精品解析：天津市津南区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷

天津市津南区 2025～2026 学年度第二学期期末练习 高二数学 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 120 分， 考试用时 100 分钟.祝各位考生考试顺利! 第 I卷 注意事项: 1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 2. 本卷共 9 小题， 每小题 4 分， 共 36 分. 参考公式: 如果事件 互斥，那么 . 如果事件 相互独立，那么 . 如果事件 是一组两两互斥的事件， ， 且 ，则对任意的事件 ，有 一、选择题: 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 从甲地到乙地有3条不同的路线，从乙地到丙地有4条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地的不同路线有（ ） A. 7条 B. 12条 C. 64条 D. 81条 3. 若，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 在区间 上的大致图象如下，则 的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽， 则回归方程的预报精确度越高 B. 依据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ， 则依据 的独立性检验，有充分的证据推断 与 有关联 C. 若两个变量的决定系数 越小，表示残差平方和越小，即拟合效果越好 D. 若随机变量 满足 ，则 7. 在的展开式中，只有第3项的二项式系数最大，则展开式中各项系数的和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知甲箱中有1个红球和3个黑球， 乙箱中有2个红球和2个黑球 (所有球除颜色外完全相同)，某学生从甲箱中随机取出 1 个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 2 个球， 则从乙箱中取出的球都是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 第 II 卷 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 11 小题， 共 84 分. 二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 10. 设随机变量服从正态分布，若，则__________. 11. 函数 的导函数为_____. 12. 在 的展开式中， 的系数为_____. (用数字表示) 13. 已知某外卖骑手每次在规定时间内将物品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送 3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则随机变量的数学期望 _____；若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_____. 14. 已知 ，且 ，则 的最小值为_____. 15. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____. 三、解答题:本大题共 5 小题， 共 60 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演 算步骤. 16. 已知函数 . （1）求的定义域; （2）求的单调区间; （3）求在区间上的最小值. 17. 为传承国家级非物质文化遗产秦腔，助力乡村振兴，某村办企业开发了一款秦腔脸谱手工挂件. 为确定合适的定价，统计了不同定价(元)与网上月销量(万件)的数据如下: 10 12 14 16 18 9 7 5 5 4 （1）请根据上表提供的数据，求关于的经验回归方程; （2）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元(定价为整数)？ (参考数据：) (参考公式：) 18. 已知函数 . （1）证明函数为奇函数； （2）解关于的不等式 . 19. 某校科创小组共有 10 名学生，其中有女生 4 人，包含甲、乙、丙在内的男生共6人. 现从中抽取 3 人参加志愿者活动. （1）求甲、乙、丙 3 人中恰有 1 人被选中的概率; （2）设选中的女生人数为 ，求 的分布列和数学期望; （3）已知甲被选中， 求此时选中的女生人数不超过 1 的概率. 20. 已知函数 . （1）当时，求曲线在点 处的切线方程; （2）若函数在上恰有两个极值点，求实数的取值范围; （3）在（2）的条件下，设的两个极值点分别为，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市津南区 2025～2026 学年度第二学期期末练习 高二数学 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 120 分， 考试用时 100 分钟.祝各位考生考试顺利! 第 I卷 注意事项: 1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 2. 本卷共 9 小题， 每小题 4 分， 共 36 分. 参考公式: 如果事件 互斥，那么 . 如果事件 相互独立，那么 . 如果事件 是一组两两互斥的事件， ， 且 ，则对任意的事件 ，有 一、选择题: 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 ，所以 . 2. 从甲地到乙地有3条不同的路线，从乙地到丙地有4条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地的不同路线有（ ） A. 7条 B. 12条 C. 64条 D. 81条 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，将从甲到乙、从乙到丙的路线数相乘即可得到总路线数． 【详解】要完成从甲地经乙地到丙地的行程，需分两个步骤： 第一步，从甲地到乙地，共有3种不同的路线可选； 第二步，从乙地到丙地，共有4种不同的路线可选， 根据分步乘法计数原理，不同路线的总条数为3×4=12条． 3. 若，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当“”时，由不等式的性质可知“”， 反之若“”，如，不满足“”， 则“”是“”的充分不必要条件， 4. 设 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】引入中间值0和1，判断的大小. 【详解】因为，，又，所以， ，所以. 5. 已知函数 在区间 上的大致图象如下，则 的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主要用排除法，通过奇偶性排除选项D，单调性排除选项A，特殊值排除选项B. 【详解】对选项D，图像关于原点对称，说明是奇函数，而选项D中， ，是偶函数，不符合，排除D； 对选项A，求导得恒成立， 说明在上单调递增，和图像中先增后减的特征矛盾，排除A； 对选项B，处的函数值， 但图像中处函数值大于0，不符合，排除B； 对选项C，​是奇函数，符合对称性；时，故， 且，故选项C符合图像. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽， 则回归方程的预报精确度越高 B. 依据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ， 则依据 的独立性检验，有充分的证据推断 与 有关联 C. 若两个变量的决定系数 越小，表示残差平方和越小，即拟合效果越好 D. 若随机变量 满足 ，则 【答案】B 【解析】 【详解】选项 A，残差图水平带状区域越窄，残差波动越小，预报精度越高；区域越宽，精度越低，A 错误； 选项 B，独立性检验中， ，则依据 的独立性检验，有充分的证据推断 与 有关联，B 正确； 选项 C，决定系数越接近 1，残差平方和越小，拟合效果越好；越小，残差平方和越大，拟合效果越差，C 错误； 选项 D，方差性质：，因此时，，常数不影响方差，D 错误. 7. 在的展开式中，只有第3项的二项式系数最大，则展开式中各项系数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为只有第3项的二项式系数最大， 所以展开式有5项，故， 令，可得展开式中各项系数的和为. 8. 已知甲箱中有1个红球和3个黑球， 乙箱中有2个红球和2个黑球 (所有球除颜色外完全相同)，某学生从甲箱中随机取出 1 个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 2 个球， 则从乙箱中取出的球都是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件为从甲箱取出红球放入乙箱，为从甲箱取出黑球放入乙箱，为从乙箱中取出的球都是黑球，利用全概率求. 【详解】设事件为从甲箱取出红球放入乙箱，为从甲箱取出黑球放入乙箱， 为从乙箱中取出的球都是黑球，则，， 则，， 由全概率公式可得： . 9. 已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，由题设条件得到函数的单调性，将原不等式转化为 与 、的大小关系，分段讨论解集. 【详解】设，，求导得， 已知时，，且，因此时， 即在上单调递增. 又是奇函数，因此， 故是偶函数，且在上单调递减. 由得，故. 对原不等式 分两种情况讨论： 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在上单调递增，故； 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在递减，故. 综上，不等式的解集为. 第 II 卷 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 11 小题， 共 84 分. 二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 10. 设随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】0.2 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴，有， 由，则. 故答案为：0.2 11. 函数 的导函数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的导数即可求解. 【详解】已知函数，则其导数为.  12. 在 的展开式中， 的系数为_____. (用数字表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项公式为， 令，即，则  的系数为， 即  的系数为. 13. 已知某外卖骑手每次在规定时间内将物品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送 3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则随机变量的数学期望 _____；若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由题意可知，，则； 用表示“该骑手没有全部准时送达”，用表示“他恰好准时送达两次”， 则，， 则， 则他恰好准时送达两次的概率为. 14. 已知 ，且 ，则 的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【详解】， 因为，所以， 所以，当且仅当， 即时取得等号， 所以   的最小值为. 15. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调递增的性质，分别分析各段函数单调性及分段点处函数值大小关系，进而确定实数的取值范围. 【详解】由题意可得：分段函数在上单调递增， 所以函数满足每一段单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值， 当时，，是增函数，所以系数， 当时，，​， 令，则，即：，  在时的最小值为，因此，解得，  分段点时，左段在时，， 右段在时，，又因为单调递增， 所以，，即，综上，实数的取值范围是. 三、解答题:本大题共 5 小题， 共 60 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演 算步骤. 16. 已知函数 . （1）求的定义域; （2）求的单调区间; （3）求在区间上的最小值. 【答案】（1） （2）单调递增区间是和 ，单调递减区间是 （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数解析式即可求解； （2）求导，通过和即可求解； （3）由（2）函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由有意义需满足， 得的定义域为 【小问2详解】 由 ， 可得 ， 因为定义域为 由，即 ，可得 或 ， 由，即 ，可得 ， 所以函数的单调递增区间是和 ， 单调递减区间是. 【小问3详解】 由（2）知: 函数 在区间 上的单调性为： 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为 ， 又 所以函数在区间上的最小值为. 17. 为传承国家级非物质文化遗产秦腔，助力乡村振兴，某村办企业开发了一款秦腔脸谱手工挂件. 为确定合适的定价，统计了不同定价(元)与网上月销量(万件)的数据如下: 10 12 14 16 18 9 7 5 5 4 （1）请根据上表提供的数据，求关于的经验回归方程; （2）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元(定价为整数)？ (参考数据：) (参考公式：) 【答案】（1） （2）15元 【解析】 【分析】（1）先求出，进而代入公式计算，即可求解； （2）根据，代入回归方程，求出的范围，即可得到最高定价. 【小问1详解】 根据题意有 ， . 所以， 故 故所求经验回归方程为 . 【小问2详解】 由题设，即， 解得，因为定价为整数，所以定价最高为15元. 18. 已知函数 . （1）证明函数为奇函数； （2）解关于的不等式 . 【答案】（1）证明：因为 由题意可得 恒成立，所以函数 的定义域为. 又 所以函数是定义在上的奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可. （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，即，也即， 整理得. 因为，所以，所以可化为，即. 又在定义域上单调递增，所以 ， 解得. 所以的取值范围为. 19. 某校科创小组共有 10 名学生，其中有女生 4 人，包含甲、乙、丙在内的男生共6人. 现从中抽取 3 人参加志愿者活动. （1）求甲、乙、丙 3 人中恰有 1 人被选中的概率; （2）设选中的女生人数为 ，求 的分布列和数学期望; （3）已知甲被选中， 求此时选中的女生人数不超过 1 的概率. 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 （3） 【解析】 【小问1详解】 记事件 “甲、乙、丙 3 人中恰有 1 人被选中” , 甲、乙、丙 3 人中恰有 1 人被选中的概率为 ; 【小问2详解】 选中的女生人数为 ，则 的所有可能取值为 0，1，2，3 , 的分布列为 X 0 1 2 3 ; 【小问3详解】 记事件 “甲被选中”，事件 “选中的女生人数不超过 1” 即: 已知甲被选中的条件下，选中的女生人数不超过 1 的概率为 . 20. 已知函数 . （1）当时，求曲线在点 处的切线方程; （2）若函数在上恰有两个极值点，求实数的取值范围; （3）在（2）的条件下，设的两个极值点分别为，求证： 【答案】（1） （2）且 . （3）由（2）可知的两个极值点分别为，其中满足， ①当时，，由题，故，则； ② 当时，，由题，故， 则， 综上， 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式方程即得切线方程； （2）求导后将问题转化为有唯一一个正根，再利用参变分离即可求出； （3）结合（2）分、两种情况得出，代入求值即可. 【小问1详解】 当时，，则，则 ， 故切线方程为，即 . 【小问2详解】 ，则 ， 令，可得， 因为函数在上恰有两个极值点， 所以方程有唯一正根，记为， 即有唯一正根 . 令，则对恒成立， 所以在上单调递增， 因为，时，，则可得， 又因为，所以得 . 综上，实数的取值范围是且 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $