天津市津南区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷

**基本信息** 天津市津南区高二数学期末卷以函数、概率统计、导数等核心知识为载体，通过秦腔脸谱定价回归分析、外卖骑手配送概率等真实情境题，考查数学眼光观察现实世界、数学思维解决实际问题的能力，实现基础巩固与创新应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/36|集合、充要条件、二项式定理|注重概念辨析与基础运算，如第8题结合古典概型与条件概率考查逻辑推理| |填空题|6/24|正态分布、导数计算、数学期望|强调知识综合应用，如第13题融合二项分布期望与条件概率| |解答题|5/60|函数单调性、回归方程、导数极值点|突出分层设计，17题以文化传承为背景构建回归模型，20题导数极值点论证体现数学思维严谨性|

天津市津南区 2025～2026 学年度第二学期期末练习 高二数学 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 120 分， 考试用时 100 分钟。祝各位考生考试顺利! 第 I卷 注意事项: 1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。 2. 本卷共 9 小题, 每小题 4 分, 共 36 分。 参考公式: · 如果事件 互斥，那么 . · 如果事件 相互独立,那么 . · 如果事件 是一组两两互斥的事件, , 且 ,则对任意的事件 ,有 一、选择题: 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 集合 ，则 A. B. C. D. 2. 从甲地到乙地有 3 条不同的路线, 从乙地到丙地有 4 条不同的路线, 则从甲地经过乙地, 到丙地的不同路线有 A. 81 条 B. 64 条 C. 12 余 D. 7 条 3. 已知 ,则 “ 且 ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设 ,则 的大小关系为 A. B. C. D. 5. 已知函数 在区间 上的大致图象如下，则 的解析式可能为 A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是 A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽, 则回归方程的预报精确度越高 B. 依据分类变量 与 的成对样本数据,计算得到 , 则依据 的独立性检验,有充分的证据推断 与 有关联 C. 若两个变量的决定系数 越小,表示残差平方和越小,即拟合效果越好 D. 若随机变量 满足 ,则 7. 在 的展开式中,只有第 3 项的二项式系数最大,则展开式中各项系数的和为 A. B. C. D. 8. 已知甲箱中有1个红球和3个黑球, 乙箱中有2个红球和2个黑球 (所有球除颜色外完全相同)，某学生从甲箱中随机取出 1 个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 2 个球, 则从乙箱中取出的球都是黑球的概率为 A. B. C. D. 9. 已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时,有 恒成立,且 ,则不等式 的解集是 A. B. C. D. 第 II 卷 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 11 小题, 共 84 分。 二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 10. 设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 _____. 11. 函数 的导函数为_____. 12. 在 的展开式中， 的系数为_____. (用数字表示) 13. 已知某外卖骑手每次在规定时间内将物品送达的概率为 ，该骑手某次工作中共配送 3 单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为 ,则随机变量 的数学期望 _____；若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_____. 14. 已知 ，且 ，则 的最小值为_____. 15. 已知函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围是_____. 三、解答题:本大题共 5 小题, 共 60 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤. 16. (本小题满分 11 分) 已知函数 . (I) 求 的定义域; (II) 求 的单调区间; (III) 求 在区间 上的最小值. 17. (本小题满分 12 分) 为传承国家级非物质文化遗产秦腔，助力乡村振兴，某村办企业开发了一款秦腔脸谱手工挂件. 为确定合适的定价,统计了不同定价 (元) 与网上月销量 (万件)的数据如下: 10 12 14 16 18 9 7 5 5 4 (I) 请根据上表提供的数据,求 关于 的经验回归方程; (II) 若月销量不低于 5 万件可保证盈利, 根据回归方程预测定价最高可定为多少元(定价为整数)？ (参考数据: ) (参考公式: ,) 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 . (I) 证明函数 为奇函数; (II) 解关于 的不等式 . 19.(本小题满分 12 分) 某校科创小组共有 10 名学生，其中有女生 4 人，包含甲、乙、丙在内的男人. 现从中抽取 3 人参加志愿者活动. (I) 求甲、乙、丙 3 人中恰有 1 人被选中的概率; (II) 设选中的女生人数为 ,求 的分布列和数学期望; (III) 已知甲被选中, 求此时选中的女生人数不超过 1 的概率. 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 . (I) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程; ( II ) 若函数 在 上恰有两个极值点,求实数 的取值范围; (III) 在 (II) 的条件下,设 的两个极值点分别为 ,证 ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 天津市津南区 2025 ~2026 学年度第二学期期末练 习 高二数学参考答案 一、选择题:本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C A D C B B A A 二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 10. 0.2; 11. ; 12. -160; 13. ; 14. ; 15. 三、解答题:本大题共 5 小题，共 60 分. 解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤. 16. (本小题满分 11 分) 解:(I) 定义域为 .-------------------------------------------------2 分 (II) 由 , 可得 , ----------------------------------------4 分 因为定义域为 由 ,即 ,可得 或 ; ----5 分 由 ,即 ,可得 ; --------------6 分 所以函数 的单调递增区间是 和 , 单调递减区间是 ; ---------------------------------------------8 分 (III) 由 (II) 知: 函数 在区间 上的单调性为 在 上单调递减，在 上单调递增，----------------9 分 所以 的最小值为 , 又 .-----------------10 分 所以函数 在区间 上的最小值为 . --------11 分 17. (本小题满分 12 分) 解:(I)由题有 ---------------------------------------------------2 分 -----------------------------------------------------4 分 ---------------------------------------7 分 故 --------------8 分 故所求经验回归方程为 ---------------------------9 分 (II) 由题设 ， 此时 , ------------------------------------------------------11 分 故 ，因为定价为整数，故定价最高为 15 元. ------------------12 分 18. (本小题满分 12 分) 解(I) 因为 .-------------------1 分 由题意可得 恒成立 所以函数 的定义域为 . --------------------------------------------------2 分 又 所以函数 是定义在 上的奇函数. -------------------------------------6 分 (II) 由题 ，即 即 又 --------------------------------------------------------------10 分 在定义域上单调递增, 所以 , .------------------------------------------------------------11 分 解得 ， 所以 的取值范围为 . -------------------------------------12 分 19. (本小题满分 12 分) 解:(I)记事件 “甲、乙、丙 3 人中恰有 1 人被选中” ----------------------1 分 1、 乙、丙 3 人中恰有 1 人被选中的概率为 .-------------------------------------2 分 (II)选中的女生人数为 ，则 的所有可能取值为 0,1,2,3 . ----------------------3 分 ---------------------------------------------5 分 的分布列为 X 0 1 2 3 1 -6 1 2 1 30 ------------------------------------------------------------------------7 分 . .----------------9分 (注:也可用超几何分布列表示) (III)记事件 “甲被选中”,事件 “选中的女生人数不超过 1” --------------------------------------10 分 -------------------------------------------11 分 即: 已知甲被选中的条件下，选中的女生人数不超过 1 的概率为 --------12 分 20. (本小题满分 13 分) 解:(I)当 时， ，----------1 分 由题意可得, , ------------------------------------2 分 切线方程为 ,即 . --------------------3 分 (II) ------------------------------------------------4 分 ,解得 --------------------------------5 分 由题: 函数 在 上恰有两个极值点 所以 有唯一一个正根,记为 即: 有唯一一个正根 .----------------------6 分 取 ,则 对 恒成立, 所以 在 上单调递增,且 时， .----------------------------------------7 分 所以得 又因为 ,所以得 .------------------------------------8 分 综上，实数 的取值范围是 且 .---------------9 分 (III) 由(II) 可知 的两个极值点分别为 ,其中 满足 ① 当 时， ，由题 ，故 ------------------------- ------10 分 ② 当 时， ，由题 ，故 ,-------------------13 分 ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $