山东淄博实验中学2025-2026学年高一第二学期质量检测教学质量

**基本信息** 高一数学期末检测以“奔驰定理”应用、圆锥内三球相切等创新题设计，融合复数、概率、立体几何等核心知识，考查数学抽象、空间观念与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、独立事件概率、方差、异面直线成角|基础巩固，如第3题数据方差考查统计基础| |多选|3/18|复数共轭、分层抽样、四面体体积|能力提升，如第10题结合分层抽样与方差计算| |填空|3/15|正四棱台体积、频率分布直方图分位数、比赛概率|应用实践，如第14题比赛概率模型| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、四棱锥二面角、奔驰定理|创新综合，如第19题奔驰定理与三角形四心结合，体现数学文化与逻辑推理|

参照秘密级管理★启用前 2025—2026学年度第二学期高一教学质量检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，其中是虚数单位，则复数的虚部为 A．1 B．-1 C． D． 2．已知两个随机事件相互独立, ,则 A．0.68 B．0.76 C．0.88 D．0.32 3．设一组数据的方差为0.1,则数据的方差为 A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．2 4．如图，正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A． B． C． D． 5．已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为 A． B． C． D． 6．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点， ，若 平面 ，则实数 的值为 A．4 B．2 C．1 D． 7．如图，在 中， 为 的中点， 为 的中点，过点 任作一直线 分别交 于 两点,若 ,则 A．1 B．2 C．4 D．8 8．已知一个圆锥的底面半径为 5,高为 ．若在该圆锥内放入三个半径均为 的球,其中每个球都与其他两个球相切, 三个球都与圆锥的底面和侧面也相切, 则一个小球的表面积为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分。 9．设复数 ,其中 是虚数单位, 是 的共轭复数,下列判断中正确的是 A B． C． D． 10．某新能源汽车公司对 600 辆汽车进行电池续航测试, 其中 360 辆为甲型车, 240 辆为乙型车．质检部门采用分层抽样(按车型分层)抽取 60 辆车，实测满电续航里程.经计算: 甲型车样本均值为 475 公里, 方差为 20; 乙型车样本均值为 465 公里; 所有 60 辆样本车的总方差为 48 ．下列说法正确的是 A 甲型车的样本容量为 36 B．每辆乙型车被抽入到样本的概率为 C．所有样本车的平均续航里程为 471 公里 D．乙型车续航里程的样本方差为 30 11．四面体 的体积为 ,则下列说法正确的有 A 若该四面体有 1 条棱的长为 6,其余 5 条棱的长为 4,则 B．若该四面体有 5 条棱的长为 2,则 C．若 ，则 D．若 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是 和 ，侧棱长为 ，则该正四棱台的体积为_____ . 13．某校组织了 “人工智能知识” 测试, 现随机抽取了 100 名学生的测试成绩 (单位: 分), 这 100 名学生的成绩都分布在区间 内, 绘制成如图所示的频率分布直方图. 则这 100 名学生成绩的 61%分位数为_____. 14．甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛规则约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到一人比另一人多得 2 分或打满 6 局时结束. 设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立. 则比赛结束时乙获胜且甲所得分数为 2 分的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知平面向量 . (1)若 ，求 ； (2)若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围. 16．已知 中，角 的对边分别为 ，且 ， . (1)求角 的大小； (2)若 ，点 在边 上，且 ，求 . 17．如图,在四棱锥 中, ,底面 是平行四边形, ,点 为 的中点， 是等边三角形， . (1)求证: 平面 ； (2)求二面角 的大小； (3)求直线 与平面 所成角的正弦值. 18．如图， 满足: ， ，动点 ， 都在边 上(点 靠近点 ,且 . (1)若点 是三等分点，求 的周长； (2)若 的面积是 的面积的 倍，求 的大小； (3)求 面积的最小值，并求出此时 的大小. 19．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论， 奔驰定理与三角形的四心(重心、内心、外心、垂心)有着太多关联．它的具体内容是:如图，若点 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则有 (1)若点 为锐角 的外心， ①证明: ; ②若 ，求 的取值范围. (2)若点 为 的内心， ①证明: ( 分别为角 的对边)； ②若 ，求 的最大值. 高一数学试题 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $参照秘密级管理★启用前 2025一2026学年度第二学期高一教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知复数z=i-,其中i是虚数单位，则复数z的虚部为 A1 B.-1 C.i D.-i 尝 2.已知两个随机事件A,B相互独立，P()=2P(B=0.8,则P(AB)= A.0.68 B.0.76 C.0.88 D.0.32 3.设一组数据x,x2,…,xn的方差为0.1，则数据2x1,2x2,2x,,2x的方差为 A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.2 4.如图，正方体ABCD-AB,CD中，E,F分别是DD,DB的中点， D 则异面直线EF与AD所成角的正切值为 A.v2 B.② D.3 5.已知不共线的向量a,满足=a-，则向量a-6与向量方的夹角为 I A.元 B. C.π D.2π 6 3 2 3 6.三棱柱ABC-ABC中，E是棱CC的中点，D是棱BC上一点， BD=1DC,若AB/I平面ADE,则实数1的值为 A.4 B2 C.1 D. 2 高一数学试题第1页（共4页） 7.如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交 AB,AC于M,N两点，若M=x正，N=yAC,则上+1 A.1 B.2 C.4 D.8 8.已知一个圆锥的底面半径为5，高为5√3若在该圆锥内放入三个半径均为”的球，其中每 个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则一个小球的表 面积为 A.12元 B.48元 C.9π D.32元 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9设复数2=1+ i,其中i是虚数单位，z是z的共轭复数，下列判断中正确的是 22 A2z=1 B.2=5,1 +一 C. D.2-=5 i22 10.某新能源汽车公司对600辆汽车进行电池续航测试，其中360辆为甲型车，240辆为乙 型车.质检部门采用分层抽样（按车型分层）抽取60辆车，实测满电续航里程经计算： 甲型车样本均值为475公里，方差为20；乙型车样本均值为465公里；所有60辆样本车 的总方差为48.下列说法正确的是 A甲型车的样本容量为36 B每辆乙型车被抽入到样本的概率为号 C所有样本车的平均续航里程为471公里 D.乙型车续航里程的样本方差为30 11.四面体ABCD的体积为V,则下列说法正确的有 A若该四面体有1条棱的长为6，其余5条棱的长为4，则V=43 B.若该四面体有5条棱的长为2，则V≤1 C.若AB=AC=AD=3,BC=2,则V≤2√瓦 D.若AB=BC=CD=3,则V≤3 高一数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知正四棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长为2√3cm,则该正四棱台 的体积为 cm3 频率/组距 0.030 13.某校组织了“人工智能知识”测试，现随机 0.025 0.020 抽取了100名学生的测试成绩（单位：分)， 0.015 这100名学生的成绩都分布在区间[40,100] 0.010 0.005 内，绘制成如图所示的频率分布直方图.则 405060708090100分数 这100名学生成绩的61%分位数为 14.甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行 到一人比另一人多得2分或打满6局时结束，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局 中获胜的概率为？，且各局胜负相互独立.则比赛结束时乙获胜且甲所得分数为2分的橱 率为 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 15.已知平面向量a=(xl),b=(2,-1),xeR. (1)若a16,求2a-； (2)若ā与b的夹角为钝角，求x的取值范围. 16.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+c2-b2-2 acsin B=0, b=√2. (1)求角B的大小； (2)若a=√2b,点D在边BC上，且BD=2DC,求sin∠DAC. 高一数学试题第3页（共4页） 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PC=PD,底面ABCD是平行四边形，AD=4,点 O为AD的中点，△OCD是等边三角形，PO=√3. (1)求证：PO⊥平面ABCD; (2)求二面角P-BC-A的大小： (3)求直线PA与平面PCD所成角的正弦值. 18.如图，△ABC满足：AB=AC=4,∠BAC=120°，动点M,N都在边BC上（点M靠 近点B),且∠MAN=60°. (I)若点M是三等分点，求△AMN的周长； (2)若△AMN的面积是△AMB的面积的√倍，求∠BAM的大小； (3)求△AMN面积的最小值，并求出此时∠BAM的大小. 19.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论， 奔驰定理与三角形的四心（重心、内心、外心、垂心）有着太多关联它的具体内容是：如图， 若点P是△ABC内一点，△BPC,△APC,△APB的面积分别为S4,Sa,Sc,则有 SAPA+Sg·PB+SPC=0, (1)若点P为锐角△ABC的外心， ①证明：sin2A.PA+sin2B.PB+sin2CPC=0: ②若A=2B,PB=xPA+yPC,求x+y的取值范围， (2)若点P为△ABC的内心， ①证明：aPA+bPB+c·PC=0(a,b,c分别为角A,B,C的对边)： ②若co∠BAC=写万=m亚+nC,求m+n的最大值 高一数学试题第4页（共4页）