专题02矩形的性质与判定 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年北师大版数学八升九暑假预习讲义

专题02矩形的性质与判定暑假预习讲义 · 概念认知：熟记矩形定义，理清矩形和平行四边形的包含关系，能对比区分矩形、普通平行四边形、菱形的定义差异。 · 性质识记：梳理矩形边、角、对角线、对称性全部性质，重点掌握矩形独有的四个角为直角、对角线相等两条特殊性质，会用几何符号语言表达性质。 · 判定掌握：熟练记忆三种矩形判定方法，分清两类判定路径：由平行四边形证矩形、由任意四边形证矩形，能区分判定的适用条件。 · 计算应用：掌握矩形周长、面积基础计算，理解矩形对角线平分且相等，结合勾股定理求解对角线、边长相关计算题；掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的推论。 · 逻辑辨析：分清性质与判定的推理方向，性质是已知矩形推导边角、对角线关系，判定是根据边角、对角线条件证明四边形为矩形，规范几何证明书写思路。 · 预习素养：自主标记自学中难懂的证明思路、易混淆判定定理，建立特殊平行四边形对比归纳思维，带着疑问高效听课。 预习必备 知识梳理 1.矩形的基本概念 2.矩形的性质 3.斜边中线定理 4.矩形的判定 5.矩形与平行四边形对比 6.常考几何模型 常考题型 精讲精练 1.矩形性质理解 2.矩形性质求角度 3.矩形性质求线段长 4.矩形性质求面积 5.矩形性质证明 6.求矩形在坐标系中的坐标 7.矩形与折叠问题 8.斜边中线等于斜边一半 9.矩形的判定定理理解 10.添条件使四边形是矩形 11.证明四边形是矩形 12.矩形性质与判定求角度 13.矩形性质与判定求线段长 14.矩形性质与判定求面积 强化题型 解答题7题 知识点01:矩形的基本概念 1.定义 2.从属关系 矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的一切性质，同时拥有自身独有的特殊性质。 知识点02:矩形的性质 矩形包含平行四边形共有性质和自身独有性质，汇总如下： 分析角度 平行四边形通用性质 矩形独有专属性质 图形特征 边 对边平行、对边相等 邻边相互垂直 角 对角相等，邻角互补 四个内角均为90 对角线 两条对角线互相平分 对角线长度相等 对称性 仅中心对称 轴对称 + 中心对称兼备 知识点03:重要推论（直角三角形斜边中线定理） 矩形的一条对角线可将其分割为两个全等直角三角形，由此得出核心结论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点05:矩形与平行四边形性质、判定对比（易混点对比，强化记忆） 图形 相同性质 独有性质 常用判定区别 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称 无 证对边平行 / 相等、对角相等、对角线平分 矩形 具备平行四边形所有性质 四个角为直角、对角线相等、两条对称轴 在平行四边形基础上：证一角为直角 或 对角线相等；或直接证三角为直角 知识点06常考几何模型（经典必考模型，附解题思路） 模型 1：矩形 + 对角线模型 特征：连接矩形两条对角线，得到四个等腰三角形。 考点：线段相等、角度计算、等腰三角形证明、线段求值。 核心思路：利用OA=OB=OC=OD转化线段。 模型 2：直角三角形斜边中线模型 特征：直角 + 斜边中点。 考点：线段倍分关系、角度计算、证明线段相等。 口诀：遇直角、见中点，连线构造斜边中线。 模型 3：矩形 + 折叠模型（期末压轴、填空压轴高频） 特征：矩形沿某条直线折叠，出现全等图形、相等线段、相等角。 解题思路： (1)折叠前后对应边、对应角相等； (2)结合矩形直角、勾股定理列方程求解边长； (3)常结合等腰三角形、平行线性质解题。 模型 4：矩形 + 动点模型 特征：矩形边上有动点，探究线段长度、角度、图形形状变化。 解题思路：以不变应万变，抓住矩形直角、对角线性质、斜边中线定理 错题避雷 1.对角线互相平分是所有平行四边形共性，对角线相等才是矩形独有标志 2.仅有一个直角，无法判定普通四边形为矩形 3.斜边中线定理只适用于直角三角形，普通三角形不适用。 4.判定图形时分清四边形、平行四边形类别，定理不可交叉混用 5.审题分清周长、面积、对角线，公式切勿混用代错 题型1.矩形性质理解 【典例】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=8，BC=6，则OD的长为___________． 【答案】5 【分析】由勾股定理求出BD的长，再根据矩形的性质求出OD的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=6，∠BAD=90° ∵AB=8 ∴ ∴． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了矩形．勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键． 【跟踪专练1】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质和矩形的性质可求解． 【详解】解：A、∵矩形的两组对边平行，平行四边形的两组对边平行， ∴矩形和平行四边形都具有两组对边分别平行，故此选项不符合题意； B、∵矩形的四个角相等，都要等于90度，平行四边形的两组对角分别相等， ∴矩形和平行四边形都具有两组对角分别相等，故此选项不符合题意； C、∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形具有对角线相等，平行四边形不具有对角线相等，故此选项符合题意； D、∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形和平行四边形都具有对角线互相平分，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，E为矩形中边的延长线上一点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用矩形与直角三角形的性质先求解再证明从而可得答案. 【详解】解： 矩形， ， 故选： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，利用勾股定理求解解题是关键. 题型2.矩形性质求角度 【典例】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质及平行线的性质，根据矩形的性质得出，再结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：延长与直线b交于点M， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故选D． 题型3.矩形性质求线段长 【典例】如图，在矩形中，对角线相交于点O．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了矩形．熟练掌握矩形对角线相等的是解题的关键． 根据矩形的对角线相等及，即得的长. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. ∵， ∴. 故选：D. 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，分别是的中点，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，熟知这些性质定理是解题的关键．根据矩形的性质求得的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为____． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形的中位线的性质，先根据矩形的性质得，点O是的中点，，，再由勾股定理求出，然后由点O是的中点得出是的中位线，所以． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，点O是的中点，，，， ∴， ∵，， ∴是中点， ∵， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案． 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 题型4.矩形性质求面积 【典例】在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是______． 【答案】 【分析】根据矩形性质，求得，利用面积公式解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，矩形的面积，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，对角线， ∴， ∴矩形的面积为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 根据矩形的性质可知，，，三角形为等边三角形，进而可求，含的直角三角形中，，再通过矩形面积公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解本题的关键． 由矩形的性质得，则，由垂直平分得，而，即可证明，得，因为，所以，可证明四边形是菱形；由勾股定理得，而，，所以，求得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴四边形的面积为． 故选：C 题型5.矩形性质证明 【典例】如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（    ）（不包含直角三角形全等） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：四边形为矩形，其矩形的对角线相等且相互平分， ，，，，， 又，，， ∴，，， ∴故图中的全等三角形（不包含直角三角形全等）共有4对． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为_________．    【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理．正确连接辅助线是解题关键． 连接．由矩形的性质可间接证明得出，从而可求出，再由勾股定理可求出，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F、G分别为、的中点， ∴， 故答案为：． 题型6.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，结合两点的坐标，即可得出结果. 【详解】解：∵，两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， 又∵点在第一象限， ∴. 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】分别过点作轴的垂线，垂足分别为，利用矩形的性质证得求得的长度，再利用等量代换求得的长度，根据点所在象限求得点坐标． 【详解】解：分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ， ∵四边形是矩形，是矩形的对角线， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵顶点的坐标分别为，，， ∴, ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为． 【跟踪专练2】如图，平面直角坐标系中，矩形顶点A，C坐标分别为，．若直线与矩形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】当直线过矩形的顶点，时，正好有1个公共点，根据待定系数法分别求出k的值，结合图象确定范围即可． 【详解】解：∵矩形顶点A，C坐标分别为，， ∴， ∵， ∴直线过点， 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； ∴若直线与矩形有公共点，则k的取值范围是或． 题型7.矩形与折叠问题 【典例】如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是_______ 【答案】 【分析】本题考查了多边形的全等和性质，算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．根据题意，小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，得到，于是得到，开方计算即可． 【详解】解：根据题意，小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，得到， 故， 故． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】设，则，由折叠性质可知，，，所以，，在中，根据，即可求解． 【详解】解：设，则，由折叠性质可知，，， 在中，，， ， ， 在中，根据， 即, 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此题的关键． 【跟踪专练2】如图，矩形纸片中，，，点E为上一点（点E不与B、C重合），将纸片沿翻折得到．点F在上，沿再次折叠纸片，使点C的对应点落在上，若E、、三点在同一直线上，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，，，证明，得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（       ） A．1 B．3 C．1或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点．分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时，    ∵在矩形中，，，， ∴， 由折叠性质可得：，，，则点在上， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴，则， 如图，当时，    ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴，则， 综上，或1， 故选．C． 题型8.斜边中线等于斜边一半 【典例】如图，在中，为线段的中点，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，先运用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 又∵D为的中点， ∴． 故答案为：5． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点是的中点，点是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边中线性质以及梯形中位线性质，熟练掌握“平行四边形对边相等、直角三角形斜边中线等于斜边一半、梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半”是解题的关键．先利用直角三角形斜边中线性质求出的长度，再结合平行四边形性质与的条件，得出是梯形的中位线，进而求出的长度，最后根据平行四边形对边相等求出． 【详解】解：∵，点是中点，， ∴ ． ∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴， ∴是梯形的中位线． ∴， ∵，， ∴， 解得 ． ∵四边形是平行四边形，， ∴ ． 故选：C ． 【跟踪专练2】如图，在中，，为的中点，若为上一点，使得，且，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握直角三角形的性质，三角形的外角性质是解题的关键，由直角三角形的性质得，进而得，利用三角形的外角性质及得，，再利用勾股定理即可得解． 【详解】解：在中，，为的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 故答案为： 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 题型9.矩形的判定定理理解 【典例】如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为_____秒时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 【详解】解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号） 【答案】（2）（4）（5）（8） 【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确 ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确； ∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确； ∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确； 故答案为：（2）（4）（5）（8）． 题型10.添条件使四边形是矩形 【典例】如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形和平行四边形的关系即可解答． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，即； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，即，……． 【跟踪专练1】中，延长至D使得，延长至E使得，当满足条件____________时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，结合矩形的判定定理即可求得． 【详解】如图，中，延长至D使得，延长至E使得， 当时，四边形是矩形 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键． 【跟踪专练2】在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判断，根据矩形和菱形的判定定理逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、由能判定是矩形，该选项符合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由平分能判定是菱形，该选项不合题意； 故选：． 题型11.证明四边形是矩形 【典例】如图，在中，添加一个条件________，可使是矩形． 【答案】（或） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴添加一个条件：或，可使是矩形． 故答案为：（或） 【跟踪专练1】如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形， ，，，， 即， ， 四边形是矩形； 故A选项不符合题意； B、观察图形可知，四边形的对角线互相平分且相等， 四边形是矩形； 故B选项不符合题意； C、观察图形可知，， 四边形是矩形； 故C选项不符合题意； D、观察图形可知，，故不能判定四边形是矩形， 故D选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标依次是，则四边形的形状一定为________． 【答案】矩形 【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的判定．注意矩形判定定理理解． 根据点的坐标特征即可判断的形状． 【详解】解：根据题意，因为、两点横坐标相等，、两点横坐标相等， 所以，轴，轴． ∴． 同理，， ∴四边形是平行四边形； 因为轴，轴 ∴， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 题型12.矩形性质与判定求角度 【典例】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得AC=BD=8，AB=4，进而证得四边形ABCD为矩形，利用勾股定理求得BC即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8cm， ∴AO=OB=AB=4cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)， 故答案为：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． 【跟踪专练2】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°， ∴∠BAO＝90°−30°＝60°， ∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD， ∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确； ∴OB＝AB， 又∵ AB＝BE， ∴OB＝BE， ∴△BOE是等腰三角形，故②正确； 在Rt△ABC中 ∵∠ACB=30° ∴BC＝AB，故③错误； ∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB， ∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误； ∵AO＝CO， ∴，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 题型13.矩形性质与判定求线段长 【典例】如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，垂线段最短；利用矩形的性质转化为求的最小值是解题的关键．连接，证明四边形是矩形，则，当取得最小值时，取得最小值，此时，利用面积相等即可求得的最小值，从而求解． 【详解】解：连接，如图所示； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当取得最小值时，取得最小值，此时； ∵，，， ∴由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是（　　）    A． B．12 C． D．16 【答案】A 【分析】连接，作点A关于的对称点G，连接，，根据轴对称的性质可得，，根据矩形的性质可得，，进一步可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得，的最小值等于的最小值，即的长度，进一步求的长，即可确定的最小值． 【详解】连接，作点A关于的对称点G，连接，，如图所示：    则，， 在矩形中，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值等于的最小值，等于的最小值，即的长度， ∵，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，涉及轴对称-最短路线问题，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，中，，，，是斜边上一个动点，过点作于，于，连接．在点的运动过程中，的最小值是________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理可以求出，根据，，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可知，根据垂线段最短可知当时，的值最小，即的值最小，利用三角形的面积公式可以求出，即的最小值为． 【详解】解：如下图所示，连接， ，，， ， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小，即的值最小， 当时，， ， ， . 题型14.矩形性质与判定求面积 【典例】如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 【跟踪专练1】在中，，，点在内，且，， 分别是的中点，则四边形的面积为____． 【答案】70 【分析】连接并延长交于点P，得到是线段的垂直平分线，根据勾股定理得到是的中位线，四边形为平行四边形，即可得到四边形为矩形，即可得到结果． 【详解】解：连接并延长交于点P， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∴四边形的面积， 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了四边形综合．掌握矩形的判定定理和性质定理、勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题． 解答题 1．如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    【答案】 【分析】根据四边形是矩形及平分，可得，从而得出．又由可得，最后得出． 【详解】解：四边形是矩形，平分， ， ． 又， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 2．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在中，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法得列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴． 3．如图，矩形的对角线，相交于点，以为边，在矩形的外侧作等边三角形，且，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再结合矩形对角线相等且互相平分的性质，得到邻边相等，从而证明该平行四边形为菱形． （2）过点作构造直角三角形，设，利用矩形和菱形的性质推出，结合直角三角形的性质表示出、的长度，最后在中用勾股定理求出，进而得到的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：如图，过点作于， 设． ∵四边形是菱形，是等边三角形， ∴，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 由勾股定理，． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，． ∴． 在中， ． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质和勾股定理的应用是解题的关键． 4．课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）延长到E使得，连接，，由矩形的判定方法得四边形为矩形，即可得证； （2）连接、，由直角三角形的特征得，，由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）如图1，延长到E使得，连接，，          图1 D为中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， ； （2）解：如图2，连接、，          图2 ，点E是的中点，， ， 点F是中点， ，， ． 5．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 6．如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 【答案】(1) 证明：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， 、分别为、中点， 是的中位线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 7．【操作一】如图①，作两条互相垂直的直线m、n交于点O；以点O为圆心、适当长为半径画弧，交直线m于点A、C；再以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，交直线n于点B、D；顺次连接 A、B、C、D．求证：四边形是菱形；    【操作二】如图②，取图①中菱形的各边中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形，四边形称为四边形的中点四边形，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】[操作一]见解析；[操作二]60 【分析】[操作一]根据作图过程得到，，证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直，即可证明菱形； [操作二]根据菱形的性质和勾股定理得到，再根据三角形中位线定理证明出四边形是平行四边形，进一步得到四边形是矩形，从而利用面积公式计算即可． 【详解】解：[操作一] 由作图可知：，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； [操作二] ∵， ∴， ∴，即， ∵E、F分别是，中点， ∴， 同理：，，，，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是理解中点四边形的定义，依据中位线定理证明矩形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02矩形的性质与判定暑假预习讲义 · 概念认知：熟记矩形定义，理清矩形和平行四边形的包含关系，能对比区分矩形、普通平行四边形、菱形的定义差异。 · 性质识记：梳理矩形边、角、对角线、对称性全部性质，重点掌握矩形独有的四个角为直角、对角线相等两条特殊性质，会用几何符号语言表达性质。 · 判定掌握：熟练记忆三种矩形判定方法，分清两类判定路径：由平行四边形证矩形、由任意四边形证矩形，能区分判定的适用条件。 · 计算应用：掌握矩形周长、面积基础计算，理解矩形对角线平分且相等，结合勾股定理求解对角线、边长相关计算题；掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的推论。 · 逻辑辨析：分清性质与判定的推理方向，性质是已知矩形推导边角、对角线关系，判定是根据边角、对角线条件证明四边形为矩形，规范几何证明书写思路。 · 预习素养：自主标记自学中难懂的证明思路、易混淆判定定理，建立特殊平行四边形对比归纳思维，带着疑问高效听课。 预习必备 知识梳理 1.矩形的基本概念 2.矩形的性质 3.斜边中线定理 4.矩形的判定 5.矩形与平行四边形对比 6.常考几何模型 常考题型 精讲精练 1.矩形性质理解 2.矩形性质求角度 3.矩形性质求线段长 4.矩形性质求面积 5.矩形性质证明 6.求矩形在坐标系中的坐标 7.矩形与折叠问题 8.斜边中线等于斜边一半 9.矩形的判定定理理解 10.添条件使四边形是矩形 11.证明四边形是矩形 12.矩形性质与判定求角度 13.矩形性质与判定求线段长 14.矩形性质与判定求面积 强化题型 解答题7题 知识点01:矩形的基本概念 1.定义 2.从属关系 矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的一切性质，同时拥有自身独有的特殊性质。 知识点02:矩形的性质 矩形包含平行四边形共有性质和自身独有性质，汇总如下： 分析角度 平行四边形通用性质 矩形独有专属性质 图形特征 边 对边平行、对边相等 邻边相互垂直 角 对角相等，邻角互补 四个内角均为90 对角线 两条对角线互相平分 对角线长度相等 对称性 仅中心对称 轴对称 + 中心对称兼备 知识点03:重要推论（直角三角形斜边中线定理） 矩形的一条对角线可将其分割为两个全等直角三角形，由此得出核心结论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点05:矩形与平行四边形性质、判定对比（易混点对比，强化记忆） 图形 相同性质 独有性质 常用判定区别 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称 无 证对边平行 / 相等、对角相等、对角线平分 矩形 具备平行四边形所有性质 四个角为直角、对角线相等、两条对称轴 在平行四边形基础上：证一角为直角 或 对角线相等；或直接证三角为直角 知识点06常考几何模型（经典必考模型，附解题思路） 模型 1：矩形 + 对角线模型 特征：连接矩形两条对角线，得到四个等腰三角形。 考点：线段相等、角度计算、等腰三角形证明、线段求值。 核心思路：利用OA=OB=OC=OD转化线段。 模型 2：直角三角形斜边中线模型 特征：直角 + 斜边中点。 考点：线段倍分关系、角度计算、证明线段相等。 口诀：遇直角、见中点，连线构造斜边中线。 模型 3：矩形 + 折叠模型（期末压轴、填空压轴高频） 特征：矩形沿某条直线折叠，出现全等图形、相等线段、相等角。 解题思路： (1)折叠前后对应边、对应角相等； (2)结合矩形直角、勾股定理列方程求解边长； (3)常结合等腰三角形、平行线性质解题。 模型 4：矩形 + 动点模型 特征：矩形边上有动点，探究线段长度、角度、图形形状变化。 解题思路：以不变应万变，抓住矩形直角、对角线性质、斜边中线定理 错题避雷 1.对角线互相平分是所有平行四边形共性，对角线相等才是矩形独有标志 2.仅有一个直角，无法判定普通四边形为矩形 3.斜边中线定理只适用于直角三角形，普通三角形不适用。 4.判定图形时分清四边形、平行四边形类别，定理不可交叉混用 5.审题分清周长、面积、对角线，公式切勿混用代错 题型1.矩形性质理解 【典例】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=8，BC=6，则OD的长为___________． 【跟踪专练1】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【跟踪专练2】如图，E为矩形中边的延长线上一点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 题型2.矩形性质求角度 【典例】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型3.矩形性质求线段长 【典例】如图，在矩形中，对角线相交于点O．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，分别是的中点，，则的长为___________． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为____． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型4.矩形性质求面积 【典例】在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是______． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 题型5.矩形性质证明 【典例】如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（    ）（不包含直角三角形全等） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【跟踪专练2】如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为_________．    题型6.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【跟踪专练2】如图，平面直角坐标系中，矩形顶点A，C坐标分别为，．若直线与矩形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D．或 题型7.矩形与折叠问题 【典例】如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是_______ 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ）    A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】如图，矩形纸片中，，，点E为上一点（点E不与B、C重合），将纸片沿翻折得到．点F在上，沿再次折叠纸片，使点C的对应点落在上，若E、、三点在同一直线上，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（       ） A．1 B．3 C．1或 D．1或3 题型8.斜边中线等于斜边一半 【典例】如图，在中，为线段的中点，则______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点是的中点，点是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】如图，在中，，为的中点，若为上一点，使得，且，则___________． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 题型9.矩形的判定定理理解 【典例】如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为_____秒时，四边形是矩形． 【跟踪专练2】下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号） 题型10.添条件使四边形是矩形 【典例】如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 【跟踪专练1】中，延长至D使得，延长至E使得，当满足条件____________时，四边形是矩形． 【跟踪专练2】在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 题型11.证明四边形是矩形 【典例】如图，在中，添加一个条件________，可使是矩形． 【跟踪专练1】如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A．B．C．D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标依次是，则四边形的形状一定为________． 题型12.矩形性质与判定求角度 【典例】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 【跟踪专练1】如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【跟踪专练2】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型13.矩形性质与判定求线段长 【典例】如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为_____． 【跟踪专练1】如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是（　　）    A． B．12 C． D．16 【跟踪专练2】如图，中，，，，是斜边上一个动点，过点作于，于，连接．在点的运动过程中，的最小值是________． 题型14.矩形性质与判定求面积 【典例】如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【跟踪专练1】在中，，，点在内，且，， 分别是的中点，则四边形的面积为____． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 解答题 1．如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    2．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 3．如图，矩形的对角线，相交于点，以为边，在矩形的外侧作等边三角形，且，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的值． 4．课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 5．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 6．如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 7．【操作一】如图①，作两条互相垂直的直线m、n交于点O；以点O为圆心、适当长为半径画弧，交直线m于点A、C；再以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，交直线n于点B、D；顺次连接 A、B、C、D．求证：四边形是菱形；    【操作二】如图②，取图①中菱形的各边中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形，四边形称为四边形的中点四边形，若，，则四边形的面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $