精品解析：天津市河西区2024-2025学年高二下学期期末质量调查数学试卷

河西区2024—2025学年度第二学期高二年级期末质量调查 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9题，每小题3分，共27分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，再根据集合的运算以及包含关系，即可判断和选择. 【详解】，又， 故，，，，故A正确，其它选项错误. 故选：A. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在性量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，原命题的否定为： . 故选：C 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数及对数函数的单调性即可得出判断． 【详解】因为在单调递增，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 因为在单调递减，所以，即， 所以， 故选：A． 4. 利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（    ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B. 某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 【答案】D 【解析】 【分析】根据与临界值比较即可得出答案. 【详解】因为， 所以在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”， 故选：D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，排除AB，再结合导数分析函数的单调性，得到答案. 【详解】∵为奇函数，为奇函数，∴为奇函数，其图象关于原点中心对称.排除AB. 设，则； 再设，则 当时，恒成立. 所以在上单调递增，又，， 所以存在，使.当时，，即：时，. 所以在上递减，又 所以：当时，. 所以：当时，.所以D正确. 故选：D. 6. 已知随机布变量ξ服从正态分，记函数.则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质判断. 【详解】，则是增函数，ABC均错； ，，即，D正确. 故选：D. 7. 对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ） A. 图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B. 图1数据正相关，图2数据负相关 C. 图1相关系数小于图2相关系数 D. 图1相关系数和图2相关系数之和小于0 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图及相关性判断AB，由相关系数性质判断CD. 【详解】对A，因为散点图都呈直线型，所以图1、图2两组数据都具有线性相关关系，A正确； 对B，图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确； 对C，图1正相关，图2负相关，所以C不正确； 对D，因为图2相关程度更强，所以D正确. 故选：C. 8. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断. 【详解】若，则， 若，则不一定成立，则不一定成立， 如，时，，满足，但不满足， 若，则，故，即， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 9. 已知是定义在上的周期函数，其最小正周期为5，设，若在区间内共有26个零点，则在区间内的零点个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】先根据与的关系，将在区间内的零点问题转化为在区间内的零点问题，再结合周期内零点个数的关系建立方程求解，最后计算在区间内的零点个数. 【详解】令，则，当时，，所以在区间内的零点个数即为在区间内的零点个数． 设在一个周期内的零点个数为，在内的零点个数为，则在内有个零点． 因为，由已知，．又，则． 因为在内有个零点，在内有2个零点，所以在区间内有10个零点． 故选：B. Ⅱ卷 注意事项：本卷共11题，共73分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分. 10. 一元二次不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接解不含参的一元二次不等式即可得解. 【详解】. 故答案为：. 11. 设随机变量则______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式计算. 详解】，则， 故答案为：. 12. 若函数（，且）是偶函数，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求得，进而可得，计算可求得的值. 【详解】因为是偶函数，则，可得， 所以，所以或， 则（舍去）或，所以， 又，所以，所以，又，解得. 故答案为：. 13. 已知变量x和y的统计数据如下表 x 1 2 3 4 5 y 4 6 7 m 8 若x，y线性相关，且经验回归方程为分，则_________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据经验回归直线经过样本中心点求解. 【详解】易知，， 经验回归直线过样本点的中心， 所以，则． 故答案为： 14. 若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由分布列的性质可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】随机变量的分布列如表所示， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案：． 15. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知关于x的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【答案】（1）或 （2）（i）（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. 【小问1详解】 因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. 【小问2详解】 （ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，在2025年度第五届天津市中小学劳动技能大赛包粽子项目比赛中，李明5分钟内包了7个粽子，其中豆沙粽3个，红枣粽4个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个，设X表示取到的豆沙粽个数.求 （1）X的分布列； （2）X的期望； （3）求至少取到一个豆沙粽概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定的可能取值为0，1，2，利用超几何分布概率公式计算出概率后得分布列； （2）由期望公式计算出期望； （3）利用互斥事件概率公式求解. 【小问1详解】 的可能取值为0，1，2 则；； 所以的分布列如下： 0 1 2 P 【小问2详解】由（1）可知， 【小问3详解】 记“至少取到一个豆沙粽”记为事件 则. 18. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求a，b的值； （2）若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质列方程组即可求解； （2）原题条件等价于对任意的都成立，进一步列不等式组即可求解. 【小问1详解】 因，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. 【小问2详解】 由（Ⅰ）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（Ⅰ）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 因为可得，解得， 故实数取值范围为. 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）在区间上有两个零点，求m的范围. 【答案】（1） （2）单调递增区间，，单调递减区间. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围. 【小问1详解】 因为，所以. 又，所以. 所以在处的切线方程为：即. 【小问2详解】 因为. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问3详解】 由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在区间上有两个零点，即在上有两个解， 可得. 即的取值范围为： 20. 某自助餐厅为了吸引顾客，鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折､8.5折的奖券各2张，9折､9.5折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算. （1）若该自助餐厅有两个餐厅，顾客甲第一次随机地选择一个餐厅用餐，如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.56；如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.88，求顾客甲第二次去餐厅用餐的概率； （2）求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率； （3）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）. （2）. （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）使用全概率公式求解顾客甲第二次去A餐厅用餐的概率，全概率公式是将一个复杂事件的概率分解为多个简单事件的条件概率与相应简单事件概率乘积之和. （2）通过计算从给定奖券中任选3张的总方法数以及3张奖券折扣均不相同的方法数，利用古典概型概率公式计算概率，古典概型概率公式为事件A发生的概率等于事件A包含的基本事件数除以基本事件总数. （3）先确定离散型随机变量X的所有可能取值，然后分别计算每个取值的概率，得到分布列，最后根据数学期望的定义计算，数学期望是随机变量取值与对应概率乘积的总和. 【小问1详解】 （1）设“第次去餐厅用餐”，“第次去餐厅用餐”. 根据题意得，，，则， 故顾客甲第二次去餐厅用餐的概率为. 【小问2详解】 从张奖券中任选张有种方法， 取到的折扣均不相同的取法有种， 所以一位顾客抽到的张奖券的折扣均不相同的概率为. 【小问3详解】 的所有可能取值为，，，， ， ， . . 所以的分布列为 80 85 90 95 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河西区2024—2025学年度第二学期高二年级期末质量调查 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9题，每小题3分，共27分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（    ） 0.10 0.05 0025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6635 7.879 10.828 A. 某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B. 某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机布变量ξ服从正态分，记函数.则（ ） A. B. C. D. 7. 对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ） A. 图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B. 图1数据正相关，图2数据负相关 C. 图1相关系数小于图2相关系数 D. 图1相关系数和图2相关系数之和小于0 8. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知是定义在上的周期函数，其最小正周期为5，设，若在区间内共有26个零点，则在区间内的零点个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 Ⅱ卷 注意事项：本卷共11题，共73分. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分. 10. 一元二次不等式的解集为______. 11. 设随机变量则______. 12. 若函数（，且）是偶函数，且，则______. 13. 已知变量x和y统计数据如下表 x 1 2 3 4 5 y 4 6 7 m 8 若x，y线性相关，且经验回归方程为分，则_________． 14. 若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 15. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______. 三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知关于x的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗，在2025年度第五届天津市中小学劳动技能大赛包粽子项目比赛中，李明5分钟内包了7个粽子，其中豆沙粽3个，红枣粽4个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个，设X表示取到的豆沙粽个数.求 （1）X的分布列； （2）X的期望； （3）求至少取到一个豆沙粽的概率. 18. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求a，b的值； （2）若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求函数单调区间； （3）在区间上有两个零点，求m范围. 20. 某自助餐厅为了吸引顾客，鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折､8.5折的奖券各2张，9折､9.5折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算. （1）若该自助餐厅有两个餐厅，顾客甲第一次随机地选择一个餐厅用餐，如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.56；如果第一次去餐厅，那么第二次去餐厅的概率为0.88，求顾客甲第二次去餐厅用餐的概率； （2）求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率； （3）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$