1.3空间向量及其运算的坐标表示难点训练微专题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.空间向量及其运算的坐标表示 难点训练微专题(学生版）突破通法： 1.空间向量的坐标表示及其应用必记公式： 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 共线 a=λb(b≠0,λ∈R) a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 垂直 a·b=0(a≠0,b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a| 夹角 <a,b>(a≠0,b≠0) cos<a,b>= 2.注意问题：（1）空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关. （2）.实数0和任意向量相乘都为零向量. （3）.实数与空间向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算. 微专题训练 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 3．在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．设向量则（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 10．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 11．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 三、填空题 12．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 13．已知，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 14．已知，，，若，则的值为 . 四、解答题 15．已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 16．已知向量，， (1)求的值； (2)求； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.空间向量及其运算的坐标表示 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 1.空间向量的坐标表示及其应用必记公式： 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 共线 a=λb(b≠0,λ∈R) a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 垂直 a·b=0(a≠0,b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a| 夹角 <a,b>(a≠0,b≠0) cos<a,b>= 2.注意问题：（1）空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关. （2）.实数0和任意向量相乘都为零向量. （3）.实数与空间向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算. 微专题训练 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 2．若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【分析】确定点关于平面以及关于x轴对称的点的坐标，即可求得答案. 【详解】由题意得点关于平面对称的点为，关于x轴对称的点为， 则，，所以． 故选：C 3．在空间直角坐标系中，点在坐标平面上的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在坐标平面内射影的特点，直接写出答案即可． 【详解】由题意得，点的纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0，则. 故选：A. 4．已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 5．已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量的夹角余弦公式结合空间向量的数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】因为空间向量，， 则向量与夹角的余弦值为. 故选：C. 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解. 【详解】由已知两式相加，得即， 两式相减可得即， 所以. 故选：C 7．设向量则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线得，解出即可求解. 【详解】 故选：D. 8．已知向量，在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量在向量上的投影向量，再分和两种情况、利用基本不等式即可求解. 【详解】由已知得，则向量在向量上的投影向量为： ， 所以， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解决. 【详解】因为，所以，故A正确； 由题得，而，所以不成立，故B不正确； 因为，故C正确； 因为在上的投影向量为，故D错误； 故选：AC. 10．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】BC 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示计算即可判断C；根据向量的模的坐标表示计算即可判断D. 【详解】列表解析： 选项 正误 原因 A × ，，因为， 所以，解得. B √ ，， 则是直线AB的一个方向向量. C √ ， 则. D × 易知点在Oyz平面内的射影为， 可知，即可得. 故选：BC. 11．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 三、填空题 12．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 【答案】 【分析】由向量数量积的几何意义即可求. 【详解】向量量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故答案为：. 13．已知，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】计算出，利用投影向量的计算公式进行求解. 【详解】， 可得在方向上的投影向量为 ． 故答案为： 14．已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 15．已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由空间向量的坐标运算直接求解； （2）分别求出，的坐标，由平行可得，再由向量相等的条件求解即可. 【详解】（1）由，得． （2）由（1）知， 所以，， 又，则， 即， 所以， 则． 16．已知向量，， (1)求的值； (2)求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的坐标表示即可求解； （2）由夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，又因为， 所以． （2）因为，， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $