练3】在四边形中，，，添加下列条件后仍然不能推得四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 题型6.证明四边形是菱形 【典例】如果把两张等宽的纸条交叉叠放在一起，那么重叠部分的四边形是_______．（填特殊的四边形） 【跟踪专练1】在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸①展开，就得到的图形是____________形． 【跟踪专练3】利用一个平行四边形画菱形，对于以下两种作法，根据画图痕迹可以判断（   ） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①②都不正确 题型7.由菱形的性质与判定求角度 【典例】如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是______． 【跟踪专练1】如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，将沿向下翻折得到，点D为上一点，若，，，则的面积为________．    【跟踪专练3】如图在平行四边形中，，于点，为中点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②④ 题型8.由菱形的性质与判定求线段长 【典例】的对角线，交于点O，以下结论错误的是（   ） A． B．若，则 C． D．不可能是轴对称图形 【跟踪专练1】如图，△ABC中，AC=，BC=4，AB=3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是___________． 【跟踪专练2】如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________． 【跟踪专练3】如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点F，若，则长为（   ） A．11 B．12 C．14 D．21 题型9.由菱形的性质与判定求面积 【典例】如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝4，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．12 B．6 C．24 D．3 【跟踪专练1】如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是__________．    【跟踪专练2】如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型10.菱形与折叠问题 【典例】如图，在边长为6的菱形中，，点M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为_______． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，M是上，，N是点上一动点，四边形沿直线翻折，点C对应点为E，当最小时， ___________． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形的边长为4，，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 解答题 1．如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 2．如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为4，求菱形边长． 3．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 4．在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，．    (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 5．四边形是菱形，，交于点，于点． (1)若对角线，，求的长； (2)连，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $