精品解析：浙江衢州市2025-2026学年第二学期八年级期末考试数学试题卷

2025学年第二学期八年级期末考试 数学 试题卷 考生须知： 1．全卷共有三大题，23小题，满分为100分，考试时间为90分钟． 2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将学校、班级、姓名、考号分别填写在答题卷的相应位置上，不要漏写． 3．答案必须按要求书写在答题卷上，做在试题卷上无效．本次考试不允许使用计算器． 一、选择题（本大题共有10小题，第1~5题每题2分，第6~10题每题3分，共25分．请选出一个符合题意的正确的选项填涂在答题卷内，不选、多选、错选均不给分） 1. 以下是数学课本各栏目的图标，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，在四边形中，与互补，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 一个物体自由下落时，它所经过的距离和时间之间的关系可以用来估计．若一个物体从的高度自由下落，则它到地面的时间约为（ ） A. B. C. D. 5. 甲，乙两个网站6月份的日均活跃人数分别为1万人和2万人（用户不重叠），日人均活跃时间分别为和．则6月份这两个网站所有用户的日人均活跃时间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 7. 用反证法证明（填空）：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于． 已知：如图，，． 求证：，至少有一个不大于． 证明：假设所求证的结论不成立，即_______________． …… 横线处应填入（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 五位同学的实心球成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如下表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（ ） A. 方案① B. 方案② C. 方案③ D. 方案④ 10. 在菱形中，，分别是边，的中点，连接 ，．若，点到的距离为3，且，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 某校随机调查了100名学生所穿衣服的尺码，统计结果如图所示．则这100名学生所穿衣服尺码的众数是_______． 13. 一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______． 14. 商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 15. 如图，矩形中，，，点E为的中点，将沿翻折至，连接，则的长为_____． 三、解答题（本题有8小题，第16~19题每小题6分，第20~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，共60分．请务必写出解答过程） 16. 计算：． 17. 甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 18. 如图，架在消防车上的云梯长为，，云梯底部离地面的距离为．求云梯的顶端离地面的距离（结果精确到，参考数据：）． 19. 如图，在矩形中，点，分别在边，上．下面两个条件：①；②．请选择其中的一个条件，使得四边形为平行四边形，给出证明． 20. 某校为了提高学生体育锻炼的积极性，举行“引体向上”班级联赛，每班各派8名男生参赛，以下是八（1），八（2）班学生的比赛成绩（单位：个）． 八（1）班：9，9，10，12，9，7，6，8． 八（2）班：10，8，8，10，9，9，12，7． 体育老师将两个班的成绩绘制成箱线图，如图所示： 根据以上信息，解答下列问题． （1）写出八（1）班成绩的中位数，下四分位数的值； （2）分别计算八（1），八（2）两个班引体向上的平均成绩，并结合平均数和箱线图分析，你认为哪个班的比赛成绩更好？简述理由． 21. 数学发现 已知，点在正方形内部（不与点，重合）． 【特例感知】 （1）如图1，若，求的度数； 【规律探究】 （2）若，，．请探究是否为定值，写出推理过程． 22. 综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园．现有可用的篱笆总长为．设边长为，请列方程解决下列问题． （1）若矩形菜园的面积为，求的长； （2）矩形菜园的面积有可能是吗？若有，求的值；若无，说明理由； （3）当取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 23. 如图1，在中，连接．已知，． （1）求对边，间的距离； （2）如图2，线段绕中点顺时针旋转，得到线段，顺次连接，，，，且交边于点，交边于点． ①求证：四边形是矩形； ②当四边形为菱形时，求菱形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级期末考试 数学 试题卷 考生须知： 1．全卷共有三大题，23小题，满分为100分，考试时间为90分钟． 2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将学校、班级、姓名、考号分别填写在答题卷的相应位置上，不要漏写． 3．答案必须按要求书写在答题卷上，做在试题卷上无效．本次考试不允许使用计算器． 一、选择题（本大题共有10小题，第1~5题每题2分，第6~10题每题3分，共25分．请选出一个符合题意的正确的选项填涂在答题卷内，不选、多选、错选均不给分） 1. 以下是数学课本各栏目的图标，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2. 要使二次根式有意义，x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，再解即可． 【详解】由题意得：x−3⩾0， 解得：x⩾3， 故选D. 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义. 3. 如图，在四边形中，与互补，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵在四边形中，与互补， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 一个物体自由下落时，它所经过的距离和时间之间的关系可以用来估计．若一个物体从的高度自由下落，则它到地面的时间约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将代入， ∴它到地面的时间约为． 5. 甲，乙两个网站6月份的日均活跃人数分别为1万人和2万人（用户不重叠），日人均活跃时间分别为和．则6月份这两个网站所有用户的日人均活跃时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：6月份这两个网站所有用户的日人均活跃时间为． 6. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴ ∴． 7. 用反证法证明（填空）：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于． 已知：如图，，． 求证：，至少有一个不大于． 证明：假设所求证的结论不成立，即_______________． …… 横线处应填入（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】解：横线处应填入，． 8. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的性质得到，，，利用角平分线的定义求得，再证得，利用全等三角形的性质求得，最后利用即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵平分交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9. 五位同学的实心球成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如下表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（ ） A. 方案① B. 方案② C. 方案③ D. 方案④ 【答案】C 【解析】 【分析】要让组内同学水平最接近，即组内数据波动最小，组内离差平方和越小，数据波动越小，先计算方案①的离差平方和，再比较四个方案的离差平方和，最小的即为最合理分组． 【详解】解：∵方案①第一组只有个数据，离差平方和为， 第二组数据为，第二组的平均数， ∴第二组的离差平方和为， ∴， 比较四个方案的组内离差平方和得 ， ∵组内离差平方和越小，组内同学成绩越接近，水平越一致， ∴方案③分组最合理． 10. 在菱形中，，分别是边，的中点，连接 ，．若，点到的距离为3，且，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设菱形的边长为，先根据菱形的性质推导出，，则，过E作于H，利用勾股定理求得，延长、相交于点P，证明得，，在中，利用勾股定理求得a值即可解答． 【详解】解：如图， 设菱形的边长为，则，，， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， 过E作于H， ∵点到的距离为， ∴，则， 延长、相交于点P，则，，又， ∴， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍去）， 故菱形的边长为． 二、填空题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，即可计算出结果． 【详解】解：． 12. 某校随机调查了100名学生所穿衣服的尺码，统计结果如图所示．则这100名学生所穿衣服尺码的众数是_______． 【答案】M 【解析】 【分析】根据扇形统计图各部分百分比之和为1求出m的值，再比较各尺码所占百分比的大小，占比最大的即为众数． 【详解】解：由扇形统计图可知，， ∵， ∴尺码为M的学生人数最多， ∴这100名学生所穿衣服尺码的众数是M． 13. 一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设该一元二次方程为，由题意得，，，然后利用根与系数的关系求解． 【详解】解：设该一元二次方程为， 由题意可知，方程的两个根分别为，， 根据根与系数的关系，得， 代入得， 解得， ∴这个方程的常数项是6． 14. 商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 【答案】 【解析】 【分析】表示出降价后一件商品的利润和数量，然后相乘等于1400列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 15. 如图，矩形中，，，点E为的中点，将沿翻折至，连接，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案． 【详解】解：连接， ∵，点E为的中点， ∴， 又∵， ∴， 由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴）， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 根据勾股定理得，． 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第16~19题每小题6分，第20~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，共60分．请务必写出解答过程） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【答案】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 【解析】 【详解】略 18. 如图，架在消防车上的云梯长为，，云梯底部离地面的距离为．求云梯的顶端离地面的距离（结果精确到，参考数据：）． 【答案】 【解析】 【分析】设，且，根据有，根据勾股定理可得，进而求解即可． 【详解】解：设，且， ∵， ∴， ∵，长为， ∴， ∴， ∴解得：， ∴， 根据题意可知， ∴， 答：云梯的顶端离地面的距离为． 19. 如图，在矩形中，点，分别在边，上．下面两个条件：①；②．请选择其中的一个条件，使得四边形为平行四边形，给出证明． 【答案】选择①， 证明：∵四边形是矩形， ∴，，. ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； 选择②，无法使得四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】选择①，首先由矩形的性质得到，，然后推出，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】略 20. 某校为了提高学生体育锻炼的积极性，举行“引体向上”班级联赛，每班各派8名男生参赛，以下是八（1），八（2）班学生的比赛成绩（单位：个）． 八（1）班：9，9，10，12，9，7，6，8． 八（2）班：10，8，8，10，9，9，12，7． 体育老师将两个班的成绩绘制成箱线图，如图所示： 根据以上信息，解答下列问题． （1）写出八（1）班成绩的中位数，下四分位数的值； （2）分别计算八（1），八（2）两个班引体向上的平均成绩，并结合平均数和箱线图分析，你认为哪个班的比赛成绩更好？简述理由． 【答案】（1）， （2）八（1）班引体向上的平均成绩为，八（2）班引体向上的平均成绩为，八（2）班的比赛成绩更好，理由如下： ∵八（2）班的平均数高于八（1），八（2）班的下四分位数、中位数均高于八（1）班， ∴八（2）班的中等水平表现更优，整体成绩分布更集中且偏高． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和下四分位数的定义求解； （2）首先计算平均成绩，然后判断即可． 【小问1详解】 解：将八（1）班成绩从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，12， ∴八（1）班成绩的中位数； 方法一：∵下四分位数为前4个数的中位数， ∴下四分位数； 方法二：∵， ∴下四分位数为第2个数和第3个数的平均数， ∴下四分位数为； 【小问2详解】 解：八（1）班引体向上的平均成绩为（个）， 八（2）班引体向上的平均成绩为（个）， 略． 21. 数学发现 已知，点在正方形内部（不与点，重合）． 【特例感知】 （1）如图1，若，求的度数； 【规律探究】 （2）若，，．请探究是否为定值，写出推理过程． 【答案】（1） （2）是定值，推理过程如下： ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）首先证明是等边三角形，得到，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）首先由正方形得到，，求出，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 22. 综合与实践 如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园．现有可用的篱笆总长为．设边长为，请列方程解决下列问题． （1）若矩形菜园的面积为，求的长； （2）矩形菜园的面积有可能是吗？若有，求的值；若无，说明理由； （3）当取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积． 【答案】（1）的长为或 （2）矩形菜园的面积不可能是，理由如下： 根据题意得，， 整理得，， ∴， ∴方程无实数解， ∴矩形菜园的面积不可能是； （3）当时，矩形菜园的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）设边长为，则，根据矩形菜园的面积为列方程求解即可； （2）根据题意得到，整理后利用判别式判断即可； （3）设矩形菜园的面积为S，根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设边长为，则， ∵矩形菜园的面积为， ∴， 整理得，， 解得，， ∵，， ∴， ∴的长为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设矩形菜园的面积为S， 根据题意得，， ∵， ∴当时，矩形菜园的面积最大，最大面积为． 23. 如图1，在中，连接．已知，． （1）求对边，间的距离； （2）如图2，线段绕中点顺时针旋转，得到线段，顺次连接，，，，且交边于点，交边于点． ①求证：四边形是矩形； ②当四边形为菱形时，求菱形的面积． 【答案】（1） （2）①证明：∵点O是的中点， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； ② 【解析】 【分析】（1）如图，过点C作于点G，首先根据平行四边形的性质得到，，设，则，利用勾股定理求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）①由旋转得到，证明四边形是平行四边形，然后结合即可证明四边形是矩形； ②如图，过点C作于点G，设，则，利用勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点G， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②如图，过点C作于点G， 由（1）得，，， ∵四边形为菱形， ∴，设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴菱形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $