1.1　第2课时　集合的表示 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦集合的表示，核心内容为列举法、描述法及综合应用。通过“生日快乐”的不同语言表示情境导入，类比引出集合的多样表示方法，衔接集合概念学习，为方法理解搭建直观支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活情境，用数学思维构建解题策略，如例3通过方程参数讨论集合元素个数培养分类推理能力，通性通法总结（如列举法三步骤）强化数学语言表达。学生能提升抽象与应用意识，教师可借助结构化资源高效落实核心素养。

第2课时　集合的表示 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 语言是人与人之间相互交流的一种方式，同样的祝福又有着不同的 表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，繁体中文为“生日快 樂”，英文为“Happy Birthday”…… 【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？ 目录 数学·必修第一册 知识点一　列举法 　把集合的所有元素 出来，并用花括号“{　　}”括起 来表示集合的方法叫做列举法. 提醒　用列举法表示集合的注意点：①元素间用“，”隔开；②集合 的“{}”已包含“所有”“全体”的意思，比如{整数}，即代表整数 集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 一一列举　 目录 数学·必修第一册 知识点二　描述法 　设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P （ x ）的元素 x 所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法 称为描述法. 提醒　用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符 号，如{ x ｜ x ＞1}不能写成{ x ＞1}；②不能出现未被说明的字母，如 { x ∈Z｜ x ＝2 m }中 m 未被说明；③所有描述的内容都要写在花括号 内，如“{ x ∈Z｜ x ＝2 m }， m ∈N*”不符合要求. { x ∈ A ｜ P （ x ）}　 目录 数学·必修第一册 1. 方程 x2－4 x ＋3＝0的所有实数根组成的集合为（　　） A. {1，3} B. {1} C. { x2－4 x ＋3＝0} D. { x ＝1， x ＝3} 解析： 由 x2－4 x ＋3＝0，得 x ＝1或 x ＝3，∴用列举法表示实 数根组成的集合为{1，3}. 目录 数学·必修第一册 2. 不等式4 x －5＜3的解集用集合表示为 ⁠. 解析：由4 x －5＜3得 x ＜2.所以不等式4 x －5＜3的解集用集合表 示为{ x ｜ x ＜2}. 3. 由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为 ⁠ ，用描述法表示为 ⁠. 解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集 合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用 x 表示代表元素，其满 足的条件是 x ∈N且－1＜ x ＜5.故用描述法表示集合为{ x ∈N｜－1 ＜ x ＜5}. { x ｜ x ＜2}　 {0，1，2， 3，4}　 { x ∈N｜－1＜ x ＜5}　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 用列举法表示集合 【例1】　用列举法表示下列集合： （1）方程（ x －1）2（ x －2）＝0的解组成的集合； 解： 方程（ x －1）2（ x －2）＝0的解为1或2，因此用列举 法表示为{1，2}. （2）“Welcome”中的所有字母构成的集合； 解： 由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m 共6个元素，因此用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}. 目录 数学·必修第一册 （3）函数 y ＝2 x －1的图象与坐标轴交点组成的集合. 解： 函数 y ＝2 x －1的图象与 x 轴的交点为 ，与 y 轴 的交点为（0，－1），因此用列举法表示为 . 目录 数学·必修第一册 通性通法 用列举法表示集合的3个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来. 提醒　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点 的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，” 隔开. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 若集合 A ＝{（1，2），（3，4）}，则集合 A 中元素的个数是 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　集合 A ＝{（1，2），（3，4）}中有两个元素（1，2） 和（3，4）. 目录 数学·必修第一册 2. 用列举法表示下列集合： （1）不大于10的非负偶数组成的集合； 解： 因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等 于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8， 10}. （2）方程 x2＝2 x 的所有实数解组成的集合； 解： 方程 x2＝2 x 的解是 x ＝0或 x ＝2，所以方程的解组 成的集合为{0，2}. 目录 数学·必修第一册 （3）直线 y ＝－3 x ＋12上所有满足 x ∈N*， y ∈N*的点所组成 的集合. 解： 当 x ＝1时， y ＝9；当 x ＝2时， y ＝6；当 x ＝3时， y ＝3，所以在直线 y ＝－3 x ＋12上满足 x ∈N*， y ∈N*的所有 点组成的集合为{（1，9），（2，6），（3，3）}. 目录 数学·必修第一册 题型二 用描述法表示集合 【例2】　用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合； 解： 根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为 { x ｜ x ＝3 n ＋1， n ∈N}. （2）坐标平面内第一象限的点的集合； 解： 第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可 表示为{（ x ， y ）｜ x ＞0， y ＞0}. 目录 数学·必修第一册 （3）大于4的所有偶数. 解： 偶数可表示为2 n ， n ∈Z，又因为大于4，故 n ≥3， 从而用描述法表示此集合为{ x ｜ x ＝2 n ， n ∈Z且 n ≥3}. 目录 数学·必修第一册 通性通法 用描述法表示集合的2个步骤 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　选择适当的方法表示下列集合： （1）大于1且小于8的有理数； 解： 大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{ x ∈Q｜1＜ x ＜8}. （2）不等式2 x －3＜5的解组成的集合； 解： 不等式2 x －3＜5的解组成的集合可表示为{ x ｜2 x －3 ＜5}，即{ x ｜ x ＜4}. 目录 数学·必修第一册 （3）二次函数 y ＝ x2＋2 x －10的图象上所有的点组成的集合. 解： 二次函数 y ＝ x2＋2 x －10的图象上所有的点组成的集 合中，代表元素为点（ x ， y ），其中 x ， y 满足 y ＝ x2＋2 x － 10，由于点有无数个，则用描述法表示为{（ x ， y ）｜ y ＝ x2＋ 2 x －10}. 目录 数学·必修第一册 题型三 集合表示法的应用 【例3】　集合 A ＝{ x ｜ kx2－8 x ＋16＝0}，若集合 A 中只有一个元 素，求实数 k 的值组成的集合. 解：（1）当 k ＝0时，方程 kx2－8 x ＋16＝0变为－8 x ＋16＝0，解得 x ＝2，即 A ＝{2}，满足题意； 目录 数学·必修第一册 （2）当 k ≠0时，要使集合 A ＝{ x ｜ kx2－8 x ＋16＝0}中只有一个元 素，则方程 kx2－8 x ＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64 k ＝0，解得 k ＝1，此时集合 A ＝{4}，满足题意. 综上所述， k ＝0或 k ＝1，故实数 k 的值组成的集合为{0，1}. 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 1. （变条件）若集合 A 中有两个元素，求 k 的取值范围. 解：由题意得 解得 k ＜1，且 k ≠0. 目录 数学·必修第一册 2. （变条件）若集合 A 中至多有一个元素，求 k 的取值范围. 解：（1）当集合 A 中只含有一个元素时，由例题知， k ＝0或 k ＝1； （2）当集合 A 中没有元素时，方程 kx2－8 x ＋16＝0无解，即 解得 k ＞1. 综上，实数 k 的取值集合为{ k ｜ k ＝0或 k ≥1}. 目录 数学·必修第一册 3. （变设问）在本例条件下，是否存在实数 k 使集合 A 与集合{1}相 等？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由. 解：若 A ＝{1}，则1∈ A ， ∴ k －8＋16＝0，即 k ＝－8. 又当 k ＝－8时，－8 x2－8 x ＋16＝0， 即 x2＋ x －2＝0， 解得 x ＝1或 x ＝－2， 此时 A ＝{1，－2}，与 A ＝{1}矛盾， 故不存在实数 k 使集合 A 与集合{1}相等. 目录 数学·必修第一册 通性通法 集合与方程的综合问题的解题策略 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合 中的元素就是方程的实数根； （2）当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参 数的值或范围，必要时要分类讨论； （3）求出参数的值或范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ b ＝0}，若 A ＝{2，3}，则 a ＝ ， b ＝ ⁠. 解析：由 A ＝{2，3}，知方程 x2－ ax ＋ b ＝0的两根为2，3，由根与系 数的关系得因此 a ＝5， b ＝6. 5　 6　 目录 数学·必修第一册 1. 用列举法表示集合{ x ∈N｜ x －3＜2}，正确的是（　　） A. {1，2，3，4} B. {1，2，3，4，5} C. {0，1，2，3，4，5} D. {0，1，2，3，4} 解析： 　解不等式得 x ＜5，又 x ∈N，∴ x 是小于5的自然数， ∴表示为{0，1，2，3，4}. 目录 数学·必修第一册 2. 集合{（ x ， y ）｜ y ＝2 x －1}表示（　　） A. 方程 y ＝2 x －1 B. 点（ x ， y ） C. 平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D. 一次函数 y ＝2 x －1图象上的所有点组成的集合 解析： 　本题中的集合是点集，其表示一次函数 y ＝2 x －1图象 上的所有点组成的集合.故选D. 目录 数学·必修第一册 3. （多选）下面四个说法正确的是（　　） A. 10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B. 由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2} C. 方程 x2－2 x ＋1＝0的解集是{1，1} D. 0与{0}表示同一个集合 目录 数学·必修第一册 解析： 　10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A说法 正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，1，2}相等，且都 可以表示由1，2，3组成的集合，故B说法正确；方程 x2－2 x ＋1＝ 0的解集应为{1}，故C说法错误；由集合的表示方法知“0”不是 集合，故D说法错误.故选A、B. 目录 数学·必修第一册 4. 用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； 解： {1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. （2）大于－3.5且小于12.8的整数的全体； 解： {－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9，10，11，12}或{ x ∈Z｜－3.5＜ x ＜12.8}. （3）2022年冬奥会的主办城市组成的集合. 解： 北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可 以用列举法表示为{北京，张家口}. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 解析： 　由题意得. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. (2026·山西学业考试) 已知集合，，则（　　） A. B.  C. D.  目录 数学·必修第一册 2. 下列集合恰有两个元素的是（　　） A. { x2－ x ＝0} B. { x ｜ y ＝ x2－ x } C. { y ｜ y2－ y ＝0} D. { y ｜ y ＝ x2－ x } 解析： 　A表示只有一个方程 x2－ x ＝0的集合；B表示函数 y ＝ x2 － x 中自变量的取值集合，有无数个元素；C表示方程 y2－ y ＝0的 所有实数根组成的集合，有0，1两个元素；D表示函数 y ＝ x2－ x 的 函数值的取值集合，有无数个元素. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. (2026·小店区校级模拟) 下面关于集合的表示正确的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.  B. . C.  D. . 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A，可知，故错误； 对于B，元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，故错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 设集合 A ＝{－1，0，1，2，3，4}， B ＝{ x ｜ x ∈ A 且2 x ∈ A }，则 集合 B 中元素的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　由于集合 A ＝{－1，0，1，2，3，4}， B ＝{ x ｜ x ∈ A 且2 x ∈ A }，因为0∈ A 且2×0∈ A ，1∈ A 且2×1∈ A ，2∈ A 且 2×2∈ A ，所以 B ＝{0，1，2}.故集合 B 中元素的个数为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（　　） A. { x ∈Z｜－3＜ x ＜11} B. { x ｜－3＜ x ＜11} C. { x ｜－3＜ x ＜11， x ＝2 k } D. { x ｜－3＜ x ＜11， x ＝2 k ， k ∈Z} 解析： 　由题意可知，满足题设条件的只有选项D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. （多选）下列命题中正确的是（　　） A. 集合{ x ∈R｜ x2＝1}中有两个元素 B. 集合{0}中没有元素 D. {1，2}与{2，1}是同一个集合 解析：AD　{ x ∈R｜ x2＝1}＝{1，－1}；集合{0}中有一个元素， 这个元素是0；{ x ｜ x ＜2 }＝{ x ｜ x ＜ }， ＞ ，故 ∉{ x ｜ x ＜2 }；根据集合中元素的无序性可知，{1，2}与 {2，1}是同一个集合.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 集合{ x ｜ x ＝2 m －3， m ＜5， m ∈N*}，用列举法表示为 ⁠ ⁠. 解析：集合中的元素满足 x ＝2 m －3， m ＜5， m ∈N*，则 m 可取 值为1，2，3，4，则满足条件的 x 值为－1，1，3，5.则集合用列 举法表示为{－1，1，3，5}. {－1， 1，3，5}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. 已知集合 P ＝{－2，－1，0，1}，集合 Q ＝{ y ｜ y ＝｜ x ｜， x ∈ P }，则 Q ＝ ⁠. 解析：将 x ＝－2，－1，0，1分别代入 y ＝｜ x ｜中，得到 y ＝2， 1，0，故 Q ＝{2，1，0}. {2，1，0}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 9. 方程组的解集是 ⁠. 解析：由方程组可得或所以方程 组的解集是{（1，－1），（－2，2）}. {（1，－1），（－2，2）}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 10. 选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程 x （ x2－2 x －3）＝0的所有实数根组成 的集合； 解： 方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举 法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{ x ｜ x （ x2－2 x －3）＝0}. （2）大于2且小于6的有理数； 解： 由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{ x ∈Q｜2＜ x ＜6}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （3）图中阴影部分的点（含边界）的集合. 解： 题图中阴影部分的点（含边界）的集合可表示为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 11. 对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（　　） A. { x ｜ x 是小于18的正奇数} B. { x ｜ x ＝4 k ＋1， k ∈Z，且 k ＜5} C. { x ｜ x ＝4 t －3， t ∈N，且 t ≤5} D. { x ｜ x ＝4 s －3， s ∈N*，且 s ≤5} 解析： 　A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3， 7，11，15；B中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－ 11，…；C中 t ＝0时， x ＝－3，不属于给定的集合；只有D是正 确的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 12. 下列说法正确的是（　　） A. 在平面直角坐标系内，第一、三象限的点的集合为{（ x ， y ）｜ xy ＞0} B. 方程 x2－4＝0的解集为{（－2，2）} C. 集合{（ x ， y ）｜ y ＝ x }与{ x ｜ y ＝ x }相等 D. 若 A ＝{ x ∈Z｜－1≤ x ≤1}，则－0.1∈ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于选项A，因为 xy ＞0，所以或所 以集合{（ x ， y ）｜ xy ＞0}表示平面直角坐标系内第一、三象限 的点的集合，故A正确.对于选项B，方程 x2－4＝0的解集为{2， －2}，故B错误.对于选项C，集合{（ x ， y ）｜ y ＝ x }表示直线 y ＝ x 上的点，集合{ x ｜ y ＝ x }表示函数 y ＝ x 中 x 的取值范围，故 集合{（ x ， y ）｜ y ＝ x }与{ x ｜ y ＝ x }不相等，故C错误.对于选 项D， A ＝{ x ∈Z｜－1≤ x ≤1}＝{－1，0，1}，所以－0.1∉ A ， 故D错误.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 13. （多选）下列选项中是集合 A ＝{（ x ， y ）｜ x ＝ ， y ＝ ， k ∈Z}中的元素的是（　　） C. （3，4） D. （4，3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 对于A，当 x ＝ ， y ＝ 时，由得 k ＝1，满足题意，故A正确；对于B，当 x ＝ ， y ＝ 时，由可知无解，不满足题意，故B错误；对于C，当 x ＝3， y ＝4时，由可知无解，不满足题意，故C错误；对于D，当 x ＝4， y ＝3时，由得 k ＝12，满足题意，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 14. 下列三个集合： ① A ＝{ x ｜ y ＝ x2＋1}； ② B ＝{ y ｜ y ＝ x2＋1}； ③ C ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x2＋1}. （1）它们是不是相等的集合？ 解： 它们是互不相等的集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （2）它们各自的含义分别是什么？ 解： 集合 A ＝{ x ｜ y ＝ x2＋1}的代表元素是 x ，且 x ∈R； 集合 B ＝{ y ｜ y ＝ x2＋1}的代表元素是 y ，满足条件 y ＝ x2＋ 1的 y 的取值范围是 y ≥1. 集合 C ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x2＋1}的代表元素是（ x ， y ）， 是抛物线 y ＝ x2＋1上的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册   解析：由于2的倒数 不在集合 A 中，故集合 A 不是可倒数集.若集 合中有三个元素，则必有一个元素的倒数是它本身，故可取的集 合有{1，2， }，{－1，3， }等. 不是　 {1，2， }（答案不唯 一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 16. 已知集合 A ＝{ x ∈N｜ ∈N}， B ＝{ a ∈N｜ a ＝ ， x ∈N}，试问集合 A 与 B 有几个相同的元素？并写出由这些相同元 素组成的集合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解：对于集合 A ， B ，因为 x ∈N， ∈N， 所以当 x ＝1时， a ＝ ＝1； 当 x ＝7时， a ＝ ＝3； 当 x ＝9时， a ＝ ＝9. 所以 A ＝{1，7，9}， B ＝{1，3，9}. 所以集合 A 与 B 有2个相同的元素，集合 A ， B 的相同元素组成的 集合为{1，9}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $