精品解析：山东德州市平原县第一中学2025-2026学年高一下学期期末模拟考试二数学试题

高一下学期期末模拟考试二数学试题 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3i 【答案】B 【解析】 【分析】首先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义即可得到答案. 【详解】由题意得，， 则的虚部为， 故选：. 2. 设角的终边经过点，则的值等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】角的终边经过点，得，代入展开后的式子进行求值． 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以． 【点睛】本题考查三角函数的广义定义、两角差的余弦公式，注意两角差余弦公式展开时，中间是加号，符号不能记错． 3. 某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民依次编号为000，001，，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号是（ ） 2145 7016 3388 2954 0761 1084 3711 6928 5074 3602 9578 4183 1572 6049 0839 2456 8109 8043 1967 5203 9845 9625 A. 084 B. 611 C. 371 D. 295 【答案】A 【解析】 【分析】直接由随机数表依次读取数据，注意舍去超出范围的编号与重复的编号即可. 【详解】从随机数表中的第2行第7列开始向右读取数据， 依次为163，388（超出299，舍去），295，407（超出299，舍去），611（超出299，舍去），084， 即得到的第3个样本编号是. 故选：A. 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解． 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 5. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 6. 某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 7. 一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】第二次摸出的球是红球有两种情况，利用古典概率公式分类列式计算即得. 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到黑球，第二次摸到红球的概率为， 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为， 所以第二次摸出的球是红球的概率为. 故选：A. 8. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解. 二、多项选择题：本题共-3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. 在复平面内对应的点在第三象限 B. C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数乘方与除法运算求出，再结合复数的几何意义、复数模及共轭复数的定义逐项求解判断. 【详解】由，得， 对于A，复数在复平面内对应的点在第三象限，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，复数的共轭复数为，C正确； 对于D，由，得复数对应的点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，如图： 由，得，D正确. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B. 若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据方差公式求得样本容量，样本平均数即可判断；对于B，根据方差与标准差，方差的公式求解判断；对于C，先将数据从小到大排序，再求解判断；对于D，结合样本方差与平均值的公式计算即可. 【详解】对于A，由样本的方差得样本容量，样本平均数，所以样本数据总和为，故正确； 对于B，样本数据标准差为8，故样本数据的方差为64， 所以数据的方差为，标准差为，故错误； 对于C，将数据从小到大排序后得12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，共10个数， 所以，所以该组数据的第70百分位数是，故错误； 对于D，一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2， 不妨记原始数据为，则 ，，即， 现样本中又加入一个新数据5，此时样本平均值为， 样本方差为， 所以加入一个新数据5，平均数不变，方差变小，故正确. 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分．） 12. 已知二非零向量满足，，则向量与向量的夹角是___________． 【答案】135° 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【详解】由，得，则， 又，则，， ，而，解得， 所以向量与向量的夹角是. 13. 甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为， (2) 后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 故答案为：. 14. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式、诱导公式、正弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】由得，即， 即有，所以有，即，即，所以（舍）或， 即，由三角形内角和可知， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数. （1）若是关于的方程的一个根，求的值； （2）若复数满足，且是纯虚数，求复数. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）将代入方程中，结合复数乘法运算法则计算即可得； （2）设，结合复数模长公式及复数乘法运算法则计算即可得. 【小问1详解】 由是关于的方程的一个根， 所以，即有， 化简得，则； 【小问2详解】 设，所以， 又，且是纯虚数， 所以，解得或， 所以或. 16. 从三明市某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. （1）求第六组的频率； （2）估计该校男生身高的中位数； （3）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求解； （2）利用频率分布直方图中中位数两侧矩形的面积和（频率）各点50%求解； （3）用列举法写出基本事件，由古典概型概率公式计算. 【小问1详解】 因为第七组的人数为3，所以第七组的频率为：， 则第六组的频率为 【小问2详解】 由图知：身高在的频率为， 身高在的频率为， 身高在的频率为， 因为， 所以设这所学校男生的身高中位数为，则， 由，得， 所以这所学校男生身高的中位数为174.5. 【小问3详解】 样本身高在第六组的人数为，设为， 样本身高在第六组的人数为，设为， 则从中随机抽取两名男生有：共15种情况，即， 当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件发生， 所以事件包含的基本事件为共8种情况，即， 根据古典概型概率公式得. 17. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得结果； （2）解法一：由结合辅助角公式化简可求出，则可得为等腰三角形，再由三角形的面积可求出，在中利用余弦定理可求得结果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用极化恒等式可求得结果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍求解. 【小问1详解】 因为 ，所以 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得 因为，所以. 【小问2详解】 解法一：因为， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以. 故. 所以， 所以. 在 中，由余弦定理可得 ， 即. 解法二： 因为 ， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以 . 故. 所以， 所以. 由余弦定理得：，所以 ， 又 由极化恒等式得： 所以 ，所以 解法三： 因为 ， 所以，则 即 又，所以，则 ，所以 . 故 . 所以 ， 所以 . 由余弦定理得： ，所以 由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得 所以 所以 18. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】（1）（i）；（ii） （2）“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【解析】 【分析】（1）（i）先分析出事件即甲队通过加时赛获得冠军，包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平三种情况，然后加时赛获胜，得到的表达式，将代入计算即可；（ii）先分析出事件即甲队获得冠军包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜四种情况，得到的表达式，将代入计算即可； （2）先分析出事件即在第三方场地的“单场比赛制”下甲队获胜包含甲队胜，甲队平且加时赛胜两种情况，得到的表达式，分析出的取值范围，借助的取值范围得到，的大小关系即可知哪种赛制更有利于甲队夺冠. 【小问1详解】 （i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以. 因为，所以； （ii）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则. 因为，所以. 【小问2详解】 在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜， 则， 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正切公式可得； （2）（i）先根据正弦定理，分别将表示出来，再直接计算即可. （ii）根据余弦定理结合（i），求出，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为，根据三角形性质易知其最小值为，计算即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 得 则.由，得， 所以，则. 因为，所以. 【小问2详解】 （i）在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得， 因为，所以. 故. （ii）由余弦定理，得 结合，得. 如图，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为. ， 则. 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末模拟考试二数学试题 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3i 2. 设角的终边经过点，则的值等于 A. B. C. D. 3. 某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对300户居民进行抽样，先将300户居民依次编号为000，001，，299，从中抽取30个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第3个样本编号是（ ） 2145 7016 3388 2954 0761 1084 3711 6928 5074 3602 9578 4183 1572 6049 0839 2456 8109 8043 1967 5203 9845 9625 A. 084 B. 611 C. 371 D. 295 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 7. 一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共-3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. 在复平面内对应的点在第三象限 B. C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B. 若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分．） 12. 已知二非零向量满足，，则向量与向量的夹角是___________． 13. 甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 14. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为_________. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数. （1）若是关于的方程的一个根，求的值； （2）若复数满足，且是纯虚数，求复数. 16. 从三明市某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. （1）求第六组的频率； （2）估计该校男生身高的中位数； （3）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率. 17. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 18. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $